Kritéria dělitelnosti Jaroslav Zhouf, Pedf UK Praha Kritéria dělitelnosti slouží k rozhodování o tom, zda je určité přirozené číslo n dělitelné určitým přirozeným číslem k. Každé takové kritérium se snaží nahradit dané číslo n jiným, zpravidla menším číslem n, u něhož je již jednoduché rozhodnout o dělitelnosti číslem k. Pokud by n nebylo ještě vhodné, lze na něj aplikovat kritérium dělitelnosti znovu atd. Veškeré další úvahy budou vycházet z dekadického zápisu přirozeného čísla n=... 5 3 2 1, kde a, a 1, a 2, a 3, jsou cifry, tj. ze zápisu 5 3 2 n=... 1 a 1 a 1 a 1 a 1a a. 5 3 2 1 A. Dělitelnost určovaná pomocí posledních cifer n=... 1 a5 1 a 1 a3 1a2 a1 1 a je patrné, že poslední cifra a rozhoduje o dělitelnosti čísla n všemi děliteli čísla 1, tj. čísly 2, 5 a 1 (číslo 1 zde, ani nadále 3 2... 1 a 1 a 1 a 1a a 1 čísly 2, 5 a 1 dělitelné je. 3 2 Ze zápisu ( ) neuvažujeme), neboť číslo ( 5 3 2 1) 3 2 Ze zápisu n (... 1 a5 1 a 1a3 a2) 1 aa 1 = je stejně tak patrné, že poslední dvojčíslí aa 1 rozhoduje o dělitelnosti čísla n všemi děliteli čísla 1, tj. čísly 2,, 5, 1, 2, 25, 5 a 1. (Na školách se vyslovuje většinou jen dělitelnost čtyřmi.) Analogicky poslední trojčíslí 2 1 rozhoduje o dělitelnosti všemi děliteli čísla 1, tj. čísly 2, 5, 8, 1, 2, 25,, 5, 1, 125, 2, 25, 5 a 1. (Na školách se opět vyslovuje jen dělitelnost osmi.) Poslední čtyřčíslí rozhoduje o dělitelnosti všemi děliteli čísla 1, mimo jiné o dělitelnosti šestnácti. Kritéria dělitelnosti určované pomocí posledního pětičíslí, šestičíslí atd. se vysloví analogicky. B. Dělitelnost čísly složenými z několika nesoudělných dělitelů Dělitelnost šesti se určuje pomocí dělitelnosti dvěma a třemi, dělitelnost deseti se určuje pomocí dělitelnosti dvěma a pěti, dělitelnost dvanácti se určuje pomocí dělitelnosti třemi a čtyřmi, dělitelnost šedesáti se určuje pomocí dělitelnosti třemi, čtyřmi a pěti atd. C. Dělitelnost určovaná pomocí součtu celočíselných násobků jednotlivých cifer (pomocí celočíselné lineární kombinace jednotlivých cifer) Ukážeme univerzální metodu vytváření kritérií dělitelnosti libovolným přirozenými čísly. Pro každého dělitele můžeme takto vytvořit libovolné množství kritérií. Z nich samozřejmě vybereme to nejjednodušší. Teoreticky je však možné použít kterékoli z nich.
d v ě m a Jelikož ( ) n=... 5 a5 5 a 5a3 5a2 5a1 2 a, je číslo n dělitelné dvěma, právě když je dělitelná dvěma cifra a. Tento postup nepřináší nové kritérium. t ř e m i Číslo n (.. 33 333a 3 333a 333a 33a 3a ) 3 (.. a a a a a a ) = je 5 3 2 1 5 3 2 1 dělitelné třemi, právě když je třemi dělitelný ciferný součet... a5 a a3 a2 a1 a čísla n. č t y ř m i Jelikož ( ) n=... 25 a5 2 5a 25a3 25a2 2a1 2a1 a, je číslo n dělitelné čtyřmi, právě když je dělitelné čtyřmi číslo 2a1 a. Příklad: Je-li n = 5835, je 2a1 a = 2 3 5= 11. Jelikož číslo 11 není dělitelné čtyřmi, není čtyřmi dělitelné ani číslo 5835. Každý si může rozmyslet, které z obou uvedených kritérií dělitelnosti čtyřmi je v tomto případě výhodnější. Ukážeme si ještě na dělitelnosti čtyřmi, jak můžeme vytvářet další kritéria. Při úpravě n= (... 25 a5 2 5a 25a3 25a2 a1) 6a1 a vidíme, že číslo n je dělitelné čtyřmi, právě když je čtyřmi dělitelné číslo 6a1 a. Při úpravě n= (... 25 a5 2 5a 25a3 25a2 3a1) 2a1 a vidíme, že číslo n je dělitelné čtyřmi, právě když je čtyřmi dělitelné číslo 2a1 a. Takže zkoumání čísla 2a1 a může být také výhodné, protože toto číslo může být menší než číslo 2a1 a. Podobné úpravy čísla n můžeme provádět dále, čímž můžeme vytvořit libovolné množství kritérií dělitelnosti čtyřmi. p ě t i Dělitelnost pěti se zkoumá podobně jako dělitelnost dvěma. Je to velmi jednoduchý výpočet, proto ho zde provádět nebudeme. š e s t i Platí n (... 1 666a 166a3 16a2 a1) 6 (... a5 a a3 a2 a1 a) (... 16 667a 1 667a 167a 17a 2a ) 6 (... 2a 2a 2a 2a 2a a ) = = =. Číslo 5 3 2 1 5 3 2 1 n je dělitelné šesti, právě když je dělitelné šesti číslo... a5 a a3 a2 a1 a nebo číslo... 2a5 2a 2a3 2a2 2a1 a. Příklad: Je-li n = 28 3, je 2 8 3 = 72 a dále 7 2= 3 a dále 3 = 12 a dále 1 2= 6, což je číslo dělitelné šesti, a proto je dělitelné šesti i číslo 28 3. Nebo 22 28 2 23 = 3, což je číslo dělitelné šesti, a proto je dělitelné šesti i číslo 28 3.
s e d m i Platí n (... 1 28a 12a3 1a2 a1) 7 (... 5a5 a 6a3 2a2 3a1 a) (... 1 286a 1 29a 12a 1a a ) 7 (... 2a 3a a 2a 3a a ) = = = 5 3 2 1 5 3 2 1. Číslo n je dělitelné sedmi, právě když je dělitelné sedmi číslo... 5a5 a 6a3 2a2 3a1 a nebo číslo... 2a5 3a a3 2a2 3a1 a. Příklad: Je-li n = 28 3, je 2 68 2 33 = 77, což je číslo dělitelné sedmi, a proto je dělitelné sedmi i číslo 28 3. Nebo 32 8 2 33 = 7, což je číslo dělitelné sedmi, a proto je dělitelné sedmi i číslo 28 3. o s m i Platí ( ) n=... 12 5a5 1 25a 125a3 12a2 a1 8 a2 2a1 a. Číslo n je dělitelné osmi, právě když je dělitelné osmi číslo a2 2a1 a. Příklad: Je-li n = 25 328, je 3 22 8= 2, což je číslo dělitelné osmi, proto je dělitelné osmi i číslo 25 328. d e v í t i Číslo n (.. 11111a 1111a 111a 11a a ) 9 (.. a a a a a a ) = je 5 3 2 1 5 3 2 1 dělitelné devíti, právě když je devíti dělitelný ciferný součet... a5 a a3 a2 a1 a čísla n. d e s e t i Dělitelnost deseti se zkoumá podobně jako dělitelnost dvěma. Je to velmi jednoduchý výpočet, proto ho zde provádět nebudeme. j e d e n á c t i Platí n (... 9 91a 99a 91a 9a a ) 11 (... a a a a a a ) =. Číslo n 5 3 2 1 5 3 2 1 je dělitelné jedenácti, právě když je dělitelné jedenácti číslo... a5 a a3 a2 a1 a, tj. právě když je dělitelný jedenácti rozdíl součtu cifer na sudých místech a součtu cifer na lichých místech. Příklad: Je-li n = 1 23 567, je ( 7 5 3 1) ( 6 2) = 2, což není číslo dělitelné jedenácti, proto není dělitelné jedenácti ani číslo 1 23 567. d v a n á c t i Platí n (... 833a 83a 8a a ) 12 (... a a a a 2a a ) = 3 2 1 5 3 2 1. Číslo n je dělitelné dvanácti, právě když je dělitelné dvanácti číslo... a5 a a3 a2 2a1 a. Dělitelnost dalšími přirozenými čísly se vytvoří analogicky. Vše je pro několik nejmenších přirozených čísel shrnuto v následující tabulce. Je dobré všimnout si v této tabulce periodicity
koeficientů a případné předperiody vytvořené z koeficientů u jednotlivých cifer. Tabulka zbytků vyjadřující kritéria dělitelnosti jednotlivými přirozenými čísly: Dělitel nost čísla...a aa číslem 3 2 Kritérium dělitelnosti 2 a 3... a a3 a2 a1 a 1 5 a 6 3 2 1 2a a... a a a a a... 3a a 2a 3a a 2a 3a a 7 7 6 5 3 2 1 a 2a a 8 2 1 9... a a3 a2 a1 a 1 a 11... a a3 a2 a1 a...a a a 2a a 12 3 2 1... 3a a a 3a a a 3a a 13 7 6 5 3 2 1... 2a a 6a 2a a 6a 2a a a 1 5 3 2 1... 5a 5a 5a a 15 3 2 1 8a a 6a a 16 3 2 1... 2a 7a a 5a 8a 6a a 3a 2a 7a a 17 1 9 5 3 2 1... 8a 8a 8a a 18 3 2 1... 9a a 2a a 8a 3a 6a 7a 5a 9a a 19 1 9 5 3 2 1 2 1 21 7 6 5 3 2 1 1a a... 1a a 2a a 8a 5a 1a a... 1a 1a 1a 1a a 22 3 2 1 23... 1a a 7a 3a 2a 9a 6a a 5a 11a 8a 1a 12 11 1 9 5 3 2 1... 8a 8a 8a a 1a a 2 5 3 2 1
25 1 1a a Úloha: Analogicky vytvořte pokračování výše uvedené tabulky pro další dělitele. D. Dělitelnost určovaná pomocí součtu celočíselných násobků dvojčíslí, trojčíslí, (pomocí celočíselné lineární kombinace dvojčíslí, trojčíslí, ) Budeme postupovat analogicky jako v oddíle C, budeme si ale všímat dvojčíslí, trojčíslí, vzniklých rozdělením zadaného přirozeného čísla od konce po dvojicích, po trojicích, D v o j č í s l í Můžeme také psát n=... 1 a5a 1 a3a2 aa 1. Když se tento zápis upraví na tvar n= (... 11 a5a a3a2) 99 (... a5a a3a2 aa 1 ), lze odtud vyslovit kritéria dělitelnosti všemi děliteli čísla 99, tj. čísly 3, 9, 11, 33 a 99. Např.: Číslo n je dělitelné jedenácti, právě když je jedenácti dělitelné číslo... aa 5 aa 3 2 aa 1, tj. právě když je jedenácti dělitelný součet dvojic cifer od konce rozděleného zadaného čísla. Příklad: Je-li n = 1 23 567, je 1 23 5 67 = 136 a dále 1 36= 37, což není číslo dělitelné jedenácti, proto není dělitelné jedenácti ani číslo 1 23 567. Napíšeme-li n= (.. 9 91 a7a6 99 a5a a3a2) 11 (.. a7a6 a5a a3a2 aa 1 ), můžeme odsud vyslovit kritérium dělitelnosti pouze číslem 11, protože 11 je prvočíslo. T r o j č í s l í Ze zápisu n (... 11 5 3) 999 (... 5 3 2 1 ) = plynou kritéria dělitelnosti všemi děliteli čísla 999, tj. čísly 3, 9, 27, 37, 111, 333 a 999. Za povšimnutí stojí hlavně dělitelnost čísly 27 a 37. Ze zápisu n= (... 999 5 3) 11 (... 5 3 2 1 ) plynou kritéria dělitelnosti všemi děliteli čísla 1 1, tj. čísly 7, 11, 13, 77, 13 a 1 1. Za povšimnutí stojí hlavně dělitelnost čísly 7, 11 a 13. Příklad: Je-li n = 1 23 567, je 1 23 567 = 33, což není číslo dělitelné jedenácti, proto není dělitelné jedenácti ani číslo 1 23 567. Úloha: Proveďte stejné úvahy pro poslední čtyřčíslí, pětičíslí atd. E. Dělitelnost určovaná pomocí vhodného násobku daného čísla Úvahy v tomto oddíle jsou založeny na tvrzení: Číslo n= 1k a, kde k N, a 9, je dělitelné lichým číslem d různým od pěti, právě když existuje celé číslo m takové, že k ma je číslem d dělitelné. Toto tvrzení dokazovat nebudeme, důkaz ale není složitý, místo toho ukážeme jeho konkrétní aplikace.
D v o j n á s o b e k Jestliže píšeme n= 1k a, k N, a 9 2n= 2k 2a = 19k k 2a. Z poslední rovnosti můžeme vyslovit kritérium dělitelnosti devatenácti: Číslo n= 1k a je dělitelné devatenácti, právě když je devatenácti dělitelné číslo k 2a. To platí proto, že čísla 2 a 19 jsou nesoudělná. Příklad: Je-li n = 1938, je 193 2 8 = 29 a 2 2 9 = 38, což je číslo dělitelné devatenácti, proto je devatenácti dělitelné i číslo 1 938. Kdybychom napsali 2n= 17k ( 3k 2a ), resp. 2n= 15k ( 5k 2a ) atd., mohli bychom analogicky vyslovit kritérium dělitelnosti sedmnácti, resp. patnácti (ale i třemi, či pěti) atd. Kdybychom napsali 2n= 21k ( k 2a ), resp. 2n= 23k ( 3k 2a ) atd., mohli bychom analogicky vyslovit kritérium dělitelnosti jednadvaceti (ale i třemi, či sedmi), resp. třiadvaceti atd. T r o j n á s o b e k, je ( ) Z rovností 3n 29k ( k 3a ) 28k ( 2k 3a ) 27k ( 3k 3a ) = = = atd. můžeme analogicky vyslovit kritéria dělitelnosti devětadvaceti, osmadvaceti (ale i dvěma, sedmi, čtrnácti), sedmadvaceti (ale i třemi, devíti) atd. 3n= 31k k 3a = 32k 2k 3a = 33k 3k 3a atd. můžeme Z rovností ( ) ( ) ( ) analogicky vyslovit kritéria dělitelnosti jednatřiceti, dvaatřiceti (ale i dvěma, čtyřmi, osmi, šestnácti), třiatřiceti (ale i třemi, jedenácti) atd. Č t y ř n á s o b e k Z rovností n 39k ( k a ) 37k ( 3k a ) = = atd. můžeme analogicky vyslovit kritéria dělitelnosti devětatřiceti (ale i třemi, třinácti), sedmatřiceti atd. Z rovností n= 1k ( k a) = 3k ( 3k a) atd. můžeme analogicky vyslovit kritéria dělitelnosti jednačtyřiceti, třiačtyřiceti atd. Úloha: Proveďte stejné úvahy pro pětinásobek, šestinásobek atd.