Dirichletův princip. D1 Z libovolných 82 přirozených čísel lze vybrat dvě čísla tak, aby jejich rozdíl byl dělitelný číslem 81. Dokažte.

Transkript

1 Dirichletův princip U1 Dirichletův princip a jeho důkaz. U2 Na konferenci 70 delegátů hovoří 11 různými jazyky, stejným jazykem nejvíce 15 z nich. Za oficiální je považován takový jazyk, kterým hovoří nejméně 5 delegátů. Dokažte, že to jsou alespoň tři jazyky. D1 Z libovolných 82 přirozených čísel lze vybrat dvě čísla tak, aby jejich rozdíl byl dělitelný číslem 81. Dokažte. D2 Vybereme-lizmnožiny {1,2,3,...,100}libovolně12různýchčísel, pak rozdíl některých dvou z nich bude dvojmístné číslo zapsané dvěma stejnými číslicemi. Dokažte. D3 Dokažte,žeze111různýchcelýchčíselsevždydávybratjedenáct takových, že jejich součet je dělitelný jedenácti. D4 Součin(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)jedělitelnýčíslem12, ať jsou celá čísla a, b, c, d zvolena jakkoliv. Dokažte. D5 Žádnézdaných17celýchčíselnenídělitelnéčíslem17.Dokažte,že součet několika z těchto daných čísel je násobkem čísla 17. D6 Některézčísel1,11,111,1111,... jedělitelnéčíslem2009.dokažte. D7 Dokažte,žez23různýchcelýchčíselsevždydajívybratdvětaková, že jejich druhé mocniny končí stejným dvojčíslím.

2 D8 Je-li přirozené číslo k nesoudělné s číslem 10, pak zápis některé mocniny čísla k v desítkové soustavě končí pětičíslím Dokažte. n D9 Prokaždécelé n >1dokažte:zlibovolných +2různýchcelých 2 čísellzevybratdvěčísla x ytak,abyalespoňjednozčísel x y, x+ybylodělitelnéčíslem n. D10 Součindevítirůznýchpřirozenýchčíseljerovenčíslu Dokažte, že součin některých dvou z nich je druhá mocnina přirozeného čísla. D11 Množina X je tvořena 37 přirozenými čísly, přičemž jejich součin má právě tři různé prvočinitele. Dokažte, že součin tří vhodných různých čísel z X je třetí mocnina přirozeného čísla. Č1 Vybereme-lizmnožiny A={1,4,7,...,97,100}libovolně19různýchčísel,paksoučetněkterýchdvouznichbuderoven104.Dokažte. Č2 Vybereme-lizmnožiny A={1,2,3,...,119,120}libovolnýchpět složených čísel, pak některá dvě z nich budou určitě soudělná. Dokažte. Č3 Jemožné36sochohmotnostech490kg,495kg,500kg,...,665kg naložitnasedmaut,má-likaždéznichnosnost3tuny? Č4 Tabulka6 6jezaplněnačísly 1,0,1.Sečtemečíslavjednotlivých řádcích,sloupcíchiobouúhlopříčkách.dostaneme6+6+2=14 součtů. Dokažte, že některé dva z nich se sobě rovnají.

3 Č5 Vkaždémpolitabulky14 14jezapsánojednozčísel1,2,3,...,2008. Dokažte, že v tabulce lze vyznačit dva pravoúhelníky P a Q, jejichž vrcholy se nacházejí ve středech polí a jejichž strany jsou rovnoběžné sestranamipolí,atotak,žesoučtyčtyřčíselvpolíchvrcholů Pse rovná obdobnému součtu pro pole vrcholů Q. Č6 Dopolíčektabulky10 10zapíšemelibovolnáceláčíslatak,abyse žádná dvě čísla, která spolu sousedí ve stejném řádku nebo sloupci, nelišilaovícenež5.dokažte,ževtabulcesevždynajdoudvěstejná čísla. Č7 Vybereme-lizmnožiny A={1,2,3,...,99,100}libovolných21různýchčísel,najdousemezivybranýmičtyřirůznáčísla x, y, u, v taková,že x+y= u+v.dokažte. Č8 Prokaždoudesetiprvkovoumnožinu M {1,2,3,...,99}senajdou takovédvěneprázdnédisjunktnípodmnožiny X Ma Y M,že součetvšechčíselzxserovnásoučtuvšechčíselzy.dokažte. Č9 Každýznkamenů,kde n 2jedanéčíslo,vážícelýpočetliber, každý jednotlivě méně než n liber, dohromady méně než 2n liber. Dokažte, že několik z kamenů váží dohromady přesně n liber. Č10 Karelse50dnízaseboupřipravovalkmaturitězM.Každýdenvyřešil aspoň jednu úlohu, celkem to bylo 79 úloh. Dokažte, že existuje jeden nebo několik po sobě jdoucích dní, ve kterých Karel celkem vyřešil právě 20 úloh. Č11 Dokažte,žeprokaždé n Nplatí: Vybereme-lizmnožiny {1,2,3,...,2n}libovolných n+1různých čísel, bude některé vybrané číslo dělitelné jiným vybraným číslem. Č12 Prolibovolnádanáreálnáčísla x 1,x 2,...,x n existujereálnéčíslo x takové,ževšech nsoučtů x+x 1,x+x 2,...,x+x n jsouiracionální čísla. Dokažte.

4 Č13 Dokažte,žeprokaždéreálnéčíslo xakaždé k Nexistujíčísla m,n Ztaková,že1 n ka x m n < 1 kn. Č14 Zformulujte a dokažte Dirichletovu aproximační větu. Č15 Dokažte, že nerovnost m 2 n > 1 (2+ platíprokaždý 2)n 2 zlomek m,kde m,n Nan < m <2n. n Č16 Dokažte,žeexistujíčísla a,b,c Z,každévabsolutníhodnotěmenší než10 6,prokteráplatí0 < a+b 2+c 3 < G1 Jaký největší počet králů můžeme umístit na šachovnici, aby se žádní dva navzájem neohrožovali? G2 Je-li na šachovnici libovolně rozmístěno 33 věží, pak některých pět má tu vlastnost, že žádné dvě se navzájem neohrožují(po odebrání ostatních, aby nepřekážely). Dokažte. G3 Dokažte, že žádný rovnostranný trojúhelník T nelze úplně pokrýt dvěmamenšímirovnostrannýmitrojúhelníky T 1, T 2. G4 Rovnostranný trojúhelník je úplně pokryt pěti menšími navzájem shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Dokažte, že na pokrytí stačí čtyři z nich.

5 G5 Vzahradě80m 90mroste365stromů.Můžemezaručit,ževněkteréobdélníkovéčásti5m 8mrostouaspoň3stromy? G6 Zvolíme-livečtverciostraně alibovolně5bodů,pakněkterédva znichmajívzdálenostnejvýše 1 2 a 2.Dokažte. G7 Vybereme-li v rovnostranném trojúhelníku o straně a libovolně 10 bodů, pak vzdálenost některých dvou vybraných bodů je nejvýše 1 3 a.dokažte. G8 Večtverciostraně1mjelibovolněrozmístěno51bodů.Dokažte, ženěkterétřiznichležívkruhuopoloměru 1 7 m. G9a Večtverciostraně10cmjelibovolnězvoleno201bodů.Dokažte, ženěkterétřiznichležívtrojúhelníkuoobsahu1cm 2. G9bVečtverciostraně10cmjelibovolnězvoleno201bodů.Dokažte, ženěkterétřiznichležívtrojúhelníkuoobsahu 1 2 cm2. G10 Každýbodčtverceostraně10cmjeobarvenjednouzedvoubarev. Dokažte, že některé tři body téže barvy jsou vrcholy trojúhelníku oobsahuaspoň25cm 2. G11 Každýbodrovinyjeobarvenjednouzedvoubarev.Ukažte,ženěkterý obdélník má všechny vrcholy stejné barvy. G12 Dokažte, že z libovolných sedmi vrcholů pravidelného 19-úhelníku některé čtyři tvoří vrcholy lichoběžníku.

6 K1 Najednánípřišlo nobchodníchpartnerů.každýznichsizapsal do svého záznamníku počet všech přítomných, se kterými už dříve osobně jednal. Dokažte, že některé dvě osoby si zapsaly totéž číslo. K2 Vautobuseje38cestujících,přitomti,kteříseneznají,majímezi cestujícími společného známého. Dokažte, že některý cestující má v autobuse aspoň sedm známých. K3 Deset rodin z jednoho domu trávilo zahraniční dovolenou. Každá jela jinam a poslala domů pohlednice pěti z ostatních rodin. Dokažte, že některé dvě rodiny si poslaly pohlednice navzájem. K4 Každý z deseti přátel dostal kartičku, na kterou napsal své čtyři nejoblíbenější měsíce kalendářního roku. Dokažte, že některé dva měsíce jsou současně zapsány na nejméně dvou kartičkách. K5 Vlibovolnéskupiněšestilidísenajdoutřilidé,kteřísenavzájem znají, nebo tři lidé, kteří se navzájem neznají. Dokažte. K6 Každídvaze17vědcůsinavzájemdopisujíoprávějednomzetří témat T 1, T 2, T 3.Dokažte,ženěkteřítřivědcisinavzájemdopisují ostejnémtématu T i. K7 Tenisový turnaj osmi hráčů se hrál systémem každý s každým jeden zápas.dokažte,želzeurčithráče A, B, C, Dtak,žehráč Aporazil hráče B, Ci D,hráč Bporazilhráče Ci Dahráč Cporazilhráče D. K8 Dokažte, že po skončení libovolného tenisového turnaje n hráčů hranéhosystémem každýskaždýmjedenzápas lzehráčeoznačit H 1, H 2,..., H n tak,že H 1 H 2... H n,kde X Y značí,že Xporazil Y. K9 Zedvouznaků A, Blzesestavit2 5 =32pětimístnýchkódů.Kolik (nejvíce)znichlzevybrattak,abysekaždédvazvybranýchkódů lišily v nejméně dvou pozicích?