Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Transkript

1 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby Anotace Práce je určena: 1) pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad). 2) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu; interaktivně: řešení úloh lze zakrýt a nechat pracovat žáky samostatně, pak výsledek (případně i postup) zkontrolovat). 3) pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků). Základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou.

2 ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL Násobek daného čísla je přirozené číslo, které je dělitelné daným číslem beze zbytku. Násobky čísla 3 jsou: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; atd. 5 jsou: 5; 10; 15; 20; 25; 30; atd. Dělitel daného přirozeného čísla je přirozené číslo, kterým můžeme dané číslo dělit beze zbytku. Dělitelé čísla 12 jsou: 1; 2; 3; 4; 6; jsou: 1; 23 Znaky dělitelnosti Přirozené číslo je dělitelné: dvěma - má-li na konci 0; 2; 4; 6; 8 třemi - je-li jeho ciferný součet dělitelnými třemi Např. Číslo 1629 je dělitelné třemi, neboť jeho ciferný součet = 18 je dělitelný 3. čtyřmi - je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi Např je dělitelné čtyřmi 2014 není dělitelné čtyřmi pěti - má-li na konci 0 nebo 5 šesti - je-li dělitelné dvěma a třemi zároveň osmi - je-li poslední trojčíslí dělitelné osmi Např poslední trojčíslí 216 : 8 = 27 je dělitelné osmi je dělitelné osmi Např není dělitelné osmi devíti - je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti deseti - má-li na konci 0. Např. číslo je dělitelné devíti, neboť jeho ciferný součet = 27 je dělitelný 9. jedenácti - jestliže součet číslic lichých řádů je roven součtu číslic sudých řádů anebo se tyto součty liší o násobek 11 (tj. rozdíl těchto součtů je dělitelný 11); možná rychlejší je hned zkusit vydělit 11

3 Např = = 6 součty číslic se rovnají je dělitelné 11 Zk : 11 = 483 Např = = 1 součty číslic se liší o násobek 11 číslo 9130 je dělitelné 11 Zk : 11 = 830 dvanácti - je-li dělitelné 3 a 4 zároveň dvaceti, dvaceti pěti a padesáti - právě když je poslední dvojčíslí dělitelné dvaceti (dvaceti pěti, padesáti) Nalezení všech dělitelů přirozeného čísla Najděte všechny dělitele a) čísla 102 c) čísla 121 b) čísla 196 d) čísla 2003 Dělitele zapíšeme přehledně do sloupců (součin dvou dělitelů na stejném řádku musí dát dané číslo). Postupujeme podle znaků dělitelnosti a) 102 b) celkem 8 různých dělitelů celkem 9 různých dělitelů c) 121 d) celkem 3 různé dělitele celkem 2 různé dělitele Najděte všechny dělitele čísel a) 825 b) 111 c) 720 d) 2200

4 Sudá přirozená čísla jsou čísla dělitelná dvěma (beze zbytku), obecně je lze vyjádřit ve tvaru součinu: n = 2 k, kde k N Lichá přirozená čísla dávají při dělení dvěma zbytek 1, obecně je lze zapsat ve tvaru: n = 2 k + 1, kde k N 0 (n = 2 k 1, kde k N) Zbytkový tvar přirozeného čísla n se nazývá výraz n = m. k + z, kde n, m N, m > 1 k N 0 z N 0, 0 z < m z..... je zbytek při dělení čísla n číslem m. Zapište obecně přirozené číslo, které při dělení číslem 3 dává zbytek a) z = n = 3 k, kde k N b) z = n = 3 k + 1, kde k N 0 c) z = n = 3 k + 2, kde k N 0 Pomocí proměnné k N 0 nebo k N vyjádřete libovolné přirozené číslo, které je: a) násobkem n = 5 k, kde k N nebo n = 5 k + 5, kde k N 0 b) při dělení 5 dává zbytek n = 5k + 3, kde k N 0 c) je liché a při dělení 5 dává zbytek 3... n = 5.(2k) + 3 = 10k + 3, kde k N 0 d) sudé a při dělení 5 dává zbytek n = 5.(2k + 1) + 3 = 10k + 8, kde k N 0 Zapište libovolné přirozené číslo n, které při dělení číslem 4 dává zbytek a) z = n = 4 k, kde k N 0 b) z = n = 4 k + 1, kde k N 0 c) z = n = 4 k + 2, kde k N 0 d) z = n = 4 k + 3, kde k N 0

5 Zápis k n znamená, že přirozené číslo n je dělitelné číslem k. 4 n znamená, že přirozené číslo n je dělitelné 4 (čte se: 4 dělí n) 5 n přirozené číslo n dělitelné 5 Soudělná čísla jsou přirozená čísla, která mají alespoň jednoho společného dělitele většího než 1 (resp. celá čísla, která mají alespoň jednoho společného dělitele různého od 1 a 1). Jsou čísla 69 a 27 soudělná? Společní dělitelé jsou 1 a 3 69 a 27 jsou čísla soudělná. Nesoudělná čísla jsou přirozená čísla, která nemají žádného společného dělitele kromě čísla 1 (resp. celá čísla, jejichž jedinými společnými děliteli jsou čísla 1 a 1). Jsou čísla 49 a 18 soudělná nebo nesoudělná? Společným dělitelem je pouze číslo 1 49 a 18 jsou čísla nesoudělná. Společných dělitelů soudělných čísel užíváme při krácení zlomků., tj. při úpravě zlomků na základní tvar. Zkraťte zlomky na základní tvar: a) = b) =

6 Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má p r á v ě d v a různé dělitele: číslo 1 a samo sebe. Nejmenším prvočíslem je číslo 2, dále 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; Eratosthenovo síto je starý postup hledání prvočísel postupným vymazáním násobků čísla 2, potom násobků čísla 3, dále násobků 5 (z tabulky za sebou zapsaných přirozených čísel > 1).... atd. tak dlouho, až zůstanou jen prvočísla: atd. Číslo složené je přirozené číslo, které má více jak dva (tj. nejméně tři) různé dělitele. Např. číslo 15 má dělitele: 1; 3; 5; 15 číslo 9 má dělitele: 1; 3; 9 číslo 26 má dělitele: 1; 2; 13; 26 Poznámka: číslo 1 není ani prvočíslo ani číslo složené Rozklad na prvočinitele je rozklad složeného čísla na součin prvočísel (prvočinitelů): 225 = = = = = Základní věta aritmetiky Každé přirozené číslo n > 1 lze napsat jediným způsobem ve tvaru součinu prvočísel (resp. mocnin prvočísel): n = p. p. p. r1 r2 r r p k k kde p 1 < p 2 <..... < p k jsou prvočísla a r 1, r r k N.