Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:
|
|
- Žaneta Janečková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje Zavedení a vysvětlení nového učiva Nový pojem nebo postup Řešené úlohy s pod robným vysvětlujícím komentářem Závěrečné shrnutí na konci kapitoly.. Základní sada úloh k procvičení, na kterou navazují úlohy v pracovním sešitě. Výsledky těchto úloh jsou uvedeny na konci učebnice. Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti: Illustrations Martin Bašar, DiS. NOVÁ ŠKOLA, s.r.o., 06 ISBN
2 NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE Nejmenší používaná česká mince má hodnotu Kč. 0 těchto mincí můžeme nahradit desetikorunou. 0 desetikorun nebo 0 0 korunových mincí můžeme nahradit stokorunou. Pro nahrazení 0 stokorun, popř. i korunových mincí, máme k dispozici tisícikorunovou bankovku. Bankovku s hodnotou = Kč už k dispozici nemáme. V jiných měnách však najdeme, nebo jsme v historii mohli nalézt, i bankovky mnohem vyšších hodnot. Na začátku 0. století, po první světové válce, postihla Německo hyperinflace nekontrolovatelný pokles hodnoty peněz. Počátkem listopadu 93 bylo nutné za dvoukilový bochník chleba zaplatit neskutečných 40 miliard marek ( marek). Podaří se vám vyhledat obrázky bankovek z této doby Můžeme se dostat do situace, kdy musíme zapsat součin několika (někdy i velkého množství) stejných činitelů. Uvažujme např., že máme k dispozici dvě barvy (např. bílou a šedou) a vybarvujeme jimi čtverečky. Když vybarvíme jeden čtvereček, máme možnosti, může být bílý, nebo šedý: Když jsou dva čtverečky vedle sebe (a nemůžeme jejich pořadí zaměňovat), jsou možnosti 4: Při určování počtu všech možností můžeme postupovat tak, že první čtvereček vybarvíme bíle, nebo šedě (to jsou dvě možnosti) a druhý čtvereček pak zase vybarvíme buď bíle, nebo šedě (ke každé volbě barvy prvního čtverečku tak máme dvě možnosti pro druhý čtvereček). Proto máme celkem = 4 možnosti, jak vybarvit dvojici čtverečků. Když je třeba vybarvit tři čtverečky vedle sebe, můžeme postupovat podobně. Z obrázku je patrné, že možností, jak trojici čtverečků vybarvit, je celkem = 8: MOCNINA
3 NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE Kdybychom měli vybarvit čtveřici čtverečků, bylo by celkem = 6 možností, pro pětici čtverečků = 3 možností atd. Je jedno, zda jsou čtverečky vedle sebe v řadě, nebo jsou uspořádány do jiného útvaru, třeba obdélníku. Výpočet počtu možností vybarvení bude stejný. Proto například čtverečků sestavených do obdélníku 3 krát 4 čtverečky můžeme naším postupem vybarvit = způsoby, obdélník sestavený ze 48 čtverečků pak = způsoby. 48 činitelů činitelů Zapíšete, kolika způsoby vybarvíte tři čtverečky, když máte na výběr více barev (např. bílou, žlutou, červenou a modrou) A kolik je možností pro obarvení větších útvarů ještě více barvami Jaké výpočty zvládne vaše kalkulačka Ačkoli obdélník sestavený z 6 8 = 48 čtverečků není nijak velký, počet možností, jak jej vybarvit dvěma barvami, je obrovský, jde o číslo s místy. Pro zjednodušení zápisu čísel, která vznikla jako součin více stejných činitelů, proto používáme zápis, jemuž říkáme mocnina. Píšeme např. takto: 3. 3 = 3 = 9 činitelé.. 3 = = 3 činitelé,.,.,.,., =, =,488 3 činitelů Násobíme-li několik stejných činitelů, můžeme tento součin zapsat tak, že napíšeme tohoto činitele nazýváme jej základ mocniny a vpravo nad něj malým číslem uvedeme, kolik jich násobíme toto číslo nazýváme mocnitel nebo také exponent. Zápis 3 pak čteme tři na druhou. Tento zápis i výsledek výpočtu, tedy číslo 9, nazýváme druhou mocninou čísla 3. Podobně zápis 3 čteme pět na třetí a číslo nazýváme třetí mocninou čísla. a. a. a..... a. a = a n n činitelů a n mocnitel (exponent) základ mocniny U zlomků používáme v zápise mocniny závorku, aby bylo zřejmé, jaký základ je umocňován. Píšeme tedy např. ( ) 4 = a zápis ( ) 4 čteme dvě pětiny, to celé na čtvrtou, zatímco zápis 4 znamená, že umocňujeme pouze čitatele, čteme jej na čtvrtou lomeno pěti. mocnina: anglicky power [ˈpaʊə(r)] německy die Potenz 3
4 NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE Mocninu s exponentem, tedy první mocninu, zavádíme takto: 3 = 3;,7 =,7; ( 3) = 3 ; obecně a = a Zápisu a n říkáme mocnina. Jde o jiný zápis součinu a a a a a. Číslo a se nazývá základ mocniny, přirozené číslo n mocnitel, popř. exponent. Zavádíme, že a = a. Když počítáme mocninu, říkáme také, že umocňujeme. Zapište jako mocninu a zápis zdůvodněte. a) b) 3,09 3,09 3,09 c) a) 4, protože v součinu jsou 4 činitelé. b) 3,09 3, protože v součinu jsou 3 činitelé. c) ( )6, protože v součinu je 6 činitelů. n stejných činitelů Mocninu zapište jako součin činitelů. a) 8 b),8 c) ( 9)7 a) 8 = 8 8 b),8 =,8,8,8,8,8 c) ( 9)7 = Mocninu zapište jako součin stejných činitelů a vypočítejte ji. a) 0 b) 4 3 c) ( ) d) 0,3 e) 8 f) 9 a) 0 = 0 0 = 00 b) 4 3 = = 64 c) ( = ) = 3 d) 0,3 = 0,3 0,3 = 0,09 e) 8 = 8 f) 9 = = Víme, že při násobení čísel můžeme zaměňovat pořadí činitelů: 7 = 3, 7 = 3, 7 = 7 a b = b a Podobně můžeme počítat i v případě více činitelů a usnadnit si tak výpočet, např.: 3 7 = 3 7 = = 0 = 0 4 exponent (mocnitel): anglicky exponent [ɪkˈspəʊnənt] německy der Exponent
5 NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE 4 Viktor měl vypočítat zadané úlohy co nejvýhodněji. Počítal správně a) 0,, 4 0, = 0, 4, 0, = 0,3 = 0,6 b) = = = Ano, Viktor výhodně zaměnil pořadí činitelů a úlohy správně vyřešil. V učebnici Dělitelnost jsme přirozená čísla rozkládali na součin prvočísel. Příklady těchto rozkladů jsou např.: 7 = 3 3, 0 = 3 nebo 448 = 7 Ukázali jsme si, jak lze součin více stejných činitelů zapsat jako mocninu. Proto můžeme i rozklad přirozeného čísla na prvočinitele psát pomocí mocnin s tím, že exponenty rovny obvykle neuvádíme: 7 = 3 3, 0 = 3, popř. 448 = 6 7 Máme-li prvočísla v rozkladu uspořádána jinak než podle velikosti, zaměníme pořadí činitelů a pak můžeme rozklad snadno zapsat pomocí mocnin: 600 = 6 00 = = 3 = 3 = 3 3 Čísla rozložte na součin prvočísel a zapište pomocí mocnin. a) 6 b) 08 c) 44 a) 6 = 8 = 4 = = 4 b) 08 = 4 = 7 = 3 9 = = 3 3 c) 44 = 089 = 9 = 3 3 = 3 V učebnici Kladná a záporná čísla jsme vysvětlili, jak počítáme součiny, ve kterých vystupují záporná čísla. Víme, že součin dvou záporných čísel je číslo kladné a že součin záporného čísla s kladným je číslo záporné. Je-li v součinu sudý počet záporných čísel, je výsledek kladné číslo, je-li v takovém součinu lichý počet záporných čísel, výsledek je číslo záporné. 3 ( ) ( ) ( 3) = ( 3 3) = ( 3 3 ) = 0, 3 (,) 4 = 0, 3, 4 =,, 4 =,8 4 = 3,6 4 = 4,4 záporné číslo: anglicky negative number [ˌneɡətɪv ˈnʌmbə(r)] německy die negative Zahl
6 NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE To platí i v případě stejných činitelů: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( = 3) = = 8 Pro zápis součinu, ve kterém vystupuje více stejných činitelů, můžeme použít mocninu. Lichý počet stejných činitelů zapíšeme jako mocninu s lichým exponentem, sudý počet stejných činitelů jako mocninu se sudým exponentem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( = 3) ( = 3)4 8 Stejně jako v případě mocniny zlomku, používáme i v případě mocniny záporného čísla závorku, aby bylo zřejmé, jaký základ je umocňován. Tedy zápis ( ) čteme minus dvě, to celé na pátou a zápis ( 3) 4 čteme minus jedna třetina, to celé na čtvrtou. 6 Je-li základ mocniny kladné číslo a exponent číslo sudé nebo liché, jde vždy o kladné číslo. Je-li základ mocniny záporné číslo a exponent číslo liché, jde o záporné číslo. Je-li základ mocniny záporné číslo a exponent číslo sudé, jde o kladné číslo. Bez počítání určete, zda bude výsledek výpočtu mocniny kladné, nebo záporné číslo. Zdůvodněte. a) ( 8) b) ( ) 3 c) ( 7) d) ( 0,) e) ( ) f) (,) 0 U úloh a) a f) je exponent sudé číslo, proto výsledek bude kladné číslo. U úloh b), c), d) a e) je exponent liché číslo, proto výsledek bude záporné číslo. 7 Vypočítejte. a) ( ) b) ( ) 3 c) ( 4 3) a) ( ) = b) ( ) 3 = c) ( 3) d) ( ) ( 3) 3 e) ( ) 3 ( ) ( 3) 4 = 6 8 d) ( ) ( 3) 3 = 4 ( 7) = 08 e) ( ) 3 ( ) ( 3) = ( ) ( 3) ( 3) = 96 6 základ mocniny: anglicky base [beɪs] německy die Potenzbasis
7 NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE Zápis a n, kde a je libovolné a n přirozené číslo, znamená jiný zápis součinu a a a a a. Zápis a n se nazývá n-tá mocnina. n stejných činitelů Číslo a se nazývá základ mocniny a číslo n mocnitel nebo také exponent. Lichá mocnina záporného čísla je číslo záporné, sudá mocnina záporného čísla je číslo kladné. Úlohy k procvičení:. Přečtěte zápisy mocnin. a) 8 b) 3 3 c),9 d) ( 3 7)4 e) ( 4) 0 f) 0,7 g) 0,33 9. Vypočítejte zpaměti druhé mocniny čísel 0; ; 0; ; 8; 0,; 3 ; 40 a Zapište jako součin stejných činitelů. a) 3 b) 0,7 c) ( d), 9)4 e) ( 3) f) ( 3) 4 g) Z čísel, 3, 4, 9, 0, 64, 77, 8 a 00 vyberte ta, která jsou druhými mocninami přirozených čísel, a určete jejich základ druhé mocniny.. Písemným násobením vypočítejte dané mocniny. a) 43 b) 0,9 4 c) 0 d) Pomocí mocnin zapište rozklady na prvočinitele. a) b) 3 c) Rozložte daná čísla na součin prvočísel a zapište pomocí mocnin. a) 48 b) 00 c) 6 d) Zadané mocniny správně přečtěte a určete, zda bude výsledek výpočtu mocniny kladné, nebo záporné číslo. a) ( 3) 9 b) ( ) 4 c) ( 0,0) d) ( 3 ) 9. Vypočítejte pomocí matematických tabulek nebo kalkulačky. a) 77 b) ( 08) 3 c) ( 6 d) ( 90) 7) 0. Vytvořte správné dvojice. 4 ( 4) ( 3) ( ) kladné číslo: anglicky positive number [ˌpɒzətɪv ˈnʌmbə(r)] německy die positive Zahl 7
8 VÝSLEDKY Kapitola. a) Osm na druhou; b) tři na třetí; c) dvě celé devět desetin na pátou; d) tři sedminy, to celé na čtvrtou; e) minus čtyři, to celé na desátou; f) nula celá sedm desetin na prvou; g) nula celá třicet tři setiny na devátou.. 00; ; 0; ; 64; 0,04; 6 9 ; 600; a) ; b) 0,7 0,7; c) ; d),,,,,; e) 3 3 ; f) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3); g) Druhými mocninami jsou: ; 4; 9; 64; 8; 00; základ: ; ; 3; 8; 9; 0.. a) 849; b) 0,66 ; c) 0 0; d) a) ; b) 3 3 ; c) a) 4 3; b) ; c) 4 ; d) a) Minus tři, to celé na devátou; ; b) minus dvě, to celé na čtvrtou; +; c) minus nula celá jedna setina, to celé na prvou; ; d) minus jedenáct třetin, to celé na druhou; a) 99; b) 9 7; c) 6 79 ; d) = 3; 4 = 6; ( 4) 4 = 6; 3 3 = 7; ( 3) = 9; ( ) 7 = 8. Kapitola. a) 6; b) 4; c) 4; d).. a) >; b) =; c) >; d) >. 3. a) 000; b) 0 000; c) 0 000; d) ; e) a) 8 00; b) ; c) 0,000 07; d) ; e) 0, a) 8 ; b) 0 8 ; c) ( 9) 6 ; d) ( 3) 4 ; e) 9 ; f) 8 ; g) 7 6 ; h) ( 8) 8 ; i) 3 9 ; j) 8 ; k) 00 0 = ; l),6 ; m) ( ) 6 ; n) 4 40 ; o) ( 4 9). 6. a) 8 ; b) ; c) ; d) 7 7 ; e) 3 4 ; f). 7. a) 0 ; b) 0 3 ; c) 0 6 ; d) 0 ; e) 0 ; f) a) 0,00; b) ; c) 0, ; d) ; e),. 9. a) <; b) >; c) >. 0. a) 3 60 = ; b) 0,69 = ; c),98 = ; d) 000,006 = ; e) 80,060 4 = Kapitola 3. a) 3; b) 8; c) neexistuje; d) 3; e) 0; f).. a) Platí, protože = 4 < < 3 = 9; b) neplatí, protože 9 = 8 < 90; c) neplatí, protože 3 = > 30; d) neplatí, protože 3 =. 3. a) 3 cm; b) 0,4 cm; c) dm; d) mm. 4. Chybně a, c, d.. 6, m. Kapitola 4. a) 6; b) ; c) 8; d) 7.. a) 3; b) 4 ; c) 3 4; 3 d) ; 3 e) a) ; b) ; c) ; d) a) ; b) 37; c) ; d) ; e) 0,6; f) 3 8. Kapitola. a) 0, m ; m ; 700 m ; 300 m ; b) 0,7 ha; 0,00 ha; 0,043 9 ha; c) cm 3 ; 0,07 cm 3 ; 300 cm 3 ; cm 3 ; d) ml; 0 ml; 000 ml; 7,3 ml..,04 a l. Kapitola 6. a) Čtyřnásobek čísla x zmenšený o 3; b) dvojnásobek součtu čísel x a y; c) druhá odmocnina součinu čísel x a y; d) součet třetích mocnin čísel x a y; e) rozdíl součinu čísel x a y a podílu čísel x a y.. a) k ; b) k; c) k 3 ; (k ) d). 3. a) 6; b) 4; c) 7; d) a) 4x; b) 4y; c) a; d) 6x + y +.. a) x + 6y; b) 3y + 3z; c) 4ab 3a; d) a 8b. Kapitola 7. 7x 3 ; 7x 3 ; 7x 4 ; 7x 4.. a) x; b) 6a + 6; c) 9z + 4y; d) a ; e) c + 8b + ; f) 0,3m +,9n ; g) x 3; h) y; i) 4 a + 7 ; j) 6x; k) 8x3 ; l) 0x y 4 ; m) 0,4x y; n) x; o) 4,y; p) x; q) 3xz. 3. a) x 7; b) xy 6xy + 4; c) 0x + ; d) x 3 x; e) 3y 3y 4 + y 3 ; f) 3 y3 + 3y. Kapitola 8. a) x 3 = ; b) 8,9 + 38, + 8,7 + 6,9 = x.. Nemají, x = ; y = a) x = ; b) x = ; c) x = ; d) x = 4; e) x = 4; f) x = 7; g) x = 3; h) x = a) x = 33; b) x = 6; c) x = ; d) x = ; e) x = 0; f) x = ; g) x 0, rovnice nemá řešení; h) x R, rovnice má nekonečně mnoho kořenů.. a) x = ; 3 b) x 0, rovnice nemá řešení; c) x = 3; d) x R, rovnice má nekonečně mnoho kořenů. Kapitola 9. Ano, může.. a = 3 cm, b = 0 3 cm. 3. Ano, stihne lahví o objemu 0,7 l, 30 lahví o objemu l let. 7
MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. učebnice
MATEMATIKA Výrazy a rovnice učebnice OBSAH NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE Mocnina... 2 2 S MOCNINAMI MUSÍME POČÍTAT Přednost operací, pravidla pro počítání s mocninami... 8 3 KTERÉ ČÍSLO MÁME UMOCNIT,
VíceMATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit
MATEMATIKA Výrazy a rovnice pracovní sešit Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzentky: Mgr. Barbora Stušová; doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D. OBSAH
VíceMocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.
Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat
VíceARITMETIKA - TERCIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ARITMETIKA - TERCIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceTypové příklady k opravné písemné práci z matematiky
Typové příklady k opravné písemné práci z matematiky Př. 1: Umocni (bez tabulek, bez kalkulačky): 2 2 4 2 9 2 10 2 100 2 1000 2 20 2 200 2 500 2 3000 2 80 2 900 2 300 2 40000 2 0,1 2 0,001 2 0,05 2 0,008
VícePrvočísla a čísla složená
Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
VíceVariace. Číselné výrazy
Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty
VíceCykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.
Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.
VíceSTŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
Více5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel
Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin
VíceMATEMATIKA 6. ROČNÍK. Sada pracovních listů CZ.1.07/1.1.16/
MATEMATIKA 6. ROČNÍK CZ.1.07/1.1.16/02.0079 Sada pracovních listů Resumé Sada pracovních listů zaměřená na opakování, procvičení a upevnění učiva 6. ročníku přirozená čísla a desetinná čísla. Může být
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceDRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová
DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák
Více3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Vícea jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2
Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny
. Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceMATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)
MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
VíceGymnázium. Přípotoční Praha 10
Gymnázium Přípotoční 1337 101 00 Praha 10 led 3 20:53 Přípravný kurz Matematika led 3 21:56 1 Datum Téma 9.1.2019 Číselné výrazy-desetinná čísla, zlomky, počítání se zlomky, zaokrouhlování, druhá mocnina
Více7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky
0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná
VíceVariace. Mocniny a odmocniny
Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených
Více1. Pojem celé číslo. 2. Zobrazení celých čísel. Číselná osa :
C e l á č í s l a 1. Pojem celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek, 8 korun apod). Desetinná čísla
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VíceLogaritmy a věty o logaritmech
Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Logaritmy Definice
VíceProgramy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE
Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceMateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12
VY_32_INOVACE_DUM.M.19 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Třída: Anotace: Matematika a její aplikace Mocniny,
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceInstrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.
Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VícePředmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC
Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání
VíceSčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444
ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní
VíceRozklad na součin vytýkáním
Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceAlgebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní
VíceCelá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.
Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceVyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu
Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu
VíceSouhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze
Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš
METODICKÝ LIST DA10 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti:
Více3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose
3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,
Více4a) Racionální čísla a početní operace s nimi
Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceČíslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta
1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
VíceDělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Více0,2 0,20 0, Desetinná čísla II. Předpoklady:
1.2.2 Desetinná čísla II Předpoklady: 010201 Pedagogická poznámka: Je třeba zahájit tak, aby se stihl ještě společný začátek příkladu 7 (pokud někdo příklad 7 začne s předstihem, nevadí to, ale jde o to,
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceÚvod do teorie dělitelnosti
Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VíceKód uchazeče ID:... Varianta: 13
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 13 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 20 % lednové mzdy. Následně
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum
VíceTest žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:
Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Na obrázku jsou zakresleny rovinné
VíceMATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
MATA Př 3 Číselné soustavy Poziční číselná soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel dokonce pokud se dnes mluví o číselných soustavách, jsou tím obvykle myšleny soustavy poziční.
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY
ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceMatematika. 18. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze
Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 8. října 206 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 / 72 Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceKritéria dělitelnosti
Kritéria dělitelnosti Jaroslav Zhouf, Pedf UK Praha Kritéria dělitelnosti slouží k rozhodování o tom, zda je určité přirozené číslo n dělitelné určitým přirozeným číslem k. Každé takové kritérium se snaží
VíceVolitelné předměty Matematika a její aplikace
Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky
VícePřevrácená čísla
..0 Převrácená čísla Předpoklady: 007 Př. : Vypočti. Výsledek uveď v základním tvaru. a) 5 7 b) c) 0 9 d) 4 0 8 7 0 6 6 5 8 a) 5 7 5 = 7 = 4 0 7 5 4 b) 6 = = 8 6 c) 0 9 0 9 = = 7 0 9 0 d) 6 6 8 4 = = 5
VíceŘešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0
Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme
VíceAdriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková
VY_42_INOVACE_MA1_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace a zkvalitnění
VíceAritmetická posloupnost
1. Zjistěte vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4;... 2. V aritmetické posloupnosti z daných údajů vypočítejte naznačené hodnoty: a 4 = 11 a (a) 1 =? a 1 = 2 n =? a 5 = 14 d =? (d) d = 3 a
VíceAlgebraické výrazy pro učební obory
Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
VíceMatematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3
1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225
VíceRacionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:
Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.
VíceZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára
9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly
METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceM - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl
6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceAlgebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.
Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY
ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin
VíceŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM
Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání
VíceMěsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.
Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání
VíceRacionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se
teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří
VíceTéma 1: Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel)
Téma : Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel) Příklady Číselná osa ) Která z následujících čísel neleží
VícePoznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:
ARNP 1 2015 Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5,
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
Více1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30.
ARNP 1 2015 Př. 9 Společný dělitel a společný násobek Společný dělitel Příklad 1: Najděte množinu všech dělitelů čísla 18 a množinu všech dělitelů čísla 30. Řešení: Množina všech dělitelů čísla 18 je množina
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Více