Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Transkript

1 Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen Číselná osa Úpravy algebraických výrazů nerovnice Úpravy algebraických výrazů Průběh funkce Logaritmická a exponenciální rovnice Obsah čtverce Měřítko na mapě Pravoúhlý trojúhelník (Pythagorova věta) Kombinatorika Algebraické rovnice Pravděpodobnost (neslučitelných jevů) Trojčlenka a procenta Obvod kružnice Goniometrické funkce pravoúhlého trojúhelníku, sinová věta Objem hranolu Objem koule Graf lineární a kvadratické funkce Rovnice přímky v rovině Aritmetická posloupnost

3 Obsah Státní maturita z matematiky VYŠŠÍ úroveň obtížnosti 24 MAGVD10C0T01 říjen Algebraické výrazy Algebraické výrazy Posloupnost, limita posloupnosti Logaritmická rovnice Pravoúhlý trojúhelník Válec a krychle Úprava algebraického výrazu Graf racionální lomené funkce Kružnice v rovině (početně = analytická geometrie) Úloha o (společné) práci Goniometrické funkce Shodná zobrazení v rovině (středová a osová souměrnost, otočení) Stereometrie Úhel přímek = analytická geometrie Geometrická řada Rovnost mnohočlenů Kombinatorika Průměr a procenta Úroky (půjčka) Mocnina komplexního čísla Dělitelnost přirozených čísel

4 Státní maturita z matematiky Úloha = 8 12 ; 1 2 = 6 12 ; 5 6 = Úloha a 2 4 a 7 ( 8 a = a ) 8 = a = 5 8 a 2. 6b 1 2 b = (3 2 ) b 1 2 b = 3b2 3. (c 3 c) : (c 1) = c3 c c 1 = c.(c2 1) c 1 = c.(c + 1). (c 1) c 1 = c.(c + 1) = c 2 + c 4

5 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 3 x 5 2 2x x 5 4x + 10 x x : 3 5 x x 5; ) 5

6 Státní maturita z matematiky Úloha 4 1. s = 0,5(t + u).2 2s = 1.(t + u) 2s = t + u u 2s u = t t = 2s u 2. t = 1 2 z t 1 + z = 2 z t 1 = 2 z.t t.t } {{ 1 } = t.(2 z) 1 = t.(2 z) : (2 z) pro z z = t 6

7 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 5 1. y(1) = 2 1 = 2 ; y(2) = 2 2 = = 2 x = 2 4 = pro x = 4 je y =

8 Státní maturita z matematiky Úloha 6 1. log log x = log x = 4 3 log x = 1 log x = log 10 x = 10 protože rovnají-li se logaritmy o stejném základu, musejí se rovnat jejich argumenty = (5 x ) = 5 x = 5 3x 12 = 3x : 3 4 = x x = 4 protože rovnají-li se mocniny o stejném základu, musejí se rovnat jejich exponenty. 8

9 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 7 P čtverce = a 2 ; a = AB ; P čtverce = a 2 2 = AB = AB = AB. AB ( AB. AB ) 2 = AB. AB AB= B A = (B x A x ; B y A y ) = ({0 ( 5)}; 5 2) = (5; 7) P čtverce = AB. AB= (5; 7).(5; 7) = ( 7).( 7) = = 74 Obsah čtverce je 74 jednotek čtverečních. Úloha cm na mapě 0,5 km ve skutečnosti = 500 m = cm Měřítko mapy je 1 :

10 Státní maturita z matematiky Úloha 9 y = 300 x = = = = = = 90 Ušetříme přibližně 90 kroků. Úloha 10 A, B, C, D } {{ } 11, 12, 13,..., 44, 45 } {{ } 4 35 Lze vytvořit 140 (tj. 4 35) kódů. 10

11 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha x = 0.3 2x + 3 = 0 3 2x = 3 : 2 x =

12 Státní maturita z matematiky 3 2 ( ; 1) 1. A 2. x 3 x = 3.x x 3 = 3x + 3x + 3 4x = 3 : 4 x = (0; 1 2. D 3. x 2 2x = 1 2.2x x 2 = x x F x 6 = x = 3 3 2x = 0 : ( 2) x = 0 0 ( 0,5; 0,5) 4. C 12

13 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 12 dívka = P(D) = 0,6 malá dívka = P(mD) = 0,4 malý chlapec = P(mCh) = 0,3 Označíme-li skupinu (množinu) velkých dívek V D, dětí co nejsou malými dívkami md, malých dětí md (chlapců nebo dívek), velkých chlapců V Ch a chlapců Ch, pak protože jde o jevy vzájemně neslučitelné (žádné dítě například není zároveň chlapcem a zároveň dívkou), platí: P(D) + P(Ch) = 1 (1) P(mD) + P(V D) = P(D) (2) P(mCh) + P(V Ch) = P(CH) (3) P(mD) + P(V D) + P(mCh) + P(V Ch) = 1 (4) 1. P(Ch) (1) = 1 P(D) = 1 0,6 = 0,4 = C 2. P(V D) (2) = P(D) P(mD) = 0,6 0,4 = 0,2 = A 3. P(md)=P(mCh) + P(mD) = 0,3 + 0,4 = 0,7 = F 4. P(mD) = P(Ch) + P(V D) (3,4) = 1 P(mD) = 1 0,4 = 0,6 = E 13

14 Státní maturita z matematiky Úloha 13 Označme instalace x Kč žaluzie x Kč celkem Kč, pak: celkem = žaluzie + instalace = (x + 954) + x = 2x = 2x : = x Kč % 848 Kč y % y = = 32 % = D 14

15 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 14 O půlkružnice = 1 2 π d =. 1 3,14 28 = 43,96 = A 2 15

16 Státní maturita z matematiky Úloha Goniometrické funkce pravoúhlého trojúhelníku cos 75 = 1 c cos 75 = 1 2 c.2 20 cos 75 = c 5,18. = c = B 2. Sinová věta c sin( ) = 10 sin 75. sin 30 sin 30 c = 10 sin 75. c = 5,18 = B 16

17 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 16 V hranolu [dm 3 ] = P podstavy [dm 2 ] výška [dm] = [litr = dm3 ] 0,5 výška = výška = 3 2 [dm] výška = 15 cm = C 17

18 Státní maturita z matematiky Úloha 17 V koule (r) = 4 3 π r3 Při dvojnásobném poloměru: V koule (2r) = 4 3 π (2r)3 = 4 3 π 8r3 = 8 ( 4 3 π r3) Tedy: V koule (2r) = 8 V koule (r) = B 18

19 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 18 19

20 Státní maturita z matematiky f : y = 0,5x 2 f : y = 2 0,5x = E 20

21 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 19 Obecná rovnice přímky je u y x+u x y +c = 0, kde směrový vektor u má souřadnice u = (u x ; u y ). Rovnice zadané přímky má tvar x + y + c = 0 = D Pokud by bylo požadováno i určení členu c, dosadili bychom do rovnice dané přímky souřadnice bodu A. V tomto případě to ale není nezbytně nutné. (0) + (2) + c = c = 0 2 c = 2 21

22 Státní maturita z matematiky Úloha 20 výpočtem Jedná se o rostoucí aritmetickou posloupnost, jejíž diference (rozdíl dvou sousedních členů, tj. rozdíl dvou následujících lichých čísel) je d = 2, kde a 9 = 23. Pro aritmetickou posloupnost platí: a n+1 = a n + d (1) a s = a r + (s r)d (2) součet prvních n členů s n = n 2 (a 1 + a n ) (3) 1. NE, protože ze zadání a tedy také ze vztahu (1) plyne, že rozdíl dvou následujících lichých čísel je ANO, protože ze vztahu (2) plyne: a 12 = a 9 + (12 9)d a 12 = a 12 = a 12 = ANO, protože ze vztahu (2) plyne pro nejmenší člen a 1 posloupnosti: a 1 = a 9 + (1 9)d a 1 = a 1 = a 1 = 7 22

23 nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 4. ANO, protože ze vztahů (3; 2) a předchozího výsledku pro součet čtyř nejmenších členů (prvních čtyř členů) plyne: s 4 = 4 2 (a 1 + a 4 ) s 4 = 2 {7 + [a 9 + (4 9) d]} s 4 = 2 [7 + (23 5 2)] s 4 = 2 ( ) s 4 = 2 20 s 4 = 40 vypsáním členů posloupnosti a a a a a a a a a a a a a

24 Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = = = = 9.(2.5) = 2.(5.9) = = = b = s 2 : t = ( ) = = = = = = = Úloha 2 (a 2 2) 2 4 = a4 4a a 4 + 2a 3 a 3 (a + 2) = a2 (a 2 4) a 3 (a + 2) = (a + 2) (a 2) a (a + 2) = a 2 a 24

25 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha n n > n n > 0 : 3 500n (n 2 + 1) 5(n 2 + 1) > 0 = n n 1 > 0 n 1,2 = 500 ± ( 1).( 1) 2.( 1) = Tedy 499 členů posloupnosti je větších jak = / \ 499,998 0,002 = n (0,002; 499,998) [ ] 300n 2. lim n n = l Hospital 300 = lim n 2n = +0 25

26 Státní maturita z matematiky Úloha 4 x log 4 x+1 = (x + 1) log 8 log (4 x+1 ) x = log 8 x+1 4 x(x+1) = 8 x+1 2 2x(x+1) = 2 3(x+1) 2x(x + 1) = 3(x + 1) 3(x + 1) 2x(x + 1) 3(x + 1) = 0 (x + 1)(2x 3) = 0 Součin se rovná nule, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule. x + 1 = 0 = x 1 = 1 2x 3 = 0 = x 2 = 3 2 Dále jsme při řešení využili následujících vlastností logaritmů a mocnin. Mají-li se rovnat logaritmy o stejném základu, musejí se rovnat jejich argumenty. Mají-li se rovnat mocniny o stejném základu, musejí se rovnat jejich exponenty. 26

27 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 5 Označme y úhlopříčku BD. Potom: sin ϕ = d y sin ε = x y y = d sin ϕ y = x sin ε = d sin ϕ = x sin ε x = d sin ε sin ϕ 27

28 Státní maturita z matematiky Úloha 6 V krychle = a 3 V válce = π.r 2.v V krychle = V válce a 3 = π cm 3 a = 3 100π =. 6, 8 cm Úloha 7 y = x + 2 x + 3.(x + 3) y(x + 3) = x + 2 xy + 3y = x + 2 3y x xy x = 2 3y x(y 1) = 2 3y : (y 1) pro y 1 x = 2 3y y 1 28

29 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 8 1. f(x) = y = 1 1 x + 3 = x = 0 y = 2 3 y = 0 1 = 1 x + 3 x + 3 = 1 x = 2 Průsečíky s osami souřadnic jsou body [0; 2 ] a [-2; 0] graf funkce f(x) 29

30 Státní maturita z matematiky Úloha 9 Náčrtek Střed S = A + C 2 [ = ; ] = [0; 2] = S = [0; 2] 2 2 Poloměr jedna varianta Označíme r vzdálenost středu čtverce S od úsečky AB. Pro další výpočet nejprve určíme vektor AS = S A = (0 (-4); 2 0) = (4; 2) a vektor AB = B A = (2 (-4); -2 0) = (6; -2), přičemž symbolem AS označíme velikost vektoru AS. 30

31 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Z Pythagorovy věty plyne: r 2 2 ( ) = AS 1 2 ( ) 2 ( 2 AB = ) ( 2) 2 = (16 + 4) [ 1(36 + 4)] = 4 = = 10 = r = 10 Poloměr druhá varianta Označíme T = A + B [ = ; 0 + ( 2) ] = [ 1; 1] střed úsečky AB. Potom ST = ( 1 0; 1 2) = ( 1; 3) a poloměr je roven velikosti vektoru ST. r = ST = ( 1) 2 + ( 3) 2 = = 10 = r = 10 Rovnice kružnice (x S x ) 2 + (y S y ) 2 = r 2 = x 2 + (y 2) 2 = 10 Parametrické rovnice kružnice } x = S x + r. cos ϕ pro ϕ [0; 2π] y = S y + r. sin ϕ { x = 10. cos ϕ y = sin ϕ 31

32 Státní maturita z matematiky Úloha 10 Označme x počet výrobků vyrobených šestého dne. Pak příslušný den bylo vyrobeno: 1. den... 3x 4 2. den... 3x 4 3. den... 3x 4 4. den... 3x 4 5. den... 3x 4 6. den... x 7. den... x 8. den... x 9. den... x 10. den... x 11. den... x 12. den... x 13. den... x 14. den... x 15. den... x Celkem za 15 dnů bylo vyrobeno 5 3 x + 10x výrobků x + 10x = x + 40x = x = : 55 x = 160 Za prvních 5 dnů bylo vyrobeno výrobků. 4 Na prvních 5 dnů připadá 600 výrobků. 32

33 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha (cos x sin x) 2 = cos 2 x 2 cos x sin x + sin 2 x = 1 sin 2x = 1. C) 2. cos 2 ( x) + sin 2 ( x) = [cos( x)] 2 + [sin( x)] 2 = [cos x] 2 + [ sin x] 2 = = cos 2 x + sin 2 x = 1 = 2. A) 3. 1 cos 2x = sin 2 x + cos 2 x (cos 2 x sin 2 x) = 2 sin 2 x = 3. D) 33

34 Státní maturita z matematiky Úloha A R B ; E R I = 1. C) 2. D AB I ; G AB F = 2. A) 3. P α E ; O α C = 3. E) 34

35 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 13 = A) 35

36 Státní maturita z matematiky Úloha využití směrových vektorů p : x 3 + y = 0 = p = (1; 3) q : x = 3 = q = (0; 1) jsou směrové vektory zadaných přímek. cos α = p. q p. q = ( 3) ( 3) 2. = 0 3 = Úhel směrových vektorů přímek je: α = arccos( 3 2 ) = 150 Úhel přímek (musí být menší jak 90 ) je: ϕ = = 30 = D) 2. využití normálových vektorů p : x 3 + y = 0 = n p = ( 3; 1) q : x = 3 = n q = (1; 0) jsou normálové vektory daných přímek. cos α = n p. n q n p. n q = ( 3) = = Úhel směrových vektorů přímek je: α = arccos( 3 2 ) = Úhel přímek (musí být menší jak 90 ) je tedy také: ϕ = 30 = D) 36

37 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 15 a n = 4n 1 = a 2 3n 1 = = 40 2 = ; a 2 = = = 4 64 = 1 16 ; a 3 =... q = a n+1 a n = a 2 a 1 = = = 1 2 s = a q = = = = 1 4 = D) 37

38 Státní maturita z matematiky Úloha 16 Jestliže má uvedená rovnice platit pro všechny reálné hodnoty proměnné x, musíme nejprve určit neznámé parametry b a m, které dané rovnici vyhovují. Přitom využijeme některý z následujících postupů, případně jejich kombinaci. Mají-li se rovnat dva mnohočleny, musejí se rovnat jejich koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x. Má-li rovnice platit pro všechny reálné hodnoty proměnné x, tím spíše musí platit pro zvolené konkrétní hodnoty. Tedy rovnost mnohočlenů v obou případech převedeme na soustavu rovnic. Rovnost koeficientů (x + m)(x 2) = x 2 + bx + 8 x 2 2x + mx 2m = x 2 + bx + 8 x 2 mx 2x 2m = bx + 8 u jednotlivých mocnin proměnné x (lineární a absolutní člen) (lineární člen) x 1 : m 2 = b (absolutní člen) x 0 : 2m = 8 m = 4 a po dosazení za m do předchozího vztahu určíme b = 6. Konkrétní hodnoty proměnné x pro dva parametry b a m stačí dvě vhodné x = 2 : 0 = 2 2 } + 2b + 8 b = 6 = B) x = 0 : 2m = 8 m = 4 38

39 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 17 A B C D E F } {{ } 6, 0 až 9 } {{ } 10 = } {{ } } {{ } = = E) písmena číslice 39

40 Státní maturita z matematiky Úloha 18 x zaměstanců je zařazeno do první skupiny s průměrným platem korun y zaměstanců je zařazeno do druhé skupiny s průměrným platem korun φ = = plat 1. sk. plat 2. sk. { }} { { }} { x y x + y } {{ } celkem zaměstnanců (x + y) = x y y = x : 600 4y = 21x.(x + y) Daná rovnice má nekonečně mnoho řešení, proto například volíme x = 4p. Pak y = 21p. Do druhé skupiny je (vyjádřeno v procentech) zařazeno = 21 p 25 p 100 = 84 % = C) y x + y 100 = 21p 4p + 21p 100 = 40

41 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 19 Půjčka = Kč ; 5 splátek po (à) Kč = Kč. Z toho Kč představuje platbu úroků a Kč bylo použito na umoření jistiny (splátku dluhu), protože: = Na platbu úroků [%] šlo úroky = splátky =. 26,6 % = B) 41

42 Státní maturita z matematiky Úloha 20 42

43 vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 [ z.(cos α + i. sin α)] 2 = i z = (cos 2α + i. sin 2α ) = i. 1 Při výpočtu druhé mocniny komplexního čísla v goniometrickém (trigonometrickém) tvaru jsme využili Moivrovy věty (vzorce). Rovnají-li se dvě komplexní čísla, musejí se zároveň rovnat jak jejich reálné tak také jejich imaginární složky. Rovnice v komplexním oboru lze tedy nahradit soustavou dvou rovnic v reálném oboru. V našem případě: cos 2α = 0 sin 2α = 1 2α = 90 + k.360 α = 45 + k.180 = E) 43

44 Státní maturita z matematiky Úloha 21 n = } 22.{{.. 22} Číslo je dělitelné čtyřmi, jestliže je jeho poslední dvojčíslí dělitelné je dělitelné 4 bezezbytku = Ano 2. Číslo je dělitelné osmi, jestliže je jeho poslední trojčíslí dělitelné není bezezbytku dělitelné 8 = Ne 3. Číslo je dělitelné devíti, jestliže je jeho ciferný součet dělitelný 9. Ciferný součet je: = 63 a 63 je dělitelné 9 bezezbytku = Ano 1. Číslo je dělitelné šesti, jestliže je sudé a současně je jeho ciferný součet dělitelný 3. Číslo n končí číslicí 2, tedy je sudé. Zároveň ciferný součet čísla n je 63 a tento je dělitelný 3 bezezbytku = Ano 44