Řešené příklady ze stavební fyziky

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyziky Šíření tepla a vlhkosti ve větrané dutině Pavel Kopecký Praha 2014 Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obsah 1 VZDUCHOVÁ DUTINA... 3 1.1 ÚVOD... 3 1.2 ZJEDNODUŠENÉ MODELY... 6 1.2.1 Nevětraná dutina v ustáleném stavu... 6 1.2.2 Větraná dutina v ustáleném stavu... 8 1.2.3 Vyšetření kondenzace vodní páry... 12 1.2.4 Přenos tepla přes oddělující konstrukce vzduchové dutiny... 15 1.2.5 Modelový příklad (dvojplášťová plochá střecha)... 16 1.3 PODROBNĚJŠÍ MODELY... 22 1.3.1 Nevětraná dutina v ustáleném stavu... 22 1.3.2 Větraná dutina v ustáleném stavu... 26 1.3.3 Vyšetření kondenzace vodní páry... 29

1 Vzduchová dutina Dříve než začnete číst text této kapitoly, zamyslete se nad následujícími otázkami: Co to je ustálený stav? Co to je neustálený stav? Z čeho se skládá vzduch? Jak vyjadřujeme vlhkost vzduchu? Jak vyjadřujeme vlhkost stavebních materiálů? Které vlivy ovlivňují teplotu venkovního vzduchu? Které vlivy ovlivňují vlhkost venkovního vzduchu? Jak se teplota a vlhkost venkovního vzduchu mění v čase? Které vlivy ovlivňují teplotu uvnitř budovy? Které vlivy ovlivňují vlhkost vzduchu uvnitř budovy? Jak se teplota a vlhkost vzduchu uvnitř budovy mění v čase? Které vlivy ovlivňují teplotu ve větrané dutině? Jak se teplota uvnitř větrané dutiny mění v čase? Které vlivy ovlivňují vlhkost vzduchu ve větrané dutině? Jak se vlhkost vzduchu uvnitř větrané dutiny mění v čase? Odpovědi lze hledat v literatuře, která doplňuje tato skripta o teoretické základy, viz Kopecký (2014). 1.1 Úvod Větraná dutina může mít v budovách mnoho podob. Může se například o dutinu dvojplášťové střechy, průlezný prostor pod dřevostavbou (crawlspace), či dutinu dvojplášťové fasády (viz Obr. 1-1).

Obr. 1-1: Průlezný prostor pod MŠ v Mariánských Lázních (vlevo). Dřevěný obklad dvojplášťové obvodové stěny zasažený kondenzací (vpravo). Foto: Kamil Staněk. Ačkoliv jsou tyto stavební prvky značně odlišné, procesy šíření tepla a vlhkosti, které v nich probíhají, jsou velmi podobné. Hlavní otázkou výpočtového posouzení je, zda ve vzduchové dutině při určitých okrajových podmínkách dojde či nedojde ke kondenzaci vodní páry, či jaká bude úroveň relativní vlhkosti vzduchu v dutině. Teplota a vlhkost v dutině ovlivňují možnost biologického napadení stavebních materiálů a tím jejich trvanlivost. Pokud známe relativní vlhkost vzduchu v dutině, tak lze usuzovat na rovnovážnou vlhkost materiálů v této dutině. V případě materiálů na bázi dřeva je potřeba nepřekračovat 18 % hmotnostní vlhkosti. Pokud by došlo k dlouhodobému překročení této hodnoty, hrozí biologické napadení. Prakticky to znamená zajistit, aby relativní vlhkost nepřekračovala 90 %. Obr. 1-2: Kondenzace vodní páry na spodním líci pojistné hydroziolace v dvojplášťové šikmé střeše (vlevo). Růst plísní na spodním líci podlahy průlezného prostoru (vpravo). Foto: Jan Richter a Kamil Staněk. V této kapitole se zabýváme se prostorem o délce L, který předpokládáme podélně větraný (viz Obr. 1-3). Teplota vzduchu uvnitř prostoru je označena jako Ta. Teploty spodního resp. horního povrchu jsou označeny Tp1 a Tp2. Teplota uvnitř prostoru pod vzduchovou dutinou je označena jako T1. Teplota vzduchu vstupujícího do větrané dutiny resp. vystupujícího z větrané dutiny je označena jako Ta,in a Ta,out. T2 Ta,in větráno Tp2(x) Ta(x) Tp1(x) Ta,out B = 1 m T1 x spodní prostor L Obr. 1-3: Podélně větraná vzduchová dutina.

Ve větrané dutině dvojplášťové ploché střechy se odehrává řada transportních procesů (viz Obr. 1-4). Ze spodního prostoru se předává teplo prouděním a sáláním povrchu stropu a vedením tepla je přivedeno na povrch přiléhající do dutiny. Ze spodního povrchu horního pláště dochází k přestupu tepla prouděním. Protože teploty Tp1 a Tp2 nejsou stejné, dochází i k přestupu tepla sáláním mezi spodním povrchem podlahy a povrchem zeminy. Vlivem přestupu tepla prouděním dochází k ohřívání případně k ochlazování vnikajícího vzduchu do dutiny. Přestup prouděním Přestup sáláním 2 Přívod vzduchu do dutiny Vedení tepla Přestup prouděním Přestup sáláním Odvod vzduchu z dutiny Vedení tepla Přestup prouděním Přestup sáláním 1 Obr. 1-4: Sdílení tepla ve větrané dutině dvojplášťové střechy. Obdobně v případě průlezného prostoru (viz Obr. 1-5) se z vytápěného prostoru předává teplo prouděním a sáláním hornímu povrchu podlahy a vedením tepla je přivedeno na spodní povrch podlahy. Ze spodního povrchu podlahy dochází k přestupu tepla prouděním. Protože teploty Tp1 a Tp2 nejsou stejné, dochází i k přestupu tepla sáláním mezi spodním povrchem podlahy a povrchem zeminy. Vlivem přestupu tepla prouděním dochází k ohřívání případně k ochlazování vnikajícího vzduchu do dutiny. V zemině pod průlezným prostorem dochází k vedení tepla. Zjednodušeně lze předpokládát, že zemina pod objektem je ve stavu nasycení, a tedy vytváří vodní hladinu, ze které se do větraného prostoru může odpařovat nezanedbatelné množství vodní páry. Teplo, které je na odpaření spotřebováno, snižuje teplotu vzduchu v dutině. Pokud na některém povrchu dojde ke kondenzaci, tak při tomto procesu se latentní teplo do dutiny naopak uvolní. Přestup prouděním Vedení tepla v podlaze Přestup prouděním Přestup sáláním Přestup sáláním Latentní teplo Vedení tepla v zemině Obr. 1-5: Sdílení tepla ve větrané dutině průlezného prostoru.

1.2 Zjednodušené modely 1.2.1 Nevětraná dutina v ustáleném stavu Nejprve se zabýváme dutinou, která není větraná. Teplota uvnitř dutiny je v tomto případě ovlivňována pouze přenosem tepla mezi vytápěným prostorem a dutinou a přenosem tepla mezi venkovním prostředím a dutinou. Přenos tepla přes čelní strany dutiny zanedbáme. Ze zákona zachování energie plyne, že veškeré působící tepelné toky musí být v rovnováze, a proto: 1 2 0 [W] (0.1) kde Φ1 (W) je tepelný tok z prostředí 1 do dutiny Φ2 Tepelný tok zespodu vyjádříme jako: tepelný tok z prostředí 2 do dutiny UATT K TT [W] (0.2) 1 1 1 a 1 1 a kde U (W/m 2 K) je součinitel prostupu tepla spodního pláště (mezi prostředím 1 a dutinou) A (m 2 ) plocha konstrukce (A = L B) teplota prostředí ze spodní strany dutiny teplota uvnitř dutiny T1 Ta Tepelný tok shora vyjádříme jako: U A T T K T T [W] (0.3) 2 2 2 a 2 2 a kde U2 (W/(m 2 K)) je součinitel prostupu horního pláště T2 teplota prostředí z horní strany dutiny. Po dosazení a algebraické úpravě dostaneme vztah pro výpočet vnitřní teploty. T a0 KT KT UT UT K K U U 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 (0.4) Teplota vzduchu v nevětrané dutině je váženým průměrem z působících teplot, kdy váhami jsou součinitele prostupu tepla oddělujících konstrukcí. Pokud je jedna z dělicích konstrukcí velmi dobře izolována, teplota za touto konstrukcí příliš neovlivňuje teplotu vzduchu uvnitř dutiny.

2 2 Φ 2 K2 a B = 1 m a K1 Φ 1 1 L 1 Obr. 1-6: Tepelná bilance nevětrané dutiny a analogie s elektrickým obvodem. Vztah pro koncentraci vodní páry uvnitř dutiny získáme analogickým způsobem jako v předchozím případě přenosu tepla. Ze zákona zachování hmotnosti plyne, že veškeré působící hmotnostní toky musí být v rovnováze, proto: G 1 G2 0 [kg/s] (0.5) kde Gv1 (kg/s) je vlhkostní tok z prostředí 1 do dutiny Gv2 vlhkostní tok z prostředí 2 do dutiny Vlhkostní tok ze spodní strany vyjádříme jako: 1 G A K Z v1 v1 va v1 v1 va v1 [kg/s] (0.6) kde Zv (s/m) je difuzní odpor spodního pláště v1 (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry v prostředí pod dutinou v (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry vzduchu v dutině Vlhkostní tok z prostředí nad dutinou vyjádříme jako: 1 G A K Z v2 v2 va v2 v2 va v2 [kg/s] (0.7) kde Zv2 (s/m) je difuzní odpor horního pláště v2 (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry v prostředí nad dutinou. Ve vztazích předpokládáme, že oba pláště jsou vzduchotěsné a vodní pára se v obou pláštích šíří pouze difuzí. Toto nemusí být vždy reálný předpoklad a svou roli může hrát rozdíl tlaků mezi dutinou a oběma prostředími a s tím související pohyb vzduchu přes netěsnosti.

Po dosazení a algebraické úpravě dostaneme vztah pro výpočet koncentrace vodní páry uvnitř nevětrané dutiny. va K K K K v1 v1 v2 v2 v1 v2 [kg/m 3 ] (0.8) v2 v2 G v2 Kv2 va B = 1 m va Kv1 G v1 v1 L v1 Obr. 1-7: Vlhkostní bilance nevětrané dutiny a analogie s elektrickým obvodem. 1.2.2 Větraná dutina v ustáleném stavu Nyní se zabýváme dutinou, která je podélně větraná. Do tepelné bilance dutiny přibývá vliv větrání. Předpokládáme, že průtok vzduchu dutinou známe. 1 2 c [W] (0.9) kde Φc (W) je teplo odváděné z dutiny prouděním vzduchu za jednotku času (tepelný tokpřijatý ze stěn dutiny), které se spočte: Gc T T K T T [W] (0.10) c a a a,out a,in 0 a,out a,in kde Ga (kg/s) je hmotnostní průtok vzduchu v kg/s ca Ta,in Ta,out měrná tepelná kapacita vzduchu v J/(kg K) teplota vzduchu na vstupu do dutiny teplota vzduchu na výstupu z dutiny Součin hmotnostního průtoku vzduchu a měrné tepelné kapacity (W/K). Po dosazení rovnic (0.10), (0.2) a (0.3) dostaneme: bude označován jako K0 K T T UAT T UAT T [W] (0.11) 0 a,out a,in 1 1 a 2 2 a což představuje integrální tepelnou bilanci celé dutiny.

Rozdělíme-li dutinu na konečné dílky o rozměru x, tak pro každý takový dílek rovnice (0.11) taktéž platí. Přestupová plocha jednoho dílku je: AxB [W] (0.12) 2 K2 Ta,in a Ta,out B = 1 m K0Ta,in a K0Ta,out K1 1 x Obr. 1-8: Větraná dutina tepelná bilance kontrolního objemu a analogie s elektrickým obvodem. Pokud se jedná o nekonečně malý přírůstek teploty vzduchu, či nekonečně malou tloušťku kontrolního objemu, tak máme: T T dt (0.13) a,out a,in a x dx (0.14) Po dosazení můžeme rovnici (0.11) zapsat jako: K dt U Bdx T T U Bdx T T [W] (0.15) Neboli: 0 a 1 1 a 2 2 a dta K U B T T U B T T dx 0 1 1 a 2 2 a [W/m] (0.16) Po úpravě dostaneme: U1 U2 B BU1T1 U2T2 dta Ta dx K K 0 0 [K/m] (0.17) Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu s pravou stranou, jejímž analytickým řešením je rovnice:

UT 1 1UT 2 2 UT 1 1UT 2 2 Ta( x) Ta,in e U1 U2 U1 U 2 U1U2 B x K0 [K] (0.18) Z analytického řešení je zřejmé, že pokud je exponenciální člen v rovnici (0.18) zanedbatelný, tak se teplota vzduchu rovná hodnotě pro nevětranou dutinu, viz rovnice (0.4). Na čtenáři zůstává analýza, pro jaké vzdálenosti od vtoku do dutiny a pro jaké průtoky vzduchu nabývá exponenciální člen hodnot blízkých nule. a Bez větrání, Ta0 Vyšší průtok a,in Nižší průtok x L Obr. 1-9: Větraná dutina možný průběh teploty vzduchu v dutině pro dva různé průtoky vzduchu. Průběh teploty vzduchu lze taktéž vypočítat numericky. Pro dostatečně krátký úsek dutiny můžeme předpokládat, že průběh teploty vzduchu na tomto úseku je lineární, neboli: Ta,in Ta,out T a (0.19) 2 kde Ta,in je teplota vzduchu na vstupu do kontrolního objemu Ta,out teplota vzduchu na výstupu z kontrolního objemu Po dosazení předpokladu (0.19) do rovnice (0.11) dostaneme: Ta,in Ta,out Ta,in Ta,out K0Ta,out Ta,in U1xBT1 U2xBT 2 [W] (0.20) 2 2 kde neznámou je teplota na výstupu z příslušného dílku Ta,out. Rovnici je rovněž možné řešit vzhledem k Ta, pokud z předpokladu (0.19) vyjádříme Ta,out a dosadíme do rovnice (0.11). V řešení se postupuje postupně zleva doprava. Pro první kontrolní objem dutiny se teplota na vstupu rovná teplotě přiváděného vzduchu do dutiny. Vztah pro průběh koncentrace vodní páry získáme analogickým způsobem jako v předchozím případě přenosu tepla. Ze zákona zachování hmotnosti plyne, že veškeré působící hmotnostní toky musí být v rovnováze, proto:

G G G [kg/s] (0.21) v1 v2 c kde Gc (kg/s) je odváděné množství vodní páry prouděním za jednotku času, které je: Ga Gc va,out va,in K v0 va,out va,in [kg/s] (0.22) a kde Ga (kg/s) je hmotnostní průtok vzduchu a (kg/ m 3 ) objemová hmotnost vzduchu Kv0 (m 3 /s) objemový průtok vzduchu va,in (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry ve vzduchu na vstupu do dutiny va,out (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry ve vzduchu na výstupu z dutiny Po dosazení rovnic (0.22), (0.6) a (0.7) dostaneme: 1 1 K A A v0 va,out va,in v1 va v2 va Zv1 Zv2 [kg/s] (0.23) což představuje integrální vlhkostní bilanci celé dutiny. Rozdělíme-li dutinu na konečné dílky o rozměru x, tak pro každý takový dílek rovnice (0.11) taktéž platí. Analogicky k rovnici (0.17) dostaneme: 1 1 v1 v2 B B d va Zv1 Zv2 Zv1 Zv2 va dx K K v0 v0 [kg/s] (0.24) Rovnice (0.24) má stejný tvar jako rovnice (0.17), a tak je její analytické řešení analogické: 1 1 1 1 v1 v2 T1 T2 Z v1 Zv2 Zv1 Zv2 va( x) va,in e v1 v2 1 1 Zv1 Zv2 1 1 B Zv1 Zv2 x Kv0 [kg/m 3 ] (0.25) Průběh koncentrace vodní páry lze taktéž vypočítat numericky. Pro dostatečně krátký úsek dutiny můžeme předpokládat, že průběh koncentrace vodní páry na tomto úseku je lineární, neboli: va 2 va,in va,out (0.26) kde va,in (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry ve vzduchu na vstupu do kontrolního objemu va,out (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry ve vzduchu na výstupu z kontrolního objemu

Po dosazení tohoto předpokladu do rovnice (0.23) dostaneme: 1 va,in va,out K0va,out va,in xbv1... Zv1 2 1 va,in va,out xb v2 Zv2 2 [W] (0.27) kde neznámou je koncentrace vodní páry na výstupu z příslušného dílku va,out. v2 v2 Kv2 B = 1 m va,in va,out K0va,in va va K0va,out Kv1 v1 x v1 Obr. 1-10: Větraná dutina vlhkostní bilance kontrolního objemu a analogie s elektrickým odporem. 1.2.3 Vyšetření kondenzace vodní páry Průběh koncentrace vodní páry sám o sobě nedává dostatečnou informaci o vlhkostním chování větrané dutiny. Zejména nás zajímá, zda někde v průběhu dutiny nedochází ke kondenzaci vodní páry, anebo jestli nejsou materiály tvořící vnitřek dutiny vystaveny zvýšené vlhkosti. Vzduch při dané teplotě může pojmout jen určité množství vodní páry. Toto maximální množství, definující fázové rozhraní mezi vodní parou a vodou v kapalném stavu, se nazývá koncentrace vodní páry na mezi nasycení v,sat a je nelineární funkcí teploty vzduchu.

30 25 v,sat (g/m 3 ) 20 15 10 5 0-20 -15-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 T ( C) Obr. 1-11: Koncentrace vodní páry na mezi nasycení V literatuře existuje řada vztahů pro výpočet koncentrace vodní páry na mezi nasycení. v,sat T ab 100 R ( T 273,15) v n [kg/m 3 ] (0.28) kde T je teplota ve stupních Celsia Rv plynová konstanta pro vodní páru 461,5 J/(kg K) Parametry a,b, n nabývají hodnot: 0T 30 C a = 288.68 Pa, b = 1.098, n = 8.02 20 T 0 C a = 4.689 Pa, b = 1.486, n = 12.3 Vyšetření kondenzace vodní páry se provede porovnáním průběhů koncentrace vodní páry a koncentrace vodní páry na mezi nasycení. Pokud dojde k situaci, kdy: va v,sat a T [-] (0.29) dochází ke kondenzaci vodní páry (viz Obr. 1-12).

oblast kondenzace va va,sat (T va - nižší Zv1 va - vyšší Zv1 x Obr. 1-12: Větraná dutina možný průběh koncentrace vodní páry. Relativní vlhkost vzduchu je definována jako podíl skutečné hodnoty koncentrace vodní páry a koncentrace vodní páry na mezi nasycení a vyjadřuje tedy míru nasycení vzduchu vodní parou při dané teplotě: va va,sat [-] (0.30) kde va (kg/m 3 ) je koncentrace vodní páry va,sat koncentrace vodní páry na mezi nasycení. 1 oblast kondenzace in Nižší Zv1 Vyšší Zv1 x L Obr. 1-13: Větraná dutina možný průběh relativní vlhkosti.

1.2.4 Přenos tepla přes oddělující konstrukce vzduchové dutiny Působící teploty z horní a spodní strany dutiny, označené v předchozím textu jako T1 a T2, nepředstavují samotné teploty vzduchu v prostorech nad a pod dutinou, ale jedná se o tzv. ekvivalentní teploty prostředí. Uvažujeme neprůsvitnou konstrukci (viz Obr. 1-14). Vnější povrch je ovlivněn okolní teplotou vzduchu, teplotou okolních ploch, slunečním zářením a rychlostí větru. Vnější povrch je dále ovlivněn srážkami, povrchovou kondenzací a vypařováním. Vnitřní povrch je ovlivněn teplotou vnitřního vzduchu a povrchovou teplotou okolních stavebních prvků. Kromě toho i vnitřní povrch může být ovlivněn povrchovou kondenzací nebo vypařováním. Tre Vnější povrchy Proudění Krátkovlnné zá Dlouhovlnné záření Tae Tpe Vedení tepla Dlouhovlnné záření Tpi Tai Proudění T ae Tri T re sol Vnitřní povrchy G ce re Gt T ai ci R 0 ri T pe T pi T ri Obr. 1-14: Šíření tepla přes neprůsvitnou konstrukci. Schéma (viz Obr. 1-15, vlevo) je ekvivalentní schématu (viz Obr. 1-15, vpravo). T ae R 0 T re sol G re ce Gt T pe T pi ci ri T ai T ri T e R se T pe R 0 T pi Rsi T i Obr. 1-15: Ekvivalentní tepelný model konstrukce. Ekvivalentní vnitřní teplota je odvozena z tepelné bilance vnitřního povrchu. Lze odvodit, že: citai ritri T i (0.31) ci ri Ekvivalentní venkovní teplota je odvozena z tepelné bilance venkovního povrchu. Lze odvodit, že: T e G T T sol Gt c ae re re ce re (0.32)

Součinitele přestupu tepla sáláním a prouděním se sdružují do jediné hodnoty. Převrácená hodnota součtu součinitelů přestupu tepla Rse = 1/(ce + re) se nazývá odpor při přestupu tepla na venkovní straně. Převrácená hodnota součtu součinitelů přestupu tepla Rsi = 1/(ci + ri) se nazývá odpor při přestupu tepla na vnitřní straně. V inženýrských výpočtech se často používají normové (smluvní) hodnoty odporů při přestupu tepla. Tepelný odpor R0 je součet tepelných odporů materiálových vrstev mezi povrchy. Významným faktorem v tepelné bilanci vnějšího povrchu může někdy být sálání vůči obloze. Dlouhovlnné sálání vůči obloze může být u dvojplášťových konstrukcí příčinou podchlazení venkovního pláště a následné kondenzace vodní páry na spodním líci venkovního pláště. Problémem je reálné stanovení teploty Tre. Za předpokladu jasné oblohy lze pro vodorovný povrch teplotu oblohy odhadovat ze vzorce: T 1, 2 T 14 (0.33) re ae Příklad: Vypočtěte ekvivalentní venkovní teplotu pro střechu v letním dnu a zimní noci. Letní den, střecha GGt = 800 W/m 2 (sol = 0,9) Tae = 40 C Tre = Tsky = 22 C re = 5 W/(m 2 K) 40 0,8 800 22 19 5 q T T pe 66,3 24 q T Tpe ce = 19 W/(m 2 K) T e = 66,3 C Zimní noc, střecha GGt = 0 W/m 2 Tae = -15 C Tre = Tsky = -32 C re = 5 W/(m 2 K) 15 19 5-32 q T T pe -18,5 24 q T Tpe ce = 19 W/(m 2 K) T e = -18,5 C 1.2.5 Modelový příklad (dvojplášťová plochá střecha) Zadání Vyšetřete riziko kondenzace vodní páry ve větrané dutině dvouplášťové střechy (viz Obr. 1-16). Uvažujte délku dutiny 20 m, výšku dutiny 0,3 m, šířku typického výseku 1 m. Skladba střechy pod dutinou:

sádrokarton na roštu vzduchová dutina osb deska tepelná izolace z minerálních vláken (tl. 250 mm) mezi dřevěnými vazníky pojistná hydroizolace Skladba střechy nad dutinou: osb deska asfaltová hydroizolace T a,in T 2 T a,out T 1 L L B = 1 m Obr. 1-16: Dvouplášťová plochá střecha. Pro výpočet uvažujte následující hodnoty: Teplota venkovního vzduchu -10 C Relativní vlhkost venkovního vzduchu 85 % Zdánlivá teplota oblohy (jasno) Tsky = 1,2 Tae 14 Vnitřní teplota ve vytápěném prostoru 20 C Relativní vlhkost vzduchu uvnitř vytápěného prostoru 55 % Rychlost proudění vzduchu v dutině volte nižší než 0,1 m/s. Měrná tepelná kapacita vzduchu 1010 J/(kg K) Hustota vzduchu 1,2 kg/m 3. Materiálové parametry, které budete potřebovat pro výpočet, zvolte přiměřeně. Dbejte na to, aby hodnoty řádově odpovídaly daným materiálům. Část A: Předpokládejte, že je dutina nevětraná. Vypočtěte teplotu vzduchu uvnitř dutiny. Část B: Předpokládejte, že je dutina větraná. Rychlost proudění vzduchu v dutině zvolte. Vypočtěte a vykreslete průběh teploty vzduchu pro tři různé průtoky vzduchu. Část C: Vypočtěte a vykreslete hustotu vodní páry na mezi nasycení, skutečnou hustotu vodní páry po délce dutiny a relativní vlhkost. Uvažujte rychlosti proudění vzduchu z části B. Jaký vliv má

rychlost proudění na průběh relativní vlhkosti vzduchu? Jaké další vlivy ještě ovlivňují průběh relativní vlhkosti vzduchu? Část D: Uvažujte dvě situace: noc se zataženou oblohou a noc s jasnou oblohu. Vyšetřete, jestli nedochází ke kondenzaci vodní páry. Pokud dojde ke kondenzaci vodní páry, vyznačte oblast, ve které ke kondenzaci dochází. Uveďte alespoň dvě možnosti, jak omezit kondenzaci vodní páry v dutině. Řešení Součinitel prostupu tepla spodního pláště: U1 = 0,16 W/(m 2 K) Součinitel prostupu tepla horního pláště: U2 = 3,9 W/(m 2 K) Difuzní odpor spodního pláště: Difuzní odpor horního pláště: Zv1 = 202200 s/m Zv2 = 1,6 10 7 s/m Teplota vzduchu v nevětrané dutině: Ta0 = -13,6 C Kvůli vysoké tepelně izolační kvalitě spodního pláště dvojplášťové střechy nepřichází do dutiny teplo ze spodního vytápěného prostoru. Teplota Ta0 se tedy příliš neodlišuje od venkovní teploty. To s sebou nese nepříjemnou vlastnost, že takový studený vzduch má nízkou koncentraci vodní páry na mezi nasycení. Pokud by spodní plášť byl velmi špatně izolovaný, například U1 = 1 W/(m 2 K), tak teplota v nevětrané dutině bude 7,9 C. Uvažujeme tři průměrné rychlosti proudění vzduchu v dutině: 0,001 m/s, 0,01 m/s, 0,1 m/s. Obr. 1-17: Průběh teploty a relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,001 m/s.

Obr. 1-18: Průběh teploty a relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,01 m/s. Obr. 1-19: Průběh teploty a relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,1 m/s. Průběh teplot a relativních vlhkostí vzduchu po délce dutiny je značně citlivý na rychlost proudění vzduchu. O rychlosti proudění vzduchu v dutině pojednává kapitola Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Výpočet difuzního odporu navíc předpokládal zalepení spár OSB desek a neexistenci netěsností ve skladbě spodního pláště. Reálně takové netěsnosti ovšem mohou existovat, zejména v okolí prostupujících prvků (odvětrání kanalizace). Vliv netěsností lze orientačně

zahrnout snížením difuzního odporu spodního pláště. Následující varianta ukazuje vliv snížení difuzního odporu spodního pláště na jednu pětinu (viz Obr. 1-19). Obr. 1-20: Průběh relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,01 m/s při snížení difuzního odporu spodního pláště na jednu pětinu. V době nedávno minulé se stavby neizolovaly 25 cm tepelné izolace, ale zároveň na difuzní odpor spodního pláště se také příliš nedbalo. Následující varianta ukazuje vliv snížení tloušťky tepelné izolace na 6 cm při zachování redukovaného difuzního odporu spodního pláště. Je zřejmé, že vyšší tepelná ztráta vede k vyšší teplotě vzduchu v dutině a tím vyšší koncentraci vodní páry na mezi nasycení. Z tohoto důvodu došlo ke kondenzaci mnohem později než u předchozí varianty. Obr. 1-21: Průběh teploty a relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,01 m/s při snížení difuzního odporu spodního pláště na jednu pětinu a při snížení tloušťky tepelné izolace z 25 cm na 6 cm. Nyní uvažujme jasnou zimní noc, kdy je střecha ochlazována sáláním vůči obloze. Situaci namodelujeme snížením teploty T2 na hodnotu -20 C. Je zřejmé, že podchlazení horního pláště

povede k masivní kondenzaci vodní páry uvnitř dutiny (viz Obr. 1-22). Omezit či vyloučit kondenzaci lze zvýšením tepelného odporu horního pláště (Obr. 1-24). Obr. 1-22: Průběh teploty a relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,01 m/s za jasné zimní noci. Obr. 1-23: Průběh teploty a relativní vlhkosti vzduchu v dutině pro rychlost proudění 0,01 m/s za jasné zimní noci při doplnění skladby horního pláště o 4 cm tepelné izolace.

1.3 Podrobnější modely 1.3.1 Nevětraná dutina v ustáleném stavu Předchozí jednodušší model zanedbal sálání mezi povrchy dutiny. Nyní popíšeme podrobnější model, který podrobněji popíše procesy, které v dutině probíhají. Ze zákona zachování energie plyne, že veškeré působící tepelné toky musí být v rovnováze. Tepelná bilance uzlu Ta: c1 c2 0 [W] (0.34) kde Φc1 (W) je tepelný tok sdílený prouděním ze spodního povrchu dutiny Φc2 tepelný tok sdílený prouděním z horního povrchu dutiny Tepelná bilance uzlu Tp1: 1 c1 r 0 [W] (0.35) kde Φ1 (W) je tepelný tok mezi prostředím 1 a spodním povrchem vzduchové dutiny (přestup tepla + vedení tepla přes konstrukci oddělující dutinu a prostředí 1) Φr tepelný tok sáláním z povrchu 1 na povrch 2 Tepelná bilance uzlu Tp2: 2 c2 r 0 [W] (0.36) kde Φ2 (W) je tepelný tok mezi prostředím 2 a horním povrchem vzduchové dutiny (přestup tepla + vedení tepla přes konstrukci oddělující dutinu a prostředí 2)

T2 T2 K2 Φ2 Tp2 Tp2 Kc2 Φc2 Φc1 Φr Ta B = 1 m Ta Kr Φ1 Tp1 Kc1 Tp1 L T1 K1 T1 Obr. 1-24: Nevětraná dutina - tepelná bilance dutiny vyjádřená pomocí elektrické analogie. Nyní rozepíšeme jednotlivé členy rovnic (0.34), (0.35) a (0.36). Neznámé ve výpočtu jsou teploty: Ta, Tp1, Tp2. Kc1 Tp1 Ta Kc2 Tp2 T a 0 [W] (0.37) K1 T1 Tp1 Kc1 Tp1 Ta Kr Tp1 T p2 0 [W] (0.38) K2 T2 Tp2 Kc2 Tp2 Ta Kr Tp1 T p2 0 [W] (0.39) Po algebraické úpravě dostaneme: Kc1 Kc2 Ta Kc1Tp1 Kc2T p2 0 (0.40) K T K K K T K T K T (0.41) c1 a 1 c1 r p1 r p2 1 1 K T KT K K K T K T (0.42) c2 a r p1 2 c2 r p2 2 2 Máme tedy soustavu lineárních rovnic: AT b (0.43) kde A je čtvercová matice koeficientů (vodivostí) b vektor pravých stran T vektor neznámých teplot. Neboli:

Kc1 Kc2 Kc1 Kc2 Ta 0 Kc1 Kr Kc1 K1 Kr Tp1 K1T1 Kc2 Kr K2 Kc2 KrTp2 K2 T2 (0.44) Řešením soustavy rovnic je: 1 T A b (0.45) Soustavu rovnic lze řešit numericky ve vhodném software (Excel, Matlab, ). Pro výpočet jsou potřeba hodnoty vodivostí mezi jednotlivými teplotními uzly. Vodivost K1 (W/K) je vodivost mezi povrchem pojistné hydroizolace a prostředím o teplotě T1. K 1 R 1 LB R s1 1 [W/K] (0.46) kde Rs1 (m 2 K/W) je odpor při přestupu tepla z prostředí 1 R1 tepelný odpor konstrukce oddělující vzduchovou dutinu a prostředí 1 Vodivost K2 (W/K) je vodivost mezi spodním povrchem vnějšího pláště a venkovním prostředím. K 2 R 1 R s2 2 LB [W/K] (0.47) kde Rs2 (m 2 K/W) je odpor při přestupu tepla z prostředí 2 R2 tepelný odpor konstrukce oddělující vzduchovou dutinu a prostředí 2 Zbývající vodivosti v rovnicích se vypočítají jako: Kc1 c1lb [W/K] (0.48) K LB c 2 c2 (0.49) K r (0.50) LB r [W/K] [W/K] kde c (W/(m 2 K)) je součinitel přestupu tepla prouděním r součinitel přestupu tepla sáláním.

Součinitel přestupu tepla sáláním r mezi dvěma vodorovnými povrchy lze odhadnout dopředu, pokud dopředu odhadneme hodnoty obou povrchových teplot a známe emisivity obou povrchů 1, 2. Pro tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy máme: 4 4 A Tp1 Tp2 r 1 1 1 1 2 [W] (0.51) Tepelný tok sáláním chceme vyjádřit analogickým způsobem k proudění, tj. jako součin součinitele přestupu tepla sáláním, přestupové plochy a rozdílu teplot. Po algebraickém rozkladu členu (Tp1 4 Tp2 4 ) dostaneme: kde: A T T [W] (0.52) r r p1 p2 r 2 2 Tp1 Tp2 Tp1 Tp2 1 1 1 1 2 [W/(m 2 K)] (0.53) což lze přibližně zapsat jako: r Tp1 Tp2 4 2 1 1 1 1 2 3 [W/(m 2 K)] (0.54) kde je Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67 10-8 W/m 2 K4 ) 1 a 2 (-) jsou emisivity povrchů Tp1 a Tp2 jsou absolutní teploty povrchů v Kelvinech. Součinitele přestupu tepla prouděním c v nevětrané dutině jsou výsledkem přirozeného proudění vzduchu v dutině. Vzduch se ohřívá nad teplým spodním povrchem a stoupá ke spodnímu povrchu vnějšího pláště, kde se ochlazuje a padá zpět k hornímu povrchu spodního pláště (viz Obr. 1-25). Hodnoty součinitele přestupu tepla prouděním lze očekávat v rozmezí 1 3 W/(m 2 K).

venkovní prostředí nevětráno B = 1 m x vytápěný prostor L Obr. 1-25: Přirozené proudění v nevětrané dutině. 1.3.2 Větraná dutina v ustáleném stavu Nyní se zabýváme dutinou, která je větraná. Dutinu po její délce rozdělíme na kontrolní objemy. Kontrolní objem má délku x a šířku B. T2 K2 T2 Tp2 Tp2 Kc2 B = 1 m Ta,in Ta,out K0Ta,in Ta Ta K0Ta,out Kr Tp1 Kc1 T1 Tp1 x K1 T1 Obr. 1-26: Větraná dutina - tepelná bilance kontrolního objemu vyjádřená pomocí elektrické analogie. Do tepelné bilance uzlu Ta přibývá vliv větrání. Přitékající tepelné toky Φc1 a Φc2 znamenají zvýšení teploty vzduchu z hodnoty Ta,in na Ta,out, a tedy odvod tepla z dutiny prouděním. Teplo odváděné z dutiny prouděním za jednotku času Φc (tepelný tok přijatý ze stěn dutiny) se spočte pomocí vzorce (0.10). Tepelná bilance uzlu Ta: c1 c2 c [W] (0.55) Tepelná bilance uzlu Tp1: 1 c1 r 0 [W] (0.56)

Tepelná bilance uzlu Tp2: 2 c2 r 0 [W] (0.57) Nyní rozepíšeme jednotlivé členy rovnic (0.55), (0.56) a (0.57): K T T K T T K T T [W] (0.58) c1 p1 a c2 p2 a 0 a,out a,in K1 T1 Tp1 Kc1 Tp1 Ta Kr Tp1 T p2 0 [W] (0.59) K2 T2 Tp2 Kc2 Tp2 Ta Kr Tp1 T p2 0 [W] (0.60) Do rovnice (0.58) dosadíme předpoklad o lineárním průběhu teploty vzduchu po délce kontrolního objemu. Po algebraické úpravě dostaneme: 2K K K T K T K T 2K T [W] (0.61) 0 c1 c2 a c1 p1 c2 p2 0 a,in K T K K K T K T K T [W] (0.62) c1 a 1 c1 r p1 r p2 1 1 K T KT K K K T K T [W] (0.63) Neboli: c2 a r p1 2 c2 r p2 2 2 2K0 Kc1Kc2 Kc1 Kc2 Ta 2K0Ta,in Kc1 Kr Kc1 K1 Kr Tp1 KT 1 1 Kc2 Kr K2 Kc2 KrTp2 K2T2 (0.64) Soustava rovnic se řeší numericky ve vhodném software (Excel, Matlab, ). Výpočet probíhá postupně od vstupu po výstup, kdy vypočtená teplota vzduchu na výstupu z levého sousedního objemu se stane teplotou vzduchu na vstupu do pravého kontrolního objemu. Analogickým způsobem postupujeme při tvorbě vlhkostní bilance dvouplášťové střechy.

v2 v2 va,in va,out B = 1 m K 0 va,in va K v2 va K 0 va,out K v1 v1 x v1 Obr. 1-27: Větraná dutina vlhkostní bilance kontrolního objemu. Vlhkostní bilance uzlu va: G G G [kg/s] (0.65) v1 v2 c kde Gv1 (kg/s) je vlhkostní tok přes spodní plášť Gv2 (kg/s) vlhkostní tok přes horní plášť Gc (kg/s) odváděné množství vodní páry prouděním za jednotku času, které je: Ga Gc va,out va,in K v0 va,out va,in [kg/s] (0.66) a Po dosazení máme rovnici: Kv0va,in Kv0va,out Kv1 v1 va K v2 v2 va 0 [kg/s] (0.67) kde va (kg/m 3 ) je koncentrace vodní páry vzduchu v průlezném prostoru v1 (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry v prostředí 1 v2 (kg/m 3 ) koncentrace vodní páry v prostředí 2 Opět předpokládáme lineární průběh koncentrace vodní páry po délce kontrolního objemu. Po dosazení tohoto předpokladu dostaneme: 2K 2K K K 0 [kg/s] (0.68) v0 va,in v0 va v1 v1 va v2 v2 va Z této rovnice vyjádříme va a posléze dopočteme va,out, resp. je možný i opačný postup. Pro výpočet jsou potřeba hodnoty vodivostí mezi jednotlivými vlhkostními uzly. Vodivosti Kv jsou vypočteny z přestupové plochy A = x B a vypočítají se jako: G a K v0 [m 3 /s] (0.69) a

K v2 1 Z v2 xb [m 3 /s] (0.70) K v1 1 Z v1 xb [m 3 /s] (0.71) Difúzní odpor je možné vypočítat z: d Z v [m 3 /s] (0.72) va kde (-) je faktor difuzního odporu příslušné vrstvy d (m) tloušťka vrstvy va součinitel difuze vodní páry v samotném vzduchu, který je možné uvažovat hodnotou 25 10-6 m 2 /s 1.3.3 Vyšetření kondenzace vodní páry I když to nebylo explicitně uvedeno, tak se zatím předpokládalo, že v dutině nedochází ke kondenzaci vodní páry. Situací, které mohou nastat, je však více (viz Obr. 1-28). Kondenzace na horním povrchvrchu Kondenzace na spodním po- Kondenzace na obou površích v2 v2 v2 v,sat(tp2) v,sat(tp2) v,sat(tp2) va,in va va,out va,in va va,out va,in va va,out v,sat(tp1) v,sat(tp1) v,sat(tp1) v1 v1 v1 x x x Obr. 1-28: Větraná dutina možnosti, které mohou nastat při kondenzaci vodní páry. 1) Pokud nastane stav, kdy: T T (0.73) va,in v,sat p1 va,in v,sat p2 tak pouze na spodní straně horního pláště dojde ke kondenzaci vodní páry. Vlhkostní bilance kontrolního objemu v tomto případě je: K K K K ( T ) 0 [kg/s] (0.74) v0 va,in v0 va,out v1 v1 va vc2 va v,sat p2

kde poslední člen bilance je množství vodní páry kondenzující na spodní straně horního pláště: G K T [kg/s] (0.75) c2 vc2 va v,sat p2 K xb [m 3 /s] (0.76) vc2 v2 kde v (m/s) je součinitel přestupu vodní páry prouděním mezi vzduchem a povrchem, který lze odhadnout ze součinitele přestupu tepla prouděním s použitím Lewisova vztahu: v2 c a c2 a [m/s] (0.77) 2) Pokud nastane stav, kdy: T T (0.78) va,in v,sat p1 va,in v,sat p2 tak pouze na horní straně spodního pláště dojde ke kondenzaci vodní páry. Vlhkostní bilance kontrolního objemu v tomto případě je: K K K ( T ) K 0 [kg/s] (0.79) v0 va,in v0 va,out vc1 va v,sat p1 v2 v2 va Lze předpokládat, že k této situaci nebude docházet, protože v zimním období bude horní plášť vždy o něco chladnější než spodní plášť. 3) Pokud nastane stav, kdy: T T (0.80) va,in v,sat p1 va,in v,sat p2 tak na obou površích dojde ke kondenzaci vodní páry. Vlhkostní bilance kontrolního objemu v tomto případě je: K K K ( T ) K ( T ) 0 [kg/s] (0.81) v0 va,in v0 va,out vc1 va v,sat p1 vc2 va v,sat p2 Rovnice jsou graficky zobrazeny v následujících schématech.

Kondenzace na horním povrchu v,sat(tp2) Kondenzace na spodním povrchu v2 Kondenzace na obou površích v,sat(tp2) Kvc2 Kv2 Kvc2 K0va,in va K0va,out K0va,in va K0va,out K0va,in va K0va,out Kv1 Kvc1 Kvc1 v1 v,sat(tp1) v,sat(tp1) Obr. 1-29: Grafické zobrazení rovnic.

Reference KOPECKÝ, Pavel. Stavební tepelná technika, Šíření tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách a stavebních prvcích, OPPA, Praha, 2014.