se zeptat Jakub Šotola 13. 11. 2009 U malých stád (do pěti kusů) bylo snadné poznat, že jedna ovce, koza či kráva chybí, mimo

Vše co jste chtěli vědět o číslech a báli jste se zeptat Jakub Šotola Matematické pátky 13. 11. 2009 Toto je doprovodný text k přednášce, kterou jsem udělal v rámci Matematických pátků pro středoškoláky na Slezské univerzitě v Opavě na požádání RNDr. Jany Kopfové, PhD. Prezentaci k této přednášce (a další texty a prezentace) naleznete na webové adrese http://students.math.slu.cz/jakubsotola. 1 Počátky počítání a slova pro čísla Jak vlastně lidé začali počítat? Nejdříve si museli udělat představu o tom, co je víc, méně, stejně. To bylo jednoduché, když šlo šest mužů lovit a měli jen pět oštěpů, na jednoho nezbyl a museli ho tedy nejdřív vyrobit. Tento systém přiřazování byl základem počítání. U malých stád (do pěti kusů) bylo snadné poznat, že jedna ovce, koza či kráva chybí, mimo jiné i podle chybějící (němé) tváře. S většími stády to už byl problém, pastevci neuměli dost dobře počítat, ale přiřazování byla ta správná finta fň, která ho vyřešila. Za každou ovci puštěnou z ohrady se přemístil jeden kámen z koše ovce v ohradě do koše ovce na pastvě a při návratu opačně. Jak se počítání a čísla vyvíjela dál můžeme vysledovat také z jazyků. Stačí si všímat vztahů mezi slovy, jejich společných kořenů a dohledat tak vývoj slov označujících (nejen) čísla. Neboli pomoci nám může lingvistická věda, která se zabývá vznikem a vývojem slov a nazývá se etymologie. Z etymologických poznatků nám vyplývá, že se čísla neobjevila naráz, ale postupně. Začalo to s jedna, dvě, mnoho. Cokoliv víc než dvě bylo tedy mnoho. Dokládá nám to třeba latina, kde trans znamená přes nebo za, a podobné slovíčko tres znamená tři. Ještě viditelnější je to ve francouzštině zatímco tři se řekne trois, tak tres znamená velký nebo velmi. Dalším dokladem o počítání jedna-dva-mnoho jsou mluvnická čísla, dnes máme v češtině pouze dvě tyto kategorie číslo jednotné a číslo množné. Ale když skloňujte třeba ruce nebo nohy, používáte možná aniž byste to věděli číslo dvojné (tzv. duál). Ruka bez ruky jako 1

žena bez ženy, ale s rukama a s ženami. V tomto případě číslo dvojné zcela nahradilo plurál a zdegenerovalo tak pouze v malou nepravidelnost. Ale v jiných jazycích (např. finština, arabština) se dvojné číslo doposud používá rovnocenně s jednotným a množným. Některé oceánské jazyky dokonce používají čísla trojná a čtverná a teprve pak množná. Jak předznamenala předchozí věta, další vývoj směřoval (logicky) ke trojce a čtyřce. Jak tento skok asi přišel si můžeme ilustrovat na jazyce austrálského národa Arandů. Ti používají pro vyjádření trojky a čtyřky složené výrazy tara-ma-ninta a tara-ma-tara, tedy dvě a jedna a dvě a dvě. Další číslovky však už jejich slovník neobsahuje. Tady už se začala tvorba číslovek zobecňovat místo tvorby speciálních výrazů pro jednotlivá čísla se začaly hledat pravidla, jak pojmenovat libovolně velké nové číslo. Jinými slovy začaly vznikat první číselné soustavy. Nejdříve byly podobně konečné jako systém tara-ma-tara, ale postupně začaly bytnět. Zároveň s nárůstem nejvyššího vyjádřeného čísla rostl i základ. Z dvojkové soustavy se stala čtyřková, a z té osmičková. Dokladem tohoto vývoje je jednak to, že v některých jazycích má čtyřka nebo osmička při skloňování koncovku duálu. A jednak opět příbuznost slov tentokrát devět a nový, tedy v latině - novem, novus nebo v němčině - neun a neu, který naznačuje, že devítka byla jistou novinkou v počítání. Dnes ale počítáme v soustavě desítkové. To proto, že do vývoje číselných soustav zasahovaly i další vlivy pět prstů na ruce, deset na obou dvou, dvacet prstů celkem, na tucty vyjde vše lacinějc (jak v nevhodnou chvíli, ale jistě pravdivě, poznamenal dobrý voják Švejk) a další. Vyvíjely se tak soustavy pětkové, desítkové, dvanáctkové, patnáctkové, dvacítkové a dokonce šedesátkové. O těch si ale povíme níže. Mimochodem čtyřka se taky váže k ruce kromě palce, který je svým způsobem speciální jsou na ruce prsty právě čtyři! - V antice se jako délkové jednotky používaly právě prsty (na šířku) a dlaně, když čtyři prsty daly jednu dlaň. Další zajímavostí, že anglické slovo digit - které tak dobře známe ze všech těch digitálních věcí, pochází z latinského číslice, digitus, což znamená prst. Pozůstatky po různých číselných soustavách můžeme opět vysledovat v jazyce. V češtině jsou to třeba tucty, kopy a mandele (12, 60, resp. 15 kusů) nebo -náctky, které naznačují dvacítkovou soustavu. V jiných jazycích jsou tyto náznaky ještě patrnější. Třeba v angličtině eleven a twelwe (jedenáct a dvanáct), kromě toho, že se od ostatních číslovek výrazně liší jsou patrně odvozeny od one left, two left, tedy jeden zbyl, dva zbyly - rozuměj po napočítání do deseti. Toto krásně ilustruje konflikt desítkové a dvanáctkové soustavy. Ve francouzštině je pak patrný taky vliv soustavy dvacítkové osmdesát se řekne quatre-vingts, tedy čtyři dvacítky. Devadesát je pak quatre-vingts-dix, čtyři dvacítky a deset. Pro úplnost dodejme taky, že šedesátková soustava se dosud používá v měření času a rovinných úhlů. Když vidíme na paklíku cédéček číslo šest, víme, že to znamená šest cédéček. Když vidíme číslo šest na sedadle (třeba v divadle), víme, že to znamená šesté sedadlo v řadě. Rozdíl těchto významů číslovek je nám jasný jako facka. Lingvistika nás ale zase přesvědčí, že tomu tak nebylo vždycky. Všimněte si rozdílu mezi slovem jedna a první (či dva a druhý), nebo rozdílu mezi dva a polovina. Nízké řadové číslovky či zlomky se od těch základních 2

značně liší. Tyto rozdíly jsou opět patrné i v jiných jazycích one first, two second, three third. Náš lingvistický exkurz uzavřeme touto kuriozitou příslušníci kanadského indiánského kmene Cimjšanů používají pro různé předměty různé číslovky (viz tabulka) a konstatováním, že prosté počítání je tak abstraktní záležitost, že zbytek matematiky je proti tomu naprosto jasný a zřejmý. Číslo Počítání Ploché Kulaté Dlouhé Lidé Kánoe Míry jen tak předměty předměty předměty 1 Gyak Gak G erel K awutskan K al K amaet K al 2 T epqat T epqat Goupel Gaopskan T epqadal G alpeeltk Gulbel 3 Guant Guant Gutle Galtskan Gulal Galtskantk Guleont 4 Tqalpq Tqalpq Tqalpq Tqaapskan Tqalpqdal Tqalpqsk Tqalpqalont 5 Ketone Ketone Ketone K etoentskan Keenecal Tetoonsk Ketonsilont 6 K alt K alt K alt K aoltskan K aldal K altk K aldelont 7 T epqalt T epqalt T epqalt T epqaltskan T epqaldal T epqaltk T epqaldelont 8 Guandalt Yuktalt Yuktalt Ek tlaedskan Yuktiedal Yuktalk Yuktaldelont 9 Ketemac Ketemac Ketemac Ketemaetskan Ketemacal Ketemack Ketemasilont 10 Gy ap Gy ap Kpeel Kpeetskan Kpal Gy apsk Kpeont 2 Počítání pro pokročilé aneb znaky pro čísla S vynálezem písma (a písmen) je neodlučitelně spojen i vynález číslic. Pro připomenutí číslice je jako písmeno, zatímco číslo je jako slovo. O způsobu zápisu čísel mluvíme obvykle jako o číselné soustavě (tento pojem jsem vlastně použil už v předchozí části). Číselné soustavy (nebo příslušné číslice) se historicky jmenují podle (domnělé) země původu. Mezi nejznámější patří římské a arabské, my si ale představíme i některé další. Dále se číselné soustavy dělí na poziční a nepoziční co to znamená si řekneme níže. Nejprve si představme zápisy nepoziční. 2.1 Egyptské číslice Jednotlivé číslice představují svislou čáru, patu, provaz, lotos, ukazovák, pulce (žábu, mníka), udiveného člověka. Dvacet sedm by se vyjádřilo jako, na pořadí číslic nezáviselo, číslo se uzavíralo do oválu. Egyptské číslice reprezentují nejjednodušší způsob zápisu čísel, podobný zápis používalo 3

i mnoho jiných kultur. 2.2 Římské číslice Římské číslice určitě dobře znáte. Ale pro jistotu je připomenu: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Římská soustava je unikátní, protože používá odčítací princip čtyřka se zapíše zapíše jako pět mínus jedna nebo jedna zbývá do pěti, tedy jak známo IV. Ale u větších čísel díky tomu vznikají nejednoznačnosti. Má se psát IMM, MIM, nebo MCMXCIX? Zapisuje se 45 jako VL, nebo XLV? Proto se zavádí určitá pravidla: Odčítá se nejvýše jedna číslice a pokud se může odčítat, tak se musí (toto pravidlo jistě znáte a ani já jsem ho při nabízení různých variant římských čísel neporušil). Odčítají se pouze desítkové číslice I,X,C,(M). Toto vylučuje zápis VL. Odčítá se pouze od číslice nejvýše desetkrát větší. I tedy může být před V a X, ale před žádnou zbývající číslicí, X může předcházet číslicím L a C, ale nikdy D nebo M. Toto pravidlo vylučuje zápisy MIM a IMM. Po číslici od které jsme odčítali už může následovat pouze číslice menší. (CMM by tedy byl také nesprávný zápis). Tato pravidla jsou však velmi komplikovaná. 2.3 Čínské číslice a poziční soustava Tradiční čínská soustava je mnohem lepší než všechny, které jsme si doposud představili. Již se velmi blíží pozičním soustavám, a to dokonce natolik, že bychom mohli hovořit o soustavě pseudopoziční. Číňané používali celkem čtrnáct číslic pro 1-9 (řekněme základní) a pak pro desítky, stovky, tisíce, desetitisíce a statisíce (řekněme řádové, nikoli však řadové). Zapisovali je do sloupců, vždy jedna základní a jedna řádová ty v sestupném pořadí. 4

S tradičními čínskými číslicemi se můžete setkat například na mahjongových kostkách. V Číně už dnes přijali dokonalejší číslice arabské. Ted si ukážeme druhou sadu staročínských číslic. A na jejich příkladu si konečně vysvětlíme, co je to ta poziční soustava. Tato sada obsahuje celkem osmnáct číslic - dva znaky pro každou číslici (toto není pro poziční zápisy nutností). Číslice se zapisují podobně jako ty tradiční jen chybějící řádové číslice se vynechávají a dvě sady číslic se střídají pro lichý řád jedna sada a pro sudý druhá. Číslo z obrázku se tedy dá interpretovat jako 5 1 000+6 100+6 10+2. Je to tedy podobné arabským číslicím, které se také zapisují pozičním systémem. Je tu ale jeden rozdíl nula. Ta se znázorňovala vynechávkou střídání sad tak pomáhala si ji uvědomit. Tyto číslice se původně nepsaly symbolizovaly se tyčemi. Šlo tedy o jakési počítadlo. 2.4 Rozdíly mezi pozičními a nepozičními soustavami Než si popíšeme další poziční soustavy, zjistěme v čem jsou tak výhodné. V jednoduchosti to shrňme v následující tabulce. Nepoziční Čínský pseudopoziční Poziční Písemné počty neumožňuje umožňuje umožňuje Desetinná čísla spíše neumožňuje nepřímo umožňuje umožňuje Zápis libovolně neumožňuje neumožňuje umožňuje velkých čísel Délka (celého) čísla různá přímá úměra přímá úměra vs. délka zápisu Potřeba nuly vůbec vůbec poměrně nutná Zápis desetinných čísel by se dal nějak zařídit jak u tradičních čínských číslic, tak u číslic egyptských. U číslic římských by však byl značně problematický. 5

U nepozičních soustav by nebyl až takový problém zapsat libovolně velké číslo, jen by obsahovalo obrovské množství největších číslic (M, resp. udivený člověk). U tradičního čínského zápisu by to však vyžadovalo zavedení nových řádových číslic. Dalším problémem byt spíše estetickým je délka čísla. U nepozičního zápisu se délka čísla mění naprosto nepravidelně, zatímco u zápisu pozičního platí čím větší číslo, tím delší zápis (tedy u čísel přirozených). O klasickou přímou úměru samozřejmě nejde. Jedinou nevýhodou pozičního systému je to, že bez nuly se stává nepřehledným. Ale i přesto vyhrává poziční zápis mezi ostatními (známými) na celé čáře. 2.5 Sumerské číslice Těchto padesát devět znaků jsou opravdu všechno pouze číslice. Zapisovaly se pozičně, nula se značila vynechaným místem. Podle dosavadních poznatků vymysleli poziční soustavu jako první právě Sumeřané. 2.6 Mayské číslice Mayské číslice jsou vedle arabských jedny z nejdokonalejších patří mezi ně totiž i nula, která se znázorňovala piktogramem mušle. Zásadním rozdílem oproti arabským je, vedle počtu číslic, to, že nejsou představovány žádnými abstraktními klikyháky, ale jsou to 6

systematické skupiny symbolů jako tomu je i u číslic čínských (těch druhých) nebo babylonských. 2.7 Arabské číslice Pochází z Indie, pravděpodobně z civilizace okolo měst Mohendžo-Daro a Harappa. Je jich deset (včetně nuly) a zapisují se pozičně. Do Evropy je během středověku přinesli arabští učenci. Původně možná taky systematické ale předáváním mezi generacemi a kulturami prošly podobným vývojem jako písmo a nabyly abstraktní podoby. Na obrázku můžete vidět různé verze arabských číslic - původní, hindskou, arabskou (tyto dvě varianty se také stále používají), středověkou evropskou a moderní evropskou (i se zdrojem obrázku). Právě tyto číslice dnes dominují světu jiné se prakticky nepoužívají. 7

2.8 Kupecké soustavy Kupeckými soustavami myslím dnes již zastaralé počítání na tucty, mandele a kopy. Jsou to vlastně tři různé soustavy: dvanáctková tucet = 12, veletucet = tucet tuctů = 144 patnáctková mandel = 15 šedesátková kopa = 60, velekopa = kopa kop = 3 600. Pro vysvětlení pojmů dvanáctková soustava apod. viz sekce základy. Číselné soustavy a jejich 2.9 Ploty Ano, mám na mysli číslice typické pro hospodské lístky. Jsou to sice jednoduché, až primitivní číslice, ale mají jednu velkou výhodu při počítání při počítání předem neznámého počtu kusů, jsou rychle napsané, přehledné a sčítají se skoro samy. Jde samozřejmě o soustavu nepoziční. 2.10 Morseovy číslice Součástí Morseovy telegrafické abecedy jsou samozřejmě i číslice. Sammuel Morse vycházel, pochopitelně, z číslic arabských. Nicméně na rozdíl od písmen jsou číslice opět systematické. A tento systém je dokonce cyklický. 2.11 Jiné znaky 1 2 3 4 5. - - - -.. - - -... - -.... -..... 6 7 8 9 0 -.... - -... - - -.. - - - -. - - - - - K zápisu čísel neodmyslitelně patří i jiné symboly než jen číslice. Například znaménko + vzniklo zkomolením latinského et, tedy a. Znaménko zase vzniklo zkomolením písmene m jako minus. Znaménko = pak zavedl v roce 1557 Robert Recorde a vysvětlil, že přece nic si nemůže být rovnější než dvě rovnoběžky. Dříve se pro vyjádření rovnosti používal symbol α nebo æ jako latinské aequalis, tedy roven. Mezi další speciální znaky patří zlomková čára dělící číslo (zlomek) na čitatel a jmenovatel. Podobný zápis používali už starověcí Egypt ané, jen místo čáry používali symbol úst. Různými způsoby se značila čísla záporná která byla (mimo Evropu) také známa už ve starověku. Číňané používali pro odlišení záporných čísel červený inkoust, Indové psali záporná čísla do kruhu a Arabové používali tečku nad číslem. 8

2.12 Číselné soustavy a jejich základy O číselných soustavách jsem se zmínil už v části o pojmenování čísel. Tam jsem používal pojmenování odvozené do čísel dvojková, osmičková, desítková, dvanáctková, šedesátková,... Tato pojmenování se vztahují k takzvanému základu soustavy. U pozičních soustav se dá základ jednoduše charakterizovat jako počet číslic nebo počet číslic plus jedna (podle toho, jestli mezi dané číslic patří i nula). Složitě řečené si ilustrujme jednoduchým příkladem arabské číslice tvoří soustavu desítkovou, podobně jako čínský poziční zápis. Arabských číslic je deset - {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, čínských devět - {,,,,,... } (tedy v jedné sadě). O něco výše jsem popsal jak se dá číslo 5 662 v desítkové soustavě (zapsané čínskými či arabskými číslicemi) rozepsat takto: 5 662 = 5 1000 + 6 100 + 6 10 + 2 = 5 10 3 + 6 10 2 + 6 10 1 + 2 10 0, tedy na součet (celočíselných) mocnin deseti vynásobených jednocifernými čísly. To, že jde o mocniny právě deseti samozřejmě není náhoda. Mayové používali soustavu dvacítkovou, zápis 5 662 by tedy chápali jako 42 522. 5 20 3 + 6 20 2 + 6 20 + 2 = 42 522 Sumerové by tentýž zápis chápali dokonce jako 1 101 962. V osmičkové soustavě by to dělalo 2 994. 5 60 3 + 6 60 2 + 6 60 + 2 = 1 101 962 5 8 3 + 6 8 2 + 6 8 + 2 = 2 994 Ve dvojkové soustavě by zápis 5 662 neměl smysl, protože ta je tvořena pouze číslicemi 0 a 1. To by snad stačilo k pochopení pozičních(!) soustav s různými základy, zároveň jsem předvedl jak se dá číslo zapsané v libovolné soustavě přepočítat do soustavy desítkové. Co když bych ale měl číslo zapsané v soustavě desítkové a chtěl bych ho zapsat v soustavě o jiném základu? Ukažme si to na převodu čísla 5 662 do dvojkové soustavy. Budeme naše 9

číslo opakovaně dělit se zbytkem(!) základem požadované soustavy až dojdeme k nule: 5 662 : 2 = 2 831 (0) 2 831 : 2 = 1 415 (1) 1 415 : 2 = 707 (1) 707 : 2 = 353 (1) 353 : 2 = 176 (1) 176 : 2 = 88 (0) 88 : 2 = 44 (0) 44 : 2 = 22 (0) 22 : 2 = 11 (0) 11 : 2 = 5 (1) 5 : 2 = 2 (1) 2 : 2 = 1 (0) 1 : 2 = 0 (1) Zbytky čtené odspodu pak tvoří hledaný dvojkový zápis, tedy 1 011 000 011 110. Kratší zápis bychom měli v soustavě šestnáctkové. 5 662 : 16 = 353 (14) 353 : 16 = 22 (1) 22 : 16 = 1 (6) 1 : 16 = 0 (1) Vyšel nám zbytek 14, to nevypadá jako číslice v šestnáctkové soustavě to však číslice je. Ale aby se nepletla s číslicemi jedna a čtyři zapisuje jako E (A=10, B=11,...). Naše pokusné číslo by se tedy v šestnáctkové soustavě zapsalo jako 1 61E. Ukažme si ještě převod našeho pokusného čísla do osmičkové soustavy a zároveň si na něm demonstrujme princip tohoto postupu. Ted přeskočím až na konec a prozradím výsledek 13 036, a platí tedy 5 662 = 8 4 + 3 8 3 + 3 8 + 6. Dělme nyní rozepsané číslo stejně jako u předchozích převodů. (8 4 + 3 8 3 + 3 8 + 6) : 8 = 8 3 + 3 8 2 + 3(6) (8 3 + 3 8 2 + 3) : 8 = 8 2 + 3 8(3) (8 2 + 3 8) : 8 = 8 + 3(0) (8 + 3) : 8 = 1(3) 1 : 8 = 0(1) Vidíme, že jednotlivé řády postupným dělením zdegenerují na čísla menší než základ, tedy vlastně číslice dané soustavy (nebo jednociferná čísla v dané soustavě). A ty se v dalším 10

kroku objeví ve zbytku po dělení. Zbývá zodpovědět otázku proč je převod do desítkové soustavy podstatně jednodušší než převod z ní. Odpověd je jednoduchá všechny výpočty totiž provádíme právě v desítkové soustavě. Zkuste si počítat v jiné soustavě: je-li 3 3 = 33 kolik je pak 6 7? (Výsledek je 52, základ soustavy vám ale neprozradím.) Na dvojkové soustavě je založeno i toto kouzlo. Dobrovolník si myslí libovolné číslo od jedné do šedesáti tří a ukáže všechny následující tabulky, ve kterých se myšlené číslo nachází. Kouzelník sečte první čísla (tj. čísla v levých horních rozích) v označených tabulkách a získá tak myšlené číslo. 1 3 5 7 9 11 13 15 2 3 6 7 10 11 14 15 17 19 21 23 25 27 29 31 18 19 22 23 26 27 30 31 33 35 37 39 41 43 45 47 34 35 38 39 42 43 46 47 49 51 53 55 57 59 61 63 50 51 54 55 58 59 62 63 4 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 24 25 26 27 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 40 41 42 43 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 56 57 58 59 60 61 62 63 16 17 18 19 20 21 22 23 32 33 34 35 36 37 38 39 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 56 57 58 59 60 61 62 63 První čísla v tabulkách jsou dvojkové řády (2 n ). A všechna čísla v příslušné tabulce obsahují ve svém dvojkovém rozvoji právě tento řád s nenulovou číslicí (jedničkou). Šedesát tři je nejvyšší šesticiferné číslo ve dvojkové soustavě. 2.13 Základy nepozičních soustav U nepozičních soustav se většinou o základu nemluví nemá totiž ani zdaleka takový význam jako u soustav pozičních. Navíc mohou mít některé nepoziční soustavy základ smíšený. Takovou soustavu tvoří třeba římské číslice vyskytuje se tam dva základy hlavní desítka a vedlejší pětka. Proč hlavní a vedlejší? Ryzí pětkové řády jsou 5, 25, 125,..., zatímco římské pětkové řády jsou 5, 50 a 500. Egyptské číslice a ploty jsou pro změnu soustavy o jediném základu, a to konkrétně deset, resp. pět. 2.14 Využití nedesítkových soustav Nejznámějším je asi využití dvojkové soustavy v počítačové technice. Dvojková číslice (tedy nula nebo jednička) se nazývá bit, což je zkratka z binar digit - tedy dvojková číslice. 11

Osm bitů (neboli osmiciferné dvojkové číslo) pak tvoří jeden byte, což doslova znamená slabika. Jak už jsem několikrát zmínil obchodníci donedávna využívali dvanáctkovou soustavu to protože desítka je dělitelná pouze dvojkou a pětkou (kromě jedničky a sebe sama), zatímco tucet dvojkou, trojkou, čtyřkou a šestkou. V informačních technologiích se dále využívají třeba osmičková nebo šestnáctková soustava. Šestnáctková se využívá i v klasifikaci barevných odstínů původně pouze v html kódu, ale protože jde o objektivní pojmenování, rozšířilo se i do dalších oborů. Každý odstín je specifikován šestimístným šestnáctkovým číslem, kde 000 000 znamená černou a FFF FFF bílou. Tento kód popisuje celkem 16 7 1 = 268 435 455 odstínů barev, ze kterých si snad vybere každý. A pamatujte: jsou 10 druhy lidí ve vesmíru ti, kteří znají dvojkovou soustavu a ti, kteří ne. 3 Číselné třídy Základní - N Z Q R C, I R N - množina všech přirozených čísel, Z - m. v. celých č., Q - m. v. racionálních č., R - m. v. reálných č., I - m. v. ryze imaginárních č., C - m. v. komplexních č. Doplňkové - Q, C \ Q, J R \ Q Q - m. v. algebraických č., C \ Q - m. v. transcendentních č., J - m. v. iracionálních č. Zbytkové třídy modulo m - Z m Podrobněji o jednotlivých třídách a jejich prvcích v následujících částech. 4 Přirozená čísla a prvočísla Definice množiny všech přirozených čísel není úplně jednoznačná. Historicky by ji měla tvořit celá kladná čísla, tedy čísla 1, 2, 3,... Ale při některých matematických interpretacích je výhodnější přidat do této množiny i nulu například pokud přirozená čísla chápeme jako počty prvků (konečných) množin. V Česku se obvykle dává přednost historické variantě, v USA naopak té matematické. Od nejednoznačné definice se odvíjí i různá označení. N 0 N N m. v. přir. č. včetně nuly m. v. přir. č. at s nulou nebo bez m. v. přir. č. bez nuly 12

V souladu s českými matematickými zvyklostmi nebudeme nulu řadit mezi přirozená čísla, pokud nebude řečeno jinak. 4.1 Fermatova věta Roku 1637 si francouzský právník a amatérský(!) matematik Pierre de Fermat poznamenal na okraj aritmetického spisu toto tvrzení: žádná tři přirozená čísla a, b, c nesplňují rovnici a 2 + b 2 = c 2 pro libovolné přirozené n > 2 a že okraj papíru je příliš malý na to, aby se mu tam vešel důkaz. Pak na vše patrně zapomněl, protože důkaz nedodal ani později a připravil tak mnoho bezesných nocí mnoha generacím matematiků. Fermatovu větu dokázal až o 358 let později (tj. roku 1995) Andrew Wiles na základě výsledků nemála předchůdců a pomocníků a důkaz se rozhodně nevešel na okraj papíru žádného známého formátu. Jedna otázka však zůstává znal Fermat důkaz svého tvrzení? 4.2 Velká čísla Dnes se běžně (ve finančnictví) počítá s milióny, miliardami a dokonce i bilióny. Mohlo by se zdát, že to jsou mezinárodní slova, ale v americké angličtině (a bohužel to proniká i do britské) žádný termín jako milliard neexistuje. Počítá se takto million, billion, trillion,... To je ukázka nepochopení systému pojmenování vysokých číslovek. Podívejme se na to: milión 10 6 miliarda 10 9 = 10 6+3 bilión 10 12 = 10 2 6 biliarda 10 15 = 10 2 6+3 trilión 10 18 = 10 3 6 kvadrilión 10 24 = 10 4 6 centilión 10 600 = 10 100 6 Předpona bi- značí dva, tedy logicky značí dvojnásobný exponent (neboli dvojnásobný počet nul). Podobně předpona tri- znamená trojnásobek,... Číslovky končící na -liarda pak představují přechodné řády. Tento systém je podstatně logičtější než ten americký. Miliarda je, nicméně, nepředstavitelně vysoké číslo. Pro ilustraci miliarda korunových mincí naskládaná na sebe by vytvořila věž vysokou asi 1850 kilometrů(!), sahala by tedy až do exosféry. Dopravní letadla běžně nelétají výš než v 15 kilometrech. Naskládány vedle sebe (naplocho) by pak vytvořily řetěz délky 20 000 kilometrů to je necelá polovina délky rovníku. Spotřebovalo by se na ně 3 600 tun kovu. Ale existují i podstatně větší čísla traduje se, že šachy vynalezl jistý Quaflan na žádost krále Balhaita za odměnu mu král slíbil vyplnit každé přání. Quaflan měl jen jediné na první pole šachovnice jedno zrnko obilí, na druhé pole dvě, a na každé další vždy dvojnásobek toho, co na předchozí. Král jeho přání původně považoval za skromné. Ve skutečnosti to ale je celkem 36 893 488 147 419 103 231 (třicet šest triliónů osm set devadesát tři biliard čtyři sta osmdesát osm biliónů sto čtyřicet sedm miliard čtyři sta devatenáct 13

miliónů sto tři tisíc dvě stě třicet jedna) zrnek obilí. Při váze 43 gramů na tisíc zrnek to je asi 1 586 419 990 339 (jeden a půl biliónu a nějaké drobné ) tun obilí. Současná světová produkce pšenice se pohybuje mezi šesti sty a sedmi sty milióny tun ročně. I když sečtu produkci všech druhů obilnin (včetně kukuřice a rýže) troufám si tvrdit, že takové množství obilí, jaké si přál Quaflan, ještě lidstvo nevypěstovalo. Předchozí historka nám demonstruje rychlost exponenciálního růstu, ale existuje funkce (posloupnost), která narůstá ještě rychleji faktoriál. V jednom balíčku žolíkových karet je celkem 52 listů (bez žolíků), počet všech možných kombinací je 52! (padesát dva faktoriál, tj. 52 51 50... 1), což je něco málo přes 8 10 67 (nazývalo by se to asi osmdesát undecinebo undekaliónů). Kdyby Bůh (nebo kdokoliv jiný) namíchal každou sekundu od velkého třesku jinou kombinaci (přesněji permutaci) nebyl by dnes ani v oktilióntině (vlastně by sotva začal) tedy pokud velký třesk nastal před 13,7 miliardami let a ne MNOHEM, ALE MNOHEM dřív. 4.3 Magická a mystická čísla V této části se vlastně budeme zabývat numerologií nebo alespoň něčím podobným. Počátky této (pa)vědy můžeme nalézt v antickém Řecku a zejména mezi žáky slavného Pythagora. Historik Plútarchos píše: Pythagorejci mají hrůzu z čísla 17, nebot to leží právě mezi 16 (což je čtverec 4 4) a 18 (což je dvojnásobek čtverce 3 3). A jestli se ještě nebojíte, tak jistě budete až si uvědomíte, že čísla 16 a 18 jsou jediná čísla, představující obsahy a zároveň obvody stejných obdélníků (respektive čtverce 4 4 a obdélníka 3 6). Jedním z druhů magických čísel jsou takzvaná čísla dokonalá to jsou čísla, která se rovnají součtu všech svých dělitelů (kromě sebe sama samozřejmě). Nejmenším z nich je šestka: 6 = 1+2+3. Druhým je 28. Pak prudce narůstají šestnácté už má 1 326 číslic (a trumfne tak i největší číslo z předchozí části). Podobná dokonalým číslům jsou čísla přátelská jsou to vždy dvojice čísel, která se navzájem rovnají svým dělitelům, jednomu z nich se pak říká deficitní a druhému přebytkové. Deficitní číslo je to, jehož součet dělitelů je menší než ono samo (a ten je roven číslu přebytkovému) a naopak. Nejmenšími přátelskými čísly jsou 220 a 284 z nichž 220 je přebytkové a 284 deficitní. Zajímavým číslem je třeba 142 857 násobte ho dvojkou až šestkou. Dostanete čísla složená ze stále stejných číslic (tj. číslic 1, 2, 4, 5, 7 a 8). Při vynásobení 7 dostanete 999 999, což by vás mělo přivést k tomu, že se jedná o periodu jedné sedminy. Číslo 102 564 se dá velmi snadno vynásobit čtyřmi stačí přehodit čtyřku z konce na začátek. Jak bychom našli podobné číslo pro násobení trojkou? Končí trojkou, předchozí číslice je 3 3 = 9, předchozí je sedm (3 9 = 27), další číslici musíme zvětšit o dvě... Výsledek je krapet delší 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793. Mimochodem je to perioda čísla 3/29. Obecně takováto čísla pro jednociferná n dostaneme jako periodu čísla n/(10n 1). Mezi magická čísla určitě patří i čtverce tedy druhé mocniny nebo takzvaná čísla pyramidální. Jde o čísla vyjadřující počet koulí tvořících pyramidu 1, 5, 14,... Každé patro pyramidy je vlastně tvořeno čtvercem, jde tedy o součty po sobě jdoucích čtverců. Jedno 14

číslo je ale zároveň čtvercové i pyramidální číslo 4 900. A je opravdu jediné. Tuto část uzavřeme malým přehledem mystických významů čísel. 1 božské, nejsvětější číslo; symbol jednoty 2 ženský princip 3 mužský princip, trojjedinost, otec-matka-dítě, minulost-přítomnost-současnost 4 počet živlů, v Japonsku číslo smrti (stejný výraz pro 4 i smrt) 5 symbol soustředěné síly, pentagram, hlava-ruce-nohy, a dnes i Pentagon 6 hexagram Davidova hvězda, šest ve starověku známých planet 7 úplnost, dokonalost divy světa, barvy duhy, smrtelné hříchy, trpaslíci,... 8 dva kruhy 9 3 3, v antickém Řecku počet měsíců, v Japonsku opět neštěstí 10 1+2+3+4, součet Pythagorových významných čísel, Desatero 11 symbol hříchu o jedna víc než Desatero, nebo naopak jedenácté přikázání 12 št astné číslo, apoštolové, zvěrokruh, kmeny Izraele, tucet 13 nejobávanější nešt astné číslo; počet osob při poslední večeři; v babylonském kalendáři byl tento měsíc ve znamení havrana; třináctý tarot je smrt; číslo 666 je ve třinácté kapitole Janova zjevení; triskaidekafobie je chorobný strach z třináctky; v Britských a Amerických hotelech nenajdete pokoje či dokonce patra s číslem třináct; pátek třináctého, třináctý den v měsíci připadá nejčastěji právě na pátek, a dokonce i tato přednáška se konala v pátek třináctého; naopak št astným číslem je v kabale, ve staroegyptském a mayském náboženství 17 nešt astné číslo, zejména v Itálii, Renault 17 se tam prodával jako 117 asi tam je mnoho Pythagorových obdivovatelů 108 svaté číslo buddhismu 666 číslo šelmy, satana, zla podle Kabalské numerologie mu odpovídá jméno Nero 4.4 Prvočísla Prvočísla asi nemusím nijak sáhodlouze představovat jsou to přirozená čísla kromě jedničky, která jsou dělitelná pouze jedničkou a sama sebou. Zbylá přirozená čísla (opět kromě jedničky) pak nazýváme čísly složenými. Prvočísla jsou nepochybně nejzajímavější a nejzáhadnější množinou přirozených čísel. Záhadou je už její obsah která čísla jsou prvočísly a která ne? Jaký je obecný předpis pro prvočísla? Existuje vůbec nějaký? Snadno můžeme odhalit malá prvočísla pomocí takzvaného Eratosthénova síta. To je algoritmus (postup), který spočívá v postupném prosévání čísel od dvojky do dané meze. V prvním kroku odstraníme (prosejeme) všechny násobky nejmenšího prvočísla dvojky. V druhém kroku odstraníme všechny násobky následujícího prvočísla trojky. Ve třetím kroku odstraňujeme násobky pětky, protože čtyřku jsme odstranili už v prvním kroku,... Jakmile se dostaneme k prvočíslu, které je větší než odmocnina z dané meze můžeme už všechna zbylá čísla prohlásit za prvočísla. Eratosthénovo síto si můžete snadno vyzkoušet na http://www.hbmeyer.de/eratosiv.htm. 15

Podobně můžeme zjistit, zda je některé číslo prvočíslem zkoušíme dělitelnost čísly od dvojky do odmocniny ze zkoumaného čísla. Když není dělitelné ničím, je to prvočíslo. Britský matematik Godfrey Harold Hardy vypočítal, že prvočísel menších než miliarda je 50 847 478. Současně největším známým prvočíslem je 243 112 609 1, má 12 978 189 číslic a bylo objeveno roku 2008. Co ale o prvočíslech víme je, že jich je nekonečné množství. Důkaz je snadný a proto ho i uvedu: mějme libovolnou konečnou množinu prvočísel P 0 vynásobme všechny její prvky a přičtěme jedna. Výsledek je dělitelný všemi prvočísly z P 0 se zbytkem jedna, tedy nedělitelný. Jedná se tak bud o prvočíslo nebo o součin prvočísel, která nepatří do P 0. Ke každé konečné množině prvočísel tak můžeme nalézt další (alespoň jedno) prvočíslo. Tento důkaz popsal už Eukleides. Tvrzení o nekonečném množství prvočísel se tak někdy uvádí jako Eukleidova věta. Jistou prvočíselnou zajímavost popsal Pierre Fermat každé prvočíslo, které lze zapsat jako 4n + 1 (kde n N) je součtem dvou čtverců. Zajímavá posloupnost prvočísel začíná číslem 41. Postupně přičítejte sudá čísla. Dostanete posloupnost čtyřiceti prvočísel. Posledním je 1601. 4.5 Typy prvočísel Podle určitých vlastností (a především podle formy zápisu) rozlišujeme mnoho typů prvočísel. Uvedu ty nejzajímavější. Základním typem jsou prvočíselná dvojčata dvojice prvočísel lišících se o dvě. Například: 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13, 17 a 19,..., 2 591 a 2 593,... Největšími dosud objevenými prvočíselnými dvojčaty jsou65 516 458 355 2 333 333 ± 1 o 100 355 číslicích, objevena byla letos, tedy v roce 2009. Je nevyřešenou záhadou, kolik dvojčat vlastně existuje. Hypotéza tvrdí, že jich je nekonečné množství. Mersennova prvočísla jsou ta, která se dají zapsat ve tvaru 2 p 1, kde p je prvočíslo. Jejich hlavní výhoda spočívá v poměrně rychlém algoritmu prověřování jejich prvočíselnosti. Uvedené největší prvočíslo je také Mersennovo. Jako Fermatova jsou známa ta prvočísla, která se dají zapsat ve tvaru 2 2n + 1. Je známo pouze pět Fermatových prvočísel 3, 5, 17, 257 a 65 537, tedy pro n = 0,..., 4. Ví se, že pron = 5,... 32 se jedná o složená čísla. Význam Fermatových prvočísel tkví v možnosti a nemožnosti zkonstruovat pravidelný m-úhelník (pouze pravítkem a kružítkem). Nutnou a postačující podmínkou je, aby m, bylo vyjádřitelné jako součin mocniny dvojky (včetně první a nulté) a libovolného počtu různých Fermatových prvočísel. Je tedy možné zkonstruovat pravidelné mnohoúhelníky o 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,... vrcholech, zatímco pravidelný sedmi- nebo devítiúhelník zkonstruovat možné není. Po Sophii Germainové se jmenují ta prvočísla, jejichž dvojnásobek zvětšený o jedna je také prvočíslo. Například: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53,... Největším dosud objeveným Germainové prvočíslem je údajně 620 366 307 356 565 2 253 824 o 76 424 číslicích. Objeveno bylo v listopadu tohoto roku (!) týmem mad arských matematiků. Podobně jako u prvočíselných dvojčat je nevyřešenou otázkou, zda je Germainové prvočísel nekonečně mnoho. Dalším zajímavým typem prvočísel jsou faktoriální a primoriální. Tedy prvočísla tvarů 16

n! ± 1, p# ± 1, kde # značí primoriál prvočíselný faktoriál, n přirozené č. a p prvočíslo. Tato prvočísla nejsou ani tak zajímavá jako spíše fakt, že čísla n! + 2,..., n! + n a p# + 2,..., p# + q 1, kde q je prvočíslo bezprostředně následující po p, jsou složená. Pro zajímavost zmiňme ještě sexy prvočísla jde opět o prvočíselné dvojice, tentokrát lišící se o šest. Například: 5 a 11, 7 a 13, 11 a 17,..., 191 a 197,... 4.6 Goldbachova hypotéza Roku 1742 napsal pruský matematik Christian Goldbach svému slavnějšímu příteli Leonhardu Eulerovi tuto hypotézu: Každé sudé (přirozené) číslo větší než dvě může být zapsáno jako součet dvou prvočísel. Euler mu obratem odepsal ekvivalentní tvrzení: Každé přirozené číslo větší než pět může být zapsáno jako součet tří prvočísel. Tato tvrzení nebyla dosud dokázána (ani vyvrácena), přestože jsou patrně pravdivá. Proto se o nich mluví jako o Goldbachově hypotéze. 5 Racionální čísla Jak všichni dobře víme, jde o čísla, která lze vyjádřit jako zlomky tvaru: p ; p Z, q N. q Tady se nám hodí to, že nula do N nepatří. Pokud bychom chtěli racionální čísla vyjádřit v desetinném tvaru, měly konečný, nebo periodický rozvoj. Ukažme si tedy jak převést periodické číslo na zlomek. Vezměme si třeba x = 0, 09. Vynásobme stem a odečtěme původní číslo: Dostali jsme tak: odkud už snadno vyjádříme: 9, 09 0, 09 = 9. 100x x = 99x = 9, x = 9 99 = 1 11. Ukažme si ještě jak se vypořádat s předperiodou třeba na x = 0, 16: 16, 6 1, 6 = 15 100x 10x = 90x = 15 x = 9 15 = 1 6. Racionální čísla uzavřeme tvrzením, že v každém reálném intervalu leží alespoň jedno racionální číslo a o Q se tak říká, že je hustá v R. 17

6 Reálná čísla Po dlouhou dobu byla (alespoň v Evropě) reálná (resp. iracionální) čísla odmítána. Starověcí a středověcí matematici byli přesvědčeni o tom, že všechna čísla lze vyjádřit zlomkem. Přitom mnoho iracionálních čísel znali (a zlomkem je vyjádřit neuměli) - 2, 3, π, ϕ,... Písmenem ϕ se značí tzv. zlatý řez. 6.1 Zlatý řez Rozdělme úsečku na dvě části délek a a b, tak aby se poměr těchto části rovnal poměru větší z nich k celé úsečce. Tento poměr se značí ϕ na počest antického sochaře a architekta Feidia. a b = a + b = ϕ a Snadno můžeme spočíst přesnou hodnotu této konstanty. Z definice zlatého řezu vyplývá, že a = bϕ. Dosazením do definice zlatého řezu dostáváme: bϕ b = bϕ + b bϕ ϕ = ϕ + 1 ϕ ϕ 2 ϕ 1 = 0 To je ale jednoduchá kvadratická rovnice, jejímž kladným řešením (záporné nemá smysl) je (1 + 5)/2. Jak vidno jde opravdu o iracionální číslo. Obdélník s poměry stran ve zlatém řezu a vůbec všechno, kde se nějakým způsobem vyskytuje zlatý řez, je v umění považováno za ideál krásy. Rozdělíme-li zlatý obdélník (má strany v poměru zlatého řezu) na čtverec a obdélník, tak obdélník bude opět zlatý. Ke zlatému řezu můžeme dospět také z Fibonacciho posloupnosti to je posloupnost začínající dvěma jedničkami a jejíž každý další člen je součtem dvou předchozích. Prvních pár členů vypadá asi takto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Posloupnost vytvořená z této dělením dvou sousedících členů (většího menším): 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21,... konverguje ke zlatému řezu. Někdy se zlatý řez značí také τ jako řecky tome = řez. Tady povídání o zlatém řezu utnu, vydalo by to totiž na samostatnou přednášku, pokud ne několikadílnou. 18

6.2 Algebraická a transcendentní čísla Algebraická čísla jsou ta, která jsou řešením (kořenem) některé z algebraických (neboli polynomiálních) rovnic. To jsou rovnice tvaru: a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 = 0; n N, a i R Pro n = 1, to tedy je lineární rovnice, pro n = 2 je to rovnice kvadratická (n nazýváme stupněm rovnice). Mezi algebraická čísla patří všechna racionální čísla a všechny jejich odmocniny. Čísla, která nejsou algebraická se nazývají transcendentní. Patří mezi ně třeba Ludolfovo číslo, Eulerovo číslo (2,718281828..., základ přirozeného logaritmu) a Liouvilleova konstanta. Název transcendentní číslo použil poprvé Leonhard Euler, s tím, že tato čísla jsou lidským rozumem nepochopitelná. Liouvilleovo konstanta je desetinné číslo, které má na prvním, druhém, šestém,... k-faktoriáltém desetinném místě jedničku (pro každé přirozené k) a na zbylých nulu. Je to první číslo, o kterém se vědělo, že je transcendentní. Dá se zapsat také takto: 10 k! = 0, 110 001 000 000 000 000 000 001 00... k=1 6.3 Ludolfovo číslo Číslo pí je nejstarším známým transcendentním číslem. Nicméně, dlouho se věřilo, že je to číslo racionální (protože se věřilo, že žádná jiná čísla nejsou). Nejčastěji se jeho hodnota se aproximovala zlomkem 22/7 (přesnost na dvě desetinná místa). V 5. století n. l. objevil čínský astronom Tsu Chung Chih, krásný zlomek odpovídající číslu pí na 6 desetinných míst 355/113. Ludolfovým číslem se nazývá po nizozemském matematiku Ludolfu van Ceulenovi, který jako první vypočetl číslo π na 35 desetinných míst. Po jeho smrti v roce 1610 bylo toto číslo vytesáno i na jeho náhrobní kámen. Uvedu zde ještě mnemotechnickou pomůcku pomáhající zapamatovat si prvních dvacet pět míst Ludolfova čísla: Mám, ó bože, ó dobrý pamatovat si takový cifer řad. Velký slovutný Archimédes pomáhej trápenému. Dej mu moc nazpamět necht odříká ty slavné, dnes ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfovy! 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88... 19

7 Komplexní čísla Komplexní čísla jsou rozšířením čísel reálných. Vznikají zavedením imaginární jednotky, která se značí i. A platí pro ni: i 2 = 1 neboli i = 1 Násobením imaginární jednotky reálnými čísly vznikají čísla imaginární. Komplexní čísla se pak reprezentují (mimo jiné) jako součet reálného a imaginárního čísla. Zatímco reálná čísla tvoří přímku číselnou (reálnou) osu, čísla komplexní tvoří rovinu nazývá se Gaussova komplexní rovina. 7.1 Kde se vzala? Už perský matematik Muhammad Al-Chórezmí (známý také jako Al-Chwárizmí) si v devátém století všiml, že některé kvadratické rovnice nemají řešení (tedy reálné řešení). V šestnáctém století italský matematik Girolamo Cardano navrhl odstranit tento problém zavedením odmocniny ze záporných čísel, které roku 1637 René Descartes pojmenoval imaginární. Matematická veřejnost tuto novinku však přijímala těžko vždyt v té době teprve v Evropě objevovali čísla iracionální. Imaginární a komplexní čísla prosadily až výsledky matematiků Leonharda Eulera, Augustina Louise Cauchyho a Carla Friedricha Gausse. 7.2 Operace s komplexními čísly Sčítání: (a + ib) + (c + id) = a + c + i(b + d), hrušky s hruškami, jablka s jablky. Násobení: (a+ib)(c+id) = ac+ibc+ida+i 2 bd = ac bd+i(bc+ad), jako dvojčleny. Absolutní hodnota: a + ib = sqrta 2 + b 2. Obdobně jako u reálné abs. hodnoty jde o vzdálenost od nuly. Další operace jsou definovány obdobně. Zajímavé jsou různé mocniny imaginární jednotky: i 3 = i i 2 = i i 4 = i 2 i 2 = 1 7.3 Využití komplexních čísel i 4n+k = } i 4.{{.. i} 4 i k = i k =1 První a hlavní výhodou komplexních čísel je takzvaná Zlatá věta algebry: Každá algebraická rovnice stupně alespoň jedna s komplexními koeficienty má alespoň jeden kořen v množině komplexních čísel. 20

Podle této věty má i rovnice x 2 + 1 = 0 řešení. Je to totiž algebraická rovnice druhého stupně s reálnými (a tedy komplexními) koeficienty. Její řešení je x 1,2 = ±i. Zároveň nás toto tvrzení opravňuje rozšířit definici algebraických (a transcendentních) čísel i na čísla komplexní. Další výhodou je zjednodušení některých výpočtů na množině reálných čísel rozšířením problému na komplexní a následným zúžením výsledku zpět na reálná čísla. 8 Zbytkové třídy Spousta lidí má o vyšší matematice zkreslené představy. A tak se mě jednou kdosi zeptal, jestli je pravda, že první, co se na matfyzu učí je, že 1+1 = 3. Sice studuji pouze matematiku a ne matfyz, ale zatím jsem se s takovýmto případem nesetkal. Nicméně, už jsme si ukázali, že je možné, aby 1 + 1 = 10 (10 druhy lidí). Nyní si ukážeme, že může platit i 1 + 1 = 0. A to na zbytkové třídě modulo dvě, která se značí Z 2. Slovo modulo značí zbytek po dělení (proto taky zbytkové třídy), jedná se tedy o množiny obsahující zbytky po dělení. Tyto množiny samy o sobě nijak zvlášt zajímavé nejsou. Co na nich ovšem zajímavé je to jsou aritmetické operace. Definujme je takto pro a, b, c Z m N, k, l, m, n N: a + b = c (mk + a) + (ml + b) = (mn + c) ab = c (mk + a)(ml + b) = (mn + c). Neboli: je-li součet dvou čísel dělitelných číslem m se zbytky a a b dělitelný tímtéž číslem se zbytkem c, pak součet zbytků a a b na zbytkové třídě Z m je roven zbytku c. Pro součin obdobně. Rozeberme si to na Z 2 : součet dvou sudých čísel je sudý, tedy 0 + 0 = 0 součet lichého a sudého č. je lichý - 1 + 0 = 1 součet sudého a lichého č. je lichý - 0 + 1 = 1 součet dvou lichých č. je sudý - 1 + 1 = 0 součin dvou sudých č. je sudý - 0 0 = 0 součin lichého a sudého č. je sudý - 0 1 = 0 součin sudého a lichého č. je sudý - 1 0 = 0 součin dvou lichých č. je lichý - 1 1 = 1 Až na avizované 1 + 1 = 0 nic překvapivého. Součet i součin na všech zbytkových třídách je komutativní i asociativní, jak jsme tomu zvyklí. Jedinou zradou je přetečení mimo zbytkovou třídu - pak se operace vlastně vrací na začátek. Ukažme si ještě počty třeba na Z 5 : 21

+ 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 Pokud to nechápete (a spousta prváků na MÚ s tím má problém), pak vám možná pomůže uvědomit si, jak počítáme s hodinami. Např.: odcházím v jedenáct hodin, vrátím se za dvě hodiny, tedy v jednu. Jedná se tedy o sčítání na zbytkové třídě modulo dvanáct (jen místo nuly se používá spíš dvanáct). To je důvod proč se modulární aritmetika (počty na zbytkových třídách) v angličtině občas nazývá také clock arithmetic. 9 Dělení nulou Náhodou jsem na internetu narazil na velký objev: 0/0 s dá vypočítat! Vždyt přece: 0 1 = 0 / : 0 1 = 0 0 Bohužel, obdobně se dá dokázat, že 0/0 = 2, a tedy 1=2, což je nesmysl a stejně tak celý důkaz. Ukažme si ještě jeden podobnou spornou úvahu: 4a = 6b 14a 10a = 21b 15b/ 14a/ + 15b 15b 10a = 21b + 10b 5(3b 2a) = 7(3b 2a)/ : (3b 2a) 5 = 7 Kde se stala chyba? Kde jinde než v dělení musí platit 3b 2a 0, což neplatí kvůli počáteční rovnosti. To byla názorná ukázka toho, proč je třeba řešit podmínky u neekvivalentních úprav a zároveň toho, co se může stát při dělení nulou. Navzdory všemu dělit nulou lze. Ale ne na množině R. Je třeba ji rozšířit o zvláštní číslo nekonečno. Dá se to udělat dvojím způsobem. Obvykle přidáváme nekonečna rovnou dvě kladné a záporné, tak aby platilo: x R : x <, x >, ±x ± = ±, x R + : x = 0 x R : x = 0 x R \ {0} : x ± = ± x = 0 ± Reálná osa se nám tak vlastně změní na úsečku s koncovými body ±. Takto vzniklou množinu nazýváme rozšířená m. v. reálných čísel a značíme ji R. Obvykle nevyužívaná 22

možnost je ztotožnit obě nekonečna u takového rozšíření, ale vzniká problém s uspořádáním všechna čísla by byla zároveň větší a zároveň menší než všechna ostatní. Geometricky si to můžete představit jako kružnici. U obou způsobů rozšíření se ale vyskytují tyto nesmyslné výrazy: /, 0, 0/0. Množinu C rozšiřujeme obvykle jediným nekonečnem, tak aby z C : z <. Gaussova komplexní rovina se tak stočí do sféry (kulová slupka), kterou nazýváme Riemannova komplexní sféra. 10 Kardinální čísla Kardinální číslovky tento pojem v lingvistice značí číslovky určené pro počet. V češtině se jim také říká číslovky základní. Obdobně v matematice kardinální čísla značí čísla popisující počet prvků některé množiny. Jsou to tedy přirozená čísla? Ano a ne. Na všechna přirozená čísla se můžeme dívat jako na kardinální čísla, ale existují kardinální čísla, která mezi přirozená nepatří. Například jsme z přirozených čísel vyloučili nulu, ale prázdná množina má přece nula prvků. Hlavně ale v přirozených číslech chybí kardinální čísla nekonečných množin. Říkám to jako by jich bylo víc, protože jich víc taky je. Jak se to pozná, že některá nekonečna jsou různě velká (matematicky mohutná)? Vrat me se na začátek dávní ovčáci používali pro počítání ovcí kameny. Za každou ovci puštěnou z ohrady se přemístil jeden kámen z koše ovce v ohradě (o) do koše ovce na pastvě (p) a při návratu opačně. Když zbyl nějaký kámen v koši p, věděli, že se nějaké ovce ztratily. Když kámen chyběl, věděli, že se ovce ztratila sousedovi a rychle zásobu kamenů doplnili. Nekonečné množiny můžeme poměřovat podobně. Každému prvku z jedné množiny přiřadíme právě jeden prvek z druhé. Když nám zbude v některé množině nějaký prvek, tak ta množina je větší. Matematicky řečeno hledáme vzájemně jednoznačné (neboli bijektivní) zobrazení mezi těmi množinami. Uved me si příklady, množiny N a Z jsou stejně velké jedničku (z N) přiřadíme nule (ze Z), dvojku jedničce, trojku minus jedničce... N Z : 1 0, 2 1, 3 1, 4 2,... Množina R má stejnou mohutnost jako interval ( π/2, π/2). Přiřad me každému x z tohoto intervalu jeho tangens dostaneme celé R. Ale mezi množinou N a R žádné bijektivní zobrazení neexistuje množina R má větší mohutnost. Kardinální číslo (mohutnost) množiny se značí bud křížkem před znakem množiny: #R, nebo svislými čarami (jako u absolutní hodnoty): R. Nejmenší nekonečnou množinou je množina N. Její kardinální číslo se značí hebrejským písmenem alef s indexem nula: N = ℵ 0. Množiny s touto a menší mohutností se nazývají spočetné. Mezi (nekonečné) spočetné patří i množina Q a dokonce i množina všech algebraických čísel. Naopak množina v. transcendentních a m. v. iracionálních čísel spočetné nejsou. 23

10.1 Operace s kardinálními čísly Sčítání: A + B = A {0} B {1} Kartézský součin s množinami {0} a {1} je nutný kvůli zajištění disjunktnosti množin. Pokud bychom ho tam neměli, tak by mohlo nastat toto: Násobení: A B = A B. 4 = 2 + 2 = {1, 2} + {2, 3} = {1, 2, 3} = 3. S konečnými nenulovými kardinálními čísly se tedy počítá tak jak jsme zvyklí. Než přejdeme k těm nekonečným posvit me si na nulu: 0 + A = A. Prázdná množina je disjunktní s každou množinou, tak jsem si mohl dovolit vynechat ty kartézské součiny. 0 A = A Toto platí dokonce i pro nekonečná A. Ted už můžeme přikročit k počítání s nekonečnými kardinálními čísly, nebo alespoň s tím spočetným. Pro konečné kardinální číslo k platí: ℵ 0 + k = ℵ 0 ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 k = ℵ 0, k 0 ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 Tedy asi nic, co bychom nečekali. Kdo nevěří, ověří. 10.2 Hypotéza kontinua Roku 1882 formuloval Georg Cantor toto tvrzení: Množina všech reálných čísel je nespočetná množina s nejmenší mohutností. Protože toto tvrzení nedokázal a protože mohutnost R se označuje také jako mohutnost kontinua, vešlo toto tvrzení do historie jako hypotéza kontinua. Roku 1900 ji David Hilbert zařadil na svůj seznam otevřených problémů, a to na prvním místě. Po mnoha neúspěšných pokusech tuto hypotézu dokázat či vyvrátit, zaznamenal první úspěch Kurt Gödel, když roku 1940 dokázal, že hypotézu kontinua nelze vyvrátit. To ale není totéž jako hypotézu dokázat. Roku 1963 tak Paul Cohen dokázal, že hypotézu kontinua není možné ani dokázat. To znamená, že hypotézu kontinua lze beztrestně považovat za pravdivou i nepravdivou (ale ne obojí zároveň). Dnes se upřednostňuje první možnost. Pak se kardinální číslo množiny R označuje ℵ 1. Jinak se označuje písmenem c (jako continuum). Jak se počítá s c čí ℵ 1 si už zkuste odvodit sami. 24

Zdroje Nebojte se královny!; Jakub Šotola, Jan Koščák; soutěžní práce XXVIII. SOČ http://www.wikipedia.org a další napsáno v LaTeXEditoru, vysázeno L A TEXem v distribuci MiKTeX 25