Laserová technika 1 Aktivní prostředí Laser v aproximaci rychlostních rovnic Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016
Program přednášek 1. Poloklasická teorie šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím 2. Šíření stacionární rovinné vlny v aktivním prostředí 3. Šíření optických impulsů v aktivním prostředí 4. Laser v aproximaci rychlostních rovnic 5. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser 6. Koherentní šíření impulzu a zesílená spontánní emise
Interakce rezonančního záření s prostředím poloklasicky Záření elektromagnetická vlna, popisují MR klasicky Prostředí soubor dvouhladinových kvantových soustav, ω 21 = (E 2 E 1 )/ Interakce záření s hmotou prostřednictvím polarizace prostředí Odezva prostředí 3 vektorové parciální nelineární diferenciální rovnice 2. řádu pro E, P a N. Rezonanční prostředí je disperzní susceptibilita je funkcí frekvence Rezonanční prostředí je nelineární v blízkosti rezonanční frekvence může v závislosti na obsazení hladin docházet k pohlcení nebo zesílení záření (susceptibilita je komplexní) Signál pomalu proměnný impulz s harmonickou nosnou frekvencí ω Timp 1 v rezonanci (ω = ω 21 ) a bez fázové modulace tři rovnice pro obálku
Šíření impulsů (signálů s pomalu proměnnou amplitudou) E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 Charakter šíření určuje délka obálky impulzu T imp v porovnání s relaxačními časy T 1 a T 2 KOHERENTNÍ NEKOHERNTNÍ T imp T 1, T 2 T imp T 1, T 2 APROXIMACE RYCHLOSTNÍCH ROVNIC T 2 T imp T 1
Nekoherentní šíření impulsů T imp T 1, T 2, Stacionární řešení Prostředí (N, P 2 ) relaxuje ke stacionárnímu stavu dříve, než dojde k výrazné změně amplitudy signálu E Relaxace ma větší vliv než změna amplitudy časové derivace 0 Rovnice pro intenzitu záření šířícího se prostředím: di dz = g 0 1 + I/I s I βi Zisk pro slabý signál g 0 = σn 0, absorpce α 0 = σn 0 Účinný průřez pro stimulovanou emisi absorpci σ = µ 0ω 21 c d 21 2 T 2 Saturace zesílení absorpce. Saturační intenzita dvouhladinové soustavy I s = ω 2σT 1
Aproximace rychlostních rovnic T 2 T imp T 1 Polarizace spojená s časem T 2 relaxuje rychle kvazistacionární stav (částečná adiabatická eliminace) E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 0 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 Vyloučíme polarizaci a od E 2 přejdeme k I rychlostní rovnice N(z, t) t = N 0 T 1 {z} buzení N(z, t) 2 σn(z, t)i(z, t) T 1 ω 21 {z } {z } stimul. emise/absorbce fluorescence I(z, t) = σn(z, t)i(z, t) z Zákon zachování energie fotony vs inverze populace hladin
Laser s krátkým rezonátorem 100 % R I 0 I Aktivní prostředí L ap Necht je jeden oběh fotonu rezonátorem, doba t R je mnohem kratší, než chrakteristické časy spojené s generací laserového záření Inverze populace hladin necht je nezávislá na souřadnici a za dobu t R se příliš nezmění zisk g = σn konstanta po dobu t R I(z, t) z = σni(z, t) I tr = I 0 exp[2gl ap]
Laser s krátkým rezonátorem rovnice pro fotony Při započtení ztrát odrazem od zrcadla s reflexivitou R: I tr = I 0 R exp[2gl ap] = I 0 exp[2gl ap + ln R] Změna intenzity na jeden průchod bude: I t = It R I 0 t R = 1 t R (I 0 exp[2gl ap + ln R] I 0 ) = I 0 t R (exp[2gl ap + ln R] 1) V okolí prahu je exponent blízko nuly a na exponencielu lze použít Taylorův rozvoj: I. = I 0 (1 + 2gL ap + ln R 1) = I 0 (2gL ap + ln R) t t R t R Od diferencí... přejdeme k diferenciálům d... : di = I t R (2gL ap + ln R) = cσ 21 IN I t R ln 1 R
Laser s krátkým rezonátorem rovnice pro fotony Máme rychlostní rovnici pro fotony di = cσ 21NI I ln 1 t R R Ještě si vzpomeneme na definici doby života fotonu v rezonátoru... a máme: τ c = t R ln R di = cσ 21NI I τ c Jde to i jinak... Vždy platí určitá omezení: Inverze se příliš nemění podél rezonátoru Relativně malé zesílení a ztráty za jeden oběh se příliš nemění intenzita záření Charakteristická doba změny intenzity t R (krátký rezonátor) Rovinná vlna
Rychlostní rovnice Schéma optického čerpání pevnolátkových laserů Èerpaný pás 3 Èerpaný pás 3 Èerpací pøechod W Základní hladina 31 32 21 Laserový pøechod Tøíhladinový laser Èerpací pøechod 13 03 1 2 W Základní hladina 30 31 20 21 32 Laserový pøechod Ètyøhladinový laser 0 2 1 Pro činnost laseru mají zásadní význam dvě hladiny: excitovaná horní laserová úroveň 2 a spodní laserová úroveň 1.
Elementární procesy absorpce a emise fotonu Einsteinovy součinitele (koeficienty) A, B pravděpodobnost procesu Absorpce fotonu kvantovou soustavou dnm dnn = abs m n abs m n = B mnn mu Spontánní emise fotonu kvantovou soustavou dnn dnm = = A nmn n spont n m spont n m Stimulovaná emise fotonu kvantovou soustavou dnn dnm = = B nmn nu stim. em. n m stim. em. n m Rychlost přechodu (změna populace hladiny za jednotku času) dn = BNu = σn I = cσnφ = σnf hν u hustota energie [J/m 3 ], I intenzita záření [W/m 2 ], φ hustota fotonů [m 3 ], F fotonový tok [1/sm 2 ]
Rychlostní rovnice pro 3-hladinový systém dn 3 dn 2 dn 1 = W N 3 τ 32 = N 3 τ 32 N 2 τ 21 σ 21 cφn 2 + σ 12 cφn 1 = W + N 2 τ 21 + σ 21 cφn 2 σ 12 cφn 1 dn Rychlá relaxace hladiny 3 N 3 N 1, N 2, N 3 = W τ 32 Inverze populace hladin N = N 2 σ 12 N σ 1 = N 2 g 2 21 = dn 2 g 2 dn 1 = W 1 + g 2 N 2 g 1 g 1 τ 21 Celkový počet částic N tot = N 1 + N 2 1 + g 2 g 1 g 1 N 1 N 1 = Ntot N 1 + g 2 /g 1, N 2 = Ntotg 2/g 1 + N 1 + g 2 /g 1 Zavedeme κ = 1 + g 2 /g 1 (pro g 1 = g 2 κ = 2). Dostaneme: dn = κw Ntot (κ 1) N κσ 21 cφn τ 21 τ 21 {z } W 1 + g 2 σ 21 cφ N 2 g 2 N 1 g 1 g 1
Rychlostní rovnice pro 4-hladinový systém dn 3 dn 2 dn 1 dn 0 = W N 3 τ 32 = N 3 τ 32 N 2 τ 21 σ 21 cφn 2 + σ 12 cφn 1 = N 1 τ 10 + N 2 τ 21 + σ 21 cφn 2 σ 12 cφn 1 = W + N 1 τ 10 Rychlá relaxace hladiny 1 a 3 N 1, N 3 N 0, N 2 N 3 τ 32 = W, N 1 τ 10 = N 2 τ 21 + cσ 21 N 2 φ cσ 12 N 1 φ Inverze populace hladin N. = N 2, celkový počet částic N tot = N 0 + N 2 = N 0 + N dn 0 dn = N t Pro 4-hladinový systém položíme κ = 1: dn = W N τ 21 cσ 21 Nφ = W + N τ 21 + cσ 21 Nφ = W N τ 21 κcσ 21 Nφ
Rovnice pro fotony v rezonátoru Uvažujeme rezonátor zcela zaplněný aktivním prostředím Změna počtu (hustoty) fotonů v rezonátoru způsobená absorpcí a stimulovanou emisí odpovídá (až na znaménko) změně populace (hustoty populace) hladiny N 2 dφ = cσ 21 N 2 φ cσ 12 N 1 φ = cσ 21 Nφ abs., stim. e. Částečně může přispívat k fotonům v rezonátoru i spontánní emise (k 0) dφ = k N 2 spont. e. τ 21 Část fotonů unikne doba života fotonů v rezonátoru τ c je konečná (fotony unikají výstupním zrcadlem, v důsledku ztrát) dφ = φ rezonátor τ c Dohromady dostaneme: dφ = cσ 21 Nφ φ τ c + k N 2 τ 21
Rychlostní rovnice pro laser s krátkým rezonátorem dn = W N τ 21 κσ ω NI di = µcσni I τ c N hustota inverze populace hladin v aktivním prostředí I intenzita záření v rezonátoru W čerpací rychlost (rychlost excitací horní laserové hladiny vlivem čerpání) σ účinný průřez pro stimulovanou emisi κ faktor redukce inverze populace hladin τ 21 doba života kvantové soustavy na horní laserové hladině τ c doba života fotonu v rezonátoru µ koeficient zaplnění rezonátoru aktivním prostředím c rychlost světla v aktivním prostředí ω úhlová frekvence laserového záření
Rychlostní rovnice pro laser s krátkým rezonátorem 8 < 1 + g 2, 3 hladinový systém, g i je degenerace i té hladiny κ = g 1 : 1, 4 haldinový systém µ = optická délka aktivního prostředí optická délka rezonátoru τ c = τ R L ln R = L apn ap L r + L ap(n ap 1) L r a L ap délka rezonátoru a aktivního prostředí n ap index lomu aktivního prostředí τ R doba oběhu rezonátoru R reflexivita výstupního zrcadla rezonátoru L další ztráty rezonátoru (absorpce optických prvků, difrakční ztráty,... )
Rychlostní rovnice pro laser s krátkým rezonátorem V rovnici pro inverzi dn = W N τ 21 κσ ω NI využijeme obecný vztah pro saturační intenzitu záření v daném aktivním prostředí I s = ω κστ 21... dostaneme dn = W N I N τ 21 I s Pozor na čerpací rychlost W = W (N)! τ 21
Čerpací rychlost Čerpací rychlost W udává počet přechodů kvantových soustav aktivního prostředí na horní laserovou hladinu v důsledku čerpání za jednotku času v jednotce objemu Čerpací rychlost obecně závisí na populaci absorbující hladiny, tedy i inverzi populace hladin a tedy i na čase Za předpokladu, že se populace absorbující hladiny příliš nemění (čtyř hladinové schéma čerpání), můžeme předpokládat nezávislost W na N Uvažujeme optické čerpání W (t) = η P abs (t) ω pv ap, kde P abs je absorbovaný výkon čerpacího záření, V ap je objem aktivního prostředí, ω p je frekvence čerpacího záření a η zahrnuje všechny možné ztrátové procesy čerpání (kvantovou účinnost čerpání, překrytí čerpacího a laserového svazku a pod.). V takovém případě je čerpací rychlost přímo úměrná čerpacímu výkonu
Stacionární řešení rychlostních rovnic V rovnovážném stavu při konstantním buzení W bude di 0 = 0 = µcσn 0 I 0 I 0 τ c dn 0 = 0 = W N 0 τ 21 I 0 I s N 0 τ 21 Ustálené hodnoty intenzity a hustoty inverze populace hladin: N 0 = 1 W τ, I τ21 0 = 1 I s cµcσ N 0 Aby byla ustálená hodnota intenzity I 0 > 0, musí čerpací rychlost přesahovat určité minimum práh: W 0 = N 0 1 = τ 21 τ 21 τ cµcσ Potom: I 0 = W 1 I s = (W W 0 ) Is W 0 W 0 Pokud (W /W 0 1) = 1, tj. pro W = 2W 0, bude střední intenzita uvnitř rezonátoru I 0 = I s
Stacionární řešení rychlostních rovnic W τ21 pro W W N 0 = 0 1/τ cσµc pro W W 0 0 pro W W0 I 0 = I s (W W 0 ) /W 0 pro W W 0
Výstupní charakteristika laseru v kontinuálním režimu Stacionární intenzita uvnitř rezonátoru I 0 = Is W 0 (W W 0 ) V případě, že je zrcadlo málo propustné (R se blíží k 1), pak pro intenzitu generovaného laserového záření I out platí: I out. 1 R = I 0. 2 Pro nízké hodnoty populace excitovaných hladin, kdy je rychlost buzení jen nepatrně závislá na jejich obsazení, bude čerpací rychlost přímo úměrná výkonu čerpacího záření. Např.: P in(t) W (t) = η pmp V ap ω p Dostaneme lineární výstupní výkonovou charakteristiku laseru: P out. = σs(p in P th ), P out, P in a P th je postupně výstupní výkon generovaného záření, výkon buzení a prahový výkon buzení a σ s je tzv. diferenciální účinnost laseru, nebo také strmost výstupní charakteristiky.
Výstupní charakteristika laseru v kontinuálním režimu Výstupní intenzita: I out = 1 R 2 I s W 0 η pmp Tj. (S l příčný průřez laserového svazku): 1 R S l I s P out = I outs l = η pmp 2V ap ω p W 0 {z } σ s P in V ap ω p W 0 Strmost (V ap = S apl ap, t R = 2L ap/cµ, 1 R ln R): σ s = Práh: P in W 0V ap ω p η pmp {z } P th ηpmp(1 R) S l I s (1 R)τ 21 τ cµcσ S l ω l = η pmp = ηpmp 2V ap ω p W 0 2V ap ω p κστ 21 κ P th = W 0V ap ω p η pmp = Určení pasivních ztrát (Metoda Findlay-Clay): V ap ω p η pmpτ 21 τ cµcσ = Sap L ln R η pmp! S l S ap ω p 2τ 21 σ ln R ω l L ln R ω p ln R = 2KP th L
Určení pasivních ztrát (Metoda Findlay-Clay)
Shrnutí Popis dynamiky laseru v aproximaci rychlostních rovnic pomocí časového vývoje inverze populace hladin N v aktivním prostředí a intenzity laserového záření I v rezonátoru: dn N = W τ 21 {z} {z} {z} změna inverze populace = buzení fluorescence κσ ω NI {z } zesílení/absorbce di I = µcσni τ c {z} {z } {z} změna intenzity záření = zesílení/absorbce aktivní/pasivní ztráty Platí pouze za určitých omezení: Charakteristická doba změny intenzity v rezonátoru t R T 2 (krátký rezonátor) Prostorově rovnoměrná hustota inverze populace hladin Relativně malé zesílení a ztráty (2gL ap + ln R 0) Rovinná vlna Stacionární řešení rychlostních rovnic (+ chování laseru v aproximaci nekoherentního šíření impulzů) Prahová podmínka laseru Lineární výstupní charakteristika
Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 2006 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 (http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/ulat/) VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1990 Štol, I.: Elektřina a magnetismus, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 SALEH, B. E. A. TEICH, M. C.: Základy fotoniky - 3.díl, Matfyzpress, Praha, 1995 Přednášky: http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/lt1/