Tlumené a vynucené kmity

Transkript

1 Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti

2 Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností transformace, zformulujte závě ry. najdět ě obrazy následujících funkcí a rovnic bez použití tabulek obraz ů a Parametry A, a, b, ω, μ, Ω nezávisí na čase, apostrofem je značena derivace podle č asu. Funkce označ uje jednotkový skok v bod ě c: f(t)= 1 f(t)= 1 = g(t)=a f(t)

3 g(t)=f' (t) ; f(0)=a g(t)=f'' (t)=h' (t);f' (t)=h (t) ; f(0)=a; f'(0)=b ; f(0)=a; f'(0)=0 g(t)= g(t)= g(t)= g(t)= g(t)= ; f(0)=0; f'(0)=b ; f(0)=a; f'(0)=b ; f(0)=a; f'(0)=0 ; f(0)=0; f'(0)=b ; f(0)=a; f'(0)=b

4 Problémová úloha 2: Harmonický oscilátor Pomocí Laplaceovy transformace najděte obecné ř ešení diferenciální rovnice popisující harmonický oscilátor Pomocí obecného řešení najděte konkrétní řešení pro následující počáteční podmínky: Zformulujte závěry.

5 Problémová úloha 3: Tlumený lineární oscilátor Pomocí Laplaceovy transformace najděte obecné ř ešení diferenciální rovnice popisující tlumený lineární oscilátor Zobrazte grafy pro rů zné hodnoty a, b, μ, ω

6 Problémová úloha 4: Vynucené kmity Pomocí Laplaceovy transformace najdě te obraz diferenciální rovnice popisující sinusodiáln ě buzený tlumený lineární oscilátor Seznamte se s obecným řešením a sestrojte reznanční křivku pro amplitudu vynuceného kmitání

7 Harmonický oscilátor - kontola Tranformujeme nejprve levou stranu rovnice Dosadíme do rovnice za obraz proměnnou Y a počáteční podmínky, vzniklou rovnici vyřešíme pro Y Zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální rovnice v obecném tvaru: Všimněte si, že čitatel výrazu odráží počáteční podmínky a jmenovatel odráží diferencíální rovnici. (Ve jmneovateli je charakteristická rovnice.)

8 Harmonický oscilátor - kontola Správnost Vašeho dosazení počátečních podmínek zkontrolujte porovnáním s analytickým řešením diferenciálních rovnic:

9 Tlumený lineární oscilátor - kontola Tranformujeme nejprve levou stranu rovnice Dosadíme do rovnice za obraz proměnnou Y a počáteční podmínky, vzniklou rovnici vyřešíme pro Y Povšimněte si, že i zde je ve jmenovateli charakteristická rovnice a tvar čitatele je nastavován počátečními podmínkami.

10

11 Tlumený lineární oscilátor - kontola Pokud je μ>ω, můžeme jmenovatel zapsat ve tvaru obecném tvaru: a zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální rovnice v Pokud je μ<ω, můžeme jmenovatel zapsat ve tvaru obecném tvaru: a zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální rovnice v Pokud je μ=ω, můžeme pro kritické tlumení jmenovatel zapsat ve tvaru rovnice v obecném tvaru: a zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální

12

13 Tlumený lineární oscilátor - kontrola Výsledky porovnáme s analytickým řešením Povšimněte si, že toto řešení nepředpokládá rovnost μ = ω. Zapíšeme rovnici pro kritické tlumení Pro podkritické tlumení budeme předpokládat, že μ = 2, ω = 3 Pro nadkritické tlumení budeme předpokládat, že μ = 4, ω = 3

14 Tlumený lineární oscilátor - grafické vyjádření Pro vykreslení grafu můžeme použít vyjádření v podobě harmonických funkcí vynásobených exponencielou

15

16 Tlumený lineární oscilátor - grafické vyjádření Zápis pomocí komplexnich exponenciel umožní lépe pochopit, proč se při kritickém tlumení systém nejrychleji přiblíží k nule bez překmitu.

17

18 Vynucené kmity - kontrola Tranformujeme nejprve levou stranu rovnice Tranformujeme pravou stranu rovnice A sin(ω t) Dosadíme do rovnice za obraz proměnnou Y a počáteční podmínky, vzniklou rovnici vyřešíme pro Y Zpětnou transformací tohoto výrazu bychom dostali komplexní výraz, který by podobně jako v případě tlumeného lineárního oscilátoru bylo obtížné interpretovat.

19 Vynucené kmity - kontrola Pro jednoduchost zvolíme nulové počáteční podmínky. Tento výsledek je možné zapsat ve tvaru součtu dvou zlomků +, kde K, L, M a N jsou konstanty závislé na Ω, μ a ω. Originál zlomku odpovídá lineární kombinaci výrazu, originál zlomku odpovídá řešení tlumeného harmonického oscilátoru.

20 Zjednodušme situaci předpokladem μ = a najděme originál: Všimněte si, že přechodový děj, popsaný členem obecně vzniká i při nenulových počátečních podmínkách. Stejná dvě řešení, přechodový děj a vynucené kmity s frekvencí buzení se nám objeví i při nenulových počátečních podmínkách.

21 Vynucené kmity - analytické řešení Řešme obecně rovnici vynucených kmitů : Poslední dva členy popisují přechodový děj. Všimněte si, že ustálené kmity nejsou ovlivněny počátečními podmínkami vyjádřenými integračními konstantami a. Ustálené kmity popisuje výraz Zjednodušme nejprve jmenovatel výrazu:

22 Poté najdeme amplitudu výsledných kmitů: Nakonec najdeme maximum amplitudy z podmínky

23 Vynucené kmity - rezonance amplitudy

24 Created with Wolfram Mathematica 8.0