Užitek a užitkové funkce Jan Čadil FNH VŠE

Užitek a užitkové funkce Jan Čadil FNH VŠE Footer Text 3/24/2014 1

Užitek a preference Užitek je subjektivní pocit uspokojení potřeb (v našem případě pomocí spotřeby určitého statku/služby), v zásadě vyjadřuje preference. Užitková funkce je matematickým modelem chování užitku v závislosti na spotřebě statků přiřazuje košům určitou číselnou hodnotu. Užitková funkce vyjadřuje preference jenom tehdy, pokud platí pro jednotlivé koše x > y U x > U y x = y U x = U y Tedy pokud preferuji koš x před košem y, musí jeho užitek (číslo, které vyjde z užitkové fce) být také vyšší. Funkce užitku odráží uspořádání košů, jde tedy o ordinální funkci Footer Text 3/24/2014 2

Užitková funkce a IC Užitková funkce může být vyjádřena pomocí indiferenčních křivek Koše na stejné IC jsou stejně preferovány tj. z definice mají stejnou úroveň užitku Mějme koše x=[10,10], y=[20,5] a z=[15,15], kterým přiřadíme úrovně užitku U(x)=10, U(y)=10, U(z)=15. Koše x a y budou na stejné IC, koš z bude na vyšší IC. Všechny IC popisující užitkovou funkci tvoří indiferenční mapu Pozor: stejné preference (úrovně užitku) lze získat z různých funkcí Footer Text 3/24/2014 3

Užitková fce a IC Footer Text 3/24/2014 4

Monotónní funkce a monotónní transformace Monotónní funkce roste s danou proměnnou (má vždy pozitivní sklon) Monotónní transformace (pozitivní) užitkové fce je taková úprava, která nemění pořadí košů (jejich preferencí). Typicky přičtení čísla, vynásobení Příklad: Mějme U=f(x1,x2)= (x1)(x2). Po dosazení hodnot košů x=[10,10], y=[20,5] a z=[15,15] získáváme U(x)=10, U(y)=10, U(z)=15. Monotónní transformace U na W=2U+20=2 x1 x2 + 20, potom W(x)=40, W(y)=40 a W(z)=50 Footer Text 3/24/2014 5

Monotónní fce Footer Text 3/24/2014 6

Užitek a typy statků Žádoucí statky (good) zvyšují užitek (více=lépe) Nežádoucí statky (bad) snižují užitek (více=hůře) Neutrální statky neovlivní užitek (více=stejně) Footer Text 3/24/2014 7

Mezní užitek Ukazuje, jak se změní užitek, pokud se spotřeba jednoho ze statků ve spotřebním koši změní o jednotku MU 1 = U(x1,x2) (x1) Za předpokladu spojitosti potom MU 1 = du(x1,x2) δu(x1,x2) δ(x1) d(x1) MU je s růstem spotřeby klesající (zákon klesajícího MU, spotřebitel se nasycuje) = Footer Text 3/24/2014 8

Mezní míra substituce MRS, případně MRSc ukazuje, jak za sebe spotřebitel nahrazuje statky při dané úrovni užitku (tj. na dané IC, tj. při stejných preferencích). Jde o sklon IC v bodě (viz také kapitola Preference) MRSc = d x2 d x1. Získáme pomocí totálního diferenciálu užitkové fce jako du = δu x1,x2 δ x1 MRSc = d x1 + d x2 d x1 = MU 1 MU 2 δu x1,x2 δ x2 d x2 = 0 tedy Footer Text 3/24/2014 9

Elasticita substituce Elasticita substituce ukazuje na to, jak snadno se za sebe statky zaměňují při dané úrovni užitku (zakřivení dané IC). σ = d(x2 x1 )/(x2 x1 ) d MRS /(MRS) = dln( x2 x1 ) dln(mrs) Pro dokonalé substituty je tedy σ =, pro dokonalé komplementy σ = 0. Čím blíže je 0, tím bližší jsou to komplementy, čím vyšší nad 1, tím větší substituty. Elasticita substituce se může měnit nebo být konstantní závisí na užitkové fci (obvykle ale používáme fce s konstantní el. substituce) Footer Text 3/24/2014 10

Užitkové funkce : dokonalé substituty U x1, x2 = a x1 + b(x2) U x1, x2 = 2 x1 + x2 (jablko a 2/3 jablka-menší 3 jablko) MRS=2/3 σ = Footer Text 3/24/2014 11

Užitkové funkce: Leontief (dokonalé komplementy) U x1, x2 = min a(x1), b(x2) tj. v zásadě co je menší je náš užitek Boty (levá a pravá): U x1, x2 = min x1, x2 MRS =0 na horizontále, na vertikále a není definovaná v bodě minima σ =0 Footer Text 3/24/2014 12

Užitkové funkce: Cobb-Douglas U x1, x2 = (x1) α (x2) β Velmi často využívaná ( hezké vlastnosti, homogenita) Nejčastěji jako homogenní stupně 1 (tj užitek roste stejně jako statky):např. U x1, x2 = (x1) 0,5 (x2) 0,5 MRS = α(x2) β(x1) σ =1 (Proč? dokažte) Footer Text 3/24/2014 13

Užitkové funkce: CES (Arrow et.al.) Obecnější ne CD fce, relativně hojně využívaná, umožňuje el. substituce jinou než 1. U(x1, x2) = α(x 1 ) ρ + β(x 2 ) ρ 1 ρ MRS = α β σ = 1 1 ρ. (x1) (x2) ρ 1 Pokud ρ = 0 potom přechází do CD fce Footer Text 3/24/2014 14

Monotónní transformace a MRS MRS se monotónní transformací nemění Příklad U x1, x2 = (x1) 0,5 (x2) 0,5, MRS = (x2) (x1) Transformace V = U 2 = x1 x2, MRS = (x2) (x1) Footer Text 3/24/2014 15

Příklady Honza má užitkovou funkci U x1, x2 = 25 x1 x2. Má 12 jednotek statku x1 a 8 jednotek statku x2. Karlova užitková fce je V x1, x2 = 4 x1 + 4 x2. Karel má 9 jednotek x1 a 13 jednotek x2. A) Honza preferuje Karlův koš před svým a Karel preferuje svůj koš před Honzovým B) Karel preferuje Honzův koš před svým a Honza preferuje svůj koš před Karlovým C) každý preferuje koš toho druhého před svým vlastním D) Ani jeden nepreferuje koš toho druhého před svým vlastním E) Vzhledem k rozdílným preferencím nelze určit který koš je pro koho lepší Footer Text 3/24/2014 16

Příklady Lenka má preference vyjádřené užitkovou funkcí jako U x1, x2 = 10(x1) + 5(x2). Konzumuje 10 jednotek x1 a 9 jednotek x2. Pokud je její spotřeba x1 snížena na 1, kolik musí spotřebovat x2 aby její užitek zůstal beze změny? A) 30 B) 15 C) 18 D) 25 E) ani jedna možnost Footer Text 3/24/2014 17

Příklady Mikuláš má preference vyjádřené následující užitkovou funkcí U = min 4 x1 + x2, x1 + 6(x2). Kde x1 je na horizontální ose. Jaký bude mít sklon IC v bodě (9,4)? A) -4 B) -6/4 C) -1/6 D) -1/4 E) -1/2 Footer Text 3/24/2014 18

Příklady Jiří má užitkovou funkci definovanou jako U = x1 x2 a konzumuje 4 jednotky x1 a 16 jednotek x2. A) Jiří je ochoten směňovat x1 za x2 v poměru 4:1, tedy za jedno obětované x2 dostane 4 x1. B) Jiří je ochoten směnit veškeré x1 za x2 pokud bude dostávat víc než 4 jednotky x2 za každé x1 kterého se vzdá C) pro Jiřího jsou statky dokonalé substituty, proto je zaměňuje v poměru 1:1 D) Jiří bude statky nakupovat za jakoukoli cenu, protože jimi není nasycen E) Žádná z možností Footer Text 3/24/2014 19

Příklady Karel má užitkovou funkci U = (x1)(x2), Anna U = 1000(x1)(x2), Barbora U = (x1)(x2), Žofie U = (x1)(x2)-10 000, Marcela U = x1 a Jan U = (x1)(x2 + 1). Kdo má stejné preference jako Karel? A) Každý kromě Barbory B) Anna a Žofie C) Anna a Marcela D) Nikdo z nich E) Všichni x2 Footer Text 3/24/2014 20

Příklady Petrova Užitková funkce má tvar U = (x1) 2 +10 x1 x2 + 25(x2) 2 A) Petrovy preference jsou nekonvexní B) Petrovy indiferenční křivky jsou rovné přímky C) Petr má bod nasycení D) Petrovy IC jsou hyperboly E) Žádná z možností Footer Text 3/24/2014 21

Příklady Jana konzumuje x1 a x2 v konstantním poměru 2:1 (2 jednotky x1 a 1 jednotku x2). Užitková funkce, která popisuje její preference vypadá jako A) U = 2(x1)(x2) B) U = 2 x1 + (x2) C) U = x1 + 2(x2) D) U = min 2 x1, (x2) E) U = min x1, 2(x2) Footer Text 3/24/2014 22

Příklady Oldřich má následující užitkovou funkci U = x1 + x2 + min x 1, x(2). Pro jeho IC platí A) jsou tvaru písmene L B) sestávají se ze 3 částí, z nichž jedna má sklon -2, další -1 a další -1/2 C) sestává se ze dvou částí, z nichž jedna má sklon - 2 a druhá -1/2 D) jsou hladké bez zlomů E) mají tvar čtverce sestávající se ze 4 částí Footer Text 3/24/2014 23

Příklady Milan má užitkovou fci U = x 1 x(2). Jeho Ic prochází bodem (10,35) a také bodem (2,?) kde? Je A) 35 B) 70 C) 177 D) 182 E) 175 Footer Text 3/24/2014 24

Příklady Filipova užitková fce je dána jako U = 2 x1 + (x2). Pokud Filip spotřebovává 4 jednotky x1 a 18 jednotek x2. Kolika jednotek x2 je ochoten se vzdát za 32 dodatečných jednotek x1? A) 6 B) 24 C) 16 D) 8 E) 4 Footer Text 3/24/2014 25

Příklady Alfons má za to, že dvě jednotky statku (x1) jsou dokonalým substitutem za 3 jednotky statku (x2). Která z následujících užitkových funkcí nereprezentuje Alfonsovy preference? A) 3 x1 + 2 x2 + 1000 B) 9(x1) 2 +12 x1 x2 + 4(x2) 2 C) min 3 x1, 2(x2) D) 30 x1 + 20 x2 10000 E) více než jedna z uvedených funkcí nereprezentuje Alfonsovy preference Footer Text 3/24/2014 26

Příklady Mikuláš má následující funkci užitku U = min x1 + Footer Text 3/24/2014 27

Příklady Eva má následující funkci užitku U = min 4 x1 + Footer Text 3/24/2014 28