1 Měrové jednotky používané v geodézii Ke stanovení vzájemné polohy jednotlivých bodů zemského povrchu, je nutno měřit různé fyzikální veličiny. Jsou to zejména délky, úhly, plošné obsahy, čas, teplota, tlak a vlhkost. Tyto veličiny vyjadřujeme v měrových jednotkách (délkových, úhlových, ). V ČR používáme soustavu měrových jednotek SI. Soustava SI je definována Úřadem pro technickou normalizaci, metrologii a státního zkušebnictví jako česká technická norma na základě usnesení XI generální konference pro váhy a míry, konané v r 1960 v Paříži. Základní jednotky SI soustavy Veličina Název jednotky Značka délka metr m hmotnost kilogram kg čas sekunda s elektrický proud ampér A termodynamická teplota kelvin K svítivost kandela cd látkové množství mol mol Odvozené (doplňkové) jednotky Tabulka odvozených jednotek soustavy SI Název veličiny Rozměr jednotky Název j. Značka j. rovinný úhel 1 radián rad prostorový úhel 1 steradián sr Vedlejší jednotky Tabulka vedlejších jednotek soustavy SI Veličina Název Značka Vztah k hlavní jednotce rovinný úhel (úhlový) stupeň (π/180) rad (úhlová) minuta ' (π/10 800) rad vteřina " (π/648 000) rad grad, gon g, gon (π/200) rad délka astronomická jednotka AU 1,49598.10 11 m parsek pc 3,0857.10 16 m světelný rok ly 9,4605.10 15 m plošný obsah hektar ha 10 4 m 2 1.1 Míry délkové Před zavedením metrické soustavy se na našem území používaly míry odvozené z rozměrů lidského těla (loket, stopa, palec). Hodnoty téže veličiny se lišily svou velikostí podle místa vzniku. loket vídeňský loket pražský 0,777 558m 0,593 91m To vedlo ke snaze zavedení jednotné soustavy měr a vah. V návrzích nové délkové soustavy byl na prvním místě uváděn požadavek, aby základní měrová jednotka byla
jednotkou přirozenou, tj. byla vzata z přírody a odvozena tak, že každý si ji může kdykoliv, kdekoliv odvodit a ověřit. Nejlépe vyhovoval návrh určení délkové jednotky z rozměrů Země určených při druhém stupňovém měření. Stupňovým měřením byla určena délka zemského kvadrantu (čtvrtina poledníku) a základní délková jednotka byla definována jako desetimiliontá část čtvrtiny zemského poledníku a byla nazvána metrem. Současně byla na základě desetinného dělení vytvořena soustava násobných a dílčích délkových jednotek a nazvána soustavou metrickou. Rakousko-Uhersko přistoupilo k metrické míře v roce 1876. Československá republika přistoupila k mezinárodní úmluvě metrické podle vyhl. č. 351 Sb. z 24. 11. 1922 a v roce 1926 zakoupila prototyp národního metru č. 7. Později byl metr definován pomocí vlnové délky záření izotopu kryptonu. Současná definice metru zní: Metr je délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu za dobu 1/299 792 458 sekundy. V praxi se dosud můžeme setkat se starými mírami sáhovými, používanými na území Rakousko-Uherska do roku 1876. základem této soustavy je vídeňský sáh. sáh 1 6 1,896 484m, stopa 1 12 0,316 081m, palec 1 12 0,026 340 1m, čárka 1 0,002 195m Míry plošné ar 1a 100m hektar 1ha 10 000m kilometr čtverečný 1km 10ha 10 000a 1.2 Měrové jednotky úhlové Velikost úhlu se udává v míře obloukové (absolutní) nebo míře stupňové (úhlové). a) míra oblouková Radián (rad, ρ ): - je odvozená (doplňková) jednotka, - je rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru, 1 - plný úhel má hodnotu 2 π, úhel přímý π, úhel pravý π. 2 Obloukovou mírou α ) rozumíme obecně délku oblouku příslušející určitému středovému úhlu α jednotkové kružnice.
b) míra stupňová Rovinný úhel je možné z praktických důvodů vyjádřit vedlejšími jednotkami: Tabulka vedlejších jednotek soustavy SI Veličina Název Značka Vztah k hlavní jednotce rovinný úhel stupeň (π/180) rad minuta ' (π/10 800) rad vteřina " (π/648 000) rad grad, gon g, gon (π/200) rad Šedesátinné dělení, plný úhel 360 stupňů 1 stupeň 60 minut 1 minuta 60 vteřin Setinné dělení, - v geodézii se častěji místo šedesátinného dělení používá dělení setinné. Při něm je plný úhel rozdělen na 400 gradů (gonů). - jeden grad se dělí na 100 gradových minut a 1 gradová minuta na 100 vteřin. - ve starší literatuře má gradová minuta označení c (centigrad) gradová vteřina (centicentigrad). - v současné době se používají hodnoty nazývané miligony (mgon), které vznikají dělením gradu v souladu s násobným kvocientem 10-3, tzn. 1 mgon 10 1 0,1 mgon. V geodetické praxi často potřebujme znát hodnotu jednoho radiánu, označeného řeckým písmenem ρ, vyjádřeného buď v míře stupňové nebo gradové. 180 1 radián π 57,295 779 51 3438 206 265, 200 1 radián π 63,661 977 236 8 gon 63 661,977 236 8 mgon 636 620 6,4.10 5. Převodní vztahy úhlových měr Převodní vztahy mezi mírou stupňovou a gradovou: 360 400 g 10 1 g 9 1 18,5185mgon 1,85185 c 1 0,3086 mgon 3,086 1 g 9 0,9 10 1 c 10mgon 0,54 32,4 1 0,1 mgon 0,324 Převodní vztahy mezi mírou obloukovou a úhlovou: V šedesátinném dělení ) π α 180 α α ρ α ρ α ρ V setinném dělení ) π g α α α α α g g c 200 ρ ρ ρ g c
1. Jak veliký oblouk na rovníku odpovídá 1? Velikost oblouku vypočteme ze vztahu: ) α 1 s R 6377,397 ρ 3438 1,85513km kde R je velká poloosa na Besselově elipsoidu. 2. S jakou přesností je třeba změnit úhel, aby na vzdálenost 100m byla příčná odchylka p menší než 1cm? α p R ρ 1 10 2 2 1 10 6,4 10 úhel je třeba změřit s přesností větší než 64, např.:50. 5 64
Ze stupňů na minuty Př Převeďte 21 o 15' na minuty. 21 o 15' 21 o. 60 + 15' 1 260' + 15' 1 275' Z minut na stupně Př Zapište úhel o velikosti 2421' ve stupních. Vydělíme počet minut šedesáti a dostaneme hodnotu ve stupních: 2421 o : 60 40,35 o Potřebujeme-li výsledek ve stupních a minutách, musíme ještě převést desetinné číslo, a nebo hledat nejbližšího nižšího dělitele šedesáti. Tím je v našem případě číslo 2400. 2421' 2400' + 21' 2400 : 60 o + 21' 40 o 21' Vyjádření úhlu desetinným číslem Stačí si připomenout, že 1 o 3600". To znamená že počet vteřin musíme tímto číslem vydělit. Př:Vyjádřete velikost úhlu 12 o 15' 18" desetinným číslem ve stupních. 12 o 15' 18" 12 o + 15 o : 60 +18 o : 3 600 12 o + 0,25 o + 0,005 o 12,255 o Z desetinného čísla na stupně převést např. 42,41 o na stupně, minuty a vteřiny : 1. Oddělíme celé stupně 42,41 o 42 o + 0,41 o Převeďte na minuty 2. Desetinnou část vynásobíme 60ti 0,41 o.60 24,6' 3. Opět oddělíme celou část a zapíšeme jako minuty 42 o 24' + 0,6' 4. Vynásobíme desetinnou část minut 0,6'.60 10" 5. Zapíšeme výsledek. 42,41 o 42 o 24' 10" a) 2 o 120 ' b) 10,1 o 606 ' c) 0,5 o 30 ' d) 5 o 20' 320 ' Převeďte na stupně a minuty a) 100' 1 o 40 ' b) 360' 6 o 0 ' c) 1000' 16 o 40 ' d) 125' 2 o 05 ' Vyjádřete ve stupních a minutách a) 0,4 o 0 o 24 ' b) 20,25 o 20 o 15 ' c) 12,3 o 12 o 18 ' d) 92,9 o 92 o 54 '