15. Goniometrické funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "15. Goniometrické funkce"

Transkript

1 @ Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě.

2 @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků stupně každý stupeň rozdělíme na 60 dílků minuty každou minutu rozdělíme na 60 dílků vteřiny 1 o ~ jeden stupeň 1 ~ jedna minuta 1 ~ jedna vteřina Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má radiánů. převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit) stupně 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 70 o 360 o radiány 0 /6 /4 /3 / 3/

3 @16

4 @164a

5 @164b Goniometrické funkce obecně

6 @164c

7 @167 Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky, kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu? cos 150 o = - cos(180 o 150 o ) = - cos 30 o = - 3/

8 @170 Určete následující hodnoty a) sin 150 o = sin(180 o o ) = sin 30 o = 1/ b) cos 10 o = - cos(180 o - 10 o ) = - cos 60 o = - 1/ c) sin 300 o = - sin(360 o o ) = - sin 60 o = - / d) cos 315 o = cos(360 o o ) = cos 45 o = / e) sin 5 o = - sin(5 o o ) = - sin 45 o = / f) cos 40 o = - cos(40 o o ) = - cos 60 o = - 1/ Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory hodnot. výsledek

9 @173 Určete následující funkční hodnoty cos(70 o ) = 0 cos(1575 o ) = - / sin(-385 o ) = / cotg(-3030 o ) = 3 sin(1380 o ) = - 3/ cos(-160 o ) = - 1 Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani druhé. výsledek

10 @176 průběh funkce tg a cotg

11 @179 Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý. Příklad: Dokažte, že platí (cos x 0) 1 + tg x = cos - x Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu. sin L 1 tg x 1 cos x x cos x sin cos x x 1 cos x cos x P Příklad: Dokažte, že platí (cos t 0, sin t 1) cost 1 sin t 1 sin t cost Řešení: cost cost 1 sin t cost(1 sin t) L 1 sin t 1 sin t 1 sin t 1 sin t cost(1 sin t) 1 sin t P cos t cost Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl) a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = b) cos 4 x - sin 4 x = cos x - 1 cotg t 1 c) 1 sin t 1 cotg t d) 1 1 cos x 1 1 cos x sin x e) tg t. cos t + cos t = 1 výsledek

12 @18 Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta. Věta: Součtové vzorce Pro každé a platí: i) sin(+ ) = sin cos + sin cos ii) sin(- ) = sin cos - sin cos iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin iv) cos(- ) = cos cos + sin sin důkaz

13 @185a Ověření podle iv) a známých hodnot cos(x - /) = cos x cos / + sin x sin / = = cos x. 0 + sin x. 1 = sin x Zaveďme substituci = x + / tj. x = / Z právě dokázaného plyne sin x = sin( - /) = cos(x - /) = cos( - / - /) = cos( - ) = = cos cos + sin sin = = cos. (-1) + sin. 0 = - cos Úkol: Z platnosti cos(x - /) = sin x a sin(x - /) = - cos x dokažte platnost i) sin(+ ) = sin cos + sin cos výsledek

14 @185b L = sin(+ ) = cos(+ - /) = cos(+ (- /)) = = cos cos(- /) - sin sin( - /) = = cos sin - sin (-cos ) = = cos sin + sin cos = P Tím je dokázána identita i) sin(+ ) = sin cos + sin cos Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu ii) sin(- ) = sin cos - sin cos výsledek

15 @189 Platí cos(x + /) = -sinx? Ano, platí! L = cos(x + /) = cosx cos(/) sinx sin(/) = cosx. 0 sinx. 1 = -sinx = P Věta: Vzorce pro poloviční úhel Pro každé platí sin cos 1 cos 1 cos Důkaz: Víme: pro každé x platí cos x + sin x = 1 a cos x sin x = cosx Použijeme substituci x = /, abychom do vzorců dostali poloviční úhel sečteme odečteme cos (/) + sin (/) = 1 cos (/) sin (/) = cos cos (/) = 1 + cos sin (/) = 1 - cos a nyní stačí vydělit a odmocnit Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota? výsledek

16 @193 Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin sin cos = = sin cos= P ATD. Zaveďme substituci x = + a y = součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme = (x+y)/ a = (x-y)/ Tedy předchozí identitu lze také psát takto: x sin x sin y sin y x cos y Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty. výsledek

17 @196 Víte, že platí (; 3/), (/; ), cotg = 1/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ). Tedy úhel je ve III. kvadrantu a je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit tg tg tg ) tg( ( )) 1 tg tg ( (změna znamének, tg je lichá) Potřebujeme tedy určit tg a tg, k čemuž užijeme vztahy tg = 1/cotg = 5/1 a tg = sin /cos. sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos + sin = 1 cos = 1 sin = (1 - sin )(1 + sin ) = (1-15/17)(1 + 15/17) = 8 /17 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos = -8/17 => tg = sin /cos = (15/17)/(-8/17) = -15/8 Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit tg( ) = 0/1 Úkol: Víte, že platí (/; ), (0; /), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ). výsledek

18 @158 Úkol: Dokažte, že platí sin + cos = 1. výsledek

19 @160a Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).

20 @160b

21 @160c

22 @160d

23 @160e

24 @160f

25 @160g

26 @160h Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále

27 @163 Orientovaný úhel Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0 o do 360 o stupňů včetně. V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola. Takový úhel se nazývá orientovaný. Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola

28 @165 V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky souřadnic u a v. Úkol: Doplňte znaménka do tabulky kvadrant I. II. III. IV. interval (0; /) (/; ) (3/) (3/; ) sin x cos x tg x cotg x výsledek

29 @168a Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v III. kvadrantu? sin 00 o = - sin(00 o 180 o ) = - sin 0 o

30 @168b Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v IV. kvadrantu? cos 300 o = cos(360 o 300 o ) = cos 60 o = - 1/

31 @171 Funkce sin: úhel může být libovolný => definiční obor R. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce cos: úhel může být libovolný => definiční obor R 1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce tg: musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla / označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(k+1)/, kc} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Funkce cotg: musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla / = celočíselné násobky čísla označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kc} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin, cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice. Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg. výsledek $

32 @174

33 @177 Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou cos x sin( x ) sin x cos( x )

34 @180 Dokažte, že platí a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = L = (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = = sin x +sinxcosx +cos x +sin x -sinxcosx +cos x = = (sin x + cos x) = = P b) cos 4 x - sin 4 x = cos x - 1 L = cos 4 x - sin 4 x = = (cos x + sin x)(cos x - sin x) = = 1.(cos x - (1 - cos x)) = cos x - 1 = P cotg t 1 c) 1 sin t 1 cotg t pro cotg t ±1, sin x 0 cotg t 1 L 1 cotg t 1 sin t P cos t sin t cos 1 sin 1 cos sin t t t sin t t cos t (1 sin t) sin t d) 1 1 cos x 1 1 cos x sin x pro cos x ±1, sin x 0 L cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x P e) tg t. cos t + cos t = 1 pro cos t 0 L tg t.cos sin t cos t cos t 1 P sin t cos t cos t t cos t

35 @183 Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem uvádět tak, jak jsme to udělali i my. V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek. Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin], C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0] Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou. AB = CD AB = (cos - cos) + (sin - sin) = = cos - coscos + cos + sin - sinsin + sin = = (cos + sin ) + (cos + sin ) - (coscos + sinsin) = = [1 - (coscos + sinsin)] CD = (cos(- ) - 1) + sin (- ) = cos (- ) - cos(- ) sin (- ) = = (cos (- ) + sin (- )) cos(- ) = [1 - cos(- )] Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv) iv) cos(- ) = cos cos + sin sin Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických funkcí a dokažte platnost iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin výsledek

36 @186 L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin cos(-) + sin(-) cos = = sin cos - sin cos = P Tím je dokázána identita ii) sin(- ) = sin cos - sin cos Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti: Součtové vzorce Pro každé a platí: i) sin(+ ) = sin cos + sin cos ii) sin(- ) = sin cos - sin cos iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin iv) cos(- ) = cos cos + sin sin Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin a cos pomocí sin a cos. Výsledek zformulujte do matematické věty. výsledek

37 @191 Protože pro každé xr platí 0 x x a nikdy jinak. Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 x) cos(/6 + x) b) sin(/4 + x) sin(/4 x) c) sin 105 o d) cos (/1) výsledek

38 @194 Věta: Vzorce pro součty Pro každé x, y R platí x y x y i) sin x sin y sin cos x y x y ii) sin x sin y cos sin x y x y iii) cos x cos y cos cos x y x y iv) cos x cos y sin sin Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí tgx tgy tg( x y) 1 tgx tgy výsledek

39 @159

40 @161 Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty je nutné znát zpaměti. Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat. stupně 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o radiány 0 /6 /4 /3 / 1 sin 0 cos K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve jmenovateli stále číslo a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1,, 3, 4. sin U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva. Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí výsledek cos /4 = sin /4 =

41 @164

42 @166 kvadrant I. II. III. IV. interval (0; /) (/; ) (3/) (3/; ) sin x cos x tg x cotg x

43 @169 Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce. a) sin 150 o b) cos 10 o c) sin 300 o d) cos 315 o e) sin 5 o f) cos 40 o výsledek

44 @17 Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně opakují) p>0 xd f : f(x+p) = f(x) Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0 splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda. Funkce sin a cos mají periodu (360 o ) Funkce tg a cotg mají periodu (180 o ), sin = sin(+k) cos = cos(+k) tg = tg(+k) cotg = cotg(+k) Příklad: Určete hodnotu cos(1500 o ), tg(400 o ), cotg(-750 o ). Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných násobků periody: pro sin a cos <0 o ; 360 o ) pro tg a cotg <0 o ; 180 o ) cos(1500 o ) = cos(1500 o o ) = cos(60 o ) tg(400 o ) = tg(400 o o ) = tg(60 o ) cotg(-750 o ) = cotg(-750 o o ) = cotg(150 o )

45 Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0 o ; 90 o >, musíme již sledovat znaménka cotg(150 o ) = - cotg(30 o ) Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme. cos(1500 o ) = cos(60 o ) = - 1/ tg(400 o ) = tg(60 o ) = sin(60 o )/ cos(60 o ) = (3/)/(1/) = 3 cotg(-750 o ) = - cotg(30 o ) = - cos(30 o )/sin(30 o ) = - (3/)/(1/) = -3 Úkol: Určete následující funkční hodnoty cos(70 o ) cos(1575 o ) sin(-385 o ) cotg(-3030 o ) sin(1380 o ) cos(-160 o ) výsledek

46 @175 průběh funkce sin a cos

47 @178 Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce. Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin x tgx cos x cos x cotg x sin x sin x + cos x = 1 očividně platí cotg x = 1/tg x = tg -1 x => tgx. cotgx = 1 cos x sin( x ) sin x cos( x ) nebo ve stupních cos = sin( + 90 o ) sin = cos( - 90 o )

48 @181 Součtové vzorce Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy věty. 1 a1 ) ( b ) AB ( b a

49 @184 Máme dokázáno pro každé a platí cos(- ) = cos cos + sin sin a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = Tím je dokázána identita = cos cos - sin sin = P iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin Úkol: Již víme, že platí sin(x - /) = - cos x cos(x - /) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí výsledek

50 @187 Věta: dvojnásobný úhel Pro každé a platí i) sin = sincos ii) cos = cos - sin Řešení: i) L = sin = sin(+ ) = sin cos + sin cos = sincos = P ii) L = cos = cos(+ ) = cos cos - sin sin = cos - sin = P Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí sin( x ) cos x sin( x ) cos x Platí také cos( x ) sin x? cos( x ) sin x ano ne

51 @19 Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 x) cos(/6 + x) = sin x - stačí použít součtové vzorce L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] = = sin(/6) sin x = sinx = P b) sin(/4 + x) sin(/4 x) = sinx - stačí použít součtové vzorce c) sin 105 o = (6 + )/4 - rozložíme na známé hodnoty 105 o = 60 o + 45 o L = sin 105 o = sin(60 o + 45 o ) = sin 60 o cos 45 o + sin 45 o cos 60 o = = 3/. / + /. 1/ = (6 + )/4 d) cos (/1) = ( + 6)/4 - rozložíme na známé hodnoty /3 /4 = /1 L = cos (/1) = cos(/3 /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) = = 1/. / + 3/. / = ( + 6)/4 = P NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /1 = (/6)/ a I. kvadrantu je cos(/1) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů L cos( ) 1 cos( ) 1 1 cos( 6) Tím jsme mimoděk dokázali, že platí Úkol: Dokažte, že pro každé a platí i) sin(+ ) + sin( ) = sin cos ii) sin(+ ) sin( ) = cos sin iii) cos(+ ) + cos( ) = cos cos iv) cos(+ ) cos( ) = - sin sin výsledek

52 @195 Máme dokázat, že platí tgx tgy tg x y) 1 tgx tgy (, pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné). Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin( x y) sin xcos y sin ycos x L tg( x y) cos( x y) cos xcos y sin xsin y sin xcos y sin ycos x cos xcos y( ) cos xcos y cos xcos y tgx tgy P sin xsin y cos xcos y(1 ) 1 tgx tgy cos xcos y Úkol: Víte, že platí (; 3/), (/; ), cotg = 1/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ). výsledek

53 @197 Víte, že platí (/; ), (0; /), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ). Tedy úhel je ve II. kvadrantu a je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit cos( - ) = cos cos + sin sin. sin = 3/5 známe, zbývá určit cos sin a cos cos = 1 sin = (1 - sin )(1 + sin ) = (1-3/5)(1 + 3/5) = 4 /5 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos = -4/5 Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg x = cos - x, tedy cos = 1/(1 + tg ) = 1/(1 + 1/cotg ) = 1/( /8 ) = 8 /17 a proto cos = 8/17 sin = 1 cos a je v I. kvadrantu => sin = 15/17 Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet cos( ) = 13/85 KONEC LEKCE

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem. Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď

Více

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Zadání. Goniometrie a trigonometrie GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá 4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro

Více

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: .3.5 Součtové vzorce Předpoklad: 30 Závorku ve výrazu sin ( ) + není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: 0 = sin ( ) = sin + sin + sin = + =. Způsob, jakým goniometrické funkce vrábějí ze zadaných čísel

Více

4.3.7 Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: 4306

4.3.7 Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: 4306 .3.7 Součtové vzorce Předpoklad: 306 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje látku na přibližně jeden a půl vučovací hodin, první část kombinuji s písemkou. Pedagogická poznámka: Úspěch této hodin (a hodin

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a

Více

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá. 4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 = /7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0 Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x 9 Vzorce pro dvojnásobný úhel II Předpoklady: 08 Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + sin x + cos x sin x a) x R sin x + cos

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Derivace goniometrických. Jakub Michálek, Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář. / 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

ELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY

ELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY Gymnázium F. X. Šaldy PŘEDMĚTOVÁ KOMISE MATEMATIKY ELEMENTÁRNÍ GONIOMETRICKÉ A TRIGONOMETRICKÉ VĚTY Učební text pro druhý ročník a sextu gymnázia a pro matematický seminář v těchto třídách Honsoft Liberec

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 01 Ivana Medková 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU B odvěsna a C β c b přepona. α odvěsna A sin α a c b cos α c a tgαα b b cotg α a délka

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a

Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a 4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4. ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Vzorce pro poloviční úhel

Vzorce pro poloviční úhel 4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje

Více

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4. .. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320.

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320. Domácí úkol č. 3 Řešení Pozn.: úhly, které se zdají být pravé, jsou ve všech obrázcích opravdu pravé. 1. Z kartonu je třeba vyříznout čtverce v rozích, viz obr. 1 a přehnout podle přerušovných čar. Krabice

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c. Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4..0 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 40, 408 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by bylo lepší, kdyby si studenti metodu rychlého

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem 4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE OBECNÉHO ÚHLU

GONIOMETRICKÉ FUNKCE OBECNÉHO ÚHLU 2014 GONIOMETRICÉ FUNCE OBECNÉHO ÚHLU opis způsobu použití: teorie k samostudiu (i- learning) pro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vypracovala: Ivana

Více