Kapitola 3 Magnetické vlastnosti látky Velká část magnetických projevů je zejména u paramagnetických a feromagnetických látek způsobena především spinovým magnetickým momentem. Pokud se po sečtení všech orbitálních a spinových magnetických momentů elektronů v daném atomu tyto momenty vyruší, bude jeho výsledný magnetický moment nulový. Je-li výsledný moment nenulový chová se molekula nebo atom jako elementární magnet. Jsou-li magnetické momenty jednotlivých atomů, molekul nulové je látka diamagnetická. Pokud je část elektronových momentů nevykompenzována, jsou výsledné magnetické momenty atomů, molekul nenulové. Jsou -li však tyto momenty atomů, molekul orientovány nahodile, jejich součet je nulový. Látka je pak paramagnetická. Feromagnetická látka je také složena z atomů s nenulovým magnetickým momentem. Tyto momenty nejsou v látce orientovány zcela náhodně, proto je výsledný magnetický moment látky nenulový. 3.1 Diamagnetismus Diamagnetické látky jsou nejméně magneticky aktivní. V těchto látkách je před působením vnějšího magnetického pole moment nulový, v důsledku nulových magnetických momentů jednotlivých atomů, molekul. Vložíme-li diamagnetickou látku do vnějšího pole dojde k ovlivnění pohybu elektronu a tzv. Larmorově precesi. Tato precese vyvolává orbitální magnetický moment, orientovaný opačně vzhledem k vektoru intenzity vnějšího pole. V nehomogenním magnetickém poli je diamagnetická látka slabě vytlačována z míst s větší indukcí do míst s menší indukcí. Jakmile přestane pole působit, precese a tím i indukovaný moment vymizí. Susceptibilita diamagnetických látek χ < 0. Diamagnetické látky mají susceptibilitu nezávislou na teplotě[4]. χ(t ) = konst 12
3.2 Paramagnetismus Při absenci vnějšího magnetického pole mají jednotlivé atomy, molekuly nenulový magnetický moment. Celkový magnetický moment paramagnetické látky je však díky náhodné orientaci jednotlivých dipólů nulový. Jednotlivé atomy na sebe mechanicky ani magneticky nepůsobí. Toto neplatí úplně přesně pro všechny látky, ale pouze pro plyny za sníženého tlaku. Aplikujeme-li vnější magnetické pole snaží se magnetické momenty orientovat do směru pole. Dokonalému uspořádání všech momentů do směru vnějšího pole brání chaotický tepelný pohyb. Susceptibilita paramagnetických látek se liší od diamagnetické hlavně svou teplotní závislostí[4]. χ(t ) = C T kde C je Curieho konstanta. Ve velmi silných polích se magnetické momenty orientují do směru vnějšího pole. Pokud jsou do směru srovnány všechny momenty atomů dané látky, nazývá se tento stav nasycená magnetizace 3.3 Feromagnetismus Příspěvek orbitálních magnetických momentů je velmi malý. Vnější pole ovlivňuje především spinové magnetické momenty. Na rozdíl od paramagnetik, kde k magnetizaci přispívají především momenty orbitální, za feromagnetické vlastnosti odpovídají pouze ty elektrony na nezaplněných hladinách, které mají nevykompenzovány spinové momenty. Feromagnetismus je vlastností pouze pevných látek krystalické struktury. Proces magnetizace je zde oproti paramagnetismu odlišný. V paramagnetismu jde o proces individuální, kdežto ve feromagnetismu jde o proces kolektivní. Předpokládejme, že existuje nějaká vnitřní interakce, která se snaží srovnat magnetické momenty vzájemně rovnoběžně. Proti této interakci působí tepelný pohyb. Vnitřní interakce je kvantově mechanické povahy, závisí na vzájemném překrývání elektronových drah. tato interakce se někdy nazývá výměnná síla, výměnné pole, nebo výměnný integrál. Interakce má rozměr energie a hodnota závisí na vzdálenosti atomů v krystalické mřížce. Velkým vzdálenostem odpovídá malá hodnota, což znamená že nemůže konkurovat tepelnému pohybu. Jestliže se atomy přibližují hodnota interakce roste, spinové magnetické momenty se snaží uspořádat paralelně a ustavuje se feromagnetický stav. 13
3.3.1 Feromagnetické domény Výměnná síla je příčinou paralelního uspořádání magnetických momentů jednotlivých atomů, molekul v rámci objemových elementů tzv. domén. V určitém elementu objemu má vektor magnetizace i bez vnějšího pole stejnou orientaci. Uvnitř každé domény se magnetizace rovná nasycené magnetizaci. Orientace momentů jednotlivých domén může být však velmi odlišná. Příspěvek jednotlivých domén k celkové magnetizaci je úměrný jejich objemu. Výsledná magnetizace může nabývat hodnot od nuly až do určité maximální hodnoty, kdy celé těleso můžeme považovat za jednu velkou doménu[5]. Obr. 3.1: Feromagnetické domény Pokud budeme aplikovat vnější magnetické pole můžeme proces magnetizace feromagnetika rozdělit do tří fází. 1. Ve slabém poli začínají růst nejprve ty domény, které se málo odchylují od směru vnějšího pole H. Domény s opačnou orientací se naopak začnou zmenšovat. Přestaneli působit vnější pole H jde o proces vratný a velikost domén se vrátí do původních velikostí. 2. S růstem intenzity vnějšího pole H se domény začínají skokem otáčet do směru tohoto pole. Zvětšují se oblasti s orientací souhlasnou s vnějším polem. 3. V této fázi se postupně natáčí do směru intenzity pole H ty oblasti, které mají moment antiparalelně s vnějším polem. Tento proces pokračuje až do natočení momentů všech domén, tedy do stavu nasycení. 3.3.2 Curieova teplota Pod touto teplotou se feromagnetikum rozděluje na jednotlivé domény, tzv Weissovy domény. Na stav spontánní magnetizace (bez vnějšího magnetického pole) má velký vliv 14
teplota. Při absolutní nule bude magnetizace největší. Zvyšujeme-li teplotu, mohou momenty měnit svou orientaci v důsledku tepelného pohybu. Nad Curieovou teplotou ztrácí feromagnetická látka své magnetické vlastnosti a chová se jako paramegnetikum. Pro její susceptibilitu platí Curieův-Weissův zákon[4] : kde T c je Curieova teplota χ = C T T c (3.1) 3.3.3 Hystereze Vztah mezi magnetizací a magnetickým polem není lineární, je závislý na historii procesu. Dosud nezmagnetovaná feromagnetická látka má domény orientovány do náhodných směrů. Navenek se tedy spontánní magnetizace neprojeví. Po zapnutí slabého magnetického pole dochází k posunutí doménových stěn ve prospěch domén s orientací shodnou s vnějším polem (křivka a). Zde jde ještě o proces vratný, křivka je téměř lineární funkcí magnetického pole. Pokud budeme zvyšovat intenzitu vnějšího pole posuv doménových stěn se stane výraznější. zde už jde o proces nevratný(křivka b). Látka se postupně stává jedinou, do směru pole orientovanou doménou. Při dalším zvyšování vnějšího pole nedochází již k zvyšování magnetizace(křivka c). Magnetizace je saturována. Pokud nyní budeme snižovat intenzitu vnějšího pole bude probíhat proces opačný. Děj je však nevratný, a proto při nulové intenzitě vnějšího pole bude mít látka zbytkovou magnetizaci(křivka d). Feromagnetická látka má trvalé feromagnetické vlastnosti. Pro odmagnetování musíme použít pole opačné orientace(křivka e). viz obr (3.2). Obr. 3.2: Hysterezní smyčka 15
Střední hodnota energie: Což můžeme přepsat Kde Tepelná kapacita systému C V = E T = 1 E kt 2 β E = s E = 1 kt [ln( s E s P s = 1 E s e βe s Z s e βes )] V,N = β [ln Z] V,N Z = s e βe s E β = 1 Z 2 Z β E s e βes + 1 Es 2 e βes = E 2 E 2 s Z s C V = E2 E 2 kt 2 (5.1) Susceptibilita systému χ = M H kde M je střední hodnota velikosti magnetizace systému. Energii systému lze napsat jako E s a M s je magnetizace systému ve stavu s. Střední hodnota magnetizace : Partiční funkce : M = 1 M s e βes Z s Z = s e βe s potom M H = 1 Z 2 Z H Z H = s M = 1 Z βz βm s e βes H = 1 β H ln Z M s e βe s + 1 Ms 2 e βe s = β M 2 + β M 2 Z s χ = M 2 M 2 kt 20 s (5.2)
5.2 Postup simulace Na začátku simulace je vytvořena konfigurace s náhodným rozložením spinů, což odpovídá konfiguraci při vysoké teplotě. Metoda Monte Carlo je zde použita následujícím způsobem. náhodně je vybrán spin u vybraného spinu změníme náhodně orientace z m i na m j obdržíme novou konfiguraci K j, která vznikne změnou orientace spinu pomocí vztahu δh = H N (K j ) H N (K i ) a pomocí balanční podmínky w i j = { e βδh pro δh > 0 1 pro δh 0 rozhodneme zda nová konfigurace bude přijata a vytvoří další člen reprezentativní posloupnosti. pokud je δh > 0 jde o energeticky méně výhodnou konfiguraci než předchozí. Tuto konfiguraci ovšem hned nevylučujeme. Vezmeme náhodně vygenerované číslo γ z intervalu (0,1) a pokud γ < e βδh přijmu i tuto horší konfiguraci pokud δh 0 tak tuto konfiguraci přijímám s pravděpodobností 1, tedy vždy. Toto reprezentuje jeden Monte Carlo krok. Pro měření termodynamických veličin je potřeba dosáhnout stavu termodynamické rovnováhy pro danou teplotu. Tato podmínka je zajištěna necháme li systém projít dostatečným množstvím Monte Carlo kroků. Poté co je systém v ustáleném stavu, měříme veličiny jako magnetizaci M, susceptibilitu χ a kapacitu C V. Poté je snížena teplota o T a celý proces se opakuje. 5.3 Isingův model 5.3.1 Historie Isingův model je nejjednodušším modelem feromagnetismu, který zahrnuje fázový přechod při T c. Spiny mohou nabývat pouze dvou orientací. Tento model představil v roce 1920 Lenz. Ising ho vyřešil v jedné dimenzi v roce 1925. Ve dvou dimenzích byl tento model vyřešen Onsagerem v roce 1944. Ve třech dimenzích nebyl analyticky model vyřešen dodnes, proto např. pomocí metody Monte-Carlo se řešení dohledává numericky. 21