Fázové přechody Isingův model

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Fázové přechody Isingův model"

Otto Pavlík
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Fázové přechody Isingův model Fázové přechody prvního druhu: diskontinuita v první derivaci volné energie Fázové přechody druhého druhu: diskontinuita v druhých derivacích A Může statistická mechanika (partiční funkce) popsat fázové přechody? Topologie mříže, dimensionalita Kubická mříž: E 0 =-DNJ J > 0: Spontánní magnetizace - long ranged correlation, long ranged order T c kritická teplota (Curie temperature)

2 Makroskopické vlastnosti magnetické mříže partiční funkce ( β ) N ' βµ H si+ β J ss i j β E ν i= 1 ij Q, N, H = e =... e ν s s s 1 2 N Jednorozměrná mříž: (periodické okrajové podmínky) Neexistuje spontánní magnetizace E = NJ E = 4J Příliš malý rozdíl pro makroskopický systém T c J Nk 0 E = ( N + 4) J

3 Dvojrozměrná mříž: E = 4J N Analytické řešení (Onsager): Tepelná kapacita singularita Magnetizace β = 1/8 Trojrozměrná mříž: Analytické řešní není, numerické řešení:

4 Mřížkový plyn ( Lattice Gas ) S i = -1, 1 n i = 0, 1 s i = 2n i - 1 J = ε/4

5 Isingův magnet symmetry breaking Střední hodnota magnetizace: žádné vnější pole - měla by být 0 PM = P ν M β Eν ( β ) = = Q, NH, e QM ( ) Rozdělíme pouze na součty přes magnetizace M A( N, H, T ) kt ln Q ν M ( ) = ( ) β Eν QM M Mν e ν ν M=M ν => 1, v ostatních případech 0 A ( M ) kt ln Q ( M ) Volná energie reverzibilní práce potřebná ke změně magnetizace systému Změna magnetizace vyžaduje fluktuace velikost E * - Polovina magnetů musí být přetočena 2 D~ N 3 D~ N 1/2 2/3

6 Fázové přechody souvisí s rozsahem fluktuace Range of correlation R fluktuace jsou korelovány body ve vzdálenosti větší fluktuace nejsou korelovány Párová korelační funkce: cij = ss i j si sj R ~ nl Nejsou korelovány průměrná magnetizace je nulová. R ~ makroskopická magnetizace může existovat vyžaduje korelaci na makroskopické škále

7 Studium fázových přechodů (vyžaduje aproximace) Metody Mean Field Theory Renormalization group Monte Carlo Modely Isingův model Pottsův model Heisenbergův model Libovolná dimenzionalita modelu/problému analytická řešení pro nízkou dimenezionalitu

8 Ising Model Low T High T Solved 1-D Ising D Onsager D Proven computationally intractable As T increases, S increases but net magnetization decreases

9 Mean Field Theory (1970) Jedntolivá částice (spin) pociťuje průměrný potenciál okolních částic. Fluktuace okolí nejsou explictně uvažovány. Redukce mnohočásticového problému na jednočásticový. Aproximativní řešení špatné zejména v okolí kritického bodu - lze aplikovat na libovolnou dimenzionalitu Energie Isingova modelu Síla působící na spin s i Magnetické pole působící na s i Fluktuace okolních spinů H = H + J s / µ = H + Jz s / µ i ij j j j => H i nezávisí na orientaci okolních spinů ale pouze na průměru Počet uvažovaných sousedů

10 Průměrný spin H = Jz s / µ j Magnetizace vztažená na jednu částici N m= M / Nµ = µ si / Nµ i= 1 s i závisí na H i a naopak SCF řešení MFT předpovídá fázový přechod i pro 1-D model (2J/k B ) MFT předpovídá T c = 4J/k B pro 2-D model (Onsager 2.3) V rámci MFT může být model snadno vylepšován.

11 Renormalization group theory (1971) Metoda určená nejen ke studiu fázových přechodů Kenneth Wilson 1982 Nobelova cena 1-D Isingův magnet bez vnějšího pole 1. Snížíme počet stupňů volnosti tak, že přes ně vysčítáme Ekvivalentní Vysčítáme přes sudé částice

12 Snížení počtu stupňů volnosti na polovinu 2. Hledáme rekurzivní vztah pomocí kterého vyjádříme Q jako funkci N/2 a jiné konstanty K Kadanoffova transformace Dvě rovnice pro dvě neznáme:

13 Hledáme lnq 1 1 gk ( ) = ln f( K) + gk ( ') 2 2 Rovnice renormalizační grupy: Známe-li partiční funkci pro jednu hodnotu K můžeme získat Q(K). Stejně tak můžeme získat vzorce pro opačný směr:

14 Začneme s libovolně malou nebo velkou interakční konstantou a iteračním způsobem se dostaneme k požadované hodnotě: K ' = 0.01 Q(0.01, N) Q(0, N) = 2 g(0.01) ln 2 N

15 Fixed points body, ve kterých se K dále nemění V případě 1-D modelu: K = 0 K = Triviální fixované body Korespondují úplnému uspořádání a naprostému neuspořádání Fázovým přechdům odpovídají netriviální fixované body

16 Teorie renormalizační grupy pro 2-D Isingův model Explicitně vysčítáme polovinu částic Kadanoffova transformace Ve 2-D nelze přesně nalézt Redukce počtu částic vede na zvýšení počtu interakčních konstant aproximace

17 Řada možností, jak rekurzivní vzorec aproximovat: Fixed point Odpovídá fázovému přechodu Kritická teplota v rámci RG metody je blízká exaktní hodnotě (0,44)

Podobné dokumenty

Neideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování

Neideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování eideální plyny b H Q(, V, T )... e dp 3... dpdr... dr! h Integrace přes hybnosti QVT (,, ) pmkt! h 3 / e dr dr dr /... U kt... eideální chování p kt r B ( T) r B ( T) r 3 3 Vyšší koeficinety velice složité