Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 7: Rozšíření rozsahu miliampérmetru a voltmetru, Cejchování kompenzátorem Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 19.10.2012 Klasifikace: Část I Cejchování kompenzátorem 1 Zadání 1. Pomocí kompenzátoru ocejchujte stupnici voltmetru (cejchujte v celém rozsahu stupnice). Pro 10 naměřených hodnot sestrojte kalibrační křivku a vyneste ji do grafu. 2. Pomocí kompenzátoru ocejchujte stupnici miliampérmetru (cejchujte v celém rozsahu stupnice). Pro 10 naměřených hodnot sestrojte kalibrační křivku a vyneste ji do grafu. 3. Pomocí kompenzátoru ocejchujte odporovou dekádu. Měření proved te pro 10 hodnot v rozsahu 100-1000 Ω. 2 Vypracování 2.1 Použité přístroje Miliampérmetr, Voltmetr, zdroj 13.8 V, baterie D, reostaty 115 Ω, 6 kω, 232 kω, odporové normály 100 Ω a 1000 Ω, dva vypínače, odporová dekáda, technický kompenzátor QTK Metra, Westonův normální článek, vodiče. 2.2 Teoretický úvod Při měření elektromotorického napětí stejnosměrných zdrojů s vysokou přesností se nejčastěji používá kompenzační metody. Podstatou této metody je fakt, že lze s daleko větší přesností indikovat nulový proud v obvodu, než určit jeho hodnotu, pokud je nenulová. Další předností kompenzátorů je, že nezatěžují zdroj proudem a tím tedy nemění jeho napět ové charakteristiky. Princip zapojení kompenzátoru je znázorněn na obrázku 3. Neznámé napětí je značeno U x, referenční U. Předpokládáme, že U je dobře definované a lze jej plynule měnit. Pokud U U x, obvodem protéká proud a galvanometr G ukáže výchylku, v opačném případě ukazuje galvanometr nulu. Tohoto stavu se při určování napětí U x snažíme dosáhnout. K vlastnímu měření používáme kompenzátor METRA typ QTK. Rozsáhlý návod a popis kompenzátoru je např. v dokumentu [3]. Podrobnější princip měření s kompenzátorem vysvětlíme za pomoci obrázku 2. Písmenem A je označen pomocný obvod, písmenem B obvod měřený. Oba Obrázek 1: Westonův normální článek, originální nákres [1] tyto obvody jsou provázány přes potenciometr R 1. Odpor jeho části, která je zapojena do obvodu B, označíme R. Je-li na rezistoru R napětí U rovné U m, nebude obvodem B procházet proud, výchylka na galvanometru bude tedy nulová. Obvod B tedy nebude ovlivňovat proud I p protékající obvodem A a tedy ani napětí U. V tento okamžik tedy platí U m = U = RI p. (1) 1
A G Up A R1 B Um R2 R3 Obrázek 2: Schéma zapojení kompenzátoru [4] Velikost proudu I p určujeme zpravidla nepřímo, užitím Westonova normálního článku, který zapojíme na místo měřeného napětí U m. Vykompenzujeme-li jeho napětí U n tak, aby obvodem B neprocházel žádný proud, bude platit U n = U = R n I p. (2) Z předchozích dvou vztahů snadnou úpravou dostaneme U m = R R n U n (3) za předpokladu, že I p je v průběhu měření neměnný, což je tedy nutné kontrolovat. Pro napětí U n Westonova normálního článku platí vztah U n = U 20 4.06e 5 (t 20) 0.95e 6 (t 20) 2 + 1e 8 (t 20) 3 V, (4) kde t je teplota ve dokumentu [3]. a U 20 = 1.01865 V je napětí článku při 20. Více o Westonově normálním článku např. v G U Ux Obrázek 3: Principiální schéma zapojení kompenzátoru [4] 2.2.1 Cejchování voltmetru Zapojení podle obrázku 4. Pomocí reostatu R měníme napětí na svorkách cejchovaného voltmetru V, odečítáme z něj hodnotu napětí U v a měříme správnou hodnotu U x na kompenzátoru. Uz R U Ux - + Kompenzátor METRA QTK Obrázek 4: Schéma zapojení při cejchování voltmetru [4] 2
2.2.2 Cejchování miliampérmetru Zapojení podle obrázku 5. Pomocí reostatu R měníme proud I x procházející odporovým normálem R n. Na R n vzniká úbytek napětí U x, které měříme pomocí kompenzátoru. Hodnotu proudu I x určíme podle vztahu Tuto hodnotu dále srovnáme s výchylkou I na ampérmetru A. I x = U x R n. (5) R U Rn Ux - + Kompenzátor METRA QTK I Obrázek 5: Schéma zapojení při cejchování miliampérmetru [4] 2.2.3 Cejchování odporové dekády Zapojení podle obrázku 6. Cejchování odporové dekády provádíme pomocí odporových normálů. Větší přesnosti dosáhneme, je-li hodnota odporového normálu a odporu nastaveného na dekádě blízká. Neznámý odpor R x a odporový normál R n zapojíme do série a měříme napětí na každém z nich pomocí kompenzátoru. Označíme U x napětí na neznámém odporu, U n napětí na odporovém normálu. Poznamenejme, že přestože stejně značené, U n nemá nic společné s napětím Westonova článku. Prochází-li obvodem celkový proud I, platí U x = IR x, U n = IR n. (6) Spojením těchto výrazů dostaneme R x = U x U n R n. (7) R Rx U Rn Ux - + Kompenzátor METRA QTK Obrázek 6: Schéma zapojení při cejchování oporové dekády [4] 2.3 Postup měření Před měřením s kompenzátorem je nutné ho zkalibrovat. To provedeme pomocí Westonova normálního článku. Změříme teplotu v místnosti a dosadíme do vztahu (4). Takové napětí tedy článek za dané teploty generuje. Při manipulaci se článkem dáváme pozor abychom jej nepoškodili. Pro vlastní kalibraci připojíme článek na svorky označené U N, na dekádách kompenzátoru nastavíme napětí odpovídající vypočtenému napětí Westonova článku. Příslušné rezistory nastavíme tak, aby výchylka galvanometru byla nulová a pomocný proud měl hodnotu přesně 1 ma. Měření kompenzátorem probíhá podle následujícího postupu. 3
ˆ Na kompenzátoru zvolíme vhodný rozsah, přepneme polohu spínače pro měření na svorkách U x, nastavíme zdroj na vnitřní. ˆ Měřené napětí připojíme na svorky U x. ˆ Na dekádě kompenzátoru nastavíme předpokládanou (přibližnou) hodnotu napětí. ˆ Na malou chvilku pohneme páčkou ve směru hrubě, sledujeme výchylku na galvanometru. ˆ Podle směru (a přibližné velikosti) výchylky upravíme nastavení dekády. ˆ Předchozí dva kroky opakujeme tak dlouho, dokud je výchylka na kompenzátoru velká. Jakmile se stane téměř neznatelnou, začneme páčku přepínat do polohy jemně, sleduje výchylku galvanometru. ˆ Podle výchylky opět upravujeme nastavení na dekádě. ˆ Jakmile je výchylka nulová, nalezli jsme správnou hodnotu napětí, jejíž velikost odečteme na dekádě (případně vynásobíme konstantou v závislosti na rozsahu). 2.3.1 Cejchování voltmetru Obvod zapojíme podle obrázku 4. Jako zdroj používáme zdroj stejnosměrného napětí 13.8 V. Rozsah kompenzátoru nastavíme na 15 V. Pomocí reostatu R měníme napětí na svorkách voltmetru. Odečítáme výchylky a zaznamenáváme správnou hodnotu napětí na kompenzátoru. Poté sestrojíme korekční křivku. 2.3.2 Cejchování ampérmetru Obvod zapojíme podle obrázku 5. Jako zdroj používáme baterii D o napětí 1.5 V. Rozsah kompenzátoru nastavíme na 1500 ma. Pomocí reostatu R měníme napětí na odporovém normálu které měříme kompenzátorem. Zároveň odečítáme hodnotu proudu na miliampérmetru. Správnou hodnotu proudu spočítáme ze napětí odečteného na kompenzátoru podle vztahu (5). Sestrojíme korekční křivku. 2.3.3 Cejchování odporové dekády Obvod zapojíme podle obrázku 6. Jako zdroj používáme zdroj stejnosměrného napětí 13.8 V. Rozsah kompenzátoru nastavíme na 1500 ma. Pomocí reostatu R měníme nastavení obvodu. Napětí na odporovém normálu a dekádě střídavě měříme kompenzátorem. Pro hodnoty odporu dekády v rozmezí 500-1000 Ω použijeme odporový normál R n = 1000Ω, pro hodnoty 100-500 Ω odporový normál R n = 100Ω. Správnou hodnotu odporu nastaveného na dekádě vypočteme pomocí vztahu (7). 2.4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 2, 1 a 3. Dále zobrazujeme grafy naměřených dat a grafy korekčních křivek. Podle vztahu (4) vypočítaná hodnota napětí Westonova článku při teplotě t = 23.5 je 0.90844 V. U [V] U x [mv] U [V] U rel [%] 9.45 9.3185-0.1315 1.41 8.60 8.4690-0.1310 1.55 7.20 7.2990 0.0990 1.36 6.40 6.2890-0.1110 1.76 5.40 5.3155-0.0845 1.59 4.40 4.3345-0.0655 1.51 3.40 3.3395-0.0605 1.81 2.55 2.4950-0.0550 2.20 1.40 1.4010 0.0010 0.07 0.80 0.7800-0.0200 2.56 Tabulka 1: Cejchování voltmetru; U je hodnota napětí odečtená na voltmetru, U x hodnota napětí změřená na kompenzátoru, U rozdíl předchozích hodnot podle vztahu U = U x U, U rel relativní rozdíl v procentech 4
ΔU [V] Ux [V] 10 9 8 7 y = 0.9853x - 0.0037 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U [V] Obrázek 7: Graf naměřených dat při cejchování voltmetru. Je proložen lineární regresí jejíž směrnici a posunutí budeme používat při dalších výpočtech. Předpokládaná chyba měření je vyznačena červeným čtverečkem a není do regrese zahrnuta 0.15 0.10 základní data chyba 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.05-0.10-0.15 U [V] Obrázek 8: Korekční křivka voltmetru. Předpokládaná chyba měření je vyznačena červeným čtverečkem. Červená přerušovaná čára nám ukazuje, jak by křivka vypadala, pokud bychom nepovažovali tuto hodnotu za chybu 5
ΔI [ma] Ix [ma] 1.0 0.9 y = 0.9891x - 0.0098 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 I [ma] Obrázek 9: Graf naměřených dat při cejchování miliampérmetru. Je proložen lineární regresí jejíž směrnici a posunutí budeme používat při dalších výpočtech 0.000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-0.005-0.010-0.015-0.020-0.025-0.030 I [ma] Obrázek 10: Korekční křivka miliampérmetru 6
ΔR [Ω] Rx [Ω] 1200 1000 y = 0.9982x + 2.1219 800 600 400 y = 0.9993x + 1.5569 200 0 0 200 400 600 800 1000 1200 R [Ω] Obrázek 11: Graf naměřených dat při cejchování dekády. Zelené trojúhelníky značí měření při odporovém normálu R n = 100Ω, Modré kosočtverce měření s odporovým normálem R n = 1000 Ω. Obě závislosti jsou proloženy lineární regresí jejichž směrnice a posunutí budeme používat při dalších výpočtech. Předpokládaná chyba měření je vyznačena červeným čtverečkem a není do regresí zahrnuta. 25 20 15 Rn = 1000 Ohm Rn = 1000 Ohm (chyba) Rn = 100 Ohm 10 5 0 0 200 400 600 800 1000 1200-5 -10 R [Ω] Obrázek 12: Korekční křivka voltmetru. Zelené trojúhelníky spojené zelenou linií značí měření při odporovém normálu R n = 100 Ω, Modré kosočtverce spojené přerušovaně značí měření s odporovým normálem R n = 1000 Ω. Předpokládaná chyba měření je vyznačena červeným čtverečkem. Červená čerchovaná čára nám ukazuje, jak by křivka vypadala, pokud bychom nepovažovali tuto hodnotu za chybu. 7
R n = 1000Ω I [ma] U x [mv] I x [ma] I [mv] I rel [%] 0.96 947.95 0.94795-0.01205 1.27 0.86 834.65 0.83465-0.02535 3.04 0.74 720.20 0.72020-0.01980 2.75 0.64 620.40 0.62040-0.01960 3.16 0.56 542.70 0.54270-0.01730 3.19 0.48 465.60 0.46560-0.01440 3.09 0.38 367.60 0.36760-0.01240 3.37 0.28 269.15 0.26915-0.01085 4.03 0.20 189.15 0.18915-0.01085 5.74 0.12 107.90 0.10790-0.01210 11.21 Tabulka 2: Cejchování miliampérmetru; I je hodnota proudu odečtená na miliampérmetru, U x hodnota napětí na odporu R n změřená na kompenzátoru, I x hodnota proudu vypočtená z napětí U x podle vztahu (5), I rozdíl hodnot proudu podle vztahu I = I x I, I rel relativní rozdíl v procentech 2.5 Diskuze 2.5.1 Cejchování voltmetru Při cejchování voltmetru jsme dostali odchylky přibližně mezi 1.5 a 2.5 %, v absolutní hodnotě byly odchylky do 0.14 V. Vzhledem k rozsahu voltmetru jsme museli na kompenzátoru použít rozsah 15 V. Měli jsme tedy oproti ostatním měřením (které byly prováděny při rozsahu 1500 mv) menší přesnost. Příčinou byl málo znatelný výkyv galvanometru při přibližování se k přesné hodnotě, obzvláště při menších hodnotách napětí. Hodnotu napětí naměřenou při 7.2 V ukazovaných voltmetrem bychom mohli považovat za hrubou chybu měření. Voltmetr by totiž z principu jeho fungování výchylka je spojitou funkcí napětí neměl takto zásadně změnit korekci a hned se zase vrátit zpět na původní hodnotu odchylky. Na druhou stanu, relativní chyba této hodnoty byla nejmenší 1.3 %, je tedy stejně tak možné, že se o chybu nejedná. Abychom si mohli být jisti, bylo by dobré měření provést vícekrát. Z pouze jednoho opakování se prakticky nedá nic usuzovat. 2.5.2 Cejchování ampérmetru Při cejchování miliampérmetru jsme dostali odchylky přibližně mezi 2 a 5 %, měření při nejnižší hodnotě napětí již chyba dosahovala 11 %. V absolutní hodnotě se odchylky pohybovaly mezi 0.01 a 0.03 ma. Zde již byl rozsah nastaven na 1500 ma a měření bylo proto přesnější. 2.5.3 Odporové dekády Při cejchování odporové dekády jsme dostali odchylky většinou okolo 0.4 %. Při hodnotě kterou jsme vyhodnotili jako hrubou chybu měření dosahovala relativní chyba více než 3 %. Princip fungování dekády sestavování odporů z diskrétních hodnot tedy nijak nepodmiňuje hladkou funkci chyby (naopak od voltmetru nebo ampérmetru) při různých (na sobě nezávislých) nastaveních. Má smysl měřit pouze jednotlivé hodnoty (např. 1 Ω, 2 Ω,... a 100 Ω, 200 Ω,...) ale jejich kombinace (např. 215 Ω, 12.7 Ω,...) již smysl nemají. Nebyli bychom pak schopni jednoduše určit, od kterého nastavení (od kterého odporu) pramení daná odchylka. Pokud bychom proměřili naprosto všechna nezávislá nastavení, mohli bychom předpokládat odchylku při jakémkoli nastavení kombinující základní stavy. Korekce by se určila jako součet odchylek jednotlivých prvků do kombinace přispívajících. Měření při nastavené hodnotě 700 Ω jsme tedy nevyhodnotili jako chybu na základě principu fungování přístroje, ale na základě jeho očekávané přesnosti. Rozdíl 22 Ω je ve srovnání s ostatními chybami značný a je tedy možné, že se jedná o hrubou chybu měření. Stejně jako u cejchování voltmetru ovšem nemáme k dispozici dostatek dat (opakovaných měření daného nastavení) abychom to mohli potvrdit. 2.6 Závěr Sestrojili jsme korekční křivku voltmetru, miliampérmetru a odporové dekády pomocí kompenzátoru Metra QTK. Korekci jsme dále aproximovali lineární funkcí pro jednodušší využití při výpočtech. 8
R n = 1000Ω R x [Ω] U x [mv] U n [mv] R x [Ω] R [Ω] R rel [%] 1000 935.75 933.30 1002.63 2.63 0.26 900 844.50 943.45 895.12-4.88 0.55 800 758.70 945.00 802.86 2.86 0.36 700 688.50 952.70 722.68 22.68 3.14 600 577.30 958.95 602.01 2.01 0.33 500 484.55 965.80 501.71 1.71 0.34 400 390.65 973.05 401.47 1.47 0.37 300 295.60 980.00 301.63 1.63 0.54 200 198.70 986.20 201.48 1.48 0.73 100 100.85 993.55 101.50 1.50 1.48 R n = 100Ω R x [Ω] U x [mv] U n [mv] R x [Ω] R [Ω] R rel [%] 500 516.20 103.05 500.92 0.92 0.18 400 416.65 103.75 401.59 1.59 0.40 300 315.00 104.50 301.44 1.44 0.48 200 212.10 105.35 201.33 1.33 0.66 100 107.40 105.90 101.42 1.42 1.40 Tabulka 3: Cejchování odporové dekády; horní část tabulky se týká měření s odporovým normálem R n = 1000 Ω, dolní část se týká měření s odporovým normálem R n = 100 Ω; v obou případech platí značení: R x je odpor nastavený na dekádě (odečtená hodnota), U x je napětí na dekádě změřené pomocí kompenzátoru, U n je napětí na odpovídajícím odporovém normálu, R x je z naměřených hodnot podle vztahu (7) vypočítaný odpor dekády, R je rozdíl hodnot odporů podle vztahu R = R x R x, R rel relativní rozdíl v procentech 3 Použitá literatura Reference [1] Edward Weston, File:Westoncell Volt.png [Online], [cit. 25. října 2012] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:westoncell Volt.png [2] Kolektiv KF, Návod k úloze: Rozšíření rozsahu Miliampérmetru a voltmetru, Cejchování kompenzátorem [Online], [cit. 25. října 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/119/mod resource/content/4/kompenzator 13 09 12.pdf [3] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 25. října 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf [4] Ondřej Ticháček, pomocí programu CircuitLab [Online], na základě [2] [cit. 25. října 2012] https://www.circuitlab.com/ [5] Kolektiv KF, Návody k přístrojům [Online], [cit. 25. října 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/navody-o.pdf Část II Rozšíření rozsahu miliampérmetru a voltmetru 4 Zadání 1. V přípravě odvod te vztah pro rozšíření rozsahu voltmetru N-krát. 2. Rozšiřte rozsah miliampérmetru dvakrát a určete jeho vnitřní odpor R 0. Měření proved te pro 10 různých nastavení obvodu, tj. pro 10 různých proudů. 9
3. Rozšiřte rozsah voltmetru dvakrát a určete jeho vnitřní odpor R 0. Měření proved te pro 10 různých nastavení obvodu, tj. pro 10 různých napětí. 5 Vypracování 5.1 Použité přístroje Miliampérmetr, Voltmetr, zdroj 13.4 V, reostaty 115 Ω, 6 kω, 232 kω, dva vypínače, odporová dekáda, vodiče. 5.2 Teoretický úvod Při měření s ampérmetrem nebo voltmetrem je velikost měřeného proudu/napětí omezena rozsahem přístroje. Při měření vyšších hodnot příslušné veličiny musíme rozsah přístroje rozšířit. To se provádí pomocí přídavného rezistoru určité hodnoty odporu. Tato hodnota závisí na požadovaném zvýšení rozsahu a na vnitřním odporu přístroje. 5.2.1 Rozšíření rozsahu miliampérmetru Při měření vyšších proudů zabráníme přetížení ampérmetru zapojením tzv. bočníku rezistoru dané hodnoty odporu paralelně k ampérmetru. Přesné zapojení můžeme vidět na obrázku 13. R K2 U A Rb K1 Obrázek 13: Schéma zapojení obvodu při zvětšování rozsahu ampérmetru [2] Odvodíme vztah pro velikost odporu bočníku R b. Při vypnutém klíči K 2 prochází ampérmetrem A proud I 1. Při zapnutém klíči K 2 ampérmetrem prochází proud I 2. Chceme-li rozšířit rozsah ampérmetru n-krát, musí platit n = I 1 I 2. (8) Vnitřní odpor ampérmetru označíme R 0. Vnitřní odpor zdroje a připojeného reostatu (v praxi měřeného obvodu) označíme R. Při vypnutém klíči K 2 bude tedy platit U = (R + R 0 )I 1. (9) Při zapnutém klíči K 2 prochází obvodem celkový proud I 0, ampérmetrem proud I 2 a bočníkem proud I b. Platí tedy ( I 0 = I 2 + I b, U = R + R ) 0R b I 0 (10) R 0 + R b Máme-li dostatečně tvrdý zdroj, bereme napětí U vzhledem k zapnutí klíče K 2 nezávislé. Z předchozích dvou vztahů dostáváme (rovností přes U) I 0 = R + R 0 R + R0R b R 0+R b I 1. (11) 10
Pro velké odpory R v porovnání s R 0 a R b můžeme člen před I 1 aproximovat 1. Máme tedy Do Ohmova zákona pro odpory R b a R 0 dosadíme předchozí vztah Nakonec použijeme podmínku pro zvýšení rozsahu n-krát (8) 5.2.2 Rozšíření rozsahu voltmetru I 1 = I 0, aprotoi b = I 1 I 2. (12) I 2 I 2 R b = R 0 = R 0 = R 0 I b I 1 I I 1 I 2 = R 0 I 1 2 I 2 I 2 1. (13) R b = R 0 n 1. (14) Při měření vyšších napětí zabráníme přetížení voltmetru zapojením předřadného odporu k voltmetru. Rezistor dané hodnoty zapojíme k voltmetru do série. Přesné zapojení můžeme vidět na obrázku 14. 2 A K2 1 R Rp B K1 V Obrázek 14: Schéma zapojení obvodu při zvětšování rozsahu voltmetru [2] Odvodíme vztah pro velikost předřadného odporu R p. Postup je podobný s odvozením vzorce pro ampérmetr. Necht je mezi body A a B napětí U. Předpokládejme, že se toto napětí vlivem připojení odporu R p (tj. přepnutím klíče K 2 do polohy 2) nezmění. To bude platit čím menší bude odpor R a čím menší bude předřazený odpor R p. Toto jsme získali upravením rovnice kde člen před U jde k 1 pokud U = R(R 0 + R p ) R + R 0 + R p R + R 0 RR 0 U (15) R 2 R p 0. (16) Označme proud procházející voltmetrem I v, pro který z Ohmova zákona platí kde U v je napětí na voltmetru a R 0 jeho vnitřní odpor. Pro zvýšení rozsahu voltmetru n-krát požadujeme, aby platilo Upravením předchozích dvou rovnic dostáváme I v = U v R 0 = U U v R p, (17) U U v = n. (18) R p = R 0 U U v U v = R 0 (n 1). (19) 11
5.3 Postup měření 5.3.1 Rozšíření rozsahu miliampérmetru Zapojíme podle schématu na obrázku 13. Jako zdroj použijeme zdroj stejnosměrného napětí 13.4 V. Namísto rezistoru R připojíme reostat 232 kω. V průběhu měření jsme byli nuceni tento odpor ještě zvýšit (připojením reostatu 6kΩ). Jako bočník připojíme odporovou dekádu. Měření probíhá podle následujícího postupu. Všechny kroky opakujeme pro různé hodnoty odporu nastavené na reostatu R. ˆ K 2 je vypnutý, zapneme K 1, reostat nastavíme tak, aby ručička ampérmetru byla na maximální hodnotě rozsahu (1 ma). V následujících opakováních pak budeme odpor nastavený na reostatu zvyšovat a tím snižovat proud odečítaný na ampérmetru. Vždy volíme takové nastavení, aby se hodnota proudu dala jednoduše odečíst tj. ručička se kryla s některou z rysek. ˆ Zapneme K 2, nastavíme na dekádě takovou hodnotu odporu, aby výchylka ručičky byla v porovnání s předchozím stavem (K 2 vypnutý) přesně poloviční. Tímto docílíme přesně dvojnásobného rozšíření rozsahu (neuvažujeme-li korekce). ˆ Hodnotu odporu na dekádě i proud, který teče ampérmetrem, zaznamenáváme. 5.3.2 Rozšíření rozsahu voltmetru Zapojíme podle schématu na obrázku 14. Jako zdroj použijeme zdroj stejnosměrného napětí 13.4 V. Namísto rezistoru R a s ním do série zapojeného reostatu připojíme jediný reostat 115 Ω. Jako předřazený rezistor připojíme odporovou dekádu. Měření probíhá podle následujícího postupu. Všechny kroky opakujeme pro různé hodnoty odporu nastavené na reostatu R. ˆ K 2 je v poloze 1, zapneme K 1, reostat nastavíme tak, aby ručička voltmetru byla na maximální hodnotě rozsahu (10 V). V následujících opakováních pak budeme odpor nastavený na reostatu měnit a snižovat napětí odečítané na voltmetru. Vždy volíme takové nastavení, aby se hodnota napětí dala jednoduše odečíst tj. ručička se kryla s některou z rysek. ˆ K 2 nastavíme do polohy 2 a na dekádě zvolíme takovou hodnotu odporu, aby výchylka ručičky byla v porovnání s předchozím stavem (K 2 v poloze 1) přesně poloviční. Tímto docílíme přesně dvojnásobného rozšíření rozsahu (neuvažujeme-li korekce). ˆ Hodnotu odporu na dekádě i napětí, které odečteme na voltmetru zaznamenáváme. 5.4 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 4 a 5. 5.5 Diskuze Rozšíření rozsahu ampérmetru dvakrát jsme učinili úspěšně, po započítání korekcí nám vyšla hodnota průměrného rozšíření rozsahu (2.029 ± 0.006)-krát. Vnitřní odpor jsme určili po započítání korekcí na (108.5 ± 1.5) Ω. V tabulce 4 můžeme nalézt další výsledky po započítání/nezapočítání různých korekcí. Rozšíření rozsahu voltmetru dvakrát se rovněž podařilo, po započítání korekcí nám vyšla hodnota průměrného rozšíření rozsahu (2.002±0.002)-krát. Vnitřní odpor jsme určili po započítání korekcí na (3857±40) Ω. V tabulce 4 můžeme nalézt další výsledky po započítání/nezapočítání různých korekcí. Poznamenejme, že chyby v tabulce jsou zaokrouhleny na dvě platné cifry, aby byl vidět směr, ve kterém provedené korekce na výsledek působí. Smysl má rozhodně korekce podle cejchování určená v předchozí části. Tuto korekci jsme ovšem započetli pouze jejím lineárním přiblížením, což nám nedává plnou informaci o průběhu odchylek. Korekce podle cejchování odporové dekády již nemá takový smysl, nebot jsme dekádu cejchovali v diskrétních hodnotách {100, 200,..., 1000} Ω a sami jsme měřili i s hodnotami jednotek a desetin Ω. Korekce tedy jistý vliv mít bude, ovšem možná že se k správné hodnotě nepřiblíží. To záleží na korekcích v ostatních řádech dekády, kde nemáme dostupná data. Přestože nám statistická chyba měření nevyšla příliš velká, statistická chyba bude pravděpodobně o něco vyšší. Určování poloviny dané hodnoty na ampérmetru je poměrně nepřesné. To jsme se snažili eliminovat tím, 12
I 1 [ma] I 2 [ma] I 1 [ma] I 2 [ma] R b = R 0 [Ω] Rb [Ω] n [1] R 0 [Ω] R0 [Ω] 1.00 0.50 0.979 0.485 105.6 107.1 2.020 107.7 109.2 0.90 0.45 0.880 0.435 104.9 106.4 2.023 107.3 108.8 0.80 0.40 0.781 0.386 102.6 104.1 2.025 105.2 106.7 0.75 0.38 0.732 0.361 105.5 107.0 2.027 108.4 109.9 0.70 0.35 0.683 0.336 102.0 103.5 2.029 105.0 106.5 0.65 0.33 0.633 0.312 105.4 106.9 2.031 108.7 110.2 0.60 0.30 0.584 0.287 103.0 104.5 2.034 106.5 108.1 0.54 0.27 0.524 0.257 102.8 104.3 2.038 106.7 108.3 průměrná hodnota podle (20) a (21) 104.0 ± 1.5 105.5 ± 1.5 2.029 ± 0.006 106.9 ± 1.5 108.5 ± 1.5 Tabulka 4: Naměřené hodnoty při zvětšování rozsahu ampérmetru dvakrát; I 1 je hodnota proudu odečtená z ampérmetru při nezvýšeném rozsahu, I 2 je hodnota proudu odečtená z ampérmetru při zvýšeném rozsahu, I 1 a I 2 jsou korigované hodnoty I 1 resp. I 2 podle vztahu I = 0.9891I 0.0098 určeného v sekci Cejchování ampérmetru, R b je hodnota odporu bočníku nastavená na dekádě, R 0 je hodnota vnitřního odporu vypočtená podle vztahu (14) bylo-li za n dosazeno přesně 2, n je přesné zvýšení rozsahu spočítané pomocí korigovaných proudů, Rb je korigovaná hodnota odporu bočníku R b spočítaná podle vztahu R = 0.9993R + 1.5569 určeného v sekci Cejchování odporové dekády, R0 je hodnota vnitřního odporu vypočtená podle (14) pomocí hodnot n a R b ; značení je tedy obecně následující: čárka značí, že nebyla provedena korekce podle cejchování ampérmetru, vlnka, že byla provedena korekce podle cejchování dekády že jsme volili takové hodnoty, aby se tato hodnota i její polovina kryly s některou z rysek na přístroji. Měření, jejichž číselné vyjádření obou hodnot proudu končí nulou mají proto určitě větší přesnost. Pokud ovšem ostatní hodnoty vypustíme, k výrazně odlišným výsledkům se nedostaneme. Co se voltmetru týče, zde bylo určování poloviny přesnější, na druhou stranu jsme nebyli schopni tak přesně nastavit odporovou dekádu. Malé změny odporu se nedaly pozorovat a proto, přestože se na dekádě dají nastavit i desetiny Ω, nastavovali jsme odpor pouze do řádu desítek Ω. Další systematická chyba měření teoreticky mohla nastat v předpokladu, že se proudy a napětí při připojení rozšiřujícího odporu nemění. Tuto skutečnost, byt jsme chtěli, jsme díky nefunkčním kontrolním galvanometrům vůbec nemohli ověřovat. 5.6 Závěr Rozšířili jsme rozsahy miliampérmetru a voltmetru dvakrát a pomocí naměřených hodnot spočítali jejich vnitřní odpory. Vnitřní odpor námi proměřovaného ampérmteru je R 0A = (108.5 ± 1.5) Ω. Vnitřní odpor námi proměřovaného voltmetru je R 0V = (3857 ± 40) Ω. 6 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Rozšíření rozsahu Miliampérmetru a voltmetru, Cejchování kompenzátorem [Online], [cit. 25. října 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/119/mod resource/content/4/kompenzator 13 09 12.pdf [2] Ondřej Ticháček, pomocí programu CircuitLab [Online], na základě [2] [cit. 25. října 2012] https://www.circuitlab.com/ [3] Kolektiv KF, Návody k přístrojům [Online], [cit. 25. října 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/navody-o.pdf Část III Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [1]: 13
U 1 [V] U 2 [V] U 1 [V] U 2 [V] R p = R 0 [Ω] Rp [Ω] n [1] R 0 [Ω] R0 [Ω] 10 5.0 9.8493 4.9228 3880 3875 2.001 3877 3872 9 4.5 8.864 4.43015 3800 3795 2.001 3797 3792 8 4.0 7.8787 3.9375 3940 3935 2.001 3936 3931 7 3.5 6.8934 3.44485 3860 3855 2.001 3856 3851 6 3.0 5.9081 2.9522 3880 3875 2.001 3875 3870 5 2.5 4.9228 2.45955 3880 3875 2.002 3874 3869 4 2.0 3.9375 1.9669 3900 3895 2.002 3893 3888 3 1.5 2.9522 1.47425 3850 3845 2.003 3840 3836 2 1.0 1.9669 0.9816 3880 3875 2.004 3865 3861 1 0.5 0.9816 0.48895 3830 3825 2.008 3801 3796 průměrná hodnota podle (20) a (21) 3870 ± 40 3865 ± 40 2.002 ± 0.002 3862 ± 40 3857 ± 40 Tabulka 5: Naměřené hodnoty při zvětšování rozsahu voltmetru dvakrát; U 1 je hodnota napětí odečtená z voltmetru při nezvýšeném rozsahu, U 2 je hodnota napětí odečtená z při zvýšeném rozsahu, U 1 a U 2 jsou korigované hodnoty U 1 resp. U 2 podle vztahu U = 0.9853U 0.0037 určeného v sekci Cejchování voltmetru, R p je hodnota předřazeného odporu nastavená na dekádě, R 0 je hodnota vnitřního odporu voltmetru vypočtená podle vztahu (19) bylo-li za n dosazeno přesně 2, n je přesné zvýšení rozsahu spočítané pomocí korigovaných napětí, Rp je korigovaná hodnota předřazeného odporu R p spočítaná podle vztahu R = 0.9982R + 2.1219 určeného v sekci Cejchování odporové dekády, R0 je hodnota vnitřního odporu vypočtená podle (19) pomocí hodnot n a R p ; značení je tedy obecně následující: čárka značí, že nebyla provedena korekce podle cejchování voltmetru, vlnka, že byla provedena korekce podle cejchování dekády ˆ Aritmetický průměr x = 1 n x i (20) n i=1 ˆ Směrodatná odchylka σ x = 1 n (x i x) 2, (21) n 1 kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (22) i=1 x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = 7 Použitá literatura Reference ( f x ) 2 σ 2 x + ( ) 2 f σy y 2 + u = (u ± σ u ), [1] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 25. října 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf ( ) 2 f σz z 2 +... (23) 14