6 TESTY HYPOTÉZ NEPARAMETRICKÉ TESTY

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy 6 TESTY HYPOTÉZ NEPARAMETRICKÉ TESTY RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Kapitola obsahuje přehled neparametrických testů, které nalezneme v nabídce Analyze Nonparametric Tests programu SPSS. Obrázek 6.1 Zdroj: Vlastní zpracování. Dostupné jsou následující testy: Chi-Square Test zařazuje proměnnou do kategorií a počítá statistiku chí-kvadrát, která je založená na rozdílech mezi pozorovanými a očekávanými četnostmi. Binomial Test porovnává četnosti pozorování v každé kategorii u dichotomické proměnné s očekávanou četností binomického rozdělení. Runs Test testuje, zda pořadí výskytu dvou hodnot veličiny je náhodné. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test porovnává empirickou distribuční funkci náhodné veličiny s uvedeným teoretickým rozdělením, které může být normální, rovnoměrné, exponenciální, nebo Poissonovo. Two-Independent-Samples Tests oveřují shodnou úroveň veličiny ve dvou populacích na základě dvou nezávislých výběrů. K dispozici jsou Mann-Whitney U test, Kolmogorov-Smirnov test, Moses test of extreme reactions, Wald-Wolfowitz runs test. Tests for Several Independent Samples ověřují shodnou úroveň veličiny v k populacích na základě k nezávislých výběrů. K dispozici jsou Kruskal-Wallis test, Median test, Jonc-kheere-Terpstra test. Two-Related-Samples Tests porovnávají rozdělení dvou proměnných. K dispozici jsou Wilcoxon signed-rank test, Sign test, McNemar test, Marginal homogeneity test. Tests for Several Related Samples porovnávají rozdělení dvou nebo více proměnných. K dispozici jsou Friedman s test, Kendall s W, Cochran s Q. - 73 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy 6.1 TESTY ZALOŽENÉ NA BINOMICKÉM ROZDĚLENÍ Znaménkový test pro dva závislé výběry Znaménkový test patří mezi nejstarší z testů a je neparametrickou obdobou párového t testu. Zkoumá se, zda dvě populace, z nichž jsou vybrány dva závislé výběry mají stejnou charakteristiku polohy - medián. Závislým výběrem rozumíme případy, kdy sledujeme určitý znak např. ve dvou po sobě jdoucích obdobích, nebo určitou vlastnost stejných jednotek za odlišných podmínek. Tento test je velmi jednoduchý, avšak jeho síla je malá, proto je zapotřebí mít k dispozici větší počet pozorování. Dvěma závislými výběry získáme párová pozorování náhodných veličin X1, Y1 ; X, Y;...; X n, Y n. Rozdíly di xi yi se rozdělí do dvou skupin podle znamének. Páry s nulovými rozdíly se z testu vyloučí. Počet párů bez nulových rozdílů se označí n, přitom platí n n. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : X Y, která vyjadřuje předpoklad, že výběry pocházejí ze souborů se shodným mediánem, oproti dvoustranné alternativní hypotéze H1 : X Y, která toto tvrzení popírá. Testovým kritériem je výběrový úhrn M, jehož hodnota m udává počet párů s kladným znaménkem. Náhodná veličina M má binomické rozdělení s parametry π = 0,5 a n. Kritický obor je interval ; n m m. Pro dostatečně velké výběry (zpravidla n > 36) má náhodná veličina M přibližně normované normální rozdělení. Testové kritérium je n M Z n. 4 Kritická hodnota je kvantil normovaného normálního rozdělení Pokud platí 1 z. 1 Z z, pak zamítáme nulovou hypotézu. 6. TESTY PRO DVOUROZMĚRNOU KONTINGENČNÍ TABULKU Mediánový test Tento test je navržen tak, aby se mohla zkoumat shoda populačního mediánu neboli stejné rozdělení veličiny X v r populacích. Škála měření je alespoň ordinální. Máme r nezávislých náhodných výběrů o rozsahu n, které jsou roztříděny do dvou skupin. Skupina 1 představuje hodnoty, které jsou vetší než společný medián a skupina představuje hodnoty, které jsou menší nebo se rovnají společnému mediánu. Máme tedy kontingenční tabulku r. Sloupcový součet n+1 představuje počet případů, kde hodnoty náhodné veličiny X byly větší než společný medián a sloupcový součet n+ představuje počet případů, kde hodnoty náhodné veličiny X byly menší nebo se rovnaly společnému mediánu. Testujeme nulovou hypotézu H 0, která předpokládá, že všechny populace mají stejný medián, oproti alternativní hypotéze H 1, která tvrdí, že alespoň jedna populace má jiný medián. - 74 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Testové kritérium G r n ij nˆ nˆ i1 j1 ij ij, nin j má asymptoticky rozdělení se stupni volnosti r 1, kde nˆ ij jsou n očekávané četnosti. Vyžaduje se, aby všechny očekávané četnosti byly větší než 1 a aspoň 80% těchto četností bylo větší než 5. Kritická hodnota je r 1. Pokud G r 1 1 1, pak nulovou hypotézu zamítáme. 6.3 TESTY ZALOŽENÉ NA POŘADÍ 6.3.1 MANNŮV-WHITNEYŮV-WILCOXONŮV TEST PRO DVA NEZÁVISLÉ VÝBĚRY Tento test patří k nejsilnějším neparametrickým testům a využívá se v případech, kdy nelze použít parametrický dvouvýběrový t test. Je testem o shodné úrovni spojité náhodné veličiny X ve dvou souborech. Test lze rozdělit na Mannův-Whinteyův U test a Wilcoxonův pořadový test. Oba tyto testy jsou rovnocenné. Škála měření náhodné veličiny X je alespoň ordinální. Uvažuje se náhodný výběr T x1 x11, x 1,..., x n 11 s distribuční funkcí x x, x,..., s distribuční funkcí x výběr T x 1 x n F F 1 a náhodný. Hodnoty z obou výběrů se spojí n n 1 n a uspořádají se vzestupně podle velikosti. Jednotlivým hodnotám se přiřadí pořadí, shodným hodnotám se přiřadí průměrná pořadí čísel, která by jim připadla. Pořadí hodnoty v prvním výběru označíme Rx i 1, i 1,,..., n1 ; pořadí ve druhém výběru Rx i, i 1,,..., n. Dále definujeme součet pořadí z prvního výběru R a součet pořadí z druhého výběru R n R. i1 x i n R ; 1 1 i1 ~ ~ Testujeme pak nulovou hypotézu H0 : E1x Ex nebo H 0 : X1 X o shodné úrovni veličiny X v obou souborech proti alternativní hypotéze H 1 : non H 0. Testové kritérium pro Wilcoxonův test je menší hodnota z obou součtů pořadí: S min R 1, R. Kritické hodnoty jsou uvedeny ve speciálních tabulkách pro Wilcoxonův test, ale protože má náhodná veličina S asymptoticky normované normální rozdělení, lze použít jako testové kritérium: n 1 S n1 Z. n n n 1 Asymptotické rozdělení můžeme použít v případě, že n, n 14. 1 1 1 8 Kritická hodnota je kvantil normovaného normálního rozdělení z. 1 x i 1-75 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy Pokud platí Z z 1, pak zamítáme nulovou hypotézu. 6.3. WALDŮV-WOLFOWITZŮV TEST Waldův-Wolfowitzův test je také neparametrickou analogií t testu pro dva nezávislé výběry. Testuje, zda spojitá náhodná veličina X má shodnou úroveň v obou souborech. Využívá se v případě, kdy nás zajímá, jestli posloupnost alternativních dat je náhodně uspořádaná. Tento test oproti předchozímu testu nemá takovou sílu. Pro použití Waldova- Wolfowitzova testu jsou potřeba dva nezávislé náhodné výběry a spojitou veličinu X. Škála měření je alespoň ordinální. Uvažují se dva náhodné výběry x, x,..., T ; x, x,..., T x1 11 1 x n 11 x 1 x n. Hodnoty z obou výběrů se spojí n n 1 n a uspořádají se vzestupně podle velikosti a určí se počet iterací R. Iterace je posloupnost za sebou následujících hodnot, které patří stejnému výběru. ~ ~ Testujeme pak nulovou hypotézu H0 : E1x Ex nebo H 0 : X1 X o shodné úrovni veličiny X v obou souborech proti alternativní hypotéze H 1 : non H 0. Testové kritérium je počet iterací R. Kritické hodnoty r n 1,n jsou uvedeny ve speciálních tabulkách pro test iterací. Pro velké rozsahy max n 1, n 0 má veličina R asymptoticky normální rozdělení se n1n n1n střední hodnotou ER n1n n1 n a rozptylem D R. n1 n n1 n n1 n 1 R ER Testové kritérium má tvar: Z DR Kritická hodnota je kvantil normovaného normálního rozdělení Pokud platí Z z 1, pak zamítáme nulovou hypotézu. z. 6.3.3 KRUSKALŮV-WALLISŮV TEST PRO K NEZÁVISLÝCH VÝBĚRŮ Tento test je vhodné použít místo jednofaktorové analýzy rozptylu, jestliže není splněna podmínka o normálním rozdělení X a stejných rozptylech ve sledovaných populacích. Testuje se jím rozdělení více náhodných veličin, přesněji shodu úrovně X ve všech k populacích. Rozšiřuje Mannův-Whineyův test na k nezávislých výběrů. Předpokladem Kruskallova-Wallisova testu je spojitost náhodné veličiny X, ordinální škála měření a stejný tvar rozdělení v populacích, ze kterých se provádí nezávislé náhodné výběry. Uvažuje se 1 T 1 j, j n j k j k nezávislých výběrů x x x,..., x, j 1,,...,. j Hodnoty ze všech k výběrů se spojí n n1 n... nk a uspořádají se vzestupně podle velikosti. Jednotlivým hodnotám se přiřadí pořadí, shodným hodnotám průměr z pořadových čísel, která jim přísluší. Pořadí hodnoty x označíme Rxij, i 1,,..., n j ; j 1,,..., k. ij Dále definujeme součet pořadí v j-tém výběru R Rx, j 1,,..., k. Testujeme pak nulovou hypotézu : 0 j n j i1 ij H úroveň veličiny X je v k populacích stejná. Alternativní hypotéza H 1 pak předpokládá, že úroveň veličiny X je aspoň pro jednu populaci jiná. - 76 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Testové kritérium je 1 H n n 1 k j1 R n j j 3 n 1. Jestliže je v každém výběru aspoň 5 pozorování, je vhodné použít jako kritickou hodnotu kvantil se stupni volnosti k 1. 1 6.3.4 WILCOXONŮV TEST PRO DVA ZÁVISLÉ VÝBĚRY Test se využívá pro testování parametru polohy. Cílem je ověřit, zda dva závislé výběry pocházejí ze souborů se shodným mediánem. Škála měření je alespoň intervalová. Uvažujme dva závislé výběry, kde data obsahují dvojice hodnot x1, y1, x, y,..., x n, y n. Vypočteme diference di xi yi, i 1,,..., n ; páry s nulovou diferencí se vynechají. Označme n počet párů, které zůstaly. Absolutní hodnoty diferencí se seřadí podle velikosti do neklesající posloupnosti a přiřadí se jim pořadí R i, i 1,,..., n ; shodným hodnotám se přiřadí průměr z pořadových čísel, která jim přísluší. Dále se pořadí rozdělí do dvou skupin podle znamének a označí se s + jako součet pořadí skupiny s kladným znaménkem, s - jakou součet pořadí se záporným znaménkem. Nulová hypotéza H d 0 předpokládá, že medián diferencí je nulový, neboli že 0 : 0, 50 výběry pocházejí ze souborů se stejným mediánem. Alternativní hypotéza H d 0 tento 1 : 0, 50 předpoklad popírá. Testové kritérium je S min s, s, kritická hodnota je s p kvantil Wilcoxonovy statistiky. Pro velká n n 8 má náhodná veličina S přibližně normované normální rozdělení a nn 1 S testové kritérium je pak Z 4. Kritický obor je interval z nn 1 n 1, z. 1 4 6.3.5 FRIEDMANŮV TEST Test ověřuje, zda úroveň sledovaného znaku závisí nebo nezávisí na změně podmínek. Rozšiřuje Wilcoxonův test pro dva závislé výběry. Je testem náhodnosti na základě k závislých výběrů. Využívá se v případě, kdy není splněna podmínka normality a shody rozptylů ve skupinách, jak se předpokládá při analýze rozptylu. Předpokladem použití tohoto testu je spojitost rozdělení. Je možné ho aplikovat i pro nominální nebo ordinální škálu měření. Jestliže jsou pozorovány stejné jednotky za k různých podmínek, je třeba tyto jednotky uspořádat do n bloků, které jsou náhodně vybrány. Dostáváme k, k závislých výběr x j T x1 j, x j,..., xn j, j 1,,..., k. Pozorovaná hodnota x ij je v i-tém bloku spojena s j-tou j podmínkou. V rámci bloku jsou jednotlivým pozorováním přiřazena pořadí od 1 do k podle nějakého kritéria. Shodným hodnotám je přiřazen průměr z pořadových čísel, která jim přísluší. Pořadí hodnoty x označíme Rxij, i 1,,..., n j ; j 1,,..., k. ij Dále definujeme součet pořadí v j-tém výběru R Rx, j 1,,..., k. j n j Testujeme pak nulovou hypotézu 0 : (odlišné podmínky mají stejný efekt). Alternativní hypotéza 1 jedna hodnota náhodné veličiny má odlišnou úroveň. i1 ij H hodnoty náhodné veličiny mají stejnou úroveň H pak předpokládá, že alespoň - 77 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy k 1 1S n Testové kritérium je V, kde S 1 R j 1. nk k j Jestliže je v každém výběru aspoň 5 pozorování, je vhodné použít jako kritickou hodnotu kvantil se stupni volnosti k 1. 1 6.3.6 KENDALLŮV TEST KONKORDANCE Tímto testem se posuzuje pořadí k závislých výběrů. Kendallův koeficient konkordance W je modifikací Friedmanovy testové statistiky a je mírou shody v pořadí mezi všemi bloky. Nabývá hodnot od 0 do 1. Jestliže je Kendallův koeficient roven 1, pak se jedná o shodu v pořadí ve všech blocích. Jestliže je roven 0, pak jde o nezávislost pořadí ve všech blocích. V W n k 1, k kde V je Friedmanovo testové kritérium, n je počet bloků a k je počet podmínek. Pro testování nulové hypotézy H 0 o nezávislosti pořadí ve všech blocích proti alternativní hypotéze H 1 o závislosti, zvolíme stejné testové kritérium a kritický obor jako u Friedmanova testu. 6.4 TESTY ZALOŽENÉ NA STATISTIKÁCH KOLMOGOROVOVA-SMIRNOVOVA TYPU Kolmogorov a Smirnov vyvinuli statistické postupy, které využívají maximální vertikální vzdálenost mezi teoretickou a empirickou funkcí jako měřítko toho, jak dobře se funkce navzájem podobají. Empirická distribuční funkce S x je dána vztahy: 1 Sx 0, x x1 ; Sx, xi x xi 1; Sx 1, x xn. n 6.4.1 KOLMOGORŮV TEST DOBRÉ SHODY PRO JEDEN VÝBĚR Test ověřuje předpoklad, že náhodný výběr pochází z určitého specifikovaného spojitého rozdělení. Využívá se i v případech, kdy je malý rozsah výběru. Tento test umožňuje ověřit tvrzení, že náhodný výběr pochází z rovnoměrného, normálního, Poissonova nebo exponenciálního rozdělení. Uvažujme uspořádaný náhodný výběr x x1, x,..., xn o velikosti n, který pochází z neznámého rozdělení s distribuční funkcí. K testování se použije empirická distribuční funkce F x S x jako odhad teoretické distribuční funkce x Testuje se nulová hypotéza: 0 : Fx F x, F * * x oproti alternativní hypotéze H : Fx F. * F *. H že náhodný výběr pochází ze spojitého rozdělení s distribuční funkcí 1 x Testovým kritériem je maximální absolutní rozdíl mezi hodnotami teoretické distribuční funkce S x, tedy: Kritická hodnota je F * x a empirické distribuční funkce d n x S. T sup F * x x 1, kde d p je kvantil pro Kolmogorovův-Smirnovův test. T - 78 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy 6.4. KOLMOGORŮV-SMIRNOVŮV TEST PRO DVA NEZÁVISLÉ VÝBĚRY V tomto případě se testuje, zda dva nezávislé výběry ze dvou různých populací pocházejí ze stejného rozdělení. Škála měření je alespoň ordinální. Uvažujme uspořádaný náhodný výběr x1 x11, x1,..., xn 11 o velikosti n 1, který pochází z neznámého spojitého rozdělení s distribuční funkcí x, a uspořádaný náhodný T výběr x x1, x,..., xn o velikosti n, který pochází z neznámého spojitého rozdělení s distribuční funkcí F x. Oba náhodné výběry jsou nezávislé. Odhadem distribuční funkce F i je empirická distribuční funkce x, i 1,. x S i 0 : F1 x F x H1 : F1 x F x Testuje se nulová hypotéza:, rozdělení oproti alternativní hypotéze. F 1 H že oba výběry pocházejí ze stejného Testovým kritériem je maximální absolutní rozdíl mezi hodnotami dvou empirických distribučních funkcí: T sup S1x S x. x d1 1,n, kde p Kritická hodnota je n test pro dva výběry. d je kvantil pro Kolmogorovův-Smirnovův T 6.5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY V této části je uvedeno pět příkladů, na kterých jsou provedeny jednotlivé testy. 6.5.1 KOLMOGOROVŮV TEST PRO JEDEN VÝBĚR V hlavním menu zvolíme Analyze Nonparametric Tests 1-Sample K-S Aktivuje se dialogové okno (Obr.6.), proměnnou přesuneme do pole Test Variable List: a vybereme jedno nebo více pravděpodobnostních rozdělení. SPSS nabízí Normal, Uniform, Poisson, Exponential. Kliknutím na OK se spustí analýza. Obrázek 6. Zdroj: Vlastní zpracování. - 79 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6.1 Dopravní policie modeluje počet nehod na jednoho řidiče v průběhu šesti let. K dispozici jsou náhodně vybrané údaje o řidičích v určitém regionu. Tabulka uvádí počty automobilových nehod pro jednotlivé řidiče. Tabulka 6.1 Řidič Pohlaví Věk Počet nehod Řidič Pohlaví Věk Počet nehod 1 žena 5 11 muž 8 6 žena 3 4 1 muž 31 3 žena 9 3 13 muž 34 5 4 žena 3 5 14 muž 43 0 5 žena 34 4 15 muž 43 6 žena 34 0 16 muž 45 4 7 žena 37 7 17 muž 47 8 žena 38 0 18 muž 48 9 žena 4 3 19 muž 54 4 10 žena 45 1 0 muž 63 3 Zjistěte, jakým rozdělením (normálním, rovnoměrným, Poissonovým nebo exponenciálním) lze nejlépe modelovat počet automobilových nehod. Řešení: První nulová hypotéza předpokládá normální rozdělení, druhá nulová hypotéza rovnoměrné rozdělení, třetí nulová hypotéza Poissonovo rozdělení a čtvrtá nulová hypotéza exponenciální rozdělení počtu nehod na jednoho řidiče v průběhu šesti let. Alternativní hypotéza tvrdí, že neplatí nulová hypotéze. Test provedeme na hladině významnosti 5%. Tabulka 6. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test počet_nehod N 0 Normal Parameters a,,b Mean 3,10 Std. Deviation 1,997 Most Extreme Differences Absolute,14 Positive,109 Negative -,14 Kolmogorov-Smirnov Z,554 Asymp. Sig. (-tailed),919 a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data. - 80 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Tabulka 6.3 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test počet_nehod N 0 Uniform Parameters a,,b Minimum 0 Maximum 7 Most Extreme Differences Absolute,186 Positive,186 Negative -,086 Kolmogorov-Smirnov Z,831 Asymp. Sig. (-tailed),495 a. Test distribution is Uniform. b. Calculated from data. Tabulka 6.4 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 3 počet_nehod N 0 Poisson Parameter a,,b Mean 3,10 Most Extreme Differences Absolute,105 Positive,105 Negative -,075 Kolmogorov-Smirnov Z,469 Asymp. Sig. (-tailed),980 a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. Tabulka 6.5 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 4 N počet_nehod Exponential parameter. b,,c Mean 3,65 Most Extreme Differences Absolute,33 0 a Positive,33 Negative -,187 Kolmogorov-Smirnov Z 1,33 Asymp. Sig. (-tailed),057 a. There are 3 values outside the specified distribution range. These values are skipped. b. Test Distribution is Exponential. c. Calculated from data. Z výsledků vyplývá, že všechny čtyři p - hodnoty (Asymp.Sig.(-tailed)) jsou větší než 0,05. (testujeme na hladině významnosti 5%), a proto nezamítáme žádnou nulovou hypotézu. Nejvyšší hodnotu má první testovaná hypotéza. Pro dopravní policii se jeví jako nejlepší modelovat počet automobilových nehod na řidiče normálním rozdělením. - 81 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy 6.5. SROVNÁNÍ DVOU NEZÁVISLÝCH VÝBĚRŮ V hlavním menu zvolíme Analyze Nonparametric Tests Independent Samples Aktivuje se dialogové okno (Obr.6.3), závislé proměnné přesuneme do pole Test Variable List: a nezávislou proměnnou do pole Grouping Variale:. Aktivuje je tlačítko Define Groups, potvrdíme. Dále zapíšeme numerické kódy, které byly vytvořeny pro každý výběr, a potvrdíme. V hlavním dialogovém okně vybereme jeden nebo více ze čtyř testů, kterými se bude ověřovat platnost testované hypotézy, klikneme na OK. Obrázek 6.3 Zdroj: Vlastní zpracování. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6. Vědci krmili laboratorní potkany dvěma různými stravami po delší dobu. Bylo vybráno náhodně 10 potkanů, kteří byli krmeni stravou A, a deset potkanů, kteří byli krmeni stravou B. Poté byl změřen obsah železa v játrech těchto potkanů. Testujte nulovou hypotézu, že rozdělení množství železa v játrech obou potkanů je stejné, oproti alternativní hypotéze, že rozdělení není stejné. Dále testujte hypotézu, že medián množství železa v játrech potkanů u obou strav je shodný. Výsledky ověřte na 5% hladině významnosti. Tabulka 6.6 Potkan Strava A Potkan Strava B 1, 11 1,33 3,98 1 0,48 3 1,99 13 1,9 4 4,11 14 1,65 5 1,49 15 1,1 6,17 16 0,96 7 3,67 17 1,07 8 1,1 18,04 9 0,9 19 1,51 10 3,33 0 1,08-8 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Řešení: Manův-Whitneyův-Wilcoxonův test Tabulka 6.7 Ranks strava N Mean Rank Sum of Ranks množství_železa 1 10 13,70 137,00 10 7,30 73,00 Total 0 Tabulka 6.8 Test Statistics b množství_železa Mann-Whitney U 18,000 Wilcoxon W 73,000 Z -,419 Asymp. Sig. (-tailed),016 Exact Sig. [*(1-tailed Sig.)],015 a a. Not corrected for ties. b. Grouping Variable: strava Kolmogorovův-Smirnovův test pro dva nezávislé výběry Tabulka 6.9 Test Statistics a Waldův-Wolfowitzův test množství_železa Most Extreme Differences Absolute,600 Positive,000 Negative -,600 Kolmogorov-Smirnov Z 1,34 Asymp. Sig. (-tailed),055 a. Grouping Variable: strava Tabulka 6.10 Test Statistics b,c Number of Runs Z Exact Sig. (1-tailed) množství_železa Exact Number of Runs 10 a -,30,414 a. No inter-group ties encountered. b. Wald-Wolfowitz Test c. Grouping Variable: strava Podle Mannova-Whitneyova testu u obou strav není shodný medián množství železa. Strava A má větší medián množství železa než strava B. Podle Kolmogorovova testu množství železa v játrech, které pochází od stravy A, má stejné rozdělení jako množství železa v játrech, které pochází od stravy B. - 83 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy Podle Waldova-Wolfowitzova testu obě stravy mají shodný medián množství železa. Nezamítáme nulovou o stejném rozdělení množství železa v obou potravách. Ani nulovou hypotézu o shodných mediánech nelze zamítnout. 6.5.3 SROVNÁNÍ K NEZÁVISLÝCH VÝBĚRŮ V hlavním menu zvolíme Analyze Nonparametric Tests K Independent Samples Aktivuje se dialogové okno (Obr.6.4), závislou proměnnou přesuneme do pole Test Variable List: a nezávislou proměnnou do pole Grouping Variale:. Aktivuje je tlačítko Define Range, kterým definujeme výběry. Zapíšeme minimální a maximální hodnoty číselných kódů, které jsme přidělili jednotlivým nezávislým výběrům a potvrdíme. Vybereme jeden nebo více ze tří testů, kterými se bude ověřovat platnost testované hypotézy, klikneme na OK. Obrázek 6.4 Zdroj: Vlastní zpracování. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6.3 Manažer prodeje hodnotí dva nové vzdělávací kurzy. Třicet zaměstnanců, kteří dostávají standardní školení, rozdělí do tří skupin. Skupina obdrží navíc technický výcvik a skupina 3 obdrží navíc aktivní tutoriál. Každý zaměstnanec byl testován na konci výcvikového kurzu. Výsledky jsou zaznamenány v následující tabulce. Testujte nulovou hypotézu, že výsledky všech tří školících metod jsou stejné, proti alternativní hypotéze, která tvrdí, že nulová hypotéza neplatí. Test proveďte na hladině významnosti 5%. Tabulka 6.11 Skupina 1 Skupina Skupina 3 9,51 30,54 33,95 1,54 31,5 38,98 39,46 33,45 34,1 9,46 36,95 35,16 4,31 33,79 37,59 9,46 34,37 36,74 31,6 31,3 33,47 7,85 30,4 35,1 8,1 37,49 33,97 9,74 30,45 34,1-84 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Řešení: Kruskalův-Wallisův test Tabulka 6.1 Ranks Skupina N Mean Rank Body Skupina 1 10 8,00 Skupina 10 16,0 Skupina 3 10,30 Total 30 Tabulka 6.13 Test Statistics a,b Body Chi-Square 13,94 df Asymp. Sig.,001 a. Kruskal Wallis Test b. Grouping Variable: Skupina P-hodnota (signifikance) 0,001 < 0,05, proto nulovou hypotézu zamítáme: na základě tohoto testu výsledky všech tří školících metod nejsou stejné. Mediánový test Tabulka 6.14 Frequencies Skupina Skupina 1 Skupina Skupina 3 Body > Median 1 4 10 <= Median 9 6 0 Tabulka 6.15 Test Statistics b Body N 30 Median 33,4600 Chi-Square 16,800 a df Asymp. Sig.,000 a. 0 cells (,0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 5,0. b. Grouping Variable: Skupina P-hodnota (signifikance) 0,000x < 0,05, proto nulovou hypotézu zamítáme: na základě tohoto testu výsledky všech tří školících metod nejsou stejné. - 85 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy Oba provedené testy zamítají nulovou hypotézu. Tedy můžeme z 95% tvrdit, že bodové výsledky závisí na zvolené školící metodě. 6.5.4 SROVNÁNÍ DVOU ZÁVISLÝCH VÝBĚRŮ V hlavním menu zvolíme Analyze Nonparametric Tests Related Samples Aktivuje se dialogové okno (Obr.6.5), vybereme dvě závislé proměnné a přesuneme do pole označené jako Test Pair(s) List: Vybereme jeden nebo více ze čtyř testů, kterými chceme srovnávat dva závislé soubory, klikneme na OK. Obrázek 6.5 Zdroj: Vlastní zpracování. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6.4 V tabulce jsou zaznamenány výsledky reakční doby jednotlivých řidičů před podáním alkoholu a po konzumaci alkoholu. Testujte nulovou hypotézu, že použití alkoholu před jízdou nemá žádný vliv na reakční dobu řidiče, proti alternativní hypotéze, která tvrdí, že nulová hypotéza neplatí. Test proveďte na hladině významnosti 5%. Tabulka 6.16 Řidič Před Po Řidič Před Po 1 0,69 0,84 11 0,68 0,74 0,56 0,75 1 0,55 0,81 3 0,87 0,61 13 0,51 0,67 4 0,74 0,81 14 0,67 0,69 5 0,65 0,7 15 0,69 0,70 6 0,68 0,57 16 0,54 0,56 7 0,63 0,54 17 0,66 0,58 8 0,5 0,63 18 0,69 0,84 9 0,71 0,83 19 0,59 0,7 10 0,59 0,79 0 0,73 0,65-86 -

Test Statistics b Po - Před Test Statistics b Po - Před Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Řešení: Wilcoxonův test pro dva závislé výběry Tabulka 6.17 Tabulka 6.18 Ranks N Mean Rank Sum of Ranks Po - Před Negative Ranks 5 a 10,80 54,00 Positive Ranks 15 b 10,40 156,00 Ties Total 0 a. Po < Před b. Po > Před c. Po = Před 0 c Z -1,905 a Asymp. Sig. (-tailed),057 a. Based on negative ranks. b. Wilcoxon Signed Ranks Test Znaménkový test pro dva závislé výběry Tabulka 6.19 Frequencies N Po - Před Negative Differences a 5 Positive Differences b 15 Ties c 0 Total 0 a. Po < Před b. Po > Před c. Po = Před Tabulka 6.0 Exact Sig. (-tailed) a. Binomial distribution used. b. Sign Test,041 a U Wilcoxonova testu nelze zamítnout nulovou hypotézu (neboť p-hodnota 0,057>0,05), avšak na základě znaménkového testu jsme zamítli platnost nulové hypotézy (neboť - 87 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy p-hodnota 0,041<0,05); tedy reakční doba před podáním a po podání alkoholu není stejná. Rozdílné výsledky dosažené pomocí různých testů signalizují, že testování není průkazné: nejlepší by bylo získat další data (rozšířit datový soubor) a testování pak zopakovat. 6.5.5 SROVNÁNÍ K ZÁVISLÝCH VÝBĚRŮ V hlavním menu zvolíme Analyze Nonparametric Tests K Related Samples Aktivuje se dialogové okno (Obr.6.6), vybereme k závislých proměnných a přesuneme do pole Test Variable: Vybereme jeden nebo více ze tří testů, klikneme na OK. Obrázek 6.6 Zdroj: Vlastní zpracování. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 6.5 Dvanáct náhodně vybraných žáků psalo po sobě tři různé diktáty. Poté se zjistil počet chyb u každého žáka v jednotlivých diktátech, jak ukazuje následující tabulka. Testujte nulovou hypotézu, že všechny diktáty jsou stejně těžké, proti alternativní hypotéze, která tvrdí, že nulová hypotéza neplatí. Test proveďte na hladině významnosti 5%. Tabulka 6.1 Žák Diktát 1 Diktát Diktát 3 1 1 0 1 0 4 0 3 5 1 4 3 4 5 1 3 3 6 0 1 7 4 5 1 8 5 0 1 9 1 4 0 10 0 5 0 11 1 1 3 1 1-88 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Řešení: Friedmanův test Tabulka 6. Test Statistics a N 1 Chi-Square 3,857 df Asymp. Sig.,145 a. Friedman Test Kendallův test konkordance Tabulka 6.3 Test Statistics N 1 Kendall's W a,161 Chi-Square 3,857 df Asymp. Sig.,145 a. Kendall's Coefficient of Concordance Oba testy dávají stejné výsledky. Protože p-hodnota je v obou případech značně větší než hladina významnosti 0,05, nulovou hypotézu o stejné obtížnosti všech diktátů nelze zamítnout. 6.6 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ PŘÍKLAD 6.1 Jsou uvedená tvrzení pravdivá? a) Pro znaménkový test pro dva závislé výběry testujeme nulovou hypotézu, že výběry pocházejí ze souborů se shodným mediánem. b) Friedmanovým testem se ověřuje, zda úroveň sledovaného znaku závisí na změně podmínek. c) - test patří mezi parametrické testy. d) Neparametrické testy najdeme v programu SPSS v nabídce Analyze. e) Kolmogorovův Smirnovův test porovnává empirickou distribuční funkci náhodné veličiny s uvedeným teoretickým rozdělením, které může být normální, rovnoměrné, exponenciální nebo Poissonovo. - 89 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy PŘÍKLAD 6. Doplňte následující věty: a) Statistika u - testu je založena na rozdílech mezi..a četnostmi. b) Test, který porovnává četnosti pozorování v každé kategorii u dichotomické proměnné s očekávanou četností binomického rozdělení, se nazývá. c) Test, který ověřuje shodnou úroveň veličiny ve dvou populacích na základě dvou nezávislých výběrů se nazývá d) Jestliže je Kendallův koeficient roven., pak se jedná o shodu v pořadí ve všech blocích. e) Odpověď na otázku, kterým rozdělením (normálním, rovnoměrným, Poissonovým nebo exponenciálním) lze nejlépe modelovat počet pojistných událostí, nám dává.. PŘÍKLAD 6.3 Pojišťovna modeluje počet pojistných událostí v průběhu deseti let. K dispozici jsou náhodně vybrané údaje o klientech v určitém regionu. V následující tabulce jsou uvedeny počty pojistných událostí pro jednotlivé klienty. Tabulka 6.4 Řidič Pohlaví Věk Počet pojistných událostí Řidič Pohlaví Věk Počet pojistných událostí 1 žena 1 11 muž 8 3 žena 3 1 muž 31 3 žena 9 3 13 muž 34 4 4 žena 3 14 muž 43 5 žena 34 15 muž 43 6 žena 34 4 16 muž 45 1 7 žena 37 4 17 muž 47 1 8 žena 38 4 18 muž 48 9 žena 4 3 19 muž 54 10 žena 45 1 0 muž 63 1 Zjistěte, jakým rozdělením (normálním, rovnoměrným, Poissonovým nebo exponenciálním) lze nejlépe modelovat počet pojistných událostí. Testujte na hladině významnosti 5%. PŘÍKLAD 6.4 Laboratorní myši byly krmeny dvěma různými typy stravy A a B. Bylo vybráno náhodně 10 myší, které byly krmeny stravou A, a deset myší, které byly krmeny stravou B. Poté byl změřen obsah železa v játrech těchto myší. Testujte nulovou hypotézu, že rozdělení množství železa v játrech je stejné, oproti alternativní hypotéze, že rozdělení není stejné. Dále testujte na 5% hladině významnosti hypotézu, že medián množství železa v játrech u obou typů stravy je shodný. - 90 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Tabulka 6.5 Potkan Strava A Potkan Strava B 1,1 11 1,11 3,98 1 0,48 3,99 13 1,9 4 4,11 14 0,98 5 3,1 15 1,1 6,17 16 0,96 7 3,67 17 1,07 8 3,3 18 1,3 9,3 19 1,51 10 3,33 0 1,08 6.7 ŘEŠENÍ PŘÍKLADŮ ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 6.1 a) ano b) ano c) ne d) ano e) ano ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 6. a) pozorovanými, očekávanými b) binomický test c) Two-Independent-Samples Tests d) 1 e) Kolmogorovův test pro jeden výběr ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 6.3 Tabulka 6.5 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test počet_událostí N 0 Normal Parameters a,,b Mean,30 Std. Deviation 1,081 Most Extreme Differences Absolute,59 Positive,59 Negative -,14 Kolmogorov-Smirnov Z 1,160 Asymp. Sig. (-tailed),136 a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data. - 91 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy Tabulka 6.6 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test počet_událostí N 0 Uniform Parameters a,,b Minimum 1 Maximum 4 Most Extreme Differences Absolute,317 Positive,317 Negative -,00 Kolmogorov-Smirnov Z 1,416 Asymp. Sig. (-tailed),036 a. Test distribution is Uniform. b. Calculated from data. Tabulka 6.7 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 3 počet_událostí N 0 Poisson Parameter a,,b Mean,30 Most Extreme Differences Absolute,100 Positive,084 Negative -,100 Kolmogorov-Smirnov Z,448 Asymp. Sig. (-tailed),988 a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. Tabulka 6.8 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 4 počet_událostí N 0 Exponential parameter. a,,b Mean,30 Most Extreme Differences Absolute,353 Positive,176 Negative -,353 Kolmogorov-Smirnov Z 1,577 Asymp. Sig. (-tailed),014 a. Test Distribution is Exponential. b. Calculated from data. - 9 -

Elena Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy Počet pojistných událostí se neřídí binomickým ani exponenciálním rozdělením (nulovou hypotézu zamítáme). Nejlépe lze popsat počet pojistných událostí Poissonovým rozdělením. ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 6.4 Manův-Whitneyův-Wilcoxonův test Tabulka 6.9 Test Statistics b množství_železa Mann-Whitney U,000 Wilcoxon W 55,000 Z -3,780 Asymp. Sig. (-tailed),000 Exact Sig. [*(1-tailed Sig.)],000 a a. Not corrected for ties. b. Grouping Variable: strava Kolmogorovův-Smirnovův test pro dva nezávislé výběry Tabulka 6.30 Test Statistics a množství_železa Most Extreme Differences Absolute 1,000 Positive,000 Negative -1,000 Kolmogorov-Smirnov Z,36 Asymp. Sig. (-tailed),000 a. Grouping Variable: strava Waldův-Wolfowitzův test Tabulka 6.31 Test Statistics b,c Number of Runs Z Exact Sig. (1- tailed) množství_železa Exact Number of Runs a -3,905,000 a. No inter-group ties encountered. b. Wald-Wolfowitz Test c. Grouping Variable: strava Podle Mannova-Whitneyova testu u obou typů stravy není shodný medián množství železa. - 93 -

6 Testy Hypotéz neparametrické testy Podle Kolmogorovova testu množství železa v játrech, které pochází od stravy A, nemá stejné rozdělení jako množství železa v játrech, které pochází od stravy B. Podle Waldova-Wolfowitzova testu stravy nemají shodný medián množství železa. Zamítáme nulovou o stejném rozdělení množství železa v obou typech stravy, také nulovou hypotézu o shodných mediánech lze zamítnout. Množství železa v játrech závisí na typu potravy. 6.8 PŘÍPADOVÉ STUDIE PŘÍPADOVÁ STUDIE 6.1 Vedoucí oddělení hodnotí dva nové jazykové kurzy angličtiny. Třicet zaměstnanců, kteří dostávají standardní školení, rozdělí do tří skupin, viz Tab. 6.3. Skupina obdrží navíc hodiny konverzace a skupina 3 obdrží navíc poslech v angličtině. Každý zaměstnanec byl testován na konci jazykového kurzu. Výsledky jsou zaznamenány v následující tabulce. Testujte nulovou hypotézu, že výsledky všech tří školících metod jsou stejné, proti alternativní hypotéze, která tvrdí, že nulová hypotéza neplatí. Test proveďte na hladině významnosti 5%. K testování použijte Kruskalův-Wallisův test a Mediánový test. Tabulka 6.3 Skupina 1 Skupina Skupina 3 30 3 34 1 31 39 39 34 34 9 36 35 4 33 38 9 34 37 31 31 33 7 30 35 8 37 33 30 30 36 PŘÍPADOVÁ STUDIE 6. Deset náhodně vybraných studentů psalo po sobě tři různé testy z matematiky. Poté se zjistil počet bodů u každého studenta v jednotlivých testech, jak ukazuje následující tabulka. Testujte nulovou hypotézu, že všechny testy jsou stejně těžké, proti alternativní hypotéze, která tvrdí, že nulová hypotéza neplatí. Test proveďte na hladině významnosti 5%. K testování použijte Friedmanův test a Kendallův test konkordance. Tabulka 6.33 Student Test 1 Test Test 3 1 77 60 51 67 54 60 3 56 65 61 4 73 54 5 5 61 53 53 6 60 51 5 7 74 65 61 8 85 70 71 9 81 74 60 10 70 65 60-94 -