6.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání Gymnázium Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem Obecné cíle Výuka v matematice je obecně zaměřen k výchově studenta používajícího svého matematického vzdělání v různých životních situacích-od osobních a profesně-odborných po volnočasové až po další studium. Student tak získává schopnost orientace v jevech přírodních, ekonomických i technických, všímat si souvislostí mezi nimi a řešit praktické úlohy. Významným prvkem je určit vztah vyjadřující závislost mezi veličinami, event. přímo číselnou hodnotu. Matematika přednostně rozvíjí logické myšlení s důrazem na abstraktní a analytickou stránku. Matematické vzdělávání je orientováno a/ k získání-pozitivního postoje k matematice a jejím aplikacím, -pohledu na matematiku jako na součást naší kultury(významné osobnosti a mezníky historie vědy) -sebedůvěry a svědomitého přístupu k práci -aktivního postoje k celoživotnímu vzdělávání b k dovednosti-číst s porozuměním matematický text, správně užívat terminologii a symboliku -umět vybrat optimální početní postup pro řešení dané situace -používat rýsovacích a dalších matematických pomůcek(kalkuletor aj), jednoduché výpočty a odhady provádět zpaměti -rozvíjet prostorovou představivost -analyzovat zadanou úlohu, postihnout v ní matematický problém, vytvořit algebraický nebo geometrický model situace a úlohu vyřešit -formulovat matematické myšlenky slovně a písemně -získávat informace z různých zdrojů(grafy, diagramy, tabulky, odborná literatura, internet), třídit je, analyzovat, při řešení problému postupovat přehledně a systematicky -vyjádřit vztah mezi proměnnými, zachytit jej tabulkou, grafem, rovnicí, správně jej interpretovat a prakticky použít Charakteristika učiva Předmět matematika je zpracován pro vyučování v rozsahu 12 týdenních vyučovacích hodin za studium a vychází z obsahu vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Z hlediska dovedností klademe důraz zejména na -dovednost analyzovat a řešit problémy -vhodné a správné numerické zpracování úlohy -posílení pozitivních rysů osobnosti(pracovitost, přesnost, důslednost, sebekontrola a odpovědnost, vytrvalost a schopnost překonávat překážky) -chápání souvislostí a vzájemných vztahů mezi jednotlivými tematickými celky i návaznosti na další vědní obory 196
-rozvoj představivisti -schopnost pracovat ve skupině, umět prosadit vlastní názory a přijímat myšlenky ostatních Hloubka probíraného učiva je variabilní, ovlivňují ji zejména vstupní vědomosti a dovednosti Žáků a též jejich intelektuální úroveň. Počty vyučovacích hodin u jednotlivých tematických celků jsou pouze orientační. Vyučující může provést podle svého uvážení úpravy náročnosti obsahu i rozsahu učiva s přihlédnutím k úrovni konkrétní třídy. Změny však nesmějí narušit logickou návaznost učiva. Pojetí výuky V matematice je využíváno tradičních metod(výkladové části) i moderních s využitím výpočetní techniky. Zvláště pro zvýšení motivace studentů ke studiu matematiky je vhodné střídat a kombinovat různé vyučovací postupy: -frontální výuka(výklad) -samostatná práce(individuální procvičování nových dovedností) -skupinové vyučování(řešení obtížnějších a časově náročných úloh) -shrnutí a opakování učiva po každém tematickém celku -aktualizace učiva v rámci projektového vyučování(finanční matematika-zjišťování aktuálních podmínek pro klienty bankovních ústavů) -práce s PC(grafické znázorňování průběhu funkce, geometrické útvary, řešení soustav rovnic) -diskuze(vyhodnocení možností, postupů, výsledků atd.) -simulace(praktické slovní úlohy s možností aplikace v běžném životě) -projekce a modelace(využití projekční techniky, modelů ve stereometrii atd.) -žákovské soutěže v rámci školy a meziškolní celostátní (matematická soutěž odborných škol, Klokan, matematická olympiáda) -podpora aktivit mezipředmětového charakteru -seminární forma přípravy v matematických cvičeních směrovaných k dalšímu studiu na VŠ Hodnocení výsledků práce Užívá se různých forem zjišťování úrovně znalostí: ústní zkoušení, písemné zkoušení(kontrolní práce, čtvrtletní práce). Je možno využít individuálních konzultací a možnosti opravy kontrolních prací. Způsoby hodnocení spočívají v kombinaci známkování, bodového systému, procentuálního vyjádření, slovního hodnocení učitelem a sebehodnocení studentů. Hodnotí se -správnost, přesnost a pečlivost při řešení matematických úloh -schopnost samostatného úsudku -schopnost výstižné formulace s využitím odborné terminologie -aktivní přístup k plnění studijních povinností -individuálně studijní výsledky diskalkuliků Přínos předmětů k rozvoji klíčových kompetencí Kompetence k učení Student-propojuje mechanicky zvládnuté poznatky a postupy s postupy při osvojování nových cest a k odvozování a zdůvodňování nových postupů a vlastností -pracovní a učební činnost si sám plánuje a organizuje -rozlišuje mezi podstatným a nepodstatným zvláště v oblasti získávaných informací Kompetence k řešení problémů 197
Student-analyzuje problém s vystižením jeho jádra -navrhuje různé způsoby řešení problému -užívá znalostí v rámci mezipředmětových vztahů -umí vystihnout kladné i záporné stránky zvoleného řešení včetně případných rizik a důsledků -účastní se vhodných soutěží v matematice Kompetence komunikační Student-umí zdůvodnit a prosadit vlastní názor či postup a zároveň přijímat kompromisy -využívá vhodných prostředků komunikace (verbální, neverbální, grafické, moderní informační technologie atp.) za použití odborného jazyka -své myšlenky vyjadřuje jasně a přiměřeně k dané situaci Kompetence sociální a personální Student-přijímá zodpovědnost za vlasní rozhodování a jednání v profesním i osobním životě -přispívá k vytváření a udržování dobrých mezilidských vztahů(tolerance, úcta, empatie) -projevuje zodpovědný vztah ke zdraví vlastnímu i druhých Kompetence občanské Student-se chová zodpovědně v krizových situacích, poskytne ostatním pomoc -jedná s cílem neohrožovat životní prostředí -respektuje jiné názory, hodnoty a schopnosti ostatních lidí -sleduje vývoj ve veřejném životě a jedná k obecnému prospěchu podle nejlepšího svědomí Kompetence k podnikavosti Student-se zodpovědně rozhoduje o dalším vzdělávání a profesním zaměření -průběžně kriticky hodnotí dosažené výsledky a rizika související s rozhodováním v reálných životních situacích Přínos předmětů k rozvoji průřezových témat Osobnostní a sociální výchova Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech Multikulturní výchova Enviromentální výchova Mediální výchova 198
Ročník Téma Výstup Učivo m1. 1.Teorie množin a výroková logika 2.Teorie čísel 3.Algebraické výrazy, mocniny a odmocniny Student: - provádí správně operace s množinami, množiny využívá při řešení úloh - čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce matematiky, užívá správně loficko spojky a kvantifikátory - přesně formuluje své myšlenky a srozumitelně se vyjadřuje - rozliší definici a větu, rozliší předpoklad a závěr věty - rozliší správný a nesprávný úsudek - rozumí logické stavbě matematické věty - vysvětlí vztahy mezi číselnými obory N, Z, Q, R - užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel - operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty - odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí, účelně využívá kalkulátor Množiny, operace s množinami (sjednocení, průnik, rozdíl množin, doplněk množiny v množině, podmnožina, rovnost množin, Vennovy diagramy, de Morganova pravidla) Výroky, negace, kvantifikátory, logické spojky (konjunkce, alternativa, implikace, ekvivalence), výrokové formule, tauteologie, obměna a obrácení implikace Definice, věta, důkaz Přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem Číslo, proměnná Číselné obory N, Z, Q, R Přirozená čísla, dělitelnost(a dělí b, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, čísla soudělná a nesoudělná, prvočísla a čísla složená, základní věta aritmetiky) Čísla celá, racionální, reálná, intervaly, absolutní hodnota Mnohočleny, lomené výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami Mocniny s přirozeným, celým a racio- Mezipředmět ové vztahy, průřezová témata, poznámky ČJL FYZ, CHE, BIO 199
2. 4.Rovnice a nerovnice 5.Planimetrie - provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy - efektivně upravuje výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazů - rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic (viz téma 4) - řeší lineární a kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy, diskutuje řešitelnost nebo počet řešení - rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy, zdůvodní, kdy je zkouška nutnou součástí řešení - geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav - analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav nálním exponentem, druhá a n-tá odmocnina Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty, rozklad kvadratického trojčlenu, doplnění na čtverec), kvadratická nerovnice Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou Lineární a kvadratická rovnice s parametrem Kartézský součin, binární relace a jejich grafy Soustavy lineárních rovnic a nerovnic Klasifikace rovinných útvarů (bod, přímka, polopřímka, úsečka, polorovina, konvexní a nekonvexní útvar a úhel, trojúhelník, čtyřúhelník, kružnice, kruh Polohové vlastnosti rovinných útvarů (rovnoběžné a různoběžné přímky, průsečík, kolmost) Metrické vlastnosti rovinných útvarů FYZ, EKO FYZ, EKO 200
6.Shodná a podobná zobrazení - správně používá geometrické pojmy - zdůvodňuje a využívá vlastností geometrických útvarů v rovině, na základě vlastností třídí útvary - využívá náčrt při řešení rovinného problému - řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím množin všech bodů dané vlastnosti, pomocí konstrukce na základě výpočtu (délka úsečky, velikost úhlu, vzdálenost bodů, bodu od přímky, dvou přímek, odchylka přímek) Dvojice úhlů(vedlejší, vrcholové, souhlasné, střídavé, přilehlé) Trojúhelníky (vnitřní a vnější úhly, rovnostranný, rovnoramenný a pravoúhlý trojúhelník, střední příčka, těžnice a výška trojúhelníku, shodnost a podobnost trojúhelníků, Euklidovy a Pythagorova věta) Čtyřúhelníky(rovnoběžník, kosodélník, kosočtverec, pravoúhelník, obdélník, čtverec, lichoběžník) Kružnice, kruh(tečna, sečna a tětiva kružnice, středový a obvodový úhel, Thaletova věta) Obvody a obsahy rovinných útvarů Množiny bodů dané vlastnosti, Thaletova kružnice, zorný úhel úsečky, kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku Konstrukční úlohy řešené pomocí množin bodů dané vlastnosti Zobrazení (pojem zobrazení, definiční obor a obor hodnot zobrazení, inverzní a složené zobrazení) Shodná zobrazení: osová a středová souměrnost, posunutí, otočení Podobná zobrazení: stejnolehlost 201
7.Funkce 8.Kombinatorika, pravděpodobnost, práce s daty - řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí shodných zobrazení a stejnolehlosti - načrtne grafy elementárních funkcí (v základním i posunutém tvaru) a určí jejich vlastnosti - formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí - využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů - aplikuje vztahy mezi hodnotami expo- Konstrukční úlohy řesené pomocí shodných a podobných zobrazení Obecné poznatky o funkcích-pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí (parita, monotónnost, ohraničenost, extrémy, periodičnost) Lineární funkce a konstantní funkce Kvadratická funkce Funkce absolutní hodnota Lineární lomená funkce, nepřímá úměrnost Mocninné funkce (s přirozeným, celým a racionálním exponentem, inverzní funkce, funkce druhá a n-tá odmocnina Exponenciální a logaritmické funkce, logaritmy a jejich vlastnosti Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Oblouková míra a orientovaný úhel Goniometrické funkce a vztahy mezi nimi, goniometrické rovnice a nerovnice Trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku, sinová a kosinová věta Základní kombinatorická pravidla (pravidlo součtu a součinu), elementární kombinatorické úlohy, variace, permutace a kombinace bez opakování, variace a permutace s opakováním, faktoriál, FYZ, BIO, EKO FYZ, EKO 202
neunciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi - modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí - řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích kombinační číslo, binomická věta, Pascalův trojúhelník Náhodný jev a jeho pravděpodobnost, Pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů, nezávislost jevů Práce s daty-jejich analýza a zpracování v různých reprezentacích, statistický soubor a jeho charakteristiky (vážený aritmetický průměr, medián, modus, percentil, kvartil, směrodatná odchylka, mezikvartilní odchylka) 3. 9.Stereometrie - řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet - upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly - využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti - diskutuje a kriticky hodnotí statistické informace a daná statistická sdělení - volí a užívá vhodné statistické metody Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin (řešení stereometricky) Kriteria rovnoběžnosti kolmosti dvou rovin, přímky a roviny Volné rovnoběžné promítání, určení řezu těles rovinou a průnik přímky s rovinou Metrické vztahy prostorových útvarů řešené stereometricky (vzdálenost bodů, bodu od přímky v rovině i prostoru, bodu od roviny, dvou rovnoběžných a mimoběžných přímek, přímky od roviny s ní rovnoběžné, dvou rovnoběžných rovin, odchylka dvou komplanárních a mimoběžných přímek, přímky od rovi- FYZ 203
10.Vektorová algebra 11.Analytická geometrie lineárních útvarů k analýze a zpracování dat s evnt.užitím výpočetní techniky - reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám - správně používá geometrické pojmy - zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrický útvarů v prostoru, na základě vlastností třídí útvary - určuje vzájemnou polohu útvarů, vzdálenosti a odchylky - využívá náčrt při řešení prostorového problému - v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů, pracuje s proměnnými a iracionálními čísly - zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan, sestrojí a zobrazí rovinný řez těchto těles nebo jejich prů- ny, dvou rovin) Tělesa-hranol, jehlan, čtyřstěn, válec, kužel, koule, mnohostěny, povrchy a objemy těles a jejich částí Orientovaná úsečka, vektor a operace s nimi (sčítání a odčítání vektorů, násobení vektoru skalárem) Kartézská soustava souřadnic Souřadnice bodu a vektoru Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů Velikost vektoru Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů Odchylka dvou vektorů Parametrické vyjádření přímky v rovině a v prostoru, obecná rovnice přímky, směrnicový tvar Parametrické vyjádření roviny, obecná rovnice roviny Polohové vztahy dvou přímek, přímky a roviny a dvou rovin řešené analyticky Metrické vztahy prostorových útvarů řešené analyticky (vzdálenost bodů, bodu od přímky v rovině i v prostoru, bodu od roviny, dvou rovnoběžných a mimoběžných přímek, přímky od roviny s ní rovnoběžné, dvou rovnoběžných rovin, odchylka dvou přímek, přímky od ro- FYZ 204
4. 12.Kuželosečky 13.Posloupnosti a řady nik s přímkou - řeší stereometrické problémy motivované praxí, aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii - vysvětlí zavedení soustavy souřadnic na přímce, v rovině a v prostoru - používá operace s vektory a využívá těchto operací v úlohách - používá skalární a vektorový součin vektorů a využívá jich v analytické geometrii - užívá různé způsoby analytického vynadření přímky v rovině, parametrické vyjádření přímky v prostoru, parametrické a obecné vyjádření roviny a rozumí geometrickému významu koeficientů - rozlišuje analytické vyjádření útvaru od zadání funkce vzorcem - řeší analyticky polohové a metrické ú- lohy o lineárních útvarech v rovině a v prostoru - využívá metod analytické geometrie při řešení komplexních úloh a problémů viny, dvou rovin) Transformace soustavy souřadnic (posunutí, resp.otočení) Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola, ohniskové definice kuželoseček, rovnice kuželoseček Vzájemná poloha přímky a kuželosečky Tečna kuželosečky a její rovnice Definice a určení posloupností (vzorcem pro n-tý člen a rekurentně) Vlastnosti posloupností Aritmetická a geometrická posloupnost Finanční matematika Limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost Nekonečná geometrická řada a její součet 205
- využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjadření - z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce - řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky (diskusí znaménka diskriminantu kvadratické rovnice - vysvětlí rozdíl mezi posloupností a funkcí reálných čísel - formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných posloupností - řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o posloupnostech - interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice - vysvětlí pojem limita posloupnosti, 206
zná základní věty o limitách posloupností a umí je využít při výpočtu limit posloupností - vysvětlí pojmy nekonečná řada a její součet, pro nekonečnou geometrickou řadu zná podmínku její konvergence a umí určit její součet 207