Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... TEST 1 ŘEŠENÍ...5 TEST ZADÁNÍ...40 TEST TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM...50 TEST ŘEŠENÍ...54 TEST 3 ZADÁNÍ...74 TEST 3 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM...84 TEST 3 ŘEŠENÍ...87 TEST 4 ZADÁNÍ... 105 TEST 4 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... 119 TEST 4 ŘEŠENÍ... 1 TEST 5 ZADÁNÍ... 139 TEST 5 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... 149 TEST 5 ŘEŠENÍ... 15 POUŽITÉ ZDROJE... 168
Testy z matematiky ZÁKLADNÍ INFORMACE Maturitní zkouška se skládá ze dvou částí společné (státní) a profilové (školní). Žák úspěšně odmaturuje pouze tehdy, je-li úspěšný u povinných zkoušek obou částí, tedy společné i profilové. Společná část maturitní zkoušky z matematiky obsahuje pouze didaktický test. Jeho kritéria určuje Katalog požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky pro matematiku platný od školního roku 014/015. V katalogu jsou uvedeny očekávané vědomosti a dovednosti žáka: kompetence, které jsou ve zkouškách ověřovány, a konkrétní vědomosti a dovednosti z jednotlivých tematických okruhů. Katalog také uvádí základní specifikaci maturitní zkoušky z matematiky (mimo jiné procentuální zastoupení každého tematického okruhu v celém testu) a příklady testových úloh. Didaktický test z matematiky Obsahuje celkem 6 úloh hodnocených celkem maximálním počtem 50 bodů. Hranice úspěšnosti je pro rok 015 stanovena na 33 %. Časový limit pro vyřešení didaktického testu je 90 minut, předtím má žák 15 minut na výběr strategie řešení. Povolenými pomůckami jsou psací a rýsovací potřeby (tužka, guma, pravítko, trojúhelník s ryskou, úhloměr a kružítko) a kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav algebraických výrazů. Kalkulačka nesmí vykreslovat grafy, nesmí zjednodušovat algebraické výrazy obsahující proměnnou a nesmí ani počítat kořeny algebraických nebo jiných rovnic. Kalkulačka by měla naopak zvládat všechny početní (aritmetické) operace (sčítání, odčítání, násobení dělení, umocňování a odmocňování), měla by počítat hodnoty elementárních funkcí (sinus, kosinus a tangens, logaritmus) a k hodnotám těchto funkcí nalézt argument (resp. hodnoty inverzních funkcí). Toleruje se mnoho dalších funkcí kalkulaček, např. práce se zlomky, částečné odmocňování (tedy úpravy aritmetických výrazů pouze s čísly), převody úhlů, výpočet faktoriálů a kombinačních čísel, statistické funkce apod. (www.novamaturita.cz) Další povolenou pomůckou jsou matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, případně publikace s totožnými informacemi, neobsahující vzorové úlohy. U každé úlohy/podúlohy je pouze jedna správná odpověď. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se neudělují záporné body. V testu jsou a) úlohy s výběrem odpovědi, tj. volba jedné správné odpovědi z daných možností, b) úlohy dichotomické, tj. posuzování, zda je dané tvrzení pravdivé či nepravdivé, c) úlohy přiřazovací, tj. nalezení odpovídajících dvojic ve dvou seznamech, d) úlohy s otevřenou odpovědí, tj. zápis odpovědi (výsledku apod.), případně i postupu řešení (v případech, kdy je to uvedeno v zadání úlohy). V této knize najdete pět kompletních didaktických testů, které by měly sloužit k přípravě na společnou část maturitní zkoušky z matematiky. Snahou kolektivu autorů bylo vytvořit materiály, na nichž si budete moci vyzkoušet maturitní didaktický test nanečisto, včetně bodového vyhodnocení pomocí klíče. V připojeném řešení s komentáři získáte stručná vysvětlení správných odpovědí zejména u obtížnějších otázek. Vyplnění pěti testů nemůže nahradit několikaletou přípravu během studia. Bude však dobrou zpětnou vazbou, jaké jsou vaše silné, případně slabší stránky, a ve kterých oblastech si ještě dohledat informace a procvičit svoje vědomosti a dovednosti. Při práci s testy si také natrénujete určité postupy a získáte větší praxi při odpovídání na různé typy otázek ověřujících vaše vědomosti a dovednosti tak, jak jsou uvedeny v katalogu požadavků. 4
Základní informace OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI v didaktickém testu podle Katalogu požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky (015): KOMPETENCE 1. Osvojení matematických pojmů a dovedností a) užívat správně matematické pojmy (definovat pojmy a určit jejich obsah, charakterizovat pojem různými způsoby, třídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi); b) numericky počítat a užívat proměnnou (provádět základní početní operace, odhadnout výsledek výpočtu, využít efektivní způsoby výpočtu, upravit výrazy s čísly a proměnnými, stanovit definiční obor výrazu, na základě reálné situace sestavit výraz s proměnnými); c) pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů, měřit a odhadovat výsledek měření, řešit početně geometrickou úlohu, řešit konstrukčně geometrickou úlohu); d) matematicky argumentovat (rozlišit různé typy tvrzení definice, věta rozumět logické stavbě matematické věty).. Matematické modelování a) matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvořit matematický model reálné situace); b) pracovat s matematickým modelem; c) ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace (vyjádřit výsledek řešení modelu v kontextu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelové situace). 3. Vymezení a řešení problému a) vymezit problém; b) analyzovat problém; c) zvolit vhodnou metodu řešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus); vyřešit problém; d) diskutovat o výsledcích; e) aplikovat osvojené metody řešení problému v jiných tématech a oblastech. 4. Komunikace a) číst s porozuměním matematický text; b) vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd.; c) přesně se vyjádřit (užívat jazyk matematiky včetně symboliky a terminologie, zdůvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní řešení problému, prezentovat výsledky řešení úlohy a prezentovat geometrické konstrukce na dobré grafické úrovni); d) prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafu, diagramu, tabulek atd.). 5. Užití pomůcek a) využít informační zdroje (odborná literatura, internet atd.); b) efektivně řešit problémy pomocí kalkulátoru a PC; c) použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení problému; d) použít tradiční prostředky grafického vyjadřování. 5
Testy z matematiky TEMATICKÉ OKRUHY 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla a) provádět aritmetické operace s přirozenými čísly; b) rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele; c) užít pojem dělitelnost přirozených čísel a znaky dělitelnosti; d) rozlišit čísla soudělná a nesoudělná; e) určit největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek přirozených čísel. 1. Celá čísla a) provádět aritmetické operace s celými čísly; b) užít pojem opačné číslo. 1.3 Racionální čísla a) pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody; b) užít dekadický zápis čísla; c) provádět operace se zlomky; d) provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla; e) řešit praktické úlohy na procenta a užívat trojčlenku; f) znázornit racionální číslo na číselné ose. 1.4 Reálná čísla a) zařadit číslo do příslušného číselného oboru; b) provádět aritmetické operace v číselných oborech; c) užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo; d) znázornit reálné číslo nebo jeho aproximaci na číselné ose; e) určit absolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam; f) zapisovat a znázorňovat intervaly, určovat jejich průnik a sjednocení; g) provádět operace s mocninami s celočíselným exponentem; h) ovládat početní výkony s mocninami a odmocninami; i) řešit praktické úlohy s mocninami s přirozeným exponentem a odmocninami.. Algebraické výrazy.1 Algebraický výraz a) určit hodnotu výrazu; b) určit nulový bod výrazu; c) určit definiční obor výrazu.. Mnohočleny a) užít pojmy člen, koeficient, stupeň mnohočlenu; b) provádět operace s mnohočleny, provádět umocnění dvojčlenů pomocí vzorců; c) rozložit mnohočlen na součin vytýkáním a užitím vzorců..3 Lomené výrazy a) provádět operace s lomenými výrazy; b) určit definiční obor lomeného výrazu..4 Výrazy s mocninami a odmocninami a) provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny. 3. Rovnice a nerovnice 3.1 Algebraické rovnice a nerovnice a) užít pojmy rovnice/nerovnice s jednou neznámou, levá a pravá strana rovnice/nerovnice, obor rovnice/nerovnice, kořen rovnice, množina všech kořenů rovnice/nerovnice; 6
Základní informace b) užít ekvivalentní úpravu rovnice/nerovnice; c) provádět zkoušku. 3. Lineární rovnice a jejich soustavy a) řešit lineární rovnice o jedné neznámé; b) vyjádřit neznámou ze vzorce; c) řešit rovnice v součinovém a podílovém tvaru; d) řešit početně soustavy lineárních rovnic s více neznámými; e) řešit graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých; f) užít lineární rovnice a jejich soustavy při řešení slovní úlohy. 3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a) stanovit definiční obor rovnice; b) řešit rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli; c) vyjádřit neznámou ze vzorce; d) užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy; e) využít k řešení slovní úlohy grafu nepřímé úměry. 3.4 Kvadratické rovnice a) řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice; b) užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice; c) užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy. 3.5 Lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy a) řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy; b) řešit nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. 4. Funkce 4.1 Základní poznatky o funkcích a) užít různá zadání funkce a používat s porozuměním pojmy definiční obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce včetně jeho názvu; b) sestrojit graf funkce y = f(x) nebo část grafu pro hodnoty proměnné x z dané množiny, určit hodnoty proměnné x pro dané hodnoty funkce f; c) přiřadit předpis funkce ke grafu funkce a opačně; d) určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic; e) určit z grafu funkce intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému; f) modelovat reálné závislosti pomocí elementárních funkcí. 4. Lineární funkce, nepřímá úměrnost a) užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti, sestrojit její graf; b) určit lineární funkci, sestrojit její graf; c) objasnit geometrický význam parametrů a, b, v předpisu funkce y = ax + b; d) určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce; e) užít pojem a vlastnosti nepřímé úměrnosti, načrtnout její graf; f) řešit reálné problémy pomocí lineární funkce a nepřímé úměrnosti. 4.3 Kvadratické funkce a) určit kvadratickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce; b) vysvětlit význam parametru v předpisu kvadratické funkce, určit intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému; c) řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce. 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice a) určit exponenciální funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf; b) určit logaritmickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce; c) vysvětlit význam základu a v předpisech obou funkcí, monotonie; 7
Testy z matematiky d) užít definici logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování exponenciální rovnice; e) použít poznatky o funkcích v jednoduchých praktických úlohách. 4.5 Goniometrické funkce a) užít pojmy úhel, stupňová míra, oblouková míra; b) definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku; c) definovat goniometrické funkce v intervalu 0; π, resp. nebo _0; π, resp. v oboru reálných čísel, u každé z nich určit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf; d) užívat vlastností goniometrických funkcí, určit z grafu funkce intervaly monotonie a body, v nichž nabývá funkce extrému; e) užívat vlastností a vztahu goniometrických funkcí při řešení jednoduchých goniometrických rovnic. 5. Posloupnosti a finanční matematika 5.1 Základní poznatky o posloupnostech a) aplikovat znalosti o funkcích při úvahách o posloupnostech a při řešení úloh o posloupnostech; b) určit posloupnost vzorcem pro n tý člen, graficky, výčtem prvků. 5. Aritmetická posloupnost a) určit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference; b) užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost. 5.3 Geometrická posloupnost a) určit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu; b) užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost. 5.4 Využití posloupností pro řešení úloh z praxe, finanční matematika a) využít poznatků o posloupnostech při řešení problémů v reálných situacích; b) řešit úlohy finanční matematiky. 6. Planimetrie 6.1 Planimetrické pojmy a poznatky a) užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly (vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné), objekty znázornit; b) užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek); c) rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat jejich vlastnosti a správně jich užívat; d) využít poznatků o množinách všech bodů dané vlastnosti při řešení úloh. 6. Trojúhelníky a) určit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správně využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlu, výšky, ortocentrum, těžnice, těžiště, střední příčky, kružnice opsané a vepsané); b) při řešení početních i konstrukčních úloh využívat věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků; c) užít s porozuměním poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, velikost výšky, Pythagorova věta, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie; d) řešit praktické úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová věta, kosinová věta, obsah trojúhelníku určeného sus). 6.3 Mnohoúhelníky a) rozlišit základní druhy čtyřúhelníků (různoběžníky, rovnoběžníky, lichoběžníky) a pravidelné mnohoúhelníky, popsat jejich vlastnosti a správně jich užívat; b) pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky), popsat a užít vlastnosti konvexních mnohoúhelníků a pravidelných mnohoúhelníků; 8
Základní informace c) užít s porozuměním poznatky o čtyřúhelnících (obvod, obsah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsané nebo vepsané) v úlohách početní geometrie; d) užít s porozuměním poznatky o pravidelných mnohoúhelnících v úlohách početní geometrie. 6.4 Kružnice a kruh a) pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu (tětiva, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží), popsat a užít jejich vlastnosti; b) užít s porozuměním polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi; c) aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah) v úlohách početní geometrie. 6.5 Geometrická zobrazení a) popsat a určit shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti. 7. Stereometrie 7.1 Tělesa a) charakterizovat jednotlivá tělesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části), vypočítat jejich objem a povrch; b) užít polohové a metrické vlastnosti v hranolu; c) využít poznatků o tělesech v praktických úlohách. 8. Analytická geometrie 8.1 Souřadnice bodu a vektoru na přímce a) určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky; b) užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru; c) provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem). 8. Souřadnice bodů a vektorů v rovině a) určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky; b) užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru; c) provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární součin vektorů); d) určit velikost úhlu dvou vektorů. 8.3 Přímka v rovině a) užít parametrické vyjádření přímky, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině; b) určit polohové a metrické vztahy bodů a přímek v rovině a aplikovat je v úlohách. 9. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravděpodobnosti a) užít základní kombinatorická pravidla; b) rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích; c) počítat s faktoriály a kombinačními čísly; d) užít s porozuměním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opačný jev, nemožný jev a jistý jev; e) určit množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, počet všech výsledků příznivých náhodnému jevu a vypočítat pravděpodobnost náhodného jevu. 9. Základní poznatky ze statistiky a) užít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak kvalitativní a kvantitativní, hodnota znaku a pojmy vysvětlit; b) vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit tabulku četností, graficky znázornit rozdělení četností; c) určit charakteristiky polohy (aritmetický průměr, medián, modus, percentil) a variability (rozptyl a směrodatná odchylka); d) vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách. (CERMAT, Katalog požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky) 9
Matemaka test 1 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Z plechu tvaru čtverce byl uprostřed vystřihnut kruh a u vrcholů čtverce byly odstřihnuty čtyři čtvrtkruhy. Poloměr kruhu i poloměr čtvrtkruhů je roven jedné šesně délky úhlopříčky čtverce. 8 Výsledek zaokrouhlete na deseny procenta. Uveďte celý postup řešení. max. 3 body Vypočítejte, kolik procent z obsahu původního čtverce činí obsah zbylé čás. max. body 9 Řešte rovnici tg 3 v oboru ( 0; π ). Řešení vyjádřete v obloukové míře. Uveďte celý postup řešení. 11ZADÁNÍ 10 Řešte rovnici 5 x 1 5 40 Uveďte celý postup řešení.. max. body
Zadání 4 Je dána funkce: y x x 3 Jaký je definiční obor této funkce? body ( 0 ; ) ( ; 3) 1 ; VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 5 5.1 5. A) max. body Která z hodnot A) E) je součtem prvních 5 členů aritmecké posloupnos? Která z hodnot A) E) je součtem prvních 10 členů geometrické posloupnos? 046 10 300 31 jiný součet VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Hodíme najednou čtyřmi mincemi. 6 1 A) 5 B) 3 8 1 C) D) 9 16 E) jiná hodnota ZADÁNÍ 1 1
Řešení Pavel: poseče celou louku sám za za hodiny společné práce poseče Sestavíme rovnici: (Jednička na pravé straně znamená, že Tomáš s Pavlem posečou celkem jednu celou louku chápeme ji jako jednu celou jednotku.) Vyřešíme rovnici: 3 ( x ) 1 3x x hod. 40 min. 3 Tomáš pracoval sám hod. 40 min. 3 6 hodin 1 6 6 Hodnocení úlohy sestavení rovnice vyřešení rovnice 8 Řešení úlohy Definiční obor rovnice je množina všech reálných čísel, která lze dosadit za proměnnou do dané rovnice, tj. po dosazení budou všechny výrazy v rovnici definovány. Určíme podmínky jmenovatelé zlomků musí být různí od nuly: x 90 x 10 x 0 xr x 1 x 0 x = 0 a x = 1. D R \ 0;1 ŘEŠENÍ 15
Řešení 8 Řešení úlohy max. 3 body Označíme-li stranu čtverce, bude jeho obsah a délka úhlopříčly a. Polomr kruhu i tvrtkrtedy bude Ze čtyř čtvrtkruhů dostaneme jeden celý kruh a obsah zbylé čás vypočteme takto: a a π S a π 1 6 a π a 36 9 S 9 π Pro výpoet procent vypotáme pod 0, 650964..., což po a 9 zaokrouhlen je 65,1 %. Obsah zbylé ás je 65,1 % obsahu vodního tverce. Hodnocení úlohy nalezení poloměru kruhů nalezení obsahu zbylé čás správný počet procent 9 max. body Řešení úlohy π Funkce y tg x nabývá hodnoty 3 pro argument kπ, kde k je celé číslo. 3 π kπ 3 π π k 6 intervalu 0 ;π 1 π a π. 6 3 a Hodnocení úlohy nalezení alespoň jednoho řešení nalezení i druhého řešení ŘEŠENÍ 9
Řešení Úloha Správné řešení Body 0 D) 1 A) body max. 3 body.1. B) D) vyřešení 3 podúloh = 3 body, vyřešení podúloh = body,.3 A) 1 podúlohy = 3 A) 3 body 4 C) body 5 C) body 6 A) body Všechna ekvivalentní vyjádření jsou možná. ŘEŠENÍ 151