Spontánní sestupná frekvenční parametrická konverze a zdroj fotonových párů podle návrhu P. G. Kwiata

Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Spontánní sestupná frekvenční parametrická konverze a zdroj fotonových párů podle návrhu P. G. Kwiata Eva Halenková, Antonín Černoch, Jan Soubusta Olomouc 2012

Oponenti: Mgr. Karel Lemr, Ph.D. doc. RNDr. Jan Peřina, Ph.D. Publikace byla připravena v rámci projektu Investice do rozvoje vzdělávání Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky 1. vydání Eva Halenková, Antonín Černoch, Jan Soubusta, 2012 Univerzita Palackého v Olomouci, 2012 Neoprávněné užití tohoto díla je porušením autorských práv a může zakládat občanskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost. ISBN 978-80-244-3111-6 NEPRODEJNÉ

Obsah Spontánní sestupná frekvenční parametrická konverze a zdroj fotonových párů podle návrhu P. G. Kwiata... 5 1 Úvod... 5 2 Definice základních pojmů... 6 2.1 Lineární proces... 6 2.2 Nelineární procesy... 7 2.3 Entanglement... 8 3 Frekvenční konverze... 9 3.1 Spontánní parametrická sestupná konverze... 9 3.1.1 Typ I... 10 3.1.2 Typ II... 12 3.2 Kwiatův zdroj entanglovaných fotonových párů. 13 4 Náš zdroj párů Kwiatova typu... 14 4.1 Charakterizace polarizačních stavů... 14 4.2 Měření spektra... 17 5 Detaily našeho experimentálního uspořádání... 20 6 Závěr... 22 Reference... 22

Vzdělávání výzkumných pracovníků v Regionálním centru pokročilých technologií a materiálů: CZ.1.07/2.3.00/09.0042 1 Spontánní sestupná frekvenční parametrická konverze a zdroj fotonových párů podle návrhu P. G. Kwiata Eva Halenková, Antonín Černoch, Jan Soubusta Abstrakt: Nelineární proces sestupné frekvenční parametrické konverze se používá pro generaci jednotlivých fotonů, které jsou potřebné pro optické kvantové počítání coby nosiče kvantové informace. V roce 1999 navrhl P. G. Kwiat s kolegy takové uspořádání, které umožňuje vytvořit časově synchronizované fotonové páry u nichž je možné nastavit polarizační korelace v rozmezí od separabilních stavů až po kvantově maximálně provázané (tzv. entanglované) stavy. 1 Úvod Kvantové zpracování informace (QIP Quantum information processing) je moderní disciplína, která umožnila další rozvoj matematických výpočtů, zpracování informace a komunikačních protokolů. QIP je založeno na využití fundamentálních zákonitostí kvantové mechaniky, jako je například princip superpozice, který dovoluje paralelní zpracování informace. Kvantovým zpracováním informace můžeme řešit některé úlohy mnohem efektivněji a tedy rychleji. Nejznámějšími příklady jsou faktorizace velkých čísel, problém výpočtu diskrétních logaritmů nebo vyhledávání v neuspořádaných databázích. 1 Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

6 Učební texty projektu RCPTM Kvantový bit (qubit) je nejmenší jednotka kvantové informace. Může nabývat bázových hodnot 0 nebo 1, ale oproti klasickému bitu může být qubit i ve stavu libovolné superpozice a 0 + b 1. Pomocí kvantových hradel lze realizovat klasické logické operace (CNOT - kontrolované NOT hradlo) nebo operace nemající klasickou obdobu (CPHASE - kontrolovaná změna fáze). Oproti klasickému CNOT hradlu se to kvantové liší tím, že funguje i pro superpozice bázových stavů na vstupu hradla. Kvantově informační experimenty jsou budovány na různých fyzikálních platformách. Využívají se například kvantové stavy iontů v lineární Pauliho pasti nebo měření nukleární magnetická rezonance. Využití jednotlivých fotonů jako nosičů kvantové informace je jednou z dalších metod QIP. Její výhodou je, že může těžit ze všech propracovaných technik klasické optiky, které fungují i na jednofotonové úrovni.fotony jsou obzvláště výhodné pro transport kvantové informace, protože jsou to nejrychlejší známé částice. Požadovaný kvantový výpočet, který chceme s fotony provést, ale vyžaduje interakci jednotlivých fotonů (kvantových bitů qubitů). Všechny známé nelineární interakce ale mají příliš malou účinnost v porovnání s lineárními interakcemi. Nelineární interakci můžeme simulovat pomocí lineární optiky s využitím dodatečných pomocných fotonů a následné postselekce. Budeme tedy pracovat s lineárními optickými prvky jako jsou děliče svazku a fázové posuvy. Základním předpokladem pro experimenty v této oblasti QIP je tedy umět připravovat předem definované kvantové stavy fotonů. Pro některé kvantově informační aplikace je potřeba vytvářet kvantově provázané stavy. Proces sestupné frekvenční parametrické konverze (SPDC Spontaneous parametric down-conversion) a zvláště experimentální sestava podle návrhu P. G. Kwiatem [1] umožňuje jednoduše a elegantně generovat tyto fotonové stavy s nastavitelnou kvantovou provázaností. 2 Definice základních pojmů 2.1 Lineární proces Jako lineární označujeme v optice takový proces, při kterém je odezva látky na vstupní elektromagnetickou vlnu lineární [2]. Lineární pro-

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 7 středí předpokládá vztah mezi vektorem intenzity elektrického pole E a vektorem elektrické polarizace P ve tvaru P = ε 0 χ E, (1) kde ε 0 značí permitivitu vakua a χ elektrickou susceptibilitu prostředí. 2.2 Nelineární procesy Pokud interakci elektrického pole s prostředím nelze popsat pouze jednoduchou lineární závislostí (1), musíme přejít k vyšším mocninám rozvoje této závislosti. U některých nelineární procesů může docházet ke vzniku vlny na jiné frekvenci, než je frekvence vstupních složek. Tento jev můžeme chápat tak, že čerpací svazek se v nelineárním prostředí může přetransformovat v nové spektrální složky. V porovnání s lineárními jevy je nelineární odezva mnohonásobně slabší. Proto se tyto procesy vyššího řádu popisují pomocí polynomického rozvoje, kde základem je vždy lineární závislost. Vektor polarizace v nelineárním prostředí zapíšeme jako rozvoj v mocninách elektrického pole, P = ε 0 χ (1) E + ε0 χ (2) E 2 + ε 0 χ (3) E 3 +..., (2) kde χ (2) a χ (3) nazýváme tenzory nelineární susceptibility prostředí druhého resp. třetího řádu. Nejčastěji využívané nelineární krystaly vykazují anizotropii prostředí, proto hovoříme o susceptibilitě jako o tenzoru. Druhý člen v rozvoji se označuje jako nelineární polarizace druhého řádu. Polynomický popis umožňuje mluvit o řádu nelinearity (maximální řád polynomu). Jako nelineární materiály se často používají anizotropní krystaly. Proto vlastnosti těchto krystalů musíme popisovat pomocí tenzorových veličin (např. tenzor susceptibility daného řádu). V nelineárních krystalech, které mají střed symetrie, jsou z definice všechny složky susceptibility druhého řádu identicky nulové. Zde tedy obecně nenastávají žádné nelineární jevy druhého řádu, ale až třetího a vyššího lichého řádu. Nejpoužívanější nelineární materiály jsou například krystaly BBO (β-bárium borát), LiIO 3 (lithium jodát), KDP (dihydrogenfosforečnan draselný), nebo KTP (KTiOPO 4 ). Všechny tyto krystaly jsou jednoosé dvojlomné materiály. Rozdíl indexu lomu pro řádnou

8 Učební texty projektu RCPTM a mimořádnou vlnu v těchto materiálech je nutný ke splnění podmínek fázové synchronizace všech interagujících optických polí. Pro každý zvolený nelineární proces a vlnovou délku čerpání je proto třeba navrhnout správné geometrické uspořádání, aby docházelo k synchronizaci. 2.3 Entanglement Entanglement (kvantová provázanost) [3] je ryze kvantový jev, který nemá v klasické fyzice obdoby a je zásadní pro kvantovou informatiku i kvantové komunikace. Pro jednoduchost se omezme pouze na čisté stavy. Předpokládejme dva podsystémy v čistých stavech Θ 1 a Θ 2 (například dva fotony s přesně danou polarizací). Nejsme-li schopni výsledný stav obou fotonů vyjádřit jako součin dvou čistých stavů Θ = Θ 1 Θ 2, označujeme stav těchto dvou fotonů jako entanglovaný. Vzniknou-li v nějakém procesu dvě entanglované částice, jsou provázané a musí být popisovány společně pomocí jediné vlnové funkce. Pokud na jedné částici provedeme měření, dojde ke kolapsu této společné vlnové funkce a druhá částice se vyprojektuje do určitého stavu v závislosti na výsledku měření na první částici. K tomuto efektu dojde i v případě, když jsou tyto dvě částice na kilometry daleko. Předpokládejme fotonový pár entanglovaný v polarizaci jehož stav popíšeme funkcí Θ = 1 2 ( H 1 V 2 V 1 H 2 ). (3) kde H a V představují dva na sebe kolmé stavy polarizace jednotlivých fotonů (horizontální a vertikální lineární polarizace) a indexy označují prostorový mód. Změříme-li, že první foton je polarizován například ve stavu H, druhý foton bude mít polarizaci V a naopak. Před měřením nejsme schopni říci, jak bude který foton polarizován. O tom se rozhodne až v okamžiku měření na jedné z částic. Ačkoliv se ne první pohled zdá, že kolapsu vlnové funkce způsobuje šíření informace k druhé částici nadsvětelnou rychlostí, samotný princip kolapsu vlnové funkce a entanglementu neporušuje princip kauzality. Nelze ho totiž použít k přenosu informace rychlostí větší, než je rychlost světla.

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 9 3 Frekvenční konverze Asi nejznámější a nejpoužívanější nelineární proces je generace druhé harmonické. Obecnějším procesem je pak generace součtové frekvence (SFG) [4], kdy se dva fotony na různých frekvencích přemění na foton se součtovou frekvencí. Protože se zde generují fotony s vyšší energií, hovoříme o vzestupné konverzi (up-conversion). Z pohledu časové souslednosti je k procesu SFG inverzní spontánní proces sestupné parametrické konverze (SPDC). V tomto případě se vysokoenergetický foton čerpacího svazku v nelineárním prostředí rozpadá na fotonový pár [2]. O tomto procesu se někdy hovoří zkráceně jako o sestupné konverzi (down-conversion). 3.1 Spontánní parametrická sestupná konverze SPDC řadíme tedy mezi nelineární optické procesy [5]. Prostředí krystalu slouží pouze jako médium pro přenos energie mezi optickými poli. Díky nelineární interakci budícího svazku s látkou může s malou pravděpodobností a za určitých geometrických podmínek dojít k rozpadu čerpacího fotonu na fotony dva fotonový pár. Přestože silný čerpací svazek (pump p)lze dobře aproximovat klasickou elektromagnetickou vlnou, SPDC proces můžeme dobře popsat jako rozpad jednoho čerpacího fotonu, díky čemuž vznikne velmi přesně časově korelovaný fotonový pár. Nově vzniklé fotony, označované jako signální (signal s) a jalový (idler i), mají větší vlnovou délku a menší frekvenci. Součet frekvencí fotonů v páru se rovná frekvenci čerpacího fotonu, ω p = ω i + ω s. Pro vlnové délky platí tato rovnost pro převrácené hodnoty, 1/λ p = 1/λ i + 1/λ s. Tato vlastnost je důsledkem zákona zachování energie (viz obr. 1a) E p = E i + E s ω p = ω i + ω s, (4) kde označuje redukovanou Planckovu konstantu, E je energie fotonu a ω úhlová frekvence. Jestliže vzniklé fotony mají stejnou vlnovou délku, λ i = λ s ω i = ω s, mluvíme o tzv. degenerovaném případě. Další zákon, který je potřeba splnit, je zákon zachování hybnosti (viz obr. 1b), který se pro fotony dá zapsat jako zákon zachování hybnosti: p p = p i + p s k p = k i + k s, (5)

10 Učební texty projektu RCPTM (a) Zákon zachování energie (b) Zákon zachování hybnosti Obrázek 1: Grafické znázornění zákonů zachování. kde k je vlnový vektor fotonu. Tento zákon nám definuje výstupní směry generovaných fotonů. Často se splnění této vektorové podmínky vyplývající z obou zákonů zachování (4) a (5) označuje jako podmínka fázové synchronizace. Ta může být splněna v anizotropním prostředí, ve kterém závisí indexu lomu na polarizaci a směru šíření. Pro jednoduchost budeme uvažovat případ jednoosého anizotropního materiálu, které jsou většinou negativní, tedy n e < n o. Podle směru polarizace interagujících polí můžeme definovat několik typů fázové synchronizace. U homogenních nelineárních krystalů jsou principiálně možné dva typy procesů. U procesu typu I (e oo) čerpací foton s mimořádnou polarizací (e - extraordinární) generuje dva fotony s polarizací řádnou (o - ordinární). U procesu typu II (e oe) foton s mimořádnou polarizací generuje pár fotonů s navzájem kolmými polarizacemi. Jak ukazuje obr. 1b, je proces SPDC v obecném případě nekolineární. Při vhodném speciálním geometrickém uspořádání mohou být směry všech tří fotonů stejné, pak hovoříme o kolineárním procesu SPDC. 3.1.1 Typ I (e oo) Při nekolineárním procesu SPDC jsou generovány fotony v celém spektru s různými vlnovými délkami. Díky symetrii musí ležet jednotlivé spektrální komponenty generovaných fotonů na povrchu kužele s osou ve směru čerpacího svazku, jak to ukazuje obr. 2. Podmínka fázové synchronizace tedy udává pro každou vlnovou délku generovaných fotonů jeden konkrétní vrcholový úhel kužele. Chceme-li získat fotonové páry se stejnou vlnovou délkou obou fotonů, musíme vybírat pomocí clo-

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 11 o o o o o o o o o Obrázek 2: Spektrum SPDC typu I generované v krystalu LiIO 3 při čerpání na vlnové délce 413 nm kolmo na osu krystalu. Úhly v obrázku jsou definovány vůči směru čerpacího svazku. nek dvojice fotonů, které jsou emitovány na protilehlé strany povrchu kužele, který odpovídá degenerované frekvenci ω s = ω i = ω p /2 V kolineárním případě se kužel limitně zúží a přechází na polopřímku. Generované fotony vychází z krystalu stejným směrem jako čerpací svazek, což přináší obtíže s oddělením generovaného slabého signálu od silného čerpacího svazku. Polarizace nově vzniklých fotonů je v procesu typu I kolmá k polarizaci čerpacího svazku. Jedním krystalem typu I tedy nelze přímo generovat fotonové páry entanglované v polarizaci.

12 Učební texty projektu RCPTM 3.1.2 Typ II (e oe) V tomto případě dochází ke generaci dvou fotonů s polarizacemi na sebe navzájem kolmými. Fotony z páru opouští krystal ve směru povrchů dvou kuželů, které jsou symetrické vůči čerpacímu svazku. V závislosti na směru hlavních os nelineárního krystalu vůči rozhraní a směru dopadu čerpacího svazku rozlišujeme několik možností nekolineárního sfázování: kužely signálních a jalových fotonů se neprotínají, kužely se protínají v jediném místě, kterým ze symetrie musí být osa čerpacího svazku, kužely se protínají ve dvou směrech. Tento případ je zobrazený na obr. 3. Dvoufotonový stav entanglovaný v polarizaci lze Obrázek 3: Spektrum SPDC typu II generované v krystalu BBO při čerpání na vlnové délce 413 nm pod úhlem 45 o na osu krystalu. Úhly v obrázku jsou definovány vůči směru čerpacího svazku. Barevné proužky představují spektrální šířku 20 nm.

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 13 pozorovat v tom případě, když pomocí clonek vybíráme fotony právě z těchto průsečíků. Míra entanglementu je zde ale snížena částečnou spektrální rozlišitelností, protože navázaná spektra emitovaných fotonů jsou různá. To vyplývá z odlišné úhlové disperze obou fotonů, což je vidět z šířek kružnic v obr. 3. Zobrazená šířka odpovídá spektrální šířce 20 nm. 3.2 Kwiatův zdroj entanglovaných fotonových párů čerpání SPDC 1. BBO krystal 2. BBO krystal Obrázek 4: Schéma uspořádání dvou krystalů BBO ve zdroji entanglovaných párů podle P. G. Kwiata. Směr optické osy je naznačen na boční straně krystalu. P. G. Kwiat navrhnul experimentální uspořádání pro efektivnější generaci polarizačně entanglovaných fotonových párů [1]. Umístil za sebe dva totožné krystaly typu I (e oo) vzájemně otočené o 90 stupňů, viz obr. 4. Každý z krystalů může být buzen pouze lineární složkou polarizace čerpacího svazku. Směr složky lineární polarizace leží v hlavní rovině krystalu. Takto se označuje rovina určená směrem vektoru k a optickou osou krystalu. Pokud je dvojice krystalů čerpána laserovým svazkem s obecně eliptickou polarizací, budou jednotlivé krystaly generovat fotony v poměru rozkladu intenzity obecné polarizace čerpacího svazku do směrů orientace optických os obou krystalů. Generace může probíhat v obou krystalech současně. Jsou-li krystaly dostatečně tenké, dráhy vygenerovaných fotonů se překrývají. Díky tomu pak nelze určit, ve kterém z krystalů fotonový pár vzniknul. Generované fotonové

14 Učební texty projektu RCPTM páry mají polarizaci popsanou koherentním součtem příspěvků z jednoho a V V z druhého krystalu. Tímto způsobem lze generovat přímo polarizačně entanglované stavy. Obecně Kwiatův zdroj generuje stavy, které můžeme popsat pomocí doufotonového stavu Ψ = cos α e iβ sin α V V. (6) Parametry α a β závisí na polarizaci čerpacího svazku. Poměr mezi a V V složkami ovlivňuje parametr α, který je možno plynule měnit rotací půlvlnné destičky (HWP) v čerpacím svazku. Parametr β značí fázový člen, ten lze ovlivnit náklonem čtvrtvlnné destičky (QWP). Je-li α = 0 nebo α = π, potom generuje vždy jen jeden krystal a výsledkem jsou separabilní stavy. V případě α = π/2 generují oba krystaly stejnou měrou, což dává vzniknout maximálně entanglovanénu stavu. Mezi těmito limitními hodnotami se generují stavy částečně entanglované. 4 Náš zdroj párů Kwiatova typu V naší laboratoři jsme realizovali několik experimentů se zdrojem fotonových párů podle návrhu P.G. Kwiata [6 8]. V této sekci probereme některé výsledky měření, detaily experimentu jsou popsány v následující sekci. 4.1 Charakterizace polarizačních stavů Pro čistý stav polarizace fotonu lze zapsat matici hustoty jako ˆρ = Θ Θ, kde Θ = α H + β V. Bázové stavy H a V jsou jakékoliv dva kolmé vektory (polarizace) v Hilbertově prostoru 2. Obvykle se volí za bázové stavy horizontální a vertikální lineární polarizace. V případě čistého stavu můžeme vždy najít takovou bázi, pro níž bude mít matice hustoty pouze jeden nenulový prvek ležící na diagonále a tato báze 2 Úplný komplexní vektorový prostor, v němž skalární součin umožňuje zavést ortogonalitu prvků.

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 15 Re Im Re Im 1.0 1.0 0.8 0.4 0.8 0.4 0.6 0.2 0.6 0.2 0.4 0.0 0.4 0.0 0.2-0.2 0.2-0.2 0.0-0.2-0.4 0.0-0.2-0.4 (a) Separabilní stav V V. (b) Separabilní stav. Obrázek 5: Estimované matice hustoty separabilních stavů získaných z naměřených dat. Čistota stavů převyšuje 99%. Re Im 1.0 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 0.0 0.2-0.2 0.0-0.2-0.4 Obrázek 6: Estimovaná matice hustoty entanglovaného stavu (( + V V )/ 2) získaná z naměřených dat, čistota stavu 97%. Re Im Re Im 1.0 1.0 0.8 0.4 0.8 0.4 0.6 0.2 0.6 0.2 0.4 0.0 0.4 0.0 0.2-0.2 0.2-0.2 0.0-0.2-0.4 0.0-0.2-0.4 (a) α = 0, 17, β 0 (b) α = 0, 26, β 0 Obrázek 7: Estimované matice hustot částečně entanglovaných stavů získaných z naměřených dat. Čistota stavů je větší než 97%.

16 Učební texty projektu RCPTM může být někdy výhodná ρ = ( ) 1 0. 0 0 Je obvyklé normovat matice hustoty na jedničku: T r[ˆρ] = i ψ i ˆρ ψ i = 1, (7) kde { ψ i } označuje prvky ortonormální báze v Hilbertově prostoru s dimenzí shodnou s dimenzí ˆρ. Jedním z parametrů popisujících kvalitu generovaných stavů je jejich čistota definovaná jako P = T r[ˆρ 2 ]. (8) Kvantová tomografie je metoda umožňující získat úplný popis stavu pomocí mnoha různých opakovaných měření stejného stavu a následným správným vyhodnocením všech získaných výsledků měření. Z těchto dat tomogragických měření je možné např. pomocí metody estimace na základě maximální věrohodnosti (Maximum likelihood estimation) určit matici hustoty kvantového stavu, který nejvíce odpovídá naměřeným výsledkům [9]. V tomografické části našeho experimentálního uspořádání je v každém ze dvou výstupních ramen zařazena půlvlnná a čtvrtvlnná destička a polarizační dělič. Podrobnosti experimentu jsou uvedeny v sekci 5. Postupným natáčením destiček jsou prošlé/odražené fotony projektovány do polarizace: horizontální/vertikální (označení báze +), diagonální/antidiagonální lineární polarizace (označení báze x) a pravotočivé/levotočivé kruhové polarizace (označení báze o). Měření jsme prováděli pro všechny možné kombinace polarizačních projekcí na jednom a druhém fotonu (36 možností). Pro dané nastavení fázových destiček získáme pravděpodobnost, s jakou je daný polarizační stav zastoupen v právě generovaném dvoufotonovém polarizačním stavu. Měřené pravděpodobnosti se získávají ze současných detekcí obou fotonů (koincidencí). Pro různá nastavení Kwiatova zdroje jsme získali celou škálu polarizačních dvoufotonových stavů: separabilní stavy (obr. 5), maximálně entanglované stavy (obr. 6) a částečně entanglované stavy (obr. 7).

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 17 4.2 Měření spektra Velice zajímavá situace nastane při dopadu časově korelovaných fotonů na vyvážený dělič (propustnost = odrazivost). Dochází zde k dvoufotonové interferenci, neboli k interferenci 4. řádu. Jestliže rozdíl optických drah fotonů bude větší než jejich korelační délka, potom fotony na děliči spolu neinterferují a chovají se nezávisle, náhodně se na děliči odrazí nebo projdou. V polovině případů opustí dělič ve stejném výstupním rameni a v polovině případů je na každém výstupu jeden foton. V případě, že dráhový rozdíl je malý v porovnání s korelační délkou (fotony dopadnou na dělič současně), nelze měřením na výstupu rozlišit případ, kdy oba fotony prošly, nebo se odrazily. Pokud jsou oba fotony zcela nerozlišitelné, potom obě výše zmíněné možnosti destruktivně interferují. To je způsobeno změnou fáze fotonu při odrazu na rozhraní Koincidence [1/5s] 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0-30 -20-10 0 10 20 30 MT relativní poloha [ m] (a) HOM dipy s různou šířkou Koincidence [1/5s] 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0-30 -20-10 0 10 20 30 MT relativní poloha [ m] (b) HOM Antidip Obrázek 8: Dvoufotonová interference na děliči.

18 Učební texty projektu RCPTM o π/2. O tomto vyšším řádu interference se hovoří v tom smyslu, že spolu neinterferují vlny, ale interference probíhá na úrovni intenzit. Zatímco u klasické interference je třeba stabilizovat dráhový rozdíl na zlomek vlnové délky ( 1 nm), v případě částicové interference je třeba stabilizovat na koherenční délku fotonů pro zajištění překryvu vlnových balíků obou fotonů. Tyto vzdálenosti jsou typicky desítky mikrometrů. Výsledkem částicové interference je tedy to, že se oba fotony shluknou a opouští dělič stejným výstupem. Zatímco při klasické interferenci sledujeme interferenční proužky, u této částicové interference pozorujeme úbytek současných detekcí (koincidencí) na obou výstupech děliče. Závislost počtu koincidencí na dráhovém zpoždění jednoho fotonu vůči druhému nazýváme Hongovým - Ouovým - Mandelovým dipem (HOM dip, viz obr. 8a) podle autorů, kteří tuto závislost prezentovali poprvé v článku [10]. Analogicky s klasickou interferencí definujeme vizibilitu interference podle vztahu V = C max C min C max + C min, (9) kde C min a C max označují minimální a maximální počet koincidencí v HOM interferenčním obrazci. V ideálním případě, kdy jsou fotony z páru na děliči zcela nerozlišitelné, klesne počet současných detekcí pro nulový dráhový rozdíl (C min ) na nulu. Vizibilita dipu bude pak dosahovat maximální jednotkové velikosti. V případě částečné i pouze principiální rozlišitelnosti fotonů např. v polarizaci, ve spektru, v prostorovém módu šíření nedojde k úplné destruktivní interferenci a vizibilita dipu bude menší než jedna. V případě, že je stav dvou fotonů dopadajících na dělič popsán antisymetrickou vlnovou funkcí, např. je-li na vstupu singletní Bellův stav 1/ 2( V H ), potom na děliči svazku dochází k přesně opačnému jevu k antishlukování. V naměřených datech pak pozorujeme díky částicové interferenci antidip (obr. 8b). Antisymetrický stav má tu zajímavou vlastnost, že pokud jeden foton vyprojektujeme měřením do libovolně zvolené polarizace (např. pravotočivé kruhové), potom se druhý foton automaticky vyprojektuje do polarizace k němu kolmé (levotočivá kruhová polarizace). Tyto antisymetrické stavy můžeme získat nastavením Kwiatova zdroje (6), α = π/4, β = 0 a otočením polari-

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 19 zace jednoho fotonu o 90 stupňů pomocí půlvlnné destičky otočené o 45 stupňů. Tvar dipu/antidipu určuje vzájemnou korelaci obou fotonů v různých časech. Měření odpovídajícího interferenčního obrazce umožňuje zjistit spektrální vlastnosti fotonů. Například pokud dip (antidip) lze dobře aproximovat gaussovskou funkcí, potom lze předpokládat, že i spektrum interferujících fotonů je gaussovské. Navíc lze z plné šířky v polovině maxima (FWHM) HOM dipu (antidipu) jednoduše určit šířku spektra fotonů podle vztahu [11] FWHM spectral = 2 2 ln 2 π λ 2 FWHM HOM, (10) kde λ = λ p 2 značí centrální vlnovou délku generovaných fotonů. Spektrum detekovaných fotonů můžeme jednoduše ovlivnit velikostí vstupní apertury. Předpokládáme, že středem vstupní apertury prochází centrální vlnová délka a se vzrůstající vzdáleností od středu se mění vlnová délka. Výsledná šířka spektra závisí nejen na šířce štěrbiny, ale i na vzdálenosti štěrbiny od krystalu, na typu krystalu a dalších vlastnostech geometrického uspořádání. Obrázek 9: Experimentální schéma. HWP - půlvlnná destička, QWP - čtvrtvlnná destička, BBO - dvojice nelineárních krystalů, NF - úzkopásmový filtr, FPC - polarizační kontroler, MT - motorizovaný posuv, BS - dělič svazku, PBS - polarizační dělič svazku, DET - detektory, C - koincidenční elektronika.

20 Učební texty projektu RCPTM 5 Detaily našeho experimentálního uspořádání Jedno naše konkrétní experimentální schéma je na obr. 9 [7]. Experimentální schéma můžeme rozdělit do tří částí: samotný zdroj fotonových párů, dělič svazku pro HOM interferenci, část tomografickou a detekční. Optické komponenty byly navrženy pro čerpání laserem o střední vlnové délce 355 nm. Pro čerpání dvojice nelineárních krystalů β-bárium borátu (BBO) je použit kryptonový laser o vlnové délce 356,4 nm. Degenerované fotonové páry, vzniklé procesem SPDC, mají dvojnásobnou vlnovou délku 712,8 nm. Požadovaný výstupní stav z rovnice (6) nastavíme vhodnou rotací půlvlnné fázové destičky (HWP) před krystaly, kterou můžeme měnit poměr mezi složkami a V V. Fázi β měníme jemným náklonem čtvrtvlnné destičky (QWP), která je orientovaná v osách H/V. Obrázek 10 ukazuje fotografii našeho zdroje s krystalem a fázovými Obrázek 10: Fotografie zdroje fotonových párů s vyznačenou dráhou svazků. HWP - půlvlnná destička, QWP - čtvrtvlnná destička, BBO - dvojice nelineárních krystalů.

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 21 destičkami v čerpacím svazku. Clonky ve svazku před navázáním do vlákna lze zužovat a tím měnit šířku spektra navázaných fotonů. Úzkopásmové spektrální filtry (střední vlnová délka 710 nm, FWHM 10 nm) omezují vliv nežádoucího šumu pozadí, který je daný hlavně rozptylem čerpacího svazku. Fotony jsou navázány pomocí asférických čoček do jednomodových vláken, která provádějí prostorovou filtraci a slouží k přivedení fotonů do další části experimentu. Průchodem fotonů vlákny dochází ke změně polarizace. Tyto změny kompenzujeme pomocí polarizačních kontrolerů (FPC). Fotony jsou pomocí čoček vyvázány z vláken do volného prostředí a procházejí půvlnnými destičkami, které používáme pro otočení polarizace jednoho fotonu z H na V a naopak. Na vyváženém děliči svazku (BS) dochází k překrytí generovaných fotonů, viz obr 11. Motorizovaným posunem (MT) jednoho vyvazovače můžeme kontrolovat dráhový rozdíl mezi oběma rameny a tedy i časové zpoždění pro měření HOM dipu popř. Obrázek 11: Fotografie tomografické části experimentu s vyznačenou dráhou svazků. HWP - půlvlnná destička, QWP - čtvrtvlnná destička, BS - dělič svazku, PBS - polarizační dělič svazku.

22 Učební texty projektu RCPTM antidipu. Půlvlnné a čtvrtvlnné destičky a polarizační dělič (PBS) v tomografické části umožňují projektovat výstupní stav fotonů do různých polarizačních bází. Fotony jsou opět navázány do jednomodových vláken, které vedou do detektorů. K detekci jsou využity lavinové fotodiody v Geigerově módu s kvantovou účinností detekce jednotlivých fotonů přibližně 60 %. Elektronické pulzy z detektorů jsou zpracovány pomocí koincidenční elektroniky (C, jde o moduly TAC a SCA od firmy Ortec). Počty koincidencí jsou integrovány po nastavený čas (5 s) v modulu Dual Counter and Timer (Ortec), který posílá výsledky pro zpracování do počítače. 6 Závěr Tento příspěvek shrnuje naše výsledky získané při měření dvoufotonových stavů světla, které generujeme v nelineárním krystalu Kwiatova typu. Tento zdroj umožňuje připravovat všechny čisté dvoufotonové stavy α + e iφ β V V, α + e iφ β V H včetně maximálně entanglovaných Bellových stavů. Parametry fotonových párů jsou snadno laditelné pomocí rotace půlvlnné a náklonem čtvrtvlnné fázové destičky v dráze čerpacího svazku před dvojicí krystalů. Princip návrhu zdroje je univerální pro různé vlnové délky čerpacího svazku, pro které je splněna podmínka fázové synchronizace. Ostatní optické komponenty jsou voleny podle vlnové délky čerpání. Zdroj účinně generuje doufotonové stavy s vysokou mírou opakovatelnosti a vysokým interferenčním kontrastem. Představený zdroj fotonových párů bude sloužit pro další připravované kantově-informační experimenty v naší laboratoři. Reference [1] P. G. Kwiat, E. Waks, A. G. White, I. Appelbaum, and P. H. Eberhard, Ultrabright Source of Polarization-Entangled Photons, Phys. Rev. A 60, R773 (1999). [2] P. Fiala, I. Richter, Nelineární optika, (ČVUT, Praha 2009).

EH, AČ, JS: Kwiatův zdroj, SPDC 23 [3] M. Dušek, Koncepční otázky kvantové teorie, (UP, Olomouc, 2002). [4] J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, and P. S. Pershan: Interactions between Light Waves in a Nonlinear Dielectric, Phys. Rev. 127, 1918 1939 (1962). [5] B. E. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, 2 nd ed. (Wiley, 2007). [6] K. Lemr, A. Černoch, J. Soubusta, J. Fiurášek, Experimental preparation of two-photon Knill-Laflamme-Milburn states, Phys. Rev. A 81, 012321 (2010). [7] E. Halenková, A. Černoch, K. Lemr, J. Soubusta, S. Drusová, Experimental implementation of the multifunctional compact twophoton state analyzer, App. Optics. 51, 474-478 (2012). [8] E. Halenková, K. Lemr, A. Černoch, J. Soubusta, Experimental generation of various phase noise two-photon statistics, v přípravě. [9] M. Ježek, J. Fiurášek, and Z. Hradil, Quantum inference of states and processes, Phys. Rev. A 68, 012305 (2003). [10] C.K. Hong, Z. Y. Ou, L. Mandel, Measurement of Subpicosecond Time Intervals between Two Photons by Interference, Phys. Rev. Lett. 59, 2044 (1987). [11] J. Soubusta, J. Peřina Jr., M. Hendrych, O. Haderka, P. Trojek, M. Dušek, Experimental verification of energy correlations in entangled photon pairs, Phys. Lett. A 319, 251 (2003).

Mgr. Eva Halenková Mgr. Antonín Černoch, Ph.D. doc. Mgr. Jan Soubusta, Ph.D. Spontánní sestupná frekvenční parametrická konverze a zdroj fotonových párů podle návrhu P. G. Kwiata Výkonný redaktor: prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr. Odpovědná redaktorka: Vendula Drozdová Návrh a grafické zpracování obálky: Jiří K. Jurečka Vydala a vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci Křížkovského 8, 771 47 Olomouc www.upol.cz/vup Olomouc 2012 1. vydání ISBN 978-80-244-3111-6 Neprodejné