Matematika I 12a Euklidovská geometrie
|
|
- Rostislav Vaněk
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky
2 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy
3 Plán přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy
4 Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto:
5 Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto: Definition Standardní bodový euklidovský prostor E n je afinní prostor A n, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R n se skalárním součinem x, z = x T y.
6 Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto: Definition Standardní bodový euklidovský prostor E n je afinní prostor A n, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R n se skalárním součinem x, z = x T y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A 0 ; u) s ortonormální bazí u.
7 Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto: Definition Standardní bodový euklidovský prostor E n je afinní prostor A n, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R n se skalárním součinem x, z = x T y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A 0 ; u) s ortonormální bazí u. Vzdálenost bodů A, B E n definujeme jako velikost vektoru B A, budeme ji značit ρ(a, B).
8 Již jsme se vzdálenostmi pracovali s pomocí skalárních součinů ve vektorových prostorech. V analytické geometrii lze takto: Definition Standardní bodový euklidovský prostor E n je afinní prostor A n, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor R n se skalárním součinem x, z = x T y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A 0 ; u) s ortonormální bazí u. Vzdálenost bodů A, B E n definujeme jako velikost vektoru B A, budeme ji značit ρ(a, B). Euklidovské podprostory v E n jsou afinní podprostory jejichž zaměření uvažujeme spolu se zúženými skalárními součiny.
9 Theorem (jednoduché vlastnosti skalárních součinů) Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí 1 u + v u + v (trojúhelníková nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. 2 u v u v (Cauchyova nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. 3 pro každý ortonormální systém vektorů (e 1,..., e k ) platí u 2 u e u e k 2 (Besselova nerovnost). 4 Pro ortonormální systém vektorů (e 1,..., e k ) je u e 1,..., e k právě když u 2 = u e u e k 2 (Parsevalova rovnost). 5 Pro ortonormální systém vektorů (e 1,..., e k ) a u V je vektor w = (u e 1 )e (u e k )e k jediným vektorem, který minimalizuje velikost u v pro všechny v e 1,..., e k. K důkazům se vrátíme ve středu (jsou v textech).
10 Theorem (jednoduché důsledky pro euklidovskou geometrii) Pro body A, B, C E n platí 1 ρ(a, B) = ρ(b, A) 2 ρ(a, B) = 0 právě, když A = B 3 ρ(a, B) + ρ(b, C) ρ(a, C) 4 V každé kartézké souřadné soustavě (A 0 ; e) mají body A = A 0 + a 1 e a n e n, B = A 0 + b 1 e b n e n vzdálenost n i=1 (a i b i ) 2. 5 Pro podprostory R a Q v E n existují bod P Q a Q R minimalizující vzdálenosti bodů B Q a A R. Vzdálenost bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A B do Z(Q) pro libovolné body B Q a A R.
11 Speciálním případem posledního bodu je tvrzení: Je li dán bod A a podprostor Q v E n, pak existuje bod P Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A B do Z(Q) pro libovolný B Q.
12 Speciálním případem posledního bodu je tvrzení: Je li dán bod A a podprostor Q v E n, pak existuje bod P Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A B do Z(Q) pro libovolný B Q. Vektor A B se jednoznačně rozkládá na A B = u 1 + u 2, u 1 Z(Q), u 2 Z(Q). Přitom u 2 nezávisí na volbě B Q, P = A + ( u 2 ) = B + u 1 Q a A B 2 = u u 2 2 u 2 2 = A P. Odtud již vyplývá, že minima je skutečně dosaženo, a to pro bod P. Vypočtená vzdálenost je skutečně u 2.
13 Příklad vzdálenost přímek Určete vzdálenost přímek v R 3. p : [1, 1, 0] + t( 1, 2, 3), a q : [2, 5, 1] + t( 1, 2, 1).
14 Příklad vzdálenost přímek Určete vzdálenost přímek v R 3. p : [1, 1, 0] + t( 1, 2, 3), a q : [2, 5, 1] + t( 1, 2, 1). Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostoru generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk je: ( 1, 2, 3), ( 1, 2, 1) = (8, 2, 4) = (4, 1, 2).
15 Příklad vzdálenost přímek Určete vzdálenost přímek v R 3. p : [1, 1, 0] + t( 1, 2, 3), a q : [2, 5, 1] + t( 1, 2, 1). Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spojnice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostoru generovaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplněk je: ( 1, 2, 3), ( 1, 2, 1) = (8, 2, 4) = (4, 1, 2). Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, 1, 0][2, 5, 1], promítneme tedy vektor [1, 1, 0] [2, 5, 1] = ( 1, 6, 1). Pro vzdálenost přímek pak dostáváme: ρ(p, q) = ( 1, 6, 1) (4, 1, 2) (4, 1, 2) = 4 21.
16 Plán přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy
17 Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou v bodových prostorech E n zaváděny prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech.
18 Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou v bodových prostorech E n zaváděny prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 následující definice. Definition u v u v 1, má tedy smysl Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cos ϕ(u, v) = u v, 0 ϕ(u, v) 2π. u v
19 Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou v bodových prostorech E n zaváděny prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 následující definice. Definition u v u v 1, má tedy smysl Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cos ϕ(u, v) = u v, 0 ϕ(u, v) 2π. u v V rovině R 2 pro odchylku vektorů na jednotkové kružnici u = (1, 0), v = (cos ϕ, sin ϕ) skutečně platí cos ϕ = u v u v.
20 Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou v bodových prostorech E n zaváděny prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 následující definice. Definition u v u v 1, má tedy smysl Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cos ϕ(u, v) = u v, 0 ϕ(u, v) 2π. u v V rovině R 2 pro odchylku vektorů na jednotkové kružnici u = (1, 0), v = (cos ϕ, sin ϕ) skutečně platí cos ϕ = u v u v. Odchylka je nezávislá na velikostech a vhodnou rotací dosáhneme toho, že jeden z dvojice vektorů má tvar (x 1, 0).
21 Geometrické pojmy jako odchylky, orientace, objem apod. jsou v bodových prostorech E n zaváděny prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 následující definice. Definition u v u v 1, má tedy smysl Odchylka ϕ(u, v) vektorů u, v V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cos ϕ(u, v) = u v, 0 ϕ(u, v) 2π. u v V rovině R 2 pro odchylku vektorů na jednotkové kružnici u = (1, 0), v = (cos ϕ, sin ϕ) skutečně platí cos ϕ = u v u v. Odchylka je nezávislá na velikostech a vhodnou rotací dosáhneme toho, že jeden z dvojice vektorů má tvar (x 1, 0).Ve vícerozměrných prostorech je odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (nebo je nula).
22 V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z definic plyne u v 2 = u 2 + v 2 2(u v) = u 2 + v 2 2 u v cos ϕ(u, v). To je tzv. kosinová věta.
23 V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z definic plyne u v 2 = u 2 + v 2 2(u v) = u 2 + v 2 2 u v cos ϕ(u, v). To je tzv. kosinová věta. Dále platí pro každou ortonormální bázi e a u V vztah u 2 = i u e i 2, tj. 1 = i (cos ϕ(u, e i )) 2, což je obvyklé tvrzení o směrových kosinech ϕ(u, e i ) vektoru u. Z definice odchylek vektorů nyní můžeme dovodit rozumné definice pro obecné podprostory v každém euklidovském vektorovém prostoru.
24 Definition Nechť U 1, U 2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V. Odchylka podprostorů U 1, U 2 je reálné číslo α = ϕ(u 1, U 2 ) [0, π 2 ] splňující: (1) Je-li dim U 1 = dim U 2 = 1, U 1 = u, U 2 = v, pak cos α = u.v u v. (2) Jsou-li dimenze U 1, U 2 kladné a U 1 U 2 = {0}, pak je odchylka minimem všech odchylek jednorozměrných podprostorů α = min{ϕ( u, v ); 0 u U 1, 0 v U 2 }. Ukážeme v zápětí, že takové minimum skutečně vždy existuje.
25 Definition (pokračování) (3) Je-li U 1 U 2 nebo U 2 U 1 (zejména je-li jeden z nich nulový), je α = 0. (4) Je-li U 1 U 2 {0} a U 1 U 1 U 2 U 2, pak α = ϕ(u 1 (U 1 U 2 ), U 2 (U 1 U 2 ) ).
26 Definition (pokračování) (3) Je-li U 1 U 2 nebo U 2 U 1 (zejména je-li jeden z nich nulový), je α = 0. (4) Je-li U 1 U 2 {0} a U 1 U 1 U 2 U 2, pak α = ϕ(u 1 (U 1 U 2 ), U 2 (U 1 U 2 ) ). Odchylka podprostorů Q 1, Q 2 v bodovém euklidovském prostoru E n se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Q 1 ), Z(Q 2 ).
27 Definition (pokračování) (3) Je-li U 1 U 2 nebo U 2 U 1 (zejména je-li jeden z nich nulový), je α = 0. (4) Je-li U 1 U 2 {0} a U 1 U 1 U 2 U 2, pak α = ϕ(u 1 (U 1 U 2 ), U 2 (U 1 U 2 ) ). Odchylka podprostorů Q 1, Q 2 v bodovém euklidovském prostoru E n se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Q 1 ), Z(Q 2 ). Všimněme si, že odchylka je vždy dobře definována, zejména v posledním případě je (U 1 (U 1 U 2 ) ) (U 2 (U 1 U 2 ) ) = {0} můžeme tedy opravdu odchylku určit podle bodu (2).
28 Lemma Nechť v je vektor v euklidovském prostoru V a U V libovolný podprostor. Označme v 1 U, v 2 U (jednoznačně určené) komponenty vektoru v, tj. v = v 1 + v 2. Pak pro odchylku ϕ podprostoru generovaného v od U platí cos ϕ( v, U) = cos ϕ( v, v 1 ) = v 1 v.
29 Lemma Nechť v je vektor v euklidovském prostoru V a U V libovolný podprostor. Označme v 1 U, v 2 U (jednoznačně určené) komponenty vektoru v, tj. v = v 1 + v 2. Pak pro odchylku ϕ podprostoru generovaného v od U platí cos ϕ( v, U) = cos ϕ( v, v 1 ) = v 1 v. Výpočet odchylek v obecných dimenzích je snadno spočitatelný pomocí výpočtu zkracování vlastních vektorů při dvou kolmých projekcí mezi prostory, odvodíme ve středu, viz texty k přednáškám.
30 Plán přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy
31 1. Najděte vzdálenost bodu A E n od podprostoru Q E n.
32 1. Najděte vzdálenost bodu A E n od podprostoru Q E n. 2. V E 2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel Najdeme vektor u R 2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením v. Úloha má dvě nebo jedno řešení.
33 1. Najděte vzdálenost bodu A E n od podprostoru Q E n. 2. V E 2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel Najdeme vektor u R 2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením v. Úloha má dvě nebo jedno řešení. 3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na daný podprostor.
34 1. Najděte vzdálenost bodu A E n od podprostoru Q E n. 2. V E 2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel Najdeme vektor u R 2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením v. Úloha má dvě nebo jedno řešení. 3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na daný podprostor. 4. V E 3 určete vzdálenost dvou přímek p, q. Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A p, B q. Komponenta vektoru A B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q)) má velikost rovnu vzdálenosti p a q.
35 1. Najděte vzdálenost bodu A E n od podprostoru Q E n. 2. V E 2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel Najdeme vektor u R 2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením v. Úloha má dvě nebo jedno řešení. 3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na daný podprostor. 4. V E 3 určete vzdálenost dvou přímek p, q. Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A p, B q. Komponenta vektoru A B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q)) má velikost rovnu vzdálenosti p a q. 5. V E 3 najděte osu dvou mimoběžek p a q: Nechť η je rovina generovaná jedním bodem A p a součtem Z(p) + (Z(p) + Z(q)). Pak průnik η q spolu se zaměřením (Z(p) + Z(q)) dávají parametrický popis hledané osy. (Prověřte, kolik má úloha obecně řešení!)
36 Plán přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy
37 Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat standardní E n spolu s orientací zadanou standardní bazí R n.
38 Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidovský bodový prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat standardní E n spolu s orientací zadanou standardní bazí R n. Nechť u 1,..., u k, jsou libovolné vektory v zaměření R n, A E n je libovolný bod. Rovnoběžnostěn P k (A; u 1,..., u k ) E n je množina P k (A; u 1,..., u k ) = {A+c 1 u 1 + +c k u k ; 0 c i 1, i = 1,..., k}. Jsou-li vektory u 1,..., u k nezávislé, jde o k rozměrný rovnoběžnostěn P k (A; u 1..., u k ) E n. Pro dané vektory u 1,..., u k máme k dispozici také rovnoběžnostěny menších dimenzí P 1 (A; u 1 ),..., P k (A; u 1,..., u k ) v euklidovských podprostorech A + u 1,..., A + u 1,..., u k.
39 Jsou-li u 1,..., u k lineárně závislé definujeme objem Vol P k = 0. Pro nezávislé vektory pak platí u 1,..., u k = u 1,..., u k 1 ( u 1,..., u k 1 u 1,..., u k ). Navíc v tomto rozkladu se u k jednoznačně vyjádří jako u k = u k + e k, kde e k u 1,..., u k 1. Absolutní hodnotu objemu definujeme induktivně: Vol P 1 (A; u 1 ) = u 1 Vol P k (A; u 1,..., u k ) = e k Vol P(A; u 1,..., u k 1 ).
40 Jsou-li u 1,..., u k lineárně závislé definujeme objem Vol P k = 0. Pro nezávislé vektory pak platí u 1,..., u k = u 1,..., u k 1 ( u 1,..., u k 1 u 1,..., u k ). Navíc v tomto rozkladu se u k jednoznačně vyjádří jako u k = u k + e k, kde e k u 1,..., u k 1. Absolutní hodnotu objemu definujeme induktivně: Vol P 1 (A; u 1 ) = u 1 Vol P k (A; u 1,..., u k ) = e k Vol P(A; u 1,..., u k 1 ). Je-li u 1,..., u n báze kompatibilní s orientací V, definujeme (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu Vol P k (A; u 1,..., u n ) = Vol P k (A; u 1,..., u n ), v opačném případě klademe Vol P k (A; u 1,..., u n ) = Vol P k (A; u 1,..., u n ).
41 Theorem Nechť Q E n je euklidovský podprostor a nechť (e 1,..., e k ) je jeho ortonormální báze. Pak pro libovolné vektory u 1,..., u k Z(Q) a A Q platí u 1 e 1... u k e 1 1 Vol P k (A; u 1,..., u k ) = det.. u 1 e k... u k e k u 1 u 1... u k u 1 2 (Vol P k (A; u 1,..., u k )) 2 = det.. u 1 u k... u k u k K důkazu se vrátíme ve středu, viz texty.
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Základní vlastnosti eukleidovského prostoru
Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Aplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
formou exkurzu přibližuje problematiku aplikace lineární algebry ve výpočetní tomografii.
1 Úvod Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry a geometrie, která je určena především pro posluchače druhého semestru programů matematika, aplikovaná matematika a informatika. Celá práce
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Euklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů
Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní
Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Matematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
3. Analytická geometrie
3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů
Afinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň