Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Transkript

1 Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi Hodnost matice Carl Friedrich Gauss

2 Vektory Definice (vektor) Necht n je pevně zvolené přirozené číslo. Číselným vektorem a rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel, značíme a = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1,..., a n se nazývají složky (souřadnice) vektoru a, přirozené číslo n se nazývá rozměr (dimenze) vektoru a. Příklad (vektor) a = (2, 1), b = (1, 5, 4), c = ( 2, 1, 0, 4, 3, 1) Poznámka (sloupcový vektor) Jednotlivé složky vektoru lze uspořádat nejen do řádku, ale i do sloupce. Takový vektor se nazývá sloupcový vektor. a 1 a 2 a =.. a n Definice (nulový vektor) Vektor o = (0, 0,..., 0) se nazývá nulový vektor.

3 Poznámka (geometrický význam vektoru) Vektory rozměru 2 a 3 lze zobrazit jako orientované úsečky s počátečním bodem v počátku souřadnicového systému a koncovým bodem o souřadnicích [a 1, a 2 ] resp. [a 1, a 2, a 3 ]. Příklad (znázornění vektoru v rovině) y znázornění vektorů a = (3, 2), b = (1, 4) v rovině b a x Operace s vektory Definice (operace s vektory) Součtem vektorů a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) stejného rozměru nazýváme vektor a + b, pro který platí a + b = (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ). Násobení vektoru a = (a 1, a 2,..., a n ) reálným číslem c definujeme jako c a = c(a 1, a 2,..., a n ) = (ca 1, ca 2,..., ca n ). Příklad (sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem) Jsou dány vektory a = (1, 3, 2), b = (3, 1, 2), c = (7, 3, 0, 1). Pak a + b = (1, 3, 2) + (3, 1, 2) = (1 + 3, 3 1, 2 2) = (4, 2, 0) 3 a = 3(1, 3, 2) = ( 3 1, 3 3, 3 2) = ( 3, 9, 6) 5 a + 2 b = (5, 15, 10) + (6, 2, 4) = (5 + 6, 15 2, 10 4) = (11, 13, 6) 0 c = (0 7, 0 ( 3), 0 0, 0 ( 1)) = (0, 0, 0, 0) Součet a + c nelze provést, protože vektory a, c mají různý rozměr

4 Definice (opačný vektor, rozdíl vektorů) Opačným vektorem k vektoru a = (a 1, a 2,..., a n ), nazýváme vektor a = ( 1) a = ( a 1, a 2,..., a n ). Rozdílem vektorů a, b rozumíme vektor a b = a + ( b) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ). Příklad (opačný vektor, rozdíl vektorů) Jsou dány vektory a = (1, 3, 2, 4), b = (3, 1, 2, 2), c = (7, 3, 0). a = ( 1, 3, 2, +4) c = ( 7, 3, 0) a b = (1, 3, 2, 4) (3, 1, 2, 2) = (1 3, 3 + 1, 2 + 2, 4 2) = = ( 2, 4, 4, 6) Rozdíl a c nelze provést, protože vektory a, c mají různý rozměr Definice (skalární součin) Skalárním součinem vektorů a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) nazýváme reálné číslo a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. Vektory se nazývají ortogonální, právě když a b = 0. Příklad (skalární součin) Jsou dány vektory a = (1, 3, 2, 1), b = (3, 1, 2, 0). a b = ( 1) + 2 ( 2) + ( 1) 0 = = 4

5 Definice (velikost vektoru) Velikostí vektoru rozumíme reálné číslo a = a1 2 + a a2 n. Příklad (velikost vektoru) Je dán vektor a = ( 2, 5, 1, 3). Vypočtěte jeho velikost. a = ( 2) ( 1) = = 39. = 6, 24 Věta Necht a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ), c = (c 1, c 2,..., c n ) jsou vektory stejné dimenze n N a necht k, m R jsou reálná čísla. Potom pro operaci sčítání vektorů a operaci násobení vektoru reálným číslem platí a + b = b + a a + ( b + c) = ( a + b) + c k a = a k k (m a) = (k m) a zákon komutativní pro sčítání zákon asociativní pro sčítání (k + m) a = k a + m a zákon distributivní k ( a + b) = k a + k b zákon distributivní zákon komutativní pro násobení konstantou zákon asociativní pro násobení konstantou

6 Lineární kombinace Definice (lineární kombinace) Říkáme, že vektor b je lineární kombinací vektorů a 1, a 2,..., a k R n, existují-li taková reálná čísla c 1, c 2,..., c k, že platí b = c1 a 1 + c 2 a c k a k. Příklad (lineární kombinace) Mějme vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (1, 2, 1). Vektory d = (4, 6, 6), e = (0, 7, 7), o = (0, 0, 0) jsou lineárními kombinacemi vektorů a, b, c : d = 2 a 1 b + 1 c = (4, 6, 2) (1, 2, 3) + (1, 2, 1) = (4, 6, 6) e = 1 a + 2 b + 0 c = ( 2, 3, 1) + (2, 4, 6) + (0, 0, 0) = (0, 7, 7) o = 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) Poznámka (triviální lineární kombinace) Jsou-li všechna reálná čísla c 1, c 2,..., c k v lineární kombinaci rovna nule, dostáváme triviální lineární kombinaci. Nulový vektor tak může být vždy vyjádřen jako lineární kombinace libovolných vektorů. Příklad (lineární kombinace) Vyjádřete vektor d = (8, 2, 4) jako lineární kombinaci vektorů a = (2, 2, 0), b = ( 1, 1, 1), c = (1, 1, 1). d = c 1 a + c 2 b + c3 c (8, 2, 4) = c 1 (2, 2, 0) + c 2 ( 1, 1, 1) + c 3 (1, 1, 1) Dostáváme soustavu tří lineárních rovnic. 2c 1 c 2 + c 3 = 8 2c 1 + c 2 + c 3 = 2 c 2 + c 3 = 4 Řešení je c 1 = 2, c 2 = 3, c 3 = 1. Máme tedy d = 2 a 3 b + c.

7 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice (lineární závislost a nezávislost) Říkáme, že vektory a 1, a 2,..., a k R n jsou lineárně závislé, jestliže existují taková reálná čísla c 1, c 2,..., c k, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí c 1 a 1 + c 2 a c k a k = o. V opačném případě (c 1 = c 2 = = c k = 0) říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Příklad (lineární závislost a nezávislost) Vektory a = (2, 2, 0), b = (0, 2, 1), c = (2, 4, 3) jsou lineárně závislé, protože 1 a + ( 3) b + ( 1) c = o. Vektory e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) jsou lineárně nezávislé, protože 0 e e e 3 = o. Věta (souvislost lineární kombinace a lineární závislosti) Vektory a 1, a 2,..., a k R n jsou lineárně závislé, právě když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních vektorů. Jestliže žádný vektor není lineární kombinací ostatních vektorů, jsou vektory lineárně nezávislé. Příklad (ověření lineární závislosti pomocí lineární kombinace) Vektory a = (2, 1, 3), b = (1, 1, 2), c = (3, 3, 4) jsou lineárně závislé, protože 2 a b c = (4, 2, 6) (1, 1, 2) (3, 3, 4) = o. V tomto případě lze dokonce každý z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů: a = 1 2 b c, b = 2 a c, c = 2 a b.

8 Poznámka (lineární závislost) Dva vektory jsou lineárně závislé, právě když jeden z vektorů je násobkem druhého. Je-li mezi vektory některý vektor násobkem jiného vektoru, jsou tyto vektory lineárně závislé. Je-li mezi vektory některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. Je-li počet vektorů větší, než je rozměr vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. O lineární závislosti a nezávislosti vektorů budeme moci rozhodnout pomocí hodnosti matice sestavené z daných vektorů. Příklad (lineární závislost a nezávislost) Vektory a = (1, 3, 0, 2), b = ( 2, 6, 0, 4) jsou lineárně závislé, protože b = ( 2, 6, 0, 4) = ( 2) (1, 3, 0, 2) = 2 a, a = (5, 2), b = ( 5, 1) jsou lineárně nezávislé, a = (1, 3, 0, 2), b = ( 3, 8, 5, 0) jsou lineárně nezávislé, a = (2, 1, 4), b = (1, 0, 2), c = (4, 2, 8) jsou lineárně závislé, protože c = (4, 2, 8) = 2 (2, 1, 4) = 2 a, a = (5, 1, 3), b = ( 3, 4, 2), c = (0, 0, 0) jsou lineárně závislé, protože je mezi nimi nulový vektor, a = ( 1, 2, 5), b = (3, 0, 2), c = (0, 1, 4), d = (1, 1, 1) jsou lineárně závislé, protože jejich počet je 4, ale rozměr je 3.

9 Vektorový prostor Definice (vektorový prostor) Množinu V n všech n-rozměrných reálných vektorů, která obsahuje nulový vektor o, s libovolnými vektory a 1, a 2,..., a k obsahuje také jejich lineární kombinaci c 1 a 1 + c 2 a c k a k, nazýváme vektorovým prostorem dimenze n. Poznámka Vektorový prostor dimenze n obsahuje s libovolným vektorem a také všechny jeho násobky c a, s libovolnými vektory a, b obsahuje jejich součet a + b. Definice (báze vektorového prostoru) Každá skupina lineárně nezávislých vektorů e 1, e 2,..., e n V n taková, že každý vektor z V n je na ní lineárně závislý, se nazývá báze vektorového prostoru V n. Značíme ji B = e 1, e 2,..., e n. Poznámka Ve vektorovém prostoru dimenze n Příklad existuje alespoň jedna n-tice lineárně nezávislých vektorů (báze), mezi libovolnými vektory a 1, a 2,..., a k V n, k n, je nejvýše n lineárně nezávislých. Zbývajících k n vektorů je na nich lineárně závislých. Vektory e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) tvoří bázi vektorového prostoru dimenze 3. Každý vektor tohoto vektorového prostoru je lineární kombinací vektorů báze. Například pro vektor a = ( 3, 2, 1) platí a = 3 e e e 3.

10 Matice Definice (matice) Maticí typu (m, n) rozumíme obdélníkové schéma m n reálných čísel sestavených do m řádků a n sloupců a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Čísla a ij, (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n) nazýváme prvky matice A. Poznámka (matice) Prvek a ij leží v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A. i = 1, 2,..., m je řádkový index, j = 1, 2,..., n je sloupcový index. Řádky nebo sloupce matice lze chápat jako vektory. Druhy matic Definice (čtvercová a obdélníková matice) Je-li m = n, pak matice A se nazývá čtvercová matice řádu n. Prvky a 11, a 22,..., a nn, tj. prvky se stejným řádkovým a sloupcovým indexem, se nazývají prvky hlavní diagonály. Je-li m n, matice A se nazývá obdélníková matice. Příklad (čtvercová a obdélníková matice) Obdélníkové matice A typu (2, 4) a B typu (4, 3), čtvercová matice C řádu 3: ( ) A =, B = , C = Matice typu (1, n) se nazývá řádkový vektor. Matice typu (m, 1) se nazývá sloupcový vektor.

11 Definice (nulová matice) Matice, jejíž všechny prvky jsou nulové, se nazývá nulová matice a značí se O. Definice (jednotková matice) Čtvercová matice řádu n, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly, se nazývá jednotková matice řádu n. Značí se I nebo I n. Definice (diagonální matice) Čtvercová matice, která má všechny prvky kromě hlavní diagonály rovny nule, se nazývá diagonální matice. Příklad (nulová, jednotková a diagonální matice) O = ( ) 0 0 0, I = ( ) 1 0, I = , A = Definice (transponovaná matice) Matice transponovaná k matici A = (a ij ) typu (m, n) je matice A T = (a ji ) typu (n, m), která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce v témže pořadí. Příklad (transponovaná matice) A = , A T = Definice (symetrická matice) Matice A se nazývá symetrická matice, platí-li A T = A. Příklad (symetrická matice) B = , B T =

12 Operace s maticemi Definice (rovnost dvou matic) Dvě matice A, B stejného typu (m, n) si jsou rovny, mají-li všechny odpovídající prvky stejné, tj. a ij = b ij pro všechna i, j (i = 1,..., m, j = 1,..., n). Píšeme A = B. Definice (součet matic) Součtem matic A a B stejného typu (m, n) rozumíme matici C typu (m, n), pro jejíž prvky platí c ij = a ij + b ij pro všechna i, j. Píšeme C = A + B. Příklad (součet matic) Mějme matice A = , B = , C = A + B = = = , součet A + C nelze určit, protože matice A a C nejsou stejného typu

13 Definice (násobení matice reálným číslem) Součinem reálného čísla α a matice A typu (m, n) rozumíme matici B typu (m, n), pro jejíž prvky platí b ij = α a ij pro všechna i, j. Píšeme B = αa. Poznámka (rozdíl matic) Rozdílem matic A, B rozumíme matici A B = A + ( 1)B. Příklad (rozdíl matic, násobení matice reálným číslem) Mějme matice A = ( ) ( 3 1 1, B = ). 3A 2B = = ( ( 1) ( ) ) ( 2 ( 3) ( 1) 2 1 ) ( = ( ), ) O 2I 3 = =

14 Věta (sčítání matic) Pro sčítání matic platí A + B = B + A zákon komutativní (A + B) + C = A + (B + C) zákon asociativní A + O = O + A = A existence nulové matice A + ( A) = ( A) + A = O existence opačné matice ( A) k matici A Věta (násobení matic reálným číslem) Pro násobení matic reálným číslem platí α A = A α zákon komutativní α 1 (α 2 A) = (α 1 α 2 ) A = α 1 α 2 A zákon asociativní (α 1 + α 2 ) A = α 1 A + α 2 A zákon distributivní α (A + B) = α A + α B zákon distributivní Násobení matic Definice (násobení matic) Necht matice A je typu (m, n) a matice B je typu (n, p). Součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici C typu (m, p), pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj pro i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., p. Píšeme C = A B (resp. C = AB). Poznámka (násobení matic) Součin A B lze slovně charakterizovat řádek krát sloupec. Řádky matice A násobíme (skalárním součinem) sloupci matice B. Prvek c ij matice C se rovná skalárnímu součinu i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Počet sloupců první matice A se musí rovnat počtu řádků druhé matice B! Pro násobení matic neplatí komutativní zákon: obecně A B B A. Existuje-li součin A B, nemusí součin B A existovat. Chceme-li zdůraznit pořadí matic v součinu A B, říkáme, že matici A násobíme zprava maticí B nebo, že matici B násobíme zleva maticí A.

15 Příklad (násobení matic) Mějme matice A = , B = A B = = = B A = není definován Věta Pro násobení matic platí A(BC) = (AB)C zákon asociativní (A + B)C = AC + BC zákon distributivní zprava A(B + C) = AB + AC α(ab) = (αa)b = A(αB) Poznámka zákon distributivní zleva pro libovolné α R Protože pro součin matic neplatí komutativní zákon, rozlišujeme dva distributivní zákony pro násobení maticí zprava a zleva. Stejně tak musíme rozlišovat mezi vytýkáním matice doprava a doleva. Definice (k-tá mocnina matice) Součin A A A A (k-krát) označme A k a nazveme jej k-tou mocninou matice A.

16 Příklad (násobení matic) Pro A = ( ) je A 2 = A A = ( ) ( ) = ( ) Věta (vlastnost jednotkové matice) Pro čtvercovou matici A a jednotkovou matici I stejného řádu platí AI = I A = A. Příklad (vlastnost jednotkové matice) ( ) ( AI = ( ) ( I A = ) ( 2 3 = 4 5 ) ( 2 3 = 4 5 ) = A ) = A Hodnost matice Definice (hodnost matice) Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A značíme h(a). Poznámka (hodnost matice) Matice A má hodnost h(a) = k, jestliže mezi řádky této matice existuje k lineárně nezávislých řádků, ale každých k + 1 řádků matice je již lineárně závislých. Příklad (hodnost matice) Matice vektory a = (1, 2, 1), má hodnost 2, protože b = (0, 3, 1) jsou lineárně nezávislé, ale vektory a = (1, 2, 1), b = (0, 3, 1), c = (2, 4, 2) jsou lineárně závislé, nebot c = 2 a.

17 Definice (schodovitý tvar matice) Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek. Příklad (schodovitý tvar matice) Matice ve schodovitém tvaru , Matice, která není ve schodovitém tvaru Věta (hodnost matice ve schodovitém tvaru) Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru, je rovna počtu nenulových řádků této matice. Příklad (hodnost matice ve schodovitém tvaru) Mějme matice A = , B = Matice A má hodnost h(a) = 3. Matice B má hodnost h(b) = 4.

18 Ekvivalentní řádkové úpravy Definice (ekvivalentní řádkové úpravy) Následující úpravy se nazývají ekvivalentní řádkové úpravy: 1 záměna pořadí řádků, 2 vynásobení řádku nenulovým číslem, 3 přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku, 4 vynechání nulového řádku, 5 vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku. Definice (ekvivalentní matice) Matice A, B nazveme ekvivalentní a značíme A B, jestliže matici A lze převést na matici B konečným počtem ekvivaletních řádkových úprav. Věta Ekvivalentní řádkové úpravy zachovávají hodnost matice. Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Věta Libovolnou nenulovou matici lze konečným počtem ekvivalentních řádkových úprav převést na matici ve schodovitém tvaru. Poznámka (určení hodnosti matice) Při určování hodnosti matice, převedeme danou matici pomocí ekvivalentních řádkových úprav na schodovitý tvar. Hodnost původní matice se potom rovná počtu nenulových řádků matice ve schodovitém tvaru. Poznámka (kĺıčový prvek) Kĺıčovým prvkem rozumíme nenulový prvek matice, pomocí něhož ekvivalentními řádkovými úpravami vytváříme ve sloupci pod ním nuly. Řádek a sloupec obsahující kĺıčový prvek se nazývají kĺıčový řádek a kĺıčový sloupec.

19 Úprava matice do schodovitého tvaru Postup úpravy matice do schodovitého tvaru 1 Začneme s nenulovým sloupcem nejvíce vlevo, tzv. kĺıčový sloupec. V tomto sloupci vybereme nenulový prvek, tzv. kĺıčový prvek. Výhodné je za kĺıčový prvek zvolit číslo 1 nebo 1. 2 Kĺıčový řádek přemístíme pomocí záměny řádků na pozici prvního řádku v matici. 3 Pomocí ekvivalentních řádkových úprav vytvoříme pod kĺıčovým prvkem nuly - vhodné násobky kĺıčového řádku přičteme ke vhodným násobkům řádků pod ním. Vznikne-li nulový řádek nebo řádek, který je násobkem jiného řádku, vynecháme ho. 4 Úpravy 1 3 použijeme znovu na podmatici, která vznikne z původní matice vynecháním kĺıčového řádku. 5 Postup opakujeme tak dlouho, až dostaneme matici ve schodovitém tvaru. Příklad (hodnost matice) Učete hodnost matice A Ekvivalentní matice ve schodovitém tvaru má tři nenulové řádky, proto hodnost matice A je h(a) =

20 Věta Transponování matice nemění její hodnost, tj. pro libovolnou matici A platí Poznámka (hodnost matice) h(a) = h(a T ). Všechny uvedené ekvivalentní řádkové úpravy můžeme provádět nejen s řádky, ale i se sloupci, a to aniž by se tím změnila hodnost matice. Hodnost matice lze chápat také jako maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice. Poznámka Má-li matice A typu (m, n) hodnost h(a) = k, pak zřejmě platí k min{m, n}. Lineární závislost, nezávislost vektorů pomocí hodnosti Poznámka (lineární závislost a nezávislost vektorů) O lineární závislosti či nezávislosti vektorů můžeme rozhodnout pomocí hodnosti matice. Mějme m vektorů stejného rozměru n. Tyto vektory zapíšeme do matice A tak, že její řádky budou tvořit dané vektory. Dostaneme matici A typu (m, n). Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud h(a) = m, lineárně závislé, pokud h(a) < m. Příklad (lineární závislost a nezávislost vektorů) Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů a = (0, 0, 2, 1, 2), b = (3, 4, 5, 0, 1), c = (0, 1, 3, 2, 2), d = (0, 0, 0, 4, 3) A = Hodnost matice A je h(a) = 4, proto jsou vektory lineárně nezávislé.

21 Příklad (lineární závislost a nezávislost vektorů) Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů a = (2, 5, 1, 2, 2), b = (2, 1, 1, 2, 3), c = (3, 2, 1, 1, 2), d = (3, 1, 0, 1, 2) Hodnost matice A je h(a) = 3, proto jsou vektory lineárně závislé.