Teorie elektromagnetického pole Laboratorní úlohy Martin Bruchanov 31. května 24 1. Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek 1.1. Vlastní indukčnost cívky Naměřené hodnoty Napětí na primární cívce U 1 = 4,423 V Proud tekoucí primární cívkou I 1 = 9,55 ma Kmitočet napětí U 1 f = 1 Hz Indukčnost primární cívky L 1 1.2. Vzájemná indukčnost obou cívek Naměřené hodnoty L 1 = U 1 I 1 ω = 4,423 9,55 1 3 = 7,77 mh 2π 1 Napětí indukované na sekundární cívce U 2 =,595 V Vzájemná indukčnost M 12 M 12 = U 2 I 1 ω =,595 9,55 1 3 = 1,5 mh 2π 1 1.3. Závislost vzájemné indukčnosti cívek na úhlu natočení mezi primární a sekundární cívkou Naměřené hodnoty α [ ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 U 2 [V],595,584,556,59,44,373,28,217,13,25 M 12 [mh] 1,46 1,26,977,895,773,656,492,381,228,44 1
1,2 Graf závislosti M 12 = f(α) Vzájemná indukčnost M [mh] 1,,8,6,4,2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Úhel natočení α [ ] 1.4. Vzájemná indukčnost 1.4.1. Vzájemná indukčnost změřená pomocí můstku Naměřené hodnoty Indukčnost primární cívky L 1 = 7,71 mh Indukčnost sekundární cívky L 2 = 6,62 mh Indukčnost obou cívek zapojených v sérii při souhlasném směru vynutí L = L 1 + L 2 + 2M 12 = 16,45 mh Indukčnost obou cívek zapojených v sérii při nesouhlasném směru vynutí L = L 1 + L 2 2M 12 = 12,25 mh Výpočet vzájemné indukčnosti M 12 M 12 = L L 4 = 16,45 12,25 4 = 1,5 mh 1.4.2. Výpočet vzájemné indukčnosti Vypočet vzájemné indukčnosti mezi cívkami za předpokladu, že magnetické pole je po celé ploše sekundární cívky konstantní a je rovno magnetickému poli uprostěd primární cívky. Primární cívku považujeme při tomto výpočtu za elementární závit (tloušťka a výška cívky je zanedbatelná vůči poloměru cívky). Permeabilita vakua µ = 4π 1 7 N A 2 Počet závitů primární cívky N 1 = 1 Střední poloměr primární cívky r 1 =,155 m 2
Počet závitů sekundární cívky N 2 = 16 Střední poloměr sekundární cívky r 2 =,688 m Vzájemná indukčnost M 12 M 12 N 1 N 2 = µ πr 2 7 1 16 2 = 4π 1 2r 1 2,155 π,6882 =,9645 mh 1.4.3. Srovnání naměřených a vypočítáných hodnot Rozdíl mezi hodnotami M 12 a M 12 δ δ M = M 12 M 12 M 12 1 = 1,5,9645 1 = 8 % 1,5 Rozdíl 8 % mezi teoretickou hodnotou, symbolicky vypočítanou díky značnému zjednodušení problému, oproti naměřené hodnotě lze považovat za dobrý. 2. Měření magnetického pole dlouhého solenoidu 2.1. Ocejchování sondy Průměr sondy S = 1,32 cm 2 Počet závitů N = 79 Indukované napětí U i = 24,8 V Proud procházející primární cívkou I =,443 A Měření provedeno uprostřed x = 68 cm Délka solenoidu l = 12 cm Počet závitů solenoidu N 2 = 79 Průuměr solenoidu 2a = 9 cm Intenzita magnetického pole H v místě x: H = N 2I h Konstanta posuvné sondy K = 164,443 1,2 = 65,4 A m 1 K = H U i = 65,4A m 1 24,8 mv = 24,91 A m 1 mv 1 3
2.2. Naměřená data V následujícím měřením bylo použito toto značení: x vzdálenost sondy od okraje solenoidu z vzdálenost sondy od středu vynutí U I indukované napětí v místě x H intenzita elektromagnetického pole určená pomocí konstanty posuvné sondy K = 24,91 A m 1 mv 1 ze vztahu: H = U I K H(z) teoretická hodnota intenzity elmag. pole pro měřený případ: H(z) = NI 2h h 2 a z h + 2 + z 2 + ( h2 z)2 a 2 + ( h 2 + z)2 δ odchylka H vztažená k hodnotě H (z = ) naměřené uprostřed solenoidu δ = H H H 1 δ H(z) odchylka naměřené hodnoty H od teoretické hodnoty intenzity H(z) δ H(z) = H H(z) 1 H(z) 4
2.2.1. Měření pro délku h = 12 cm Proud protékající cívkou I =,443 A Indukčnost L zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L = NH I µ πr 2 = 164 65,43 µ π,45 2 = 17,92 mh,443 Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: z 1 cm x z U I H H(z) δ δ H(z) [cm] [cm] [mv] [A m 1 ] [A m 1 ] [%] [%] 68 24,8 65,43 63,74,,28 58 1 24,11 66,19 63,59,12,43 48 2 23,48 59,35 63,6 2,49 2,11 28 4 23,6 593,36 597,74 1,99,73 18 5 22,96 577,27 578,52 4,65,22 13 55 21,1 53,51 527,49 12,38,57 11 57 19, 477,71 47,41 21,1 1,55 1 58 17,2 432,45 425,44 28,57 1,65 9 59 15,27 383,93 368,17 36,59 4,28 8 6 12,49 314,3 32,5 48,13 3,81 5 63 5,63 141,55 134,6 76,62 5,17 68 1,75 44, 38,69 92,73 13,73 8 7 Naměřená hodnota Teoretická hodnota 6 5 4 3 2 1 8 6 4 2 2 4 6 8 5
2.2.2. Měření pro délku h = 6 cm Proud protékající cívkou I =,86 A Indukčnost zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L = 8,59 mh Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: z 15 cm x z U I H H(z) δ δ H(z) [cm] [cm] [mv] [A m 1 ] [A m 1 ] [%] [%] 68 3 24,96 627,56 586,2 44,29 7,9 66 28 33,87 851,58 824,58 24,4 3,27 64 26 39,25 986,85 976,2 12,39 1,9 62 24 42, 155,99 155,77 6,25,2 6 22 43,42 191,69 197,67 3,8,55 58 2 44,57 112,6 1121,21,51,5 48 1 45,5 1143,99 1157,32 1,56 1,15 38 44,8 1126,39 1162,33, 3,9 28 1 45, 1131,42 1157,32,45 2,24 23 15 44,88 1128,4 1147,63,18 1,68 18 2 43,9 113,76 1121,21 2,1 1,56 15 23 42,4 166,5 179,89 5,36 1,28 13 25 4,3 16,46 122,52 1,65 1,57 1 28 32,27 811,35 824,58 27,97 1,6 8 3 24,54 617, 586,2 45,22 5,29 14 12 Naměřená hodnota Teoretická hodnota 1 8 6 4 2 3 2 1 1 2 3 6
2.2.3. Měření pro délku h = 3 cm Proud protékající cívkou I = 1,625 A Indukčnost zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L = 4,18 mh Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: z 5 cm x z U I H H(z) δ δ H(z) [cm] [cm] [mv] [A m 1 ] [A m 1 ] [%] [%] 38 15 42,1 158,5 198,13 48,88 3,61 36 13 5,59 1271,96 1547,33 38,57 17,8 34 11 7,81 178,35 1831,87 14,1 2,81 32 9 76,85 1932,21 1979,73 6,68 2,4 3 7 79,91 29,14 255,7 2,96 2,26 28 5 81,5 237,81 295,95 1,58 2,77 26 3 81,6 238,6 2116,98 1,57 3,73 24 1 82,35 27,49 2126,9, 2,62 22 1 82,86 283,31 2126,9,62 2,1 2 3 82,45 273,1 2116,98,12 2,8 18 5 81,88 258,67 295,95,57 1,78 16 7 8,2 216,43 255,7 2,61 1,91 14 9 77,32 1944,2 1979,73 6,11 1,8 12 11 71,84 186,24 1831,87 12,76 1,4 11 12 67,32 1692,6 1711,26 18,25 1,9 1 13 62,1 1561,35 1547,33 24,59,91 9 14 54,49 137,2 1338,17 33,83 2,38 8 15 45,47 1143,23 198,13 44,78 4,11 25 Naměřená hodnota Teoretická hodnota 2 15 1 5 15 1 5 5 1 15 7
2.2.4. Měření pro délku h = 15 cm Proud protékající cívkou I = 2,887 A Indukčnost zjistěná z intenzity H uprostřed cívky L =,66 mh Inverval, v nímž je intenzita H v dovolené odchylce δ 1 % od hodnoty uprostřed solenoidu: z 1,5 cm x z U I H H(z) δ δ H(z) [cm] [cm] [mv] [A m 1 ] [A m 1 ] [%] [%] 23 7,5 75,41 1896 1889,58 43,41,34 22 6,5 91,58 232,56 236,1 31,27,15 21 5,5 15,24 2646,1 2665,48 21,2,73 2 4,5 116,3 2924,8 2941,48 12,72,59 19 3,5 123,56 316,62 3136,55 7,27,95 18 2,5 128,67 3235,1 3265,38 3,44,93 17 1,5 131,52 336,75 3342,74 1,3 1,8 16,5 133,25 335,25 3378,89,,85 15,5 132,85 334,19 3378,89,3 1,15 14 1,5 132,51 3331,64 3342,74,56,33 13 2,5 129,7 326,99 3265,38 2,66,13 12 3,5 124,65 3134,2 3136,55 6,45,8 11 4,5 117,32 2949,73 2941,48 11,95,28 1 5,5 17,38 2699,81 2665,48 19,41 1,29 9 6,5 94,29 237,69 236,1 29,24 2,8 8 7,5 79,32 1994,31 1889,58 4,47 5,54 35 3 25 2 15 1 5 Naměřená hodnota Teoretická hodnota 8 6 4 2 2 4 6 8 8
2.3. Závěr 2.3.1. Změřené průběhy intenzity ve společném grafu 35 3 25 2 15 1 h = 12 cm h = 6 cm h = 3 cm h = 15 cm 5 8 6 4 2 2 4 6 8 Na grafech je vidět, že čím delší solenoid je, tím je maximum intenzity magnetického pole plošší a charakter pole vykazuje větší homogenitu. Průměrná odchylka δ H(z) mezi naměřenou a teoretickou hodnotou má hodnotu přibližně 1,5 %. 9