Algebraické struktury s jednou binární operací

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Algebraické struktury s jednou binární operací"

Transkript

1 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte počkat. Nejprve krátké opakování ze střední školy. Pamatujete na kartézský součin množin? Definice 1.1. (Kartézský součin) Kartézským součinem množiny A a B nazveme množinu A B = {(a, b) a A, b B}. To jest, jde o množinu všech uspořádaných dvojic, kde první z dvojice je prvkem z množiny A a druhý je prvkem z množiny B. Pár příkladů: Jestliže A = {1, 2} a B = {1, 3, 5}, pak A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5)}. Jestliže A = {prasátko, } a B = {Lojzík, 3}, pak ale A B = {(prasátko, Lojzík), (prasátko, 3), (, Lojzík), (, 3)}, B A = {(Lojzík, prasátko), (3, prasátko), (Lojzík, ), (3, )}, Z tohoto příkladu plyne, že A B nemusí být vždy totéž jako B A. U kartézského součinu záleží na pořadí!

2 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 17 Jestliže A = {1, 2} a B = {1, 2}, pak A B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = B A. V případě, že A = B platí A B = B A = A A. Nyní si vzpomeňme na základní školu a na sčítání přirozených čísel. Jak se sčítají? Jednoduše, nějaké dvě čísla vezmu, kupříkladu 1 a 1 a jako jejich součet mi vyjde číslo 2. Obdobně součin dvou reálných čísel. Nasypu do něj třeba čísla 2 a 3 a vypadne číslo 6. Obecně, zobrazení, které každé uspořádané dvojici prvků z množiny A (což je prvek kartézského součinu A A) přiřadí nějaký prvek z A, nazýváme binární operací na množině A. Definice 1.2. (Binární operace) Binární operací na množině A nazveme každé zobrazení : A A A. Hodnotu (a, b) budeme dále značit a b (tak jak jsme zvyklí, nepíšeme +(2, 3), ale 2 + 3). Ekvivalentní formulace: Binární operací na množině A nazveme každé zobrazení definované na množině A A takové, že a, b A : a b A. (Říkáme, že zobrazení je uzavřené na množině A - hodnota a b neunikne z množiny A, ale zůstane v ní.) Pokud bude jasné, že máme na mysli binární operaci, budeme mluvit pouze o operaci. Dodejme, že zobrazení : A A A A nazýváme ternární operací na A, zobrazení : A A nazýváme unární operací na A a obecně zobrazení nazýváme n-ární operací na A. : A A... A n - krát A Příklad 1.3. Rozhodněte, zda je zobrazení binární operací na množině A. je obvyklé násobení reálných čísel, A = R. Násobení reálných čísel je definováno tak, že každé dvojici reálných čísel přiřadí jejich součin, což je opět reálné číslo. Proto jde o zobrazení z R R do R. Podle Definice 1.2 to znamená, že jde o binární operaci na množině reálných čísel.

3 18 Algebraické struktury s jednou binární operací je restrikce násobení reálných čísel na množinu iracionálních čísel I, A = I. je tedy zobrazení, které funguje stejně jako násobení reálných čísel, ale omezíme se pouze na násobení iracionálních čísel. Vezměme příklad: 2 I 2 I = 2 / I. Vynásobili jsme dvě iracionální čísla, ale jejich součin již iracionální číslo není! Proto není operací na I (Nejde o zobrazení z I I do I). je restrikce sčítání přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel A = {2k 1 k N}. Sečteme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde číslo sudé, proto není operací na A. je restrikce násobení přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel A = {2k 1 k N}. Vynásobíme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde opět číslo liché. Podmínka uzavřenosti zobrazení na A je splněna. Proto je binární operací na A. Množinu A, na níž je definována nějaká operace (označit ji můžeme různě,, *, +,.,... ) budeme říkat grupoid. Přesněji řečeno, budeme tak nazývat uspořádanou dvojici, která sestává z této množiny a této operace. Definice 1.4. (Grupoid) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je binární operace nazýváme grupoid. Známých grupoidů je mnoho, například: (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání, (F, +), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (F, ), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a je jejich skládání, (M (n,n), ), kde M (n,n) je množina čtvercových matic reálných čísel o n řádcích a je jejich obvyklé násobení.

4 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 19 Z výše uvedeného (Příklad 1.3) je patrné, že například množina iracionálních čísel spolu s jejich obvyklým násobením grupoid netvoří, neboť součin dvou iracionálních čísel již nemusí být iracionální číslo. Grupoid, jehož operace je asociativní budeme nazývat pologrupou. Definice 1.5. (Pologrupa) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (tzn. (A, ) je grupoid ) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, ( je asociativní) nazýváme pologrupou. Všechny výše uvedené příklady grupoidů jsou také příklady pologrup, neboť sčítání celých čísel je asociativní. Například platí: (1 + 2) + 5 = = 8 = = 1 + (2 + 5), Sčítání čtvercových matic reálných čísel je asociativní.například platí: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( = ) sčítání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Například platí: (x 2 + x) + x = x 2 + 2x = x 2 + (x + x), skládání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Uvažujme například funkce dané předpisy f : f(x) = x+1, g : g(x) = 2x a h : h(x) = sin x. Potom Funkce f (g h) zobrazuje dle následujícího schématu: ( ) x h sin x g f 2 sin x 2 sin x + 1 To jest, (f (g h)) (x) = 2 sin x + 1 Funkce (f g) h zobrazuje dle následujícího schématu: ( ) x h g sin x 2 sin x f 2 sin x + 1 To jest, ((f g) h) (x) = 2 sin x + 1 Ještě uvedeme příklad grupoidu, který není pologrupou. Podle definice pologrupy tedy půjde o grupoid, jehož operace není asociativní.

5 20 Algebraické struktury s jednou binární operací Příklad 1.6. Uvažujme grupoid (A, *), kde A = {1, 2, 3} N a operace * je dána následující tabulkou: * Podle této tabulky určíme, že ale 1 * (2 * 3) = 1 * 1 = 2, (1 * 2) * 3 = 3 * 3 = 1. Vidíme, že 1 * (2 * 3) (1 * 2) * 3. Operace * proto není asociativní a grupoid (A, *) tak není pologrupou. Vzpomeňme na násobení reálných čísel. Násobíme-li libovolné reálné číslo a číslem 1, obdržíme opět číslo a. Říkáme, že číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k násobení reálných čísel. Přičteme-li k libovolnému reálnému číslu a číslo 0, obdržíme opět číslo a. Říkáme, že číslo 0 je neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání reálných čísel. Podobně u matic, neutrálním prvkem vzhledem k násobení je jednotková matice a vzhledem ke sčítání je to nulová matice. Definice 1.7. (Neutrální prvek) Nechť je operace na množině A. Prvek e A nazveme neutrálním prvkem vzhledem k operaci právě když a A : a e = e a = a. Pologrupu, v níž existuje nějaký neutrální prvek, nazýváme monoid. Definice 1.8. (Monoid) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (uzavřenost) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, (asociativnost) 3.) e A a A : a e = e a = a, (existence neutrálního prvku) nazýváme monoid. Při pohledu na definici monoidu by mohlo leckoho napadnout, proč v bodu 3.) vystupuje a e i e a. Vždyť je to totéž, ne? Ne, nemusí být! Záleží na operaci. Třeba sčítání reálných čísel komutativní je, pro každé dvě reálná čísla a

6 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 21 a e opravdu platí a + e = e + a. Ale symbol může představovat třeba násobení matic, a to komutativní není. Obecně pro dvě matice A a E (byť třeba čtvercové a o stejném počtu řádků) neplatí, že A E = E A. Algebraickou strukturu, jejíž operace je komutativní častujeme přídomkem Abelova. Mluvíme tak o Abelově grupoidu, Abelově pologrupě, Abelově monoidu, či grupě. Ale vraťme se k monoidům. Pár příkladů: (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání. (Z, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je celé číslo 0 Z (a + 0 = 0 + a = a) a + je komutativní operace. (M (n,n), ), kde M (n,n) je množina čtvercových matic reálných čísel o n řádcích a je jejich obvyklé násobení. (M (n,n), ) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je jednotková matice E (A E = E A = A). Ale není to Abelův monoid, protože není komutativní operace. (F, +), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (F, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je funkce o daná předpisem x R : o(x) = 0 R a jejich obvyklé sčítání je komutativní. (F, ), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a je jejich skládání, (F, ) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je identita, to jest funkce id daná předpisem x R : id(x) = x. Ale není to Abelův monoid, protože skládání funkcí není komutativní operace. Uvažujme algebraickou strukturu (A, *), kde A = {1, 2, 3} N a operace * je dána následující tabulkou: * Z této tabulky je vidět, že:

7 22 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.) Operace * je uzavřená na množině A = {1, 2, 3} (v tabulce se neobjevilo nic jiného, než 1, 2, nebo 3). 2.) Operace * je asociativní, neboť (pro stručnost uvedeme jen 3 z 27 možností, které je třeba prověřit): (1 * 1) *1 3 2 (1 * 1) *2 3 3 (3 * 3) *3 1 2 = 1 * (1 * 1) 3 2 = 1 * (1 * 2) 1 3. = 3 * (3 * 3) ) Neutrálním prvkem vzhledem k operaci * je prvek 2, neboť: 1 * 2 = 2 * 1 = 1 2 * 2 = 2 * 2 = 2 3 * 2 = 2 * 3 = 3 Můžeme proto tvrdit, že algebraická struktura (A, *) je monoid. Navíc vidíme, že tabulka je symetrická podle diagonály. To je neklamným znakem toho, že * je operace komutativní. Proto si můžeme dovolit ještě silnější tvrzení, a to, že (A, *) je Abelův monoid. Vyvstává otázka. Může býti v monoidu i více neutrálních prvků? Odpověď je jednoduchá. Ne! Věta 1.9. (O jednoznačnosti neutrálního prvku) Nechť (A, ) je monoid. Potom v A existuje jediný neutrální prvek vzhledem k operaci. Důkaz. Předpokládejme, že e 1 A a také e 2 A je neutrální prvek vzhledem k operaci. Potom e 1 = e 1 e 2 = e 2. Znemená to, že neexistují dva různé neutrální prvky vzhledem k operaci.

8 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 23 Zavedeme další pojem. Opět vzpomeňme na násobení reálných čísel. Kterým číslem je třeba vynásobit číslo 2 tak, aby vyšlo číslo 1 (neutrální prvek)? Ano správně, jednou polovinou. Analogie pro sčítání reálných čísel je následující. Které číslo je třeba přičíst k číslu 2 tak, aby vyšlo číslo 0 (neutrální prvek při sčítání)? Jistě, bude to číslo 2. Říkáme, že jedna polovina je inverzním prvkem čísla 2 vzhledem k násobení reálných čísel. Číslo 2 je zase inverzním prvkem k číslu 2 vzhledem ke sčítání reálných čísel. Definice (Inverzní prvek) Nechť je operace na množině A a e je neutrální prvek vzhledem k operaci. Prvkem inverzním k prvku a A vzhledem k operaci nazveme každý prvek a 1 A takový, že a a 1 = a 1 a = e. Všimněme si, že ne každé reálné číslo má inverzní prvek vzhledem k násobení (inverze k nule neexistuje), ale každé reálné číslo má svůj inverzní prvek vzhledem ke sčítání. Monoid, kde každý prvek má svůj inverzní prvek budeme nazývat grupou. Prvek inverzní k prvku a budeme označovat a 1. Definice (Grupa) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (uzavřenost) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, (asociativnost) 3.) e A a A : a e = e a = a, (existence neutrálního prvku) 4.) a A a 1 A : a a 1 = a 1 a = e, (existence inverzních prvků) nazýváme grupa. Grupa je speciálním případem monoidu. Víme proto, že v ní existuje pouze jediný neutrální prvek (Věta 1.9). Jak je to ale s inverzními prvky? Může mít daný prvek více prvků inverzních? V grupě ne! Věta (O jednoznačnosti inverzního prvku) Nechť (A, ) je grupa. Potom v A existuje ke každému prvku právě jeden prvek inverzni. To jest, platí: a A! a 1 A : a a 1 = a 1 a = e, kde e je neutrální prvek vzhledem k operaci.

9 24 Algebraické struktury s jednou binární operací Důkaz. Předpokládejme, že a 1 1 a také a 1 2 jsou inverzní prvky k a vzhledem k operaci. (A, ) je grupa, proto operace je asociativní. A tak a 1 1 = a 1 1 e = a 1 1 (a a 1 e 2 ) = (a 1 1 a) a 1 2 = a 1 2. e Znamená to, že neexistují dva různé inverzní prvky k prvku a vzhledem k operaci. Věta Nechť (A, ) je grupa, a A. Potom platí: (a 1 ) 1 = a. To jest, inverzním prvkem k a 1 je a. Ještě jinak, prvek je inverzním prvkem ke svému inverznímu prvku. Důkaz. Důkaz plyne okamžitě z definice inverzního prvku (Definice 1.10). Věta Nechť (A, ) je grupa, a 1, a 2,..., a n A. Potom platí: (a 1 a 2 a n ) 1 = a 1 n a 1 2 a 1 1. Důkaz. Tvrzení věty plyne z asociativity operace ((A, ) je grupa!): (a 1 a 2 a n ) (a 1 n a 1 2 a 1 1 ) = e = (a 1 a 2 a n 1 ) (a 1 e. n 1 a 1 2 a 1 1 ) = = (a 1 a 2 ) (a 1 2 a 1 1 ) = e = a 1 a 1 1 = e. Obdobně se dá ukázat, že (a 1 n a 1 2 a 1 1 ) (a 1 a 2 a n ) = e.

10 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 25 Značení Pro jednoduchost zápisu zavedeme následující značení. Nechť (A, ) je grupa, a A a n N. Potom prvek a a a budeme označovat n krát symbolem a n. Prvek a 1 a 1 a 1 budeme označovat symbolem a n. n krát To jest, a n = a a a n krát a a n = a 1 a 1 a 1. n krát Neutrální prvek v grupě (A, ) budeme označovat symbolem a 0. S využitím zavedeného značení zformulujeme přímý důsledek Věty Věta Nechť (A, ) je grupa, a A. Potom: 1. n N : (a n ) 1 = (a) n. 2. m, n Z : a m a n = (a) m+n. Důkaz. První tvrzení je tvrzením Věty 1.14 pro případ a 1 = a 2 = = a n. Tvrzení druhé pak okamžitě plyne z tvrzení prvního a zavedeného značení. Věta (O krácení v grupě) Nechť (A, ) je grupa. Potom pro každé a, b, c G platí: (a c = b c) (a = b) Důkaz. (A, ) je grupa, proto existuje c 1, a operace je asociativní. Předpokládejme, že a c = b c a e je neutrální prvek v (A, ). Odtud: a = a e = a (c c 1 ) = (a c) c 1 = (b c) c 1 = b (c c 1 ) = b e = b. Poznámka Často se místo symbolu pro operaci v grupě používá symbol +, nebo (ať už představují jakékoli operace). V takovém případě se poněkud liší symbolika při použití operace + a při použití (odpovídá tomu, jak jsme zvyklí tyto operace zapisovat u reálných čísel):

11 26 Algebraické struktury s jednou binární operací aditivní zápis: multiplikativní zápis: a + a + + a n krát a a a n krát = na = a n Při použití symbolu + mluvíme o aditivní grupě (G, +), při použití symbolu mluvíme o multiplikativní grupě (G, ). V aditivní grupě nazýváme neutrální prvek nulovým prvkem, v multiplikativní grupě nazýváme neutrální prvek jednotkovým prvkem Cvičení Rozhodněte, zda (A, ) tvoří grupu. 1.) A = N a je obvyklé sčítání přirozených čísel. 2.) A = Z a je obvyklé sčítání celých čísel. 3.) A = Q a je obvyklé sčítání racionálních čísel. 4.) A = I a je obvyklé sčítání iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I). 5.) A = N a je obvyklé násobení přirozených čísel. 6.) A = Z a je obvyklé násobení celých čísel. 7.) A = Q a je obvyklé násobení racionálních čísel. 8.) A = Q {0} a je restrikce obvyklého násobení racionálních čísel na Q {0}. 9.) A = I {0} a je obvyklé násobení iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I {0}). 10.) A = {0, 1, 2} N a operace = + je dána následující tabulkou: ) A = {a + b 2 a, b Q, (a, b) (0, 0)} a je restrikce obvyklého násobení reálných čísel na množinu A.

12 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa ) A = R 2 2 je množina čtvercových matic reálných čísel o dvou řádcích a dvou sloupcích a je obvyklé násobení matic. 13.) A = S n je množina permutací n-prvkové množiny a je skládání funkcí.

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Matematika pro informatiku 1

Matematika pro informatiku 1 Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje

Více

Polynomy v moderní algebře

Polynomy v moderní algebře Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Algebra II pro distanční studium

Algebra II pro distanční studium Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

2. Test 07/08 zimní semestr

2. Test 07/08 zimní semestr 2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010

Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou

Více

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Okruh Z m Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Minule: 1 Slepování prvků Z modulo m: množina Z m. 2 Operace na Z m : m (sčítání), m (násobení). 3 Speciální prvky: [0] m a [1] m. 4 Vlastnosti

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ

UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE Zdeněk Dušek studijní text Hradec Králové, 2014 2 Úvod Tento studijní text je určen jako opora k předmětům Algebra 1, Geometrie

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky

MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více