Algebraické struktury s jednou binární operací

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Algebraické struktury s jednou binární operací"

Transkript

1 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte počkat. Nejprve krátké opakování ze střední školy. Pamatujete na kartézský součin množin? Definice 1.1. (Kartézský součin) Kartézským součinem množiny A a B nazveme množinu A B = {(a, b) a A, b B}. To jest, jde o množinu všech uspořádaných dvojic, kde první z dvojice je prvkem z množiny A a druhý je prvkem z množiny B. Pár příkladů: Jestliže A = {1, 2} a B = {1, 3, 5}, pak A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5)}. Jestliže A = {prasátko, } a B = {Lojzík, 3}, pak ale A B = {(prasátko, Lojzík), (prasátko, 3), (, Lojzík), (, 3)}, B A = {(Lojzík, prasátko), (3, prasátko), (Lojzík, ), (3, )}, Z tohoto příkladu plyne, že A B nemusí být vždy totéž jako B A. U kartézského součinu záleží na pořadí!

2 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 17 Jestliže A = {1, 2} a B = {1, 2}, pak A B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = B A. V případě, že A = B platí A B = B A = A A. Nyní si vzpomeňme na základní školu a na sčítání přirozených čísel. Jak se sčítají? Jednoduše, nějaké dvě čísla vezmu, kupříkladu 1 a 1 a jako jejich součet mi vyjde číslo 2. Obdobně součin dvou reálných čísel. Nasypu do něj třeba čísla 2 a 3 a vypadne číslo 6. Obecně, zobrazení, které každé uspořádané dvojici prvků z množiny A (což je prvek kartézského součinu A A) přiřadí nějaký prvek z A, nazýváme binární operací na množině A. Definice 1.2. (Binární operace) Binární operací na množině A nazveme každé zobrazení : A A A. Hodnotu (a, b) budeme dále značit a b (tak jak jsme zvyklí, nepíšeme +(2, 3), ale 2 + 3). Ekvivalentní formulace: Binární operací na množině A nazveme každé zobrazení definované na množině A A takové, že a, b A : a b A. (Říkáme, že zobrazení je uzavřené na množině A - hodnota a b neunikne z množiny A, ale zůstane v ní.) Pokud bude jasné, že máme na mysli binární operaci, budeme mluvit pouze o operaci. Dodejme, že zobrazení : A A A A nazýváme ternární operací na A, zobrazení : A A nazýváme unární operací na A a obecně zobrazení nazýváme n-ární operací na A. : A A... A n - krát A Příklad 1.3. Rozhodněte, zda je zobrazení binární operací na množině A. je obvyklé násobení reálných čísel, A = R. Násobení reálných čísel je definováno tak, že každé dvojici reálných čísel přiřadí jejich součin, což je opět reálné číslo. Proto jde o zobrazení z R R do R. Podle Definice 1.2 to znamená, že jde o binární operaci na množině reálných čísel.

3 18 Algebraické struktury s jednou binární operací je restrikce násobení reálných čísel na množinu iracionálních čísel I, A = I. je tedy zobrazení, které funguje stejně jako násobení reálných čísel, ale omezíme se pouze na násobení iracionálních čísel. Vezměme příklad: 2 I 2 I = 2 / I. Vynásobili jsme dvě iracionální čísla, ale jejich součin již iracionální číslo není! Proto není operací na I (Nejde o zobrazení z I I do I). je restrikce sčítání přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel A = {2k 1 k N}. Sečteme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde číslo sudé, proto není operací na A. je restrikce násobení přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel A = {2k 1 k N}. Vynásobíme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde opět číslo liché. Podmínka uzavřenosti zobrazení na A je splněna. Proto je binární operací na A. Množinu A, na níž je definována nějaká operace (označit ji můžeme různě,, *, +,.,... ) budeme říkat grupoid. Přesněji řečeno, budeme tak nazývat uspořádanou dvojici, která sestává z této množiny a této operace. Definice 1.4. (Grupoid) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je binární operace nazýváme grupoid. Známých grupoidů je mnoho, například: (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání, (F, +), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (F, ), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a je jejich skládání, (M (n,n), ), kde M (n,n) je množina čtvercových matic reálných čísel o n řádcích a je jejich obvyklé násobení.

4 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 19 Z výše uvedeného (Příklad 1.3) je patrné, že například množina iracionálních čísel spolu s jejich obvyklým násobením grupoid netvoří, neboť součin dvou iracionálních čísel již nemusí být iracionální číslo. Grupoid, jehož operace je asociativní budeme nazývat pologrupou. Definice 1.5. (Pologrupa) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (tzn. (A, ) je grupoid ) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, ( je asociativní) nazýváme pologrupou. Všechny výše uvedené příklady grupoidů jsou také příklady pologrup, neboť sčítání celých čísel je asociativní. Například platí: (1 + 2) + 5 = = 8 = = 1 + (2 + 5), Sčítání čtvercových matic reálných čísel je asociativní.například platí: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( = ) sčítání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Například platí: (x 2 + x) + x = x 2 + 2x = x 2 + (x + x), skládání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Uvažujme například funkce dané předpisy f : f(x) = x+1, g : g(x) = 2x a h : h(x) = sin x. Potom Funkce f (g h) zobrazuje dle následujícího schématu: ( ) x h sin x g f 2 sin x 2 sin x + 1 To jest, (f (g h)) (x) = 2 sin x + 1 Funkce (f g) h zobrazuje dle následujícího schématu: ( ) x h g sin x 2 sin x f 2 sin x + 1 To jest, ((f g) h) (x) = 2 sin x + 1 Ještě uvedeme příklad grupoidu, který není pologrupou. Podle definice pologrupy tedy půjde o grupoid, jehož operace není asociativní.

5 20 Algebraické struktury s jednou binární operací Příklad 1.6. Uvažujme grupoid (A, *), kde A = {1, 2, 3} N a operace * je dána následující tabulkou: * Podle této tabulky určíme, že ale 1 * (2 * 3) = 1 * 1 = 2, (1 * 2) * 3 = 3 * 3 = 1. Vidíme, že 1 * (2 * 3) (1 * 2) * 3. Operace * proto není asociativní a grupoid (A, *) tak není pologrupou. Vzpomeňme na násobení reálných čísel. Násobíme-li libovolné reálné číslo a číslem 1, obdržíme opět číslo a. Říkáme, že číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k násobení reálných čísel. Přičteme-li k libovolnému reálnému číslu a číslo 0, obdržíme opět číslo a. Říkáme, že číslo 0 je neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání reálných čísel. Podobně u matic, neutrálním prvkem vzhledem k násobení je jednotková matice a vzhledem ke sčítání je to nulová matice. Definice 1.7. (Neutrální prvek) Nechť je operace na množině A. Prvek e A nazveme neutrálním prvkem vzhledem k operaci právě když a A : a e = e a = a. Pologrupu, v níž existuje nějaký neutrální prvek, nazýváme monoid. Definice 1.8. (Monoid) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (uzavřenost) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, (asociativnost) 3.) e A a A : a e = e a = a, (existence neutrálního prvku) nazýváme monoid. Při pohledu na definici monoidu by mohlo leckoho napadnout, proč v bodu 3.) vystupuje a e i e a. Vždyť je to totéž, ne? Ne, nemusí být! Záleží na operaci. Třeba sčítání reálných čísel komutativní je, pro každé dvě reálná čísla a

6 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 21 a e opravdu platí a + e = e + a. Ale symbol může představovat třeba násobení matic, a to komutativní není. Obecně pro dvě matice A a E (byť třeba čtvercové a o stejném počtu řádků) neplatí, že A E = E A. Algebraickou strukturu, jejíž operace je komutativní častujeme přídomkem Abelova. Mluvíme tak o Abelově grupoidu, Abelově pologrupě, Abelově monoidu, či grupě. Ale vraťme se k monoidům. Pár příkladů: (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání. (Z, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je celé číslo 0 Z (a + 0 = 0 + a = a) a + je komutativní operace. (M (n,n), ), kde M (n,n) je množina čtvercových matic reálných čísel o n řádcích a je jejich obvyklé násobení. (M (n,n), ) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je jednotková matice E (A E = E A = A). Ale není to Abelův monoid, protože není komutativní operace. (F, +), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (F, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je funkce o daná předpisem x R : o(x) = 0 R a jejich obvyklé sčítání je komutativní. (F, ), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a je jejich skládání, (F, ) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je identita, to jest funkce id daná předpisem x R : id(x) = x. Ale není to Abelův monoid, protože skládání funkcí není komutativní operace. Uvažujme algebraickou strukturu (A, *), kde A = {1, 2, 3} N a operace * je dána následující tabulkou: * Z této tabulky je vidět, že:

7 22 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.) Operace * je uzavřená na množině A = {1, 2, 3} (v tabulce se neobjevilo nic jiného, než 1, 2, nebo 3). 2.) Operace * je asociativní, neboť (pro stručnost uvedeme jen 3 z 27 možností, které je třeba prověřit): (1 * 1) *1 3 2 (1 * 1) *2 3 3 (3 * 3) *3 1 2 = 1 * (1 * 1) 3 2 = 1 * (1 * 2) 1 3. = 3 * (3 * 3) ) Neutrálním prvkem vzhledem k operaci * je prvek 2, neboť: 1 * 2 = 2 * 1 = 1 2 * 2 = 2 * 2 = 2 3 * 2 = 2 * 3 = 3 Můžeme proto tvrdit, že algebraická struktura (A, *) je monoid. Navíc vidíme, že tabulka je symetrická podle diagonály. To je neklamným znakem toho, že * je operace komutativní. Proto si můžeme dovolit ještě silnější tvrzení, a to, že (A, *) je Abelův monoid. Vyvstává otázka. Může býti v monoidu i více neutrálních prvků? Odpověď je jednoduchá. Ne! Věta 1.9. (O jednoznačnosti neutrálního prvku) Nechť (A, ) je monoid. Potom v A existuje jediný neutrální prvek vzhledem k operaci. Důkaz. Předpokládejme, že e 1 A a také e 2 A je neutrální prvek vzhledem k operaci. Potom e 1 = e 1 e 2 = e 2. Znemená to, že neexistují dva různé neutrální prvky vzhledem k operaci.

8 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 23 Zavedeme další pojem. Opět vzpomeňme na násobení reálných čísel. Kterým číslem je třeba vynásobit číslo 2 tak, aby vyšlo číslo 1 (neutrální prvek)? Ano správně, jednou polovinou. Analogie pro sčítání reálných čísel je následující. Které číslo je třeba přičíst k číslu 2 tak, aby vyšlo číslo 0 (neutrální prvek při sčítání)? Jistě, bude to číslo 2. Říkáme, že jedna polovina je inverzním prvkem čísla 2 vzhledem k násobení reálných čísel. Číslo 2 je zase inverzním prvkem k číslu 2 vzhledem ke sčítání reálných čísel. Definice (Inverzní prvek) Nechť je operace na množině A a e je neutrální prvek vzhledem k operaci. Prvkem inverzním k prvku a A vzhledem k operaci nazveme každý prvek a 1 A takový, že a a 1 = a 1 a = e. Všimněme si, že ne každé reálné číslo má inverzní prvek vzhledem k násobení (inverze k nule neexistuje), ale každé reálné číslo má svůj inverzní prvek vzhledem ke sčítání. Monoid, kde každý prvek má svůj inverzní prvek budeme nazývat grupou. Prvek inverzní k prvku a budeme označovat a 1. Definice (Grupa) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (uzavřenost) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, (asociativnost) 3.) e A a A : a e = e a = a, (existence neutrálního prvku) 4.) a A a 1 A : a a 1 = a 1 a = e, (existence inverzních prvků) nazýváme grupa. Grupa je speciálním případem monoidu. Víme proto, že v ní existuje pouze jediný neutrální prvek (Věta 1.9). Jak je to ale s inverzními prvky? Může mít daný prvek více prvků inverzních? V grupě ne! Věta (O jednoznačnosti inverzního prvku) Nechť (A, ) je grupa. Potom v A existuje ke každému prvku právě jeden prvek inverzni. To jest, platí: a A! a 1 A : a a 1 = a 1 a = e, kde e je neutrální prvek vzhledem k operaci.

9 24 Algebraické struktury s jednou binární operací Důkaz. Předpokládejme, že a 1 1 a také a 1 2 jsou inverzní prvky k a vzhledem k operaci. (A, ) je grupa, proto operace je asociativní. A tak a 1 1 = a 1 1 e = a 1 1 (a a 1 e 2 ) = (a 1 1 a) a 1 2 = a 1 2. e Znamená to, že neexistují dva různé inverzní prvky k prvku a vzhledem k operaci. Věta Nechť (A, ) je grupa, a A. Potom platí: (a 1 ) 1 = a. To jest, inverzním prvkem k a 1 je a. Ještě jinak, prvek je inverzním prvkem ke svému inverznímu prvku. Důkaz. Důkaz plyne okamžitě z definice inverzního prvku (Definice 1.10). Věta Nechť (A, ) je grupa, a 1, a 2,..., a n A. Potom platí: (a 1 a 2 a n ) 1 = a 1 n a 1 2 a 1 1. Důkaz. Tvrzení věty plyne z asociativity operace ((A, ) je grupa!): (a 1 a 2 a n ) (a 1 n a 1 2 a 1 1 ) = e = (a 1 a 2 a n 1 ) (a 1 e. n 1 a 1 2 a 1 1 ) = = (a 1 a 2 ) (a 1 2 a 1 1 ) = e = a 1 a 1 1 = e. Obdobně se dá ukázat, že (a 1 n a 1 2 a 1 1 ) (a 1 a 2 a n ) = e.

10 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 25 Značení Pro jednoduchost zápisu zavedeme následující značení. Nechť (A, ) je grupa, a A a n N. Potom prvek a a a budeme označovat n krát symbolem a n. Prvek a 1 a 1 a 1 budeme označovat symbolem a n. n krát To jest, a n = a a a n krát a a n = a 1 a 1 a 1. n krát Neutrální prvek v grupě (A, ) budeme označovat symbolem a 0. S využitím zavedeného značení zformulujeme přímý důsledek Věty Věta Nechť (A, ) je grupa, a A. Potom: 1. n N : (a n ) 1 = (a) n. 2. m, n Z : a m a n = (a) m+n. Důkaz. První tvrzení je tvrzením Věty 1.14 pro případ a 1 = a 2 = = a n. Tvrzení druhé pak okamžitě plyne z tvrzení prvního a zavedeného značení. Věta (O krácení v grupě) Nechť (A, ) je grupa. Potom pro každé a, b, c G platí: (a c = b c) (a = b) Důkaz. (A, ) je grupa, proto existuje c 1, a operace je asociativní. Předpokládejme, že a c = b c a e je neutrální prvek v (A, ). Odtud: a = a e = a (c c 1 ) = (a c) c 1 = (b c) c 1 = b (c c 1 ) = b e = b. Poznámka Často se místo symbolu pro operaci v grupě používá symbol +, nebo (ať už představují jakékoli operace). V takovém případě se poněkud liší symbolika při použití operace + a při použití (odpovídá tomu, jak jsme zvyklí tyto operace zapisovat u reálných čísel):

11 26 Algebraické struktury s jednou binární operací aditivní zápis: multiplikativní zápis: a + a + + a n krát a a a n krát = na = a n Při použití symbolu + mluvíme o aditivní grupě (G, +), při použití symbolu mluvíme o multiplikativní grupě (G, ). V aditivní grupě nazýváme neutrální prvek nulovým prvkem, v multiplikativní grupě nazýváme neutrální prvek jednotkovým prvkem Cvičení Rozhodněte, zda (A, ) tvoří grupu. 1.) A = N a je obvyklé sčítání přirozených čísel. 2.) A = Z a je obvyklé sčítání celých čísel. 3.) A = Q a je obvyklé sčítání racionálních čísel. 4.) A = I a je obvyklé sčítání iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I). 5.) A = N a je obvyklé násobení přirozených čísel. 6.) A = Z a je obvyklé násobení celých čísel. 7.) A = Q a je obvyklé násobení racionálních čísel. 8.) A = Q {0} a je restrikce obvyklého násobení racionálních čísel na Q {0}. 9.) A = I {0} a je obvyklé násobení iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I {0}). 10.) A = {0, 1, 2} N a operace = + je dána následující tabulkou: ) A = {a + b 2 a, b Q, (a, b) (0, 0)} a je restrikce obvyklého násobení reálných čísel na množinu A.

12 Grupoid, pologrupa, monoid a grupa ) A = R 2 2 je množina čtvercových matic reálných čísel o dvou řádcích a dvou sloupcích a je obvyklé násobení matic. 13.) A = S n je množina permutací n-prvkové množiny a je skládání funkcí.

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Matematické základy šifrování a kódování

Matematické základy šifrování a kódování Matematické základy šifrování a kódování Permutace Pojem permutace patří mezi základní pojmy a nachází uplatnění v mnoha oblastech, např. kombinatorice, algebře apod. Definice Nechť je n-prvková množina.

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Základní pojmy. Úvod do programování. Základní pojmy. Zápis algoritmu. Výraz. Základní pojmy

Základní pojmy. Úvod do programování. Základní pojmy. Zápis algoritmu. Výraz. Základní pojmy Úvod do programování Michal Krátký 1,Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Úvod do programování, 2004/2005 Procesor Procesorem je objekt, který vykonává algoritmem popisovanou

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Lineární algebra. Praha, druhé vydání 2010

Lineární algebra. Praha, druhé vydání 2010 Petr Olšák Lineární algebra Praha, druhé vydání 2010 E Text je šířen volně podle licence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt. Text ve formátech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

Petr Olšák. Lineární algebra. Praha, 2000-2002

Petr Olšák. Lineární algebra. Praha, 2000-2002 Petr Olšák Lineární algebra Praha, 2000-2002 E Text je šířen volně podle licence ftp://mathfeldcvutcz/pub/olsak/linal/licencetxt Text ve formátech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete na adrese

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Fakulta pedagogická, Technická univerzita v Liberci DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc. Prof. RNDr. Bohdan Zelinka, DrSc. Liberec, 4 Obsah Kap. Základní poznatky o množinách 7. Pojem

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada. Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Základy teorie grup Elements of Group Theory

Základy teorie grup Elements of Group Theory Technická univerzita v Liberci FAKULTA PEDAGOGICKÁ Katedra: Studijní program: Kombinace: Matematiky a didaktiky matematiky Učitelství pro 3. stupeň matematika, zeměpis Základy teorie grup Elements of Group

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY PŘÍKLADY NA DĚLITELNOST V OBORECH INTEGRITY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stanislav Hefler Přírodovědná studia, obor

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice

Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice O Weilově párování na eliptických křivkách Miroslav Kureš Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice Abstrakt. Pracovní seminární text,

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více