Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární algebra. Matice, operace s maticemi"

Transkript

1 Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

2 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

3 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

4 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

5 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

6 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

7 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

8 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

9 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

10 Obsah přednášky Základní definice a označení 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 93

11 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Maticí typu m n (popř. (m, n))rozumíme uspořádanou soustavu m.n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m n zapisujeme a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a m1 a m2... a mn Čísla a 11, a 12,..., a mn nazýváme prvky matice, prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci značíme a ij. První index se nazývá řádkový, druhý sloupcový. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 93

12 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Nechť A je matice typu (m, n). Je-li m n, nazýváme A obdélníkovou maticí, pro m = n čtvercovou maticí. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice. Prvky a 11, a 22,..., a nn tvoří hlavní diagonálu, prvky a 1 n, a 2 n 1,..., a n1 vedlejší diagonálou. Matici typu (1, n) nazýváme řádkovou maticí (též řádkovým vektorem), matici typu (n, 1) sloupcovou maticí (sloupcovým vektorem). Definice Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jsou-li všechny její prvky mimo hlavní diagonálu nulové, tj. a ij = 0 pro i j (i, j = 1, 2,..., n). V případě, že navíc platí a ii = 1 nazývá se diagonální matice jednotková a značí se E (nebo I ). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 93

13 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Čtvercovou matici nazýváme dolní, resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad, resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže a ij = 0 pro j > i, resp. i > j. Definice Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme symetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme antisymetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Matici typu (m, n) nazýváme nulovou, je-li a ij = 0 pro i {1,..., m}, j {1,..., n}. (Značíme ji O.) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 93

14 Základní definice a označení Základní definice a označení Příklady matic , , , ( ),, ,,, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 93

15 Obsah přednášky Operace s maticemi 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 93

16 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Definice (Rovnost matic) Dvě matice A = (a ij ), B = (b ij ) téhož typu (m, n) jsou si rovny (píšeme A = B), právě když a ij = b ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). Věta Rovnost matic má tyto vlastnosti: 1 A = A (reflexivnost) 2 A = B B = A (symetrie) 3 A = B, B = C A = C (tranzitivnost) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 93

17 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Poznámka 1 Relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, se nazývá ekvivalence. 2 Každá rovnost mezi maticemi je stručným zápisem právě jedné soustavy rovností mezi čísly. Příklad x t x 2 = x 3 t 3 4t x 1 = 1 + t x 2 = t x 3 = 3 4t Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 93

18 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Definice Nechť A = (a ij ), B = (b ij ) jsou matice téhož typu (m, n). Součtem matic A, B rozumíme matici C = (c ij ) (píšeme C = A + B) typu (m, n), jejíž prvky jsou c ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Definice (Násobení matice číslem) Součinem matice A = (a ij ) s číslem k rozumíme matici C (píšeme C = ka) téhož typu jako A, pro jejíž prvky c ij platí c ij = ka ij Poznámka 1 Matici ( 1)A nazýváme maticí opačnou k matici A a označujeme ji A. 2 Jsou-li A, B téhož typu, nazýváme A + ( B) rozdílem matic A, B a píšeme A + ( B) = A B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 93

19 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Příklad Pro zadané matice A a B spočtěte matice C = A + B, D = 2A a E = 3A B. ( ) ( ) A = ; B = ( ) ( ) 1 + ( 1) 2 + ( 2) C = = ( 3) ( ) ( ) D = = ( 5) ( ) ( 3 1 ( 1) 3 2 ( 2) E = = ( 5) ( 3) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 93

20 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Věta Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k 1, k 2 libovolná čísla, pak platí: 1 A + B = B + A (komutativní zákon) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (asociativní zákon) 3 A + O = O + A = A (O je nulová matice téhož řádu jako A) 4 Ke každé maitci A existuje matice opačná ( A) tak, že A + ( A) = ( A) + A = O 5 1.A = A 6 k 1(k 2A) = (k 1k 2)A (asociativní zákon pro násobení číslem) 7 (k 1 + k 2)A = k 1A + k 2A 8 k(a + B) = ka + kb Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 93

21 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Definice (Součin matic) Nechť A = (a ij ) je matice typu (m, n), B = (b jk ) je matice typu (n, p). Součinem matice A s maticí B (v daném pořadí) rozumíme matici C = (c ik ) typu (m, p), pro jejíž prvky platí Píšeme C = AB. c ik = n a ij b jk, i = 1,..., m, k = 1,..., p. j=1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 93

22 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic Pro zadané matice A a B spočtěte matice AB a BA A = ( ), B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 93

23 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ) ( ) 11 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 93

24 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ) ( ) 11 1 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 93

25 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ) ( 11 1 = 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 93

26 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ( = = ) = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 93

27 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic = = ( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 3) ( 3) ( 3) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 93

28 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Věta (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, k-číslo. Pro násobení matic platí: 1 (AB)C = A(BC) (asociativní zákon) 2 k(ab) = (ka)b = A(kB) (asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem) 3 (A + B)C = AC + BC 4 A(B + C) = AB + AC Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 93

29 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Definice Nechť matice A = (a ij ) je typu (m, n). Potom matici a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 =... a 1n a 2n... a mn typu (n, m) nazýváme transponovanou maticí k matici A. Věta (Základní vlastnosti transponování matic) 1 (A T ) T = A 2 (A + B) T = A T + B T 3 (AB) T = B T A T 4 (ka) T = ka T Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 93

30 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici 3X 5A + B T = X + 3B T + 3A ( ) A =, B = Řešení: 2X = 8A + 2B T X = 4A + B T ( X = ( X = ( ) X = ) + ) ( T ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 93

31 Obsah přednášky Hodnost matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 93

32 Hodnost matice Hodnost matice Definice Čtvercovou matici typu (p, p), která vznikne z matice A typu (m, n) vypuštěním m p řádků a n p sloupců, nazveme submaticí řádu p matice A. Determinant této submatice nazveme subdeterminantem (též minorem) řádu p matice A. Věta Jsou-li v matici A všechny subdeterminanty řádu p rovny nule, jsou rovny nule i všechny subdeterminanty řádu vyššího než p. Definice (Hodnost matice) Řekneme, že matice A má hodnost h, jestliže existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu h různý od nuly a všechny její subdeterminanty řádu h + 1 (pokud existují) jsou rovny nule. Nulové matici přiřazujeme hodnost rovnu nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 93

33 Hodnost matice Hodnost matice Věta (Elementární operace) Hodnost matice se nemění: 1 vyměníme-li v matici řádky za sloupce (transponování) 2 výměnou dvou řádků nebo sloupců 3 násobením některého řádku nebo sloupce číslem k 0 4 přičtením k-násobku řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) 5 přičteme-li k nějakému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců) 6 připojením nového řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) 7 vynecháním řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 93

34 Hodnost matice Hodnost matice Věta Každou nenulovou matici lze převést úpravami z předchozí věty na lichoběžníkový (resp. stupňový) tvar. Věta Nechť A je nenulová matice typu (m, n), která má hodnost h. Pak existuje právě h řádků matice A tak, že ostatní řádky matice A jsou jejich lineární kombinací. Poznámka Na základě předchozích vět můžeme tedy stanovit hodnost matice i tak, že ji nejprve převedeme na lichoběžníkový (stupňový) tvar a její hodnost je pak rovna počtu nenulových řádků. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 93

35 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 2r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r 4 A = Prohodíme r 2 a r 3. V matici jsou 2 stejné řádky. Jeden z nich tedy můžeme vynechat. Matici A jsme převedli na lichoběžníkový tvar, ve kterém jsou tři nenulové řádky. Hodnost matice je tedy 3 (h(a) = 3). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 28 / 93

36 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: A = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r r3 = 2r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 Matici A jsme převedli na stupňovitý tvar. Máme 2 nenulové řádky. Proto h(a) = 2. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 29 / 93

37 Obsah přednášky Determinanty 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 30 / 93

38 Determinanaty Determinanty Definice Determinantem n-tého řádu rozumíme číslo (které značíme A, popř. A, det(a), a ij ) přiřazené schématu a 11 a a 1n a 21 a a 2n..,.. a n1 a n2... a nn kde a ij jsou reálná nebo komplexní čísla a nazýváme je prvky determinantu, čísla a 11, a 22,..., a nn tvoří tzv. hlavní diagonálu, čísla a 1n, a 2,n 1,..., a n1 tzv. vedlejší diagonálu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 31 / 93

39 Determinanaty Determinanty Sarrusovo pravidlo Poznámka Přechod od schématu k číslu nazýváme vyčíslením (výpočtem) determinantu. Samotné číslo nazýváme hodnotou determinantu. Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 2 a 3 Determinanty řádu 2 a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21. Determinanty řádu 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a 31 a 32 a 33 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 23a 32a 11. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 32 / 93

40 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 33 / 93

41 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) ( ( 3) ( 5) ) = = ( ) = 15 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 34 / 93

42 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Definice Nechť A = a ij je determinant. 1 Subdeterminantem M ij přidruženým k prvku a ij rozumíme determinant, který vznikne z determinantu A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce, tj. řádku a sloupce, ve kterém leží prvek a ij. (Hovoříme též o minoru M ij.) 2 Algebraickým doplňkem A ij prvku a ij rozumíme subdeterminant přidružený k prvku a ij vynásobený číslem ( 1) i+j. Platí tedy A ij = ( 1) i+j M ij. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 35 / 93

43 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Určete subdeterminant a algebraický doplněk k prvku a 32 v determinantu A = , M 32 = = 5, A 32 = ( 1) = 5 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 36 / 93

44 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Věta Determinant je roven součtu prvků libovolného (ale pevně zvoleného) řádku (sloupce) násobených příslušnými algebraickými doplňky, tj. A = j a ij A ij = i a ij A ij. Tento vztah nazýváme rozvojem determinantu A podle i tého řádku (j-tého sloupce). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 37 / 93

45 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle prvního řádku = = 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 38 / 93

46 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 39 / 93

47 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce ( 1) 1+4 ( 1) +( 1) 3+4 (0) A = = ( 1)2+4 (2) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 40 / 93

48 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 41 / 93

49 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 42 / 93

50 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce = ( 1) 1+4 ( 1) + ( 1) 3+4 (0) A = ( 1)2+4 (2) + ( 1)4+4 (1) = = + = ( 1) 6 ( 11) + ( 1) 6 2 ( 22) + ( 1) 7 0 ( 24) + ( 1) 8 33 = = = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 43 / 93

51 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 1 Hodnota determinantu se nezmění, vyměníme-li sloupce se řádky (transponováním). 2 Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva různé řádky (sloupce), změní se znaménko determinantu. 3 Obsahuje-li některý řádek (sloupec) determinantu samé nuly, je hodnota determinantu rovna nule. 4 Determinant, který má dva stejné řádky (sloupce), je roven nule. 5 Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) determinantu číslem k, je hodnota nově vzniklého determinantu rovna k-násobku hodnoty původního determinantu. 6 Je-li některý řádek (sloupec) determinantu roven k-násobku jiného řádku (sloupce), je determinant roven nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 44 / 93

52 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 7 Jsou-li A, B, C determinanty lišící se pouze v k-tém řádku (sloupci), přičemž k-tý řádek (sloupec) determinantu C je součtem k-tých řádků (sloupců) determinantů A a B, je C = A + B. 8 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) k-násobek jiného řádku (sloupce). 9 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k danému řádku (sloupci) lineární kombinai zbylých řádků (sloupců). 10 Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále. 11 Determinant je roven 0, právě když je některý jeho řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 45 / 93

53 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad Vypočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 46 / 93

54 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad A = = = = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = 2r 1 + r = r2 = r 4 r 4 = r = r 3 = r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 r 3 = 1 2 r3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 47 / 93

55 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad r 4 = 3r 3 + r 4 = = = ( 2) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 48 / 93

56 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Věta Nechť je v determinantu A řádu n 3 prvek a Pak pro hodnotu determinantu platí vztah det A = a 2 n 11 det A, kde det A je determinant řádu n 1, jejíž prvky a ij, i, j = 1,..., n 1, jsou tvaru a ij = a11 a 1,j+1. a i+1,1 a i+1,j+1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 49 / 93

57 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Poznámky 1 Prvek a 11 se nazývá vůdčí prvek nebo pivot. 2 Je-li v determinantu prvek a 11 = 0, pak výměnou řádků, případně sloupců docílíme toho, aby na místě pivota bylo nenulové číslo, přičemž je třeba dbát na to, že při každé výměně řádků (sloupců) se mění znaménko determinantu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 50 / 93

58 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad Vypočtěte determinant kondenzační metodou A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 51 / 93

59 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 52 / 93

60 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 53 / 93

61 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 54 / 93

62 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 55 / 93

63 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 56 / 93

64 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 57 / 93

65 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 58 / 93

66 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 59 / 93

67 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Pokračování příkladu = = = = ( ) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 60 / 93

68 Obsah přednášky Inverzní matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 61 / 93

69 Inverzní matice Inverzní matice Definice Nechť A je daná matice. Existuje-li matice Z tak, že platí AZ = ZA = E, nazýváme ji inverzní maticí k dané maici A a značíme Z = A 1. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 62 / 93

70 Inverzní matice Inverzní matice Označení Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice. Matici A 11 A A n1 A 12 A A n2...., A 1n A 2n... A nn kde A ij je algebraický doplněk prvku a ij, budeme nazývat adjungovanou maticí k matici A a značit adja (resp. A ). Věta Nechť A je čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly. Pak matice je inverzní maticí k matici A. A 1 = 1 det A adja Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 63 / 93

71 Inverzní matice Inverzní matice Definice Čtvercová matice se nazývá regulární, je-li její determinant různý od nuly. Je-li det A = 0, hovoříme o singulární matici. Věta Inverzní matice ke čtvercové matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární matice. Poznámka Inverzní matici k matici A lze také nalézt pomocí řádkových úprav matice. Sestavíme novou matici tak, že nejdříve napíšeme matici A a za ni matici E. Pro přehlednost je oddělíme čarou. Pomocí řádkových úprav převedeme matici před čarou na jednotkovou matici a matice za čarou se převede (pomocí stejných úprav) na matici inverzní k matici A. ( A E ) ( E A 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 64 / 93

72 Inverzní matice Inverzní matice Příklad Určete matici inverzní k matici A = A 11 = ( 1) = 2 A23 = 2 1 ( 1) = 3 A 12 = ( 1) = 4 A31 = 1 3 ( 1) = 1 A 13 = ( 1) = 3 A32 = 2 3 ( 1) = 7 A 21 = ( 1) = 4 A33 = 2 1 ( 1) = 3 A 22 = ( 1) = 1 A = a 11A 11 + a 12A 12 + a 13A 13 = 2 ( 2) ( 3) 3 = 9. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 65 / 93

73 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu Určete matici inverzní k matici A = A 1 = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 66 / 93

74 Inverzní matice Inverzní matice Příklad - jiný postup Určete matici inverzní k matici A = A { }} { E { }} { Zaměníme 1. a 2. řádek r 1 + r 2 r 1 + r r 2 + r 3 r 3/3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 67 / 93

75 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu r 2 + 7r 3 r r 1 2r 2/ r 1 + r 3 } {{ } E A 1 = = } {{ } A Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 68 / 93

76 Obsah přednášky Maticové rovnice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 69 / 93

77 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva (za podmínky, že inverzní matice existuje): A 1 AX = A 1 B Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E dostáváme: EX = A 1 B A konečně protože EX = X můžeme psát výsledek X = A 1 B Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 70 / 93

78 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AX = B ( 2 3 A = 5 8 ), B = ( Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. ( ) A = 5 2 Pro matici X tedy platí ( 8 3 X = 5 2 ) ( ) = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 71 / 93

79 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici AX = B A = 4 3 3, B = Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. A = ( ) = 0 Determinanat vyšel roven 0 což znamená, že k matici A neexistuje matice inverzní a danou maticovou rovnici nelze řešit pomocí inverzních matic. Lze však použít obecného postupu, kdy maticovou rovnici přepíšeme do soustavy rovnic. 3x 1 x 4 + 2x 7 = 3 3x 2 x 5 + 2x 8 = 9 3x 3 x 6 + 2x 9 = 7 4x 1 3x 4 + 3x 7 = 1 4x 2 3x 5 + 3x 8 = 11 4x 3 3x 6 + 3x 9 = 7 x 1 + 3x 4 = 7 x 2 + 3x 5 = 5 x 3 + 3x 6 = 7 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 72 / 93

80 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu X A = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existuje): XAA 1 = BA 1 Protože pro inverzní matici platí AA 1 = E dostáváme: XE = BA 1 A konečně protože XE = X můžeme psát výsledek X = BA 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 73 / 93

81 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 1 2, B = Nejdříve určíme matici inverzní k matici A A 1 = 0 1 2/ /3 Pro matici X platí X = BA X = / / = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 74 / 93

82 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 2 2, B = X = BA 1 = ( ) ( = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 75 / 93

83 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X B = C Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva a maticí B 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existují): A 1 AXBB 1 = A 1 CB 1 Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E (a samozřejmě také BB 1 = E) dostáváme: EXE = A 1 CB 1 A konečně protože EXE = X můžeme psát výsledek X = A 1 CB 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 76 / 93

84 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AXB = C A = 2 0 5, B = Pro matici x platí X = A 1 CB 1. Nejdříve vypočteme matice inverzní k maticím A a B. A 1 = B 1 = 1 3, C =, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 77 / 93

85 Maticové rovnice Maticové rovnice Pokračování příkladu X = ( 1 ) ( 1 ) 3 2 = = 1 3 = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 78 / 93

86 Obsah přednášky Příklady 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 79 / 93

87 Příklady Příklady k procvičení: Operace s maticemi 1 Určete x, y a z tak aby platilo A = B. ( ) ( x A =, B = 2 0 z 2 y 5 2 Pro dané matice A, B a C spočtěte 3A, A C, 2A B + 3C a určete matici X pro kterou platí A + 3X = 2B C + 2X A = , B = , C = ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 80 / 93

88 Příklady Příklady k procvičení: Součin matic a) Pro matice A a B, spočtěte matice AB a BA ( ) ( ) b) A =, B = c) A = 2 2 2, B = A = ( ) 1 2 2, B = Vypočtěte ( ) Vypočtěte ( ) ( ) ( ) T ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 81 / 93

89 Příklady Příklady k procvičení: Hodnost matice Určete hodnost matice Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 82 / 93

90 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Vypočítejte hodnoty determinantů ex e x 1 2e x Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 83 / 93

91 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Řešte v R x x 2 4x = 0 2 2x 3 x 1 1 x 0 x x = 0 3x x 7 < 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 84 / 93

92 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Různými způsoby vypočítejte hodnotu determinantu Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 85 / 93

93 Příklady Příklady k procvičení: Inverzní matice K daným maticím určete inverzní matice (pokud existují). ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 86 / 93

94 Příklady Příklady k procvičení: Maticové rovnice Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici. ( ) ( ) X = X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) C + XA = BA, kde A =, B =, C = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 87 / 93

95 Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 88 / 93

96 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 1: Najděte matici X pro kterou platí: 3(A X ) + B = A 2X + C + 2B, kde A = , B = C = Příklad 2: Vypočtěte AB, BA a A T B pro matice A = 2 1 2, B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 89 / 93

97 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 3: Určete hodnost matice A Příklad 4: Vypočtěte determinant a) b) A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 90 / 93

98 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 5: Kdaným maticím určete inverzní matice ( ) 3 5 a) b) c) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 91 / 93

99 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 6: Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici a) X = ( ) ( ) b) X = c) 4 2 ( ) X ( ) = d) A + BX = C + 2AX, kde ( 1 2 A = 0 2 ), B = ( ) ( ) ( 2 1, C = 1 3 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 92 / 93

100 Konec Následuje téma Soustavy lineárních rovnic. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 93 / 93

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

rozumíme obdélníkovou tabulku

rozumíme obdélníkovou tabulku Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura

ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012 Obsah emi 1 2 3 emi 4 5 6 emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

5. Matice. Elementární úpravy

5. Matice. Elementární úpravy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 5 Matice Elementární úpravy Matice typu r/s nad polem P vznikne, jestliže libovolných

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

1.1 Operace s maticemi Soustavy lineárních rovnic Maticové rovnice a výpočet inverzní matice Elementární matice...

1.1 Operace s maticemi Soustavy lineárních rovnic Maticové rovnice a výpočet inverzní matice Elementární matice... Obsah Předmluva 3 Matice 5 Operace s maticemi 6 2 Soustavy lineárních rovnic 3 3 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 7 4 Elementární matice 2 5 Cvičení 23 6 Řešení 24 2 Vektory a vektorové prostory

Více

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice Ing. Lenka Šroubová, Ph.D. email: lsroubov@kte.zcu.cz http://home.zcu.cz/~lsroubov 3. 10. 2012 Základy práce s výpočetními systémy opakování a pokračování

Více

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Západočeská univerzita v Plzni

Západočeská univerzita v Plzni Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy JORDANŮV TVAR MATICE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Antošová Přírodovědná studia, Matematická studia Vedoucí práce:

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více