Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární algebra. Matice, operace s maticemi"

Transkript

1 Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

2 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

3 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

4 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

5 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

6 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

7 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

8 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

9 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

10 Obsah přednášky Základní definice a označení 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 93

11 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Maticí typu m n (popř. (m, n))rozumíme uspořádanou soustavu m.n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m n zapisujeme a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a m1 a m2... a mn Čísla a 11, a 12,..., a mn nazýváme prvky matice, prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci značíme a ij. První index se nazývá řádkový, druhý sloupcový. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 93

12 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Nechť A je matice typu (m, n). Je-li m n, nazýváme A obdélníkovou maticí, pro m = n čtvercovou maticí. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice. Prvky a 11, a 22,..., a nn tvoří hlavní diagonálu, prvky a 1 n, a 2 n 1,..., a n1 vedlejší diagonálou. Matici typu (1, n) nazýváme řádkovou maticí (též řádkovým vektorem), matici typu (n, 1) sloupcovou maticí (sloupcovým vektorem). Definice Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jsou-li všechny její prvky mimo hlavní diagonálu nulové, tj. a ij = 0 pro i j (i, j = 1, 2,..., n). V případě, že navíc platí a ii = 1 nazývá se diagonální matice jednotková a značí se E (nebo I ). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 93

13 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Čtvercovou matici nazýváme dolní, resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad, resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže a ij = 0 pro j > i, resp. i > j. Definice Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme symetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme antisymetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Matici typu (m, n) nazýváme nulovou, je-li a ij = 0 pro i {1,..., m}, j {1,..., n}. (Značíme ji O.) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 93

14 Základní definice a označení Základní definice a označení Příklady matic , , , ( ),, ,,, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 93

15 Obsah přednášky Operace s maticemi 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 93

16 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Definice (Rovnost matic) Dvě matice A = (a ij ), B = (b ij ) téhož typu (m, n) jsou si rovny (píšeme A = B), právě když a ij = b ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). Věta Rovnost matic má tyto vlastnosti: 1 A = A (reflexivnost) 2 A = B B = A (symetrie) 3 A = B, B = C A = C (tranzitivnost) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 93

17 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Poznámka 1 Relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, se nazývá ekvivalence. 2 Každá rovnost mezi maticemi je stručným zápisem právě jedné soustavy rovností mezi čísly. Příklad x t x 2 = x 3 t 3 4t x 1 = 1 + t x 2 = t x 3 = 3 4t Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 93

18 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Definice Nechť A = (a ij ), B = (b ij ) jsou matice téhož typu (m, n). Součtem matic A, B rozumíme matici C = (c ij ) (píšeme C = A + B) typu (m, n), jejíž prvky jsou c ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Definice (Násobení matice číslem) Součinem matice A = (a ij ) s číslem k rozumíme matici C (píšeme C = ka) téhož typu jako A, pro jejíž prvky c ij platí c ij = ka ij Poznámka 1 Matici ( 1)A nazýváme maticí opačnou k matici A a označujeme ji A. 2 Jsou-li A, B téhož typu, nazýváme A + ( B) rozdílem matic A, B a píšeme A + ( B) = A B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 93

19 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Příklad Pro zadané matice A a B spočtěte matice C = A + B, D = 2A a E = 3A B. ( ) ( ) A = ; B = ( ) ( ) 1 + ( 1) 2 + ( 2) C = = ( 3) ( ) ( ) D = = ( 5) ( ) ( 3 1 ( 1) 3 2 ( 2) E = = ( 5) ( 3) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 93

20 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Věta Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k 1, k 2 libovolná čísla, pak platí: 1 A + B = B + A (komutativní zákon) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (asociativní zákon) 3 A + O = O + A = A (O je nulová matice téhož řádu jako A) 4 Ke každé maitci A existuje matice opačná ( A) tak, že A + ( A) = ( A) + A = O 5 1.A = A 6 k 1(k 2A) = (k 1k 2)A (asociativní zákon pro násobení číslem) 7 (k 1 + k 2)A = k 1A + k 2A 8 k(a + B) = ka + kb Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 93

21 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Definice (Součin matic) Nechť A = (a ij ) je matice typu (m, n), B = (b jk ) je matice typu (n, p). Součinem matice A s maticí B (v daném pořadí) rozumíme matici C = (c ik ) typu (m, p), pro jejíž prvky platí Píšeme C = AB. c ik = n a ij b jk, i = 1,..., m, k = 1,..., p. j=1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 93

22 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic Pro zadané matice A a B spočtěte matice AB a BA A = ( ), B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 93

23 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ) ( ) 11 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 93

24 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ) ( ) 11 1 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 93

25 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ) ( 11 1 = 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 93

26 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ( = = ) = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 93

27 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic = = ( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 3) ( 3) ( 3) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 93

28 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Věta (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, k-číslo. Pro násobení matic platí: 1 (AB)C = A(BC) (asociativní zákon) 2 k(ab) = (ka)b = A(kB) (asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem) 3 (A + B)C = AC + BC 4 A(B + C) = AB + AC Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 93

29 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Definice Nechť matice A = (a ij ) je typu (m, n). Potom matici a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 =... a 1n a 2n... a mn typu (n, m) nazýváme transponovanou maticí k matici A. Věta (Základní vlastnosti transponování matic) 1 (A T ) T = A 2 (A + B) T = A T + B T 3 (AB) T = B T A T 4 (ka) T = ka T Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 93

30 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici 3X 5A + B T = X + 3B T + 3A ( ) A =, B = Řešení: 2X = 8A + 2B T X = 4A + B T ( X = ( X = ( ) X = ) + ) ( T ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 93

31 Obsah přednášky Hodnost matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 93

32 Hodnost matice Hodnost matice Definice Čtvercovou matici typu (p, p), která vznikne z matice A typu (m, n) vypuštěním m p řádků a n p sloupců, nazveme submaticí řádu p matice A. Determinant této submatice nazveme subdeterminantem (též minorem) řádu p matice A. Věta Jsou-li v matici A všechny subdeterminanty řádu p rovny nule, jsou rovny nule i všechny subdeterminanty řádu vyššího než p. Definice (Hodnost matice) Řekneme, že matice A má hodnost h, jestliže existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu h různý od nuly a všechny její subdeterminanty řádu h + 1 (pokud existují) jsou rovny nule. Nulové matici přiřazujeme hodnost rovnu nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 93

33 Hodnost matice Hodnost matice Věta (Elementární operace) Hodnost matice se nemění: 1 vyměníme-li v matici řádky za sloupce (transponování) 2 výměnou dvou řádků nebo sloupců 3 násobením některého řádku nebo sloupce číslem k 0 4 přičtením k-násobku řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) 5 přičteme-li k nějakému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců) 6 připojením nového řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) 7 vynecháním řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 93

34 Hodnost matice Hodnost matice Věta Každou nenulovou matici lze převést úpravami z předchozí věty na lichoběžníkový (resp. stupňový) tvar. Věta Nechť A je nenulová matice typu (m, n), která má hodnost h. Pak existuje právě h řádků matice A tak, že ostatní řádky matice A jsou jejich lineární kombinací. Poznámka Na základě předchozích vět můžeme tedy stanovit hodnost matice i tak, že ji nejprve převedeme na lichoběžníkový (stupňový) tvar a její hodnost je pak rovna počtu nenulových řádků. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 93

35 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 2r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r 4 A = Prohodíme r 2 a r 3. V matici jsou 2 stejné řádky. Jeden z nich tedy můžeme vynechat. Matici A jsme převedli na lichoběžníkový tvar, ve kterém jsou tři nenulové řádky. Hodnost matice je tedy 3 (h(a) = 3). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 28 / 93

36 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: A = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r r3 = 2r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 Matici A jsme převedli na stupňovitý tvar. Máme 2 nenulové řádky. Proto h(a) = 2. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 29 / 93

37 Obsah přednášky Determinanty 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 30 / 93

38 Determinanaty Determinanty Definice Determinantem n-tého řádu rozumíme číslo (které značíme A, popř. A, det(a), a ij ) přiřazené schématu a 11 a a 1n a 21 a a 2n..,.. a n1 a n2... a nn kde a ij jsou reálná nebo komplexní čísla a nazýváme je prvky determinantu, čísla a 11, a 22,..., a nn tvoří tzv. hlavní diagonálu, čísla a 1n, a 2,n 1,..., a n1 tzv. vedlejší diagonálu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 31 / 93

39 Determinanaty Determinanty Sarrusovo pravidlo Poznámka Přechod od schématu k číslu nazýváme vyčíslením (výpočtem) determinantu. Samotné číslo nazýváme hodnotou determinantu. Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 2 a 3 Determinanty řádu 2 a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21. Determinanty řádu 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a 31 a 32 a 33 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 23a 32a 11. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 32 / 93

40 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 33 / 93

41 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) ( ( 3) ( 5) ) = = ( ) = 15 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 34 / 93

42 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Definice Nechť A = a ij je determinant. 1 Subdeterminantem M ij přidruženým k prvku a ij rozumíme determinant, který vznikne z determinantu A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce, tj. řádku a sloupce, ve kterém leží prvek a ij. (Hovoříme též o minoru M ij.) 2 Algebraickým doplňkem A ij prvku a ij rozumíme subdeterminant přidružený k prvku a ij vynásobený číslem ( 1) i+j. Platí tedy A ij = ( 1) i+j M ij. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 35 / 93

43 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Určete subdeterminant a algebraický doplněk k prvku a 32 v determinantu A = , M 32 = = 5, A 32 = ( 1) = 5 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 36 / 93

44 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Věta Determinant je roven součtu prvků libovolného (ale pevně zvoleného) řádku (sloupce) násobených příslušnými algebraickými doplňky, tj. A = j a ij A ij = i a ij A ij. Tento vztah nazýváme rozvojem determinantu A podle i tého řádku (j-tého sloupce). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 37 / 93

45 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle prvního řádku = = 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 38 / 93

46 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 39 / 93

47 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce ( 1) 1+4 ( 1) +( 1) 3+4 (0) A = = ( 1)2+4 (2) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 40 / 93

48 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 41 / 93

49 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 42 / 93

50 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce = ( 1) 1+4 ( 1) + ( 1) 3+4 (0) A = ( 1)2+4 (2) + ( 1)4+4 (1) = = + = ( 1) 6 ( 11) + ( 1) 6 2 ( 22) + ( 1) 7 0 ( 24) + ( 1) 8 33 = = = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 43 / 93

51 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 1 Hodnota determinantu se nezmění, vyměníme-li sloupce se řádky (transponováním). 2 Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva různé řádky (sloupce), změní se znaménko determinantu. 3 Obsahuje-li některý řádek (sloupec) determinantu samé nuly, je hodnota determinantu rovna nule. 4 Determinant, který má dva stejné řádky (sloupce), je roven nule. 5 Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) determinantu číslem k, je hodnota nově vzniklého determinantu rovna k-násobku hodnoty původního determinantu. 6 Je-li některý řádek (sloupec) determinantu roven k-násobku jiného řádku (sloupce), je determinant roven nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 44 / 93

52 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 7 Jsou-li A, B, C determinanty lišící se pouze v k-tém řádku (sloupci), přičemž k-tý řádek (sloupec) determinantu C je součtem k-tých řádků (sloupců) determinantů A a B, je C = A + B. 8 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) k-násobek jiného řádku (sloupce). 9 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k danému řádku (sloupci) lineární kombinai zbylých řádků (sloupců). 10 Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále. 11 Determinant je roven 0, právě když je některý jeho řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 45 / 93

53 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad Vypočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 46 / 93

54 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad A = = = = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = 2r 1 + r = r2 = r 4 r 4 = r = r 3 = r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 r 3 = 1 2 r3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 47 / 93

55 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad r 4 = 3r 3 + r 4 = = = ( 2) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 48 / 93

56 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Věta Nechť je v determinantu A řádu n 3 prvek a Pak pro hodnotu determinantu platí vztah det A = a 2 n 11 det A, kde det A je determinant řádu n 1, jejíž prvky a ij, i, j = 1,..., n 1, jsou tvaru a ij = a11 a 1,j+1. a i+1,1 a i+1,j+1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 49 / 93

57 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Poznámky 1 Prvek a 11 se nazývá vůdčí prvek nebo pivot. 2 Je-li v determinantu prvek a 11 = 0, pak výměnou řádků, případně sloupců docílíme toho, aby na místě pivota bylo nenulové číslo, přičemž je třeba dbát na to, že při každé výměně řádků (sloupců) se mění znaménko determinantu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 50 / 93

58 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad Vypočtěte determinant kondenzační metodou A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 51 / 93

59 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 52 / 93

60 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 53 / 93

61 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 54 / 93

62 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 55 / 93

63 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 56 / 93

64 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 57 / 93

65 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 58 / 93

66 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 59 / 93

67 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Pokračování příkladu = = = = ( ) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 60 / 93

68 Obsah přednášky Inverzní matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 61 / 93

69 Inverzní matice Inverzní matice Definice Nechť A je daná matice. Existuje-li matice Z tak, že platí AZ = ZA = E, nazýváme ji inverzní maticí k dané maici A a značíme Z = A 1. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 62 / 93

70 Inverzní matice Inverzní matice Označení Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice. Matici A 11 A A n1 A 12 A A n2...., A 1n A 2n... A nn kde A ij je algebraický doplněk prvku a ij, budeme nazývat adjungovanou maticí k matici A a značit adja (resp. A ). Věta Nechť A je čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly. Pak matice je inverzní maticí k matici A. A 1 = 1 det A adja Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 63 / 93

71 Inverzní matice Inverzní matice Definice Čtvercová matice se nazývá regulární, je-li její determinant různý od nuly. Je-li det A = 0, hovoříme o singulární matici. Věta Inverzní matice ke čtvercové matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární matice. Poznámka Inverzní matici k matici A lze také nalézt pomocí řádkových úprav matice. Sestavíme novou matici tak, že nejdříve napíšeme matici A a za ni matici E. Pro přehlednost je oddělíme čarou. Pomocí řádkových úprav převedeme matici před čarou na jednotkovou matici a matice za čarou se převede (pomocí stejných úprav) na matici inverzní k matici A. ( A E ) ( E A 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 64 / 93

72 Inverzní matice Inverzní matice Příklad Určete matici inverzní k matici A = A 11 = ( 1) = 2 A23 = 2 1 ( 1) = 3 A 12 = ( 1) = 4 A31 = 1 3 ( 1) = 1 A 13 = ( 1) = 3 A32 = 2 3 ( 1) = 7 A 21 = ( 1) = 4 A33 = 2 1 ( 1) = 3 A 22 = ( 1) = 1 A = a 11A 11 + a 12A 12 + a 13A 13 = 2 ( 2) ( 3) 3 = 9. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 65 / 93

73 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu Určete matici inverzní k matici A = A 1 = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 66 / 93

74 Inverzní matice Inverzní matice Příklad - jiný postup Určete matici inverzní k matici A = A { }} { E { }} { Zaměníme 1. a 2. řádek r 1 + r 2 r 1 + r r 2 + r 3 r 3/3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 67 / 93

75 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu r 2 + 7r 3 r r 1 2r 2/ r 1 + r 3 } {{ } E A 1 = = } {{ } A Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 68 / 93

76 Obsah přednášky Maticové rovnice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 69 / 93

77 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva (za podmínky, že inverzní matice existuje): A 1 AX = A 1 B Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E dostáváme: EX = A 1 B A konečně protože EX = X můžeme psát výsledek X = A 1 B Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 70 / 93

78 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AX = B ( 2 3 A = 5 8 ), B = ( Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. ( ) A = 5 2 Pro matici X tedy platí ( 8 3 X = 5 2 ) ( ) = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 71 / 93

79 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici AX = B A = 4 3 3, B = Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. A = ( ) = 0 Determinanat vyšel roven 0 což znamená, že k matici A neexistuje matice inverzní a danou maticovou rovnici nelze řešit pomocí inverzních matic. Lze však použít obecného postupu, kdy maticovou rovnici přepíšeme do soustavy rovnic. 3x 1 x 4 + 2x 7 = 3 3x 2 x 5 + 2x 8 = 9 3x 3 x 6 + 2x 9 = 7 4x 1 3x 4 + 3x 7 = 1 4x 2 3x 5 + 3x 8 = 11 4x 3 3x 6 + 3x 9 = 7 x 1 + 3x 4 = 7 x 2 + 3x 5 = 5 x 3 + 3x 6 = 7 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 72 / 93

80 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu X A = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existuje): XAA 1 = BA 1 Protože pro inverzní matici platí AA 1 = E dostáváme: XE = BA 1 A konečně protože XE = X můžeme psát výsledek X = BA 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 73 / 93

81 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 1 2, B = Nejdříve určíme matici inverzní k matici A A 1 = 0 1 2/ /3 Pro matici X platí X = BA X = / / = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 74 / 93

82 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 2 2, B = X = BA 1 = ( ) ( = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 75 / 93

83 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X B = C Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva a maticí B 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existují): A 1 AXBB 1 = A 1 CB 1 Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E (a samozřejmě také BB 1 = E) dostáváme: EXE = A 1 CB 1 A konečně protože EXE = X můžeme psát výsledek X = A 1 CB 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 76 / 93

84 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AXB = C A = 2 0 5, B = Pro matici x platí X = A 1 CB 1. Nejdříve vypočteme matice inverzní k maticím A a B. A 1 = B 1 = 1 3, C =, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 77 / 93

85 Maticové rovnice Maticové rovnice Pokračování příkladu X = ( 1 ) ( 1 ) 3 2 = = 1 3 = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 78 / 93

86 Obsah přednášky Příklady 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 79 / 93

87 Příklady Příklady k procvičení: Operace s maticemi 1 Určete x, y a z tak aby platilo A = B. ( ) ( x A =, B = 2 0 z 2 y 5 2 Pro dané matice A, B a C spočtěte 3A, A C, 2A B + 3C a určete matici X pro kterou platí A + 3X = 2B C + 2X A = , B = , C = ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 80 / 93

88 Příklady Příklady k procvičení: Součin matic a) Pro matice A a B, spočtěte matice AB a BA ( ) ( ) b) A =, B = c) A = 2 2 2, B = A = ( ) 1 2 2, B = Vypočtěte ( ) Vypočtěte ( ) ( ) ( ) T ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 81 / 93

89 Příklady Příklady k procvičení: Hodnost matice Určete hodnost matice Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 82 / 93

90 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Vypočítejte hodnoty determinantů ex e x 1 2e x Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 83 / 93

91 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Řešte v R x x 2 4x = 0 2 2x 3 x 1 1 x 0 x x = 0 3x x 7 < 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 84 / 93

92 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Různými způsoby vypočítejte hodnotu determinantu Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 85 / 93

93 Příklady Příklady k procvičení: Inverzní matice K daným maticím určete inverzní matice (pokud existují). ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 86 / 93

94 Příklady Příklady k procvičení: Maticové rovnice Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici. ( ) ( ) X = X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) C + XA = BA, kde A =, B =, C = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 87 / 93

95 Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 88 / 93

96 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 1: Najděte matici X pro kterou platí: 3(A X ) + B = A 2X + C + 2B, kde A = , B = C = Příklad 2: Vypočtěte AB, BA a A T B pro matice A = 2 1 2, B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 89 / 93

97 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 3: Určete hodnost matice A Příklad 4: Vypočtěte determinant a) b) A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 90 / 93

98 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 5: Kdaným maticím určete inverzní matice ( ) 3 5 a) b) c) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 91 / 93

99 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 6: Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici a) X = ( ) ( ) b) X = c) 4 2 ( ) X ( ) = d) A + BX = C + 2AX, kde ( 1 2 A = 0 2 ), B = ( ) ( ) ( 2 1, C = 1 3 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 92 / 93

100 Konec Následuje téma Soustavy lineárních rovnic. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 93 / 93

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více