Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární algebra. Matice, operace s maticemi"

Transkript

1 Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

2 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

3 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

4 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

5 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

6 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

7 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

8 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

9 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

10 Obsah přednášky Základní definice a označení 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 93

11 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Maticí typu m n (popř. (m, n))rozumíme uspořádanou soustavu m.n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m n zapisujeme a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a m1 a m2... a mn Čísla a 11, a 12,..., a mn nazýváme prvky matice, prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci značíme a ij. První index se nazývá řádkový, druhý sloupcový. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 93

12 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Nechť A je matice typu (m, n). Je-li m n, nazýváme A obdélníkovou maticí, pro m = n čtvercovou maticí. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice. Prvky a 11, a 22,..., a nn tvoří hlavní diagonálu, prvky a 1 n, a 2 n 1,..., a n1 vedlejší diagonálou. Matici typu (1, n) nazýváme řádkovou maticí (též řádkovým vektorem), matici typu (n, 1) sloupcovou maticí (sloupcovým vektorem). Definice Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jsou-li všechny její prvky mimo hlavní diagonálu nulové, tj. a ij = 0 pro i j (i, j = 1, 2,..., n). V případě, že navíc platí a ii = 1 nazývá se diagonální matice jednotková a značí se E (nebo I ). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 93

13 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Čtvercovou matici nazýváme dolní, resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad, resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže a ij = 0 pro j > i, resp. i > j. Definice Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme symetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme antisymetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Matici typu (m, n) nazýváme nulovou, je-li a ij = 0 pro i {1,..., m}, j {1,..., n}. (Značíme ji O.) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 93

14 Základní definice a označení Základní definice a označení Příklady matic , , , ( ),, ,,, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 93

15 Obsah přednášky Operace s maticemi 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 93

16 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Definice (Rovnost matic) Dvě matice A = (a ij ), B = (b ij ) téhož typu (m, n) jsou si rovny (píšeme A = B), právě když a ij = b ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). Věta Rovnost matic má tyto vlastnosti: 1 A = A (reflexivnost) 2 A = B B = A (symetrie) 3 A = B, B = C A = C (tranzitivnost) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 93

17 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Poznámka 1 Relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, se nazývá ekvivalence. 2 Každá rovnost mezi maticemi je stručným zápisem právě jedné soustavy rovností mezi čísly. Příklad x t x 2 = x 3 t 3 4t x 1 = 1 + t x 2 = t x 3 = 3 4t Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 93

18 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Definice Nechť A = (a ij ), B = (b ij ) jsou matice téhož typu (m, n). Součtem matic A, B rozumíme matici C = (c ij ) (píšeme C = A + B) typu (m, n), jejíž prvky jsou c ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Definice (Násobení matice číslem) Součinem matice A = (a ij ) s číslem k rozumíme matici C (píšeme C = ka) téhož typu jako A, pro jejíž prvky c ij platí c ij = ka ij Poznámka 1 Matici ( 1)A nazýváme maticí opačnou k matici A a označujeme ji A. 2 Jsou-li A, B téhož typu, nazýváme A + ( B) rozdílem matic A, B a píšeme A + ( B) = A B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 93

19 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Příklad Pro zadané matice A a B spočtěte matice C = A + B, D = 2A a E = 3A B. ( ) ( ) A = ; B = ( ) ( ) 1 + ( 1) 2 + ( 2) C = = ( 3) ( ) ( ) D = = ( 5) ( ) ( 3 1 ( 1) 3 2 ( 2) E = = ( 5) ( 3) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 93

20 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Věta Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k 1, k 2 libovolná čísla, pak platí: 1 A + B = B + A (komutativní zákon) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (asociativní zákon) 3 A + O = O + A = A (O je nulová matice téhož řádu jako A) 4 Ke každé maitci A existuje matice opačná ( A) tak, že A + ( A) = ( A) + A = O 5 1.A = A 6 k 1(k 2A) = (k 1k 2)A (asociativní zákon pro násobení číslem) 7 (k 1 + k 2)A = k 1A + k 2A 8 k(a + B) = ka + kb Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 93

21 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Definice (Součin matic) Nechť A = (a ij ) je matice typu (m, n), B = (b jk ) je matice typu (n, p). Součinem matice A s maticí B (v daném pořadí) rozumíme matici C = (c ik ) typu (m, p), pro jejíž prvky platí Píšeme C = AB. c ik = n a ij b jk, i = 1,..., m, k = 1,..., p. j=1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 93

22 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic Pro zadané matice A a B spočtěte matice AB a BA A = ( ), B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 93

23 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ) ( ) 11 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 93

24 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ) ( ) 11 1 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 93

25 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ) ( 11 1 = 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 93

26 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ( = = ) = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 93

27 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic = = ( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 3) ( 3) ( 3) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 93

28 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Věta (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, k-číslo. Pro násobení matic platí: 1 (AB)C = A(BC) (asociativní zákon) 2 k(ab) = (ka)b = A(kB) (asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem) 3 (A + B)C = AC + BC 4 A(B + C) = AB + AC Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 93

29 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Definice Nechť matice A = (a ij ) je typu (m, n). Potom matici a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 =... a 1n a 2n... a mn typu (n, m) nazýváme transponovanou maticí k matici A. Věta (Základní vlastnosti transponování matic) 1 (A T ) T = A 2 (A + B) T = A T + B T 3 (AB) T = B T A T 4 (ka) T = ka T Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 93

30 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici 3X 5A + B T = X + 3B T + 3A ( ) A =, B = Řešení: 2X = 8A + 2B T X = 4A + B T ( X = ( X = ( ) X = ) + ) ( T ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 93

31 Obsah přednášky Hodnost matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 93

32 Hodnost matice Hodnost matice Definice Čtvercovou matici typu (p, p), která vznikne z matice A typu (m, n) vypuštěním m p řádků a n p sloupců, nazveme submaticí řádu p matice A. Determinant této submatice nazveme subdeterminantem (též minorem) řádu p matice A. Věta Jsou-li v matici A všechny subdeterminanty řádu p rovny nule, jsou rovny nule i všechny subdeterminanty řádu vyššího než p. Definice (Hodnost matice) Řekneme, že matice A má hodnost h, jestliže existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu h různý od nuly a všechny její subdeterminanty řádu h + 1 (pokud existují) jsou rovny nule. Nulové matici přiřazujeme hodnost rovnu nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 93

33 Hodnost matice Hodnost matice Věta (Elementární operace) Hodnost matice se nemění: 1 vyměníme-li v matici řádky za sloupce (transponování) 2 výměnou dvou řádků nebo sloupců 3 násobením některého řádku nebo sloupce číslem k 0 4 přičtením k-násobku řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) 5 přičteme-li k nějakému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců) 6 připojením nového řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) 7 vynecháním řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 93

34 Hodnost matice Hodnost matice Věta Každou nenulovou matici lze převést úpravami z předchozí věty na lichoběžníkový (resp. stupňový) tvar. Věta Nechť A je nenulová matice typu (m, n), která má hodnost h. Pak existuje právě h řádků matice A tak, že ostatní řádky matice A jsou jejich lineární kombinací. Poznámka Na základě předchozích vět můžeme tedy stanovit hodnost matice i tak, že ji nejprve převedeme na lichoběžníkový (stupňový) tvar a její hodnost je pak rovna počtu nenulových řádků. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 93

35 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 2r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r 4 A = Prohodíme r 2 a r 3. V matici jsou 2 stejné řádky. Jeden z nich tedy můžeme vynechat. Matici A jsme převedli na lichoběžníkový tvar, ve kterém jsou tři nenulové řádky. Hodnost matice je tedy 3 (h(a) = 3). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 28 / 93

36 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: A = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r r3 = 2r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 Matici A jsme převedli na stupňovitý tvar. Máme 2 nenulové řádky. Proto h(a) = 2. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 29 / 93

37 Obsah přednášky Determinanty 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 30 / 93

38 Determinanaty Determinanty Definice Determinantem n-tého řádu rozumíme číslo (které značíme A, popř. A, det(a), a ij ) přiřazené schématu a 11 a a 1n a 21 a a 2n..,.. a n1 a n2... a nn kde a ij jsou reálná nebo komplexní čísla a nazýváme je prvky determinantu, čísla a 11, a 22,..., a nn tvoří tzv. hlavní diagonálu, čísla a 1n, a 2,n 1,..., a n1 tzv. vedlejší diagonálu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 31 / 93

39 Determinanaty Determinanty Sarrusovo pravidlo Poznámka Přechod od schématu k číslu nazýváme vyčíslením (výpočtem) determinantu. Samotné číslo nazýváme hodnotou determinantu. Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 2 a 3 Determinanty řádu 2 a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21. Determinanty řádu 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a 31 a 32 a 33 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 23a 32a 11. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 32 / 93

40 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 33 / 93

41 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) ( ( 3) ( 5) ) = = ( ) = 15 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 34 / 93

42 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Definice Nechť A = a ij je determinant. 1 Subdeterminantem M ij přidruženým k prvku a ij rozumíme determinant, který vznikne z determinantu A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce, tj. řádku a sloupce, ve kterém leží prvek a ij. (Hovoříme též o minoru M ij.) 2 Algebraickým doplňkem A ij prvku a ij rozumíme subdeterminant přidružený k prvku a ij vynásobený číslem ( 1) i+j. Platí tedy A ij = ( 1) i+j M ij. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 35 / 93

43 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Určete subdeterminant a algebraický doplněk k prvku a 32 v determinantu A = , M 32 = = 5, A 32 = ( 1) = 5 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 36 / 93

44 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Věta Determinant je roven součtu prvků libovolného (ale pevně zvoleného) řádku (sloupce) násobených příslušnými algebraickými doplňky, tj. A = j a ij A ij = i a ij A ij. Tento vztah nazýváme rozvojem determinantu A podle i tého řádku (j-tého sloupce). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 37 / 93

45 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle prvního řádku = = 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 38 / 93

46 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 39 / 93

47 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce ( 1) 1+4 ( 1) +( 1) 3+4 (0) A = = ( 1)2+4 (2) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 40 / 93

48 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 41 / 93

49 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 42 / 93

50 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce = ( 1) 1+4 ( 1) + ( 1) 3+4 (0) A = ( 1)2+4 (2) + ( 1)4+4 (1) = = + = ( 1) 6 ( 11) + ( 1) 6 2 ( 22) + ( 1) 7 0 ( 24) + ( 1) 8 33 = = = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 43 / 93

51 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 1 Hodnota determinantu se nezmění, vyměníme-li sloupce se řádky (transponováním). 2 Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva různé řádky (sloupce), změní se znaménko determinantu. 3 Obsahuje-li některý řádek (sloupec) determinantu samé nuly, je hodnota determinantu rovna nule. 4 Determinant, který má dva stejné řádky (sloupce), je roven nule. 5 Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) determinantu číslem k, je hodnota nově vzniklého determinantu rovna k-násobku hodnoty původního determinantu. 6 Je-li některý řádek (sloupec) determinantu roven k-násobku jiného řádku (sloupce), je determinant roven nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 44 / 93

52 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 7 Jsou-li A, B, C determinanty lišící se pouze v k-tém řádku (sloupci), přičemž k-tý řádek (sloupec) determinantu C je součtem k-tých řádků (sloupců) determinantů A a B, je C = A + B. 8 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) k-násobek jiného řádku (sloupce). 9 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k danému řádku (sloupci) lineární kombinai zbylých řádků (sloupců). 10 Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále. 11 Determinant je roven 0, právě když je některý jeho řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 45 / 93

53 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad Vypočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 46 / 93

54 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad A = = = = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = 2r 1 + r = r2 = r 4 r 4 = r = r 3 = r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 r 3 = 1 2 r3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 47 / 93

55 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad r 4 = 3r 3 + r 4 = = = ( 2) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 48 / 93

56 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Věta Nechť je v determinantu A řádu n 3 prvek a Pak pro hodnotu determinantu platí vztah det A = a 2 n 11 det A, kde det A je determinant řádu n 1, jejíž prvky a ij, i, j = 1,..., n 1, jsou tvaru a ij = a11 a 1,j+1. a i+1,1 a i+1,j+1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 49 / 93

57 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Poznámky 1 Prvek a 11 se nazývá vůdčí prvek nebo pivot. 2 Je-li v determinantu prvek a 11 = 0, pak výměnou řádků, případně sloupců docílíme toho, aby na místě pivota bylo nenulové číslo, přičemž je třeba dbát na to, že při každé výměně řádků (sloupců) se mění znaménko determinantu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 50 / 93

58 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad Vypočtěte determinant kondenzační metodou A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 51 / 93

59 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 52 / 93

60 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 53 / 93

61 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 54 / 93

62 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 55 / 93

63 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 56 / 93

64 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 57 / 93

65 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 58 / 93

66 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 59 / 93

67 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Pokračování příkladu = = = = ( ) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 60 / 93

68 Obsah přednášky Inverzní matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 61 / 93

69 Inverzní matice Inverzní matice Definice Nechť A je daná matice. Existuje-li matice Z tak, že platí AZ = ZA = E, nazýváme ji inverzní maticí k dané maici A a značíme Z = A 1. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 62 / 93

70 Inverzní matice Inverzní matice Označení Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice. Matici A 11 A A n1 A 12 A A n2...., A 1n A 2n... A nn kde A ij je algebraický doplněk prvku a ij, budeme nazývat adjungovanou maticí k matici A a značit adja (resp. A ). Věta Nechť A je čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly. Pak matice je inverzní maticí k matici A. A 1 = 1 det A adja Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 63 / 93

71 Inverzní matice Inverzní matice Definice Čtvercová matice se nazývá regulární, je-li její determinant různý od nuly. Je-li det A = 0, hovoříme o singulární matici. Věta Inverzní matice ke čtvercové matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární matice. Poznámka Inverzní matici k matici A lze také nalézt pomocí řádkových úprav matice. Sestavíme novou matici tak, že nejdříve napíšeme matici A a za ni matici E. Pro přehlednost je oddělíme čarou. Pomocí řádkových úprav převedeme matici před čarou na jednotkovou matici a matice za čarou se převede (pomocí stejných úprav) na matici inverzní k matici A. ( A E ) ( E A 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 64 / 93

72 Inverzní matice Inverzní matice Příklad Určete matici inverzní k matici A = A 11 = ( 1) = 2 A23 = 2 1 ( 1) = 3 A 12 = ( 1) = 4 A31 = 1 3 ( 1) = 1 A 13 = ( 1) = 3 A32 = 2 3 ( 1) = 7 A 21 = ( 1) = 4 A33 = 2 1 ( 1) = 3 A 22 = ( 1) = 1 A = a 11A 11 + a 12A 12 + a 13A 13 = 2 ( 2) ( 3) 3 = 9. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 65 / 93

73 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu Určete matici inverzní k matici A = A 1 = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 66 / 93

74 Inverzní matice Inverzní matice Příklad - jiný postup Určete matici inverzní k matici A = A { }} { E { }} { Zaměníme 1. a 2. řádek r 1 + r 2 r 1 + r r 2 + r 3 r 3/3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 67 / 93

75 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu r 2 + 7r 3 r r 1 2r 2/ r 1 + r 3 } {{ } E A 1 = = } {{ } A Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 68 / 93

76 Obsah přednášky Maticové rovnice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 69 / 93

77 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva (za podmínky, že inverzní matice existuje): A 1 AX = A 1 B Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E dostáváme: EX = A 1 B A konečně protože EX = X můžeme psát výsledek X = A 1 B Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 70 / 93

78 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AX = B ( 2 3 A = 5 8 ), B = ( Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. ( ) A = 5 2 Pro matici X tedy platí ( 8 3 X = 5 2 ) ( ) = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 71 / 93

79 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici AX = B A = 4 3 3, B = Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. A = ( ) = 0 Determinanat vyšel roven 0 což znamená, že k matici A neexistuje matice inverzní a danou maticovou rovnici nelze řešit pomocí inverzních matic. Lze však použít obecného postupu, kdy maticovou rovnici přepíšeme do soustavy rovnic. 3x 1 x 4 + 2x 7 = 3 3x 2 x 5 + 2x 8 = 9 3x 3 x 6 + 2x 9 = 7 4x 1 3x 4 + 3x 7 = 1 4x 2 3x 5 + 3x 8 = 11 4x 3 3x 6 + 3x 9 = 7 x 1 + 3x 4 = 7 x 2 + 3x 5 = 5 x 3 + 3x 6 = 7 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 72 / 93

80 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu X A = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existuje): XAA 1 = BA 1 Protože pro inverzní matici platí AA 1 = E dostáváme: XE = BA 1 A konečně protože XE = X můžeme psát výsledek X = BA 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 73 / 93

81 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 1 2, B = Nejdříve určíme matici inverzní k matici A A 1 = 0 1 2/ /3 Pro matici X platí X = BA X = / / = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 74 / 93

82 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 2 2, B = X = BA 1 = ( ) ( = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 75 / 93

83 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X B = C Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva a maticí B 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existují): A 1 AXBB 1 = A 1 CB 1 Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E (a samozřejmě také BB 1 = E) dostáváme: EXE = A 1 CB 1 A konečně protože EXE = X můžeme psát výsledek X = A 1 CB 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 76 / 93

84 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AXB = C A = 2 0 5, B = Pro matici x platí X = A 1 CB 1. Nejdříve vypočteme matice inverzní k maticím A a B. A 1 = B 1 = 1 3, C =, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 77 / 93

85 Maticové rovnice Maticové rovnice Pokračování příkladu X = ( 1 ) ( 1 ) 3 2 = = 1 3 = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 78 / 93

86 Obsah přednášky Příklady 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 79 / 93

87 Příklady Příklady k procvičení: Operace s maticemi 1 Určete x, y a z tak aby platilo A = B. ( ) ( x A =, B = 2 0 z 2 y 5 2 Pro dané matice A, B a C spočtěte 3A, A C, 2A B + 3C a určete matici X pro kterou platí A + 3X = 2B C + 2X A = , B = , C = ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 80 / 93

88 Příklady Příklady k procvičení: Součin matic a) Pro matice A a B, spočtěte matice AB a BA ( ) ( ) b) A =, B = c) A = 2 2 2, B = A = ( ) 1 2 2, B = Vypočtěte ( ) Vypočtěte ( ) ( ) ( ) T ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 81 / 93

89 Příklady Příklady k procvičení: Hodnost matice Určete hodnost matice Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 82 / 93

90 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Vypočítejte hodnoty determinantů ex e x 1 2e x Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 83 / 93

91 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Řešte v R x x 2 4x = 0 2 2x 3 x 1 1 x 0 x x = 0 3x x 7 < 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 84 / 93

92 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Různými způsoby vypočítejte hodnotu determinantu Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 85 / 93

93 Příklady Příklady k procvičení: Inverzní matice K daným maticím určete inverzní matice (pokud existují). ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 86 / 93

94 Příklady Příklady k procvičení: Maticové rovnice Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici. ( ) ( ) X = X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) C + XA = BA, kde A =, B =, C = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 87 / 93

95 Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 88 / 93

96 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 1: Najděte matici X pro kterou platí: 3(A X ) + B = A 2X + C + 2B, kde A = , B = C = Příklad 2: Vypočtěte AB, BA a A T B pro matice A = 2 1 2, B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 89 / 93

97 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 3: Určete hodnost matice A Příklad 4: Vypočtěte determinant a) b) A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 90 / 93

98 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 5: Kdaným maticím určete inverzní matice ( ) 3 5 a) b) c) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 91 / 93

99 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 6: Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici a) X = ( ) ( ) b) X = c) 4 2 ( ) X ( ) = d) A + BX = C + 2AX, kde ( 1 2 A = 0 2 ), B = ( ) ( ) ( 2 1, C = 1 3 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 92 / 93

100 Konec Následuje téma Soustavy lineárních rovnic. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 93 / 93

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

Cvičení z ekonometrie

Cvičení z ekonometrie Cvičení z ekonometrie Česká zemědělská univerzita v Praze Provozně ekonomická fakulta Katedra ekonomiky Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. Dr. Ing. Pavlína Hálová Ing. Zdeňka Kroupová Ing. Michal Malý, Ph.D. Ing.

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2012 VLASTISLAV FORCH MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Pravděpodobný

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Přípravný kurz k přijímacím zkouškám. Obecná a anorganická chemie. RNDr. Lukáš Richtera, Ph.D. Ústav chemie materiálů Fakulta chemická VUT v Brně

Přípravný kurz k přijímacím zkouškám. Obecná a anorganická chemie. RNDr. Lukáš Richtera, Ph.D. Ústav chemie materiálů Fakulta chemická VUT v Brně Přípravný kurz k přijímacím zkouškám Obecná a anorganická chemie RNDr. Lukáš Richtera, Ph.D. Ústav chemie materiálů Fakulta chemická VUT v Brně část II. - 9. 3. 2013 Chemické rovnice Jak by bylo možné

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více