1. Algebraické struktury

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Algebraické struktury"

Transkript

1 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť A,B,C jsou neprázdné množiny. Binární operací se nazývá každé zobrazení kartézského součinu A B do množiny C, tj. : A B C. Definice 1.3 : Binární operce na množině A je asociativní, jestliže a, b, c A platí (a b) c = a (b c), komutativní, jestliže a, b A platí a b = b a. Definice 1.4 : Prvek n A se nazývá neutrálním prvkem vzhledem k operaci definované na množině A, jestliže pro každé a A platí a n = n a = a. Definice 1.5 : Nechť je binární operace na množině A a nechť n A je příslušný neutrální prvek. Pak prvek s A se nazývá symetrický prvek k prvku a vzhledem k operaci, jestliže a s = s a = n. Definice 1.6 : Množina G spolu s binární operací na této množině (značíme (G, )) se nazývá grupa, jsou-li splněny podmínky: 1. operace je asociativní na G, 2. v G existuje neutrální prvek vzhledem k operaci, 3. v G existuje ke každému prvku prvek symetrický vzhledem k operaci. Definice 1.7 : Množina T spolu se dvěma binárními operacemi, definovanými na T (značíme (T,, )) se nazývá těleso, jestliže: 1. (T, ) je komutativní grupa, 2. (T {o}, ) je pologrupa, 3. a, b, c T platí levý a pravý distibutivní zákon a (b c) = (a b) (a c), (b c) a = (b a) (c a). 1

2 2. Polynomy a algebraické rovnice Definice 2.1 : Funkci P s definičním oborem R nazveme reálným polynomem (mnohočlenem), jestliže existují reálná čísla a 0, a 1,..., a n (n N) tak, že pro každé reálné číslo x platí: P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. a k x k, k = 0, 1,..., n členy polynomu a absolutní člen a k, k = 0, 1,..., n koeficienty polynomu a n x n vedoucí člen polynomu n stupeň polynomu (a n 0, a m = 0 pro m > n) Pozn: Pokud budou koeficienty polynomu komplexní čísla, nazveme polynom komplexním. Nulovým polynomem nazveme polynom Q(x) = 0, x C. Definice 2.2: 1. Rovnici typu P (x) = 0, a n 0, nazýváme algebraickou rovnicí n-tého stupně. 2. Je-li navíc a n = 1, jedná se o rovnici v normovaném tvaru. 3. Řešením (kořenem) algebraické rovnice P (x) = 0 rozumíme každé komplexní číslo α, pro které platí P (α) = 0. Věta 2.1: 1. Dva polynomy jsou si rovny, právě když jsou si rovny všechny koeficienty u odpovídajících mocnin x. 2. Součet, rozdíl a součin polynomů je opět polynom. 3. (o dělení polynomů) Nechť P (x), Q(x) jsou dva reálné (komplexní) polynomy stupně m a n, kde m n, Q(x) O(x). Pak existuje jediná dvojice reálných (komplexních) polynomů B(x) a R(x) tak, že platí P (x) = Q(x) B(x) + R(x), kde stupeň polynomu R(x) je menší než n, stupeň polynomu B(x) je roven m-n. Důsledek 2.1: (dělení polynomu lineárním dvojčlenem (x a)) Položme Q(x) = x a. Podle předchozí věty je P (x) = (x a) B(x) + k, neboť R(x) musí být stupně nižšího než (x a), je to tedy konstanta. P (a) = 0 B(a) + k P (a) = k. Tedy zbytek dělení polynomu P (x) lineárním dvojčlenem (x a) je roven P (a). Definice 2.3: Nechť α je kořenem algebraické rovnice P (x) = 0. Potom výraz (x α) nazýváme kořenovým činitelem. Základní věta algebry 2.2: Každá algebraická rovnice stupně n má v množině komplexních čísel alespoň jeden kořen. 2

3 Věta 2.3: Číslo α je kořenem algebraické rovnice P (x) = 0 stupně n, tj. P (α) = 0, právě když platí P (x) = (x α) B(x), kde stupeň polynomu B(x) je n 1. Nechť algebraická rovnice P (x) = 0, kde P (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0, má v množině komplexních čísel r různých kořenů a 1, a 2,..., a r. Potom lze polynom P (x) jednoznačně zapsat ve tvaru P (x) = a n (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k 2...(x α r ) k r, přičemž k 1 + k k r = n. Tato rovnost se nazývá rozkladem polynomu P (x) na kořenové činitele, přičemž kořen α 1 má násobnost k 1, kořen α 2 má násobnost k 2,..., kořen α r má násobnost k r. Každá algebraická rovnice stupně n má v množině komplexních čísel právě n kořenů, počítáme-li je s jejich násobností. Jestliže algebraická rovnice a n x n a 1 x + a 0 = 0 s celočíselnými koeficienty má za kořen racionální číslo p q, kde p,q jsou celá nesoudělná čísla, potom p dělí a 0, q dělí a n. Je-li algebraická rovnice s celočíselnými koeficienty v normovaném tvaru a má celočíselný kořen α, pak α dělí a 0. Nechť P (x) = 0 je algebraická rovnice s reálnými koeficienty. Potom platí: je-li α = u + iv k-násobný kořen této rovnice, pak také číslo komplexně sdružené α = u iv je k-násobným kořenem této rovnice. Definice 2.4: Říkáme, že algebraická rovnice P (x) = 0 n-tého stupně je algebraicky řešitelná, jestliže její kořeny lze vyjádřit pomocí operací sčítání, odčítání, dělení, umocňování a odmocňování prováděných v konečném počtu na koeficientech dané algebraické rovnice. Věta 2.4: Algebraicky řešitelná je obecně algebraická rovnice stupně 4. Definice 2.5: Nechť je dána algebraická rovnice a n x n a 1 x + a 0 = 0. Jestliže pro její koeficienty platí a n i = a i, resp. a n i = a i pro i = 0, 1,..., n, pak tuto rovnici nazýváme kladně, resp. záporně reciprokou. Obě tyto rovnice označujeme společným názvem reciproké rovnice. Věta 2.6: 1. Má-li reciproká rovnice kořen α, pak má i kořen 1 α. 2. Žádná reciproká rovnice nemůže mít kořen roven Odstraníme-li z reciproké rovnice všechny kořenové činitele (x + 1), (x 1), dostaneme kladně reciprokou rovnici sudého stupně. 3

4 POSTUP VÝPOČTU: 1. Odstraníme kořenové činitele (x + 1), (x 1) a dostaneme kladně reciprokou rovnici sudého stupně 2k tvaru: a k x 2k + a k 1 x 2k 1 + a k 2 x 2k a k 2 x 2 + a k 1 x + a k = Celou rovnici ) dělíme x k a upravíme ) ji na tvar: ) a k (x k a x k k 1 (x k a x k 1 1 (x + 1 x + a 0 = V této rovnici zavedeme substituci y = x+ 1 x a tím ji převedeme na algebraickou rovnici stupně k. Definice 2.6: Rovnici tvaru x n = z stupně. (z = a + bi), kde n N, z 0, z C, nazýváme binomickou rovnicí n-tého Věta 2.7: Všechna řešení binomické rovnice jsou dána vztahem x k+1 = n ( ) z cos ϕ+2kπ n + isin ϕ+2kπ n, k = 0, 1, 2,..., n 1, z je velikost komplexního čísla z, ϕ je argument čísla z. Pozn: 1. Obrazy kořenů binomické rovnice v Gaussově rovině tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem v počátku a poloměrem r = n z. Průvodič obrazu prvního kořene svírá s kladnou částí reálné osy úhel β = ϕ n a obraz každého následujícího kořene je otočen o úhel 2π n. 2. Binomické rovnice lze řešit pro libovolný stupeň n. 3. Racionální funkce Definice 3.1: Racionální lomenou funkcí rozumíme podíl P (x) Q(x) dvou reálných polynomů P (x), Q(x), kde polynom Q(x) je nenulový. Definičním oborem racionální lomené funkce je pak množina všech reálných čísel x, pro něž Q(x) 0. Každý polynom je též racionální lomená funkce. Racionální funkce se nazývá ryze lomená, je-li stupeň polynomu P (x) menší než stupeň polynomu Q(x). Věta 3.1: Každou racionální lomenou funkci lze jednoznačně rozložit na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Definice 3.2: Parciální zlomky jsou racionální lomené funkce tvaru polynom x 2 + px + q nemá reálné kořeny. a (x α) m, ax+b (x 2 +px+q) m, kde a, b, α R, m N, Věta 3.2: Nechť P (x) Q(x) je racionální ryze lomená funkce. Nechť polynom Q(x) = a n (x α 1 ) r1... (x α k ) r k (x 2 +p 1 x+q 1 ) s1... (x2 +p j x+q j ) s j, přičemž r r k +2(s s j ) = n (tj. polynom Q(x) je stupně n), p i 4q i < 0, i = 1, 2,..., j a žádné dva polynomy nemají společné kořeny. Pak ryze lomenou racionální funkci můžeme psát jako součet parciálních zlomků, přičemž r i -násobnému reálnému kořenu α i odpovídá součet r i zlomků A 1 x α i + A 2 (x α i ) Ar 2 i (x α i ), páru r i komplexně sdružených s i -násobných kořenů polynomu (x 2 + p i x + q i ) s i odpovídá součet s i zlomků B 1 x+c 1 x 2 +p i x+q i + B 2x+C 2 (x 2 +p i x+q i ) Bs 2 i x+cs i (x 2 +p i x+q i ). s i 4

5 VÝPOČET KONSTANT: 1. metoda neurčitých koeficientů Rovnost vzniklou po rozkladu na parciální zlomky vynásobíme polynomem ve jmenovateli původního zlomku. Dostaneme rovnost dvou polynomů. Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic pro hledané koeficienty, která má vždy právě jedno řešení. 2. metoda dosazovací Vzniklou rovnost opět vynásobíme polynomem ze jmenovatele a dostaneme rovnost dvou polynomů. Do této rovnosti dosadíme za x tolik hodnot, kolik se v dané rovnosti vyskytuje neznámých konstant. Dostaneme soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficienty. Tato metoda je výhodná, má-li polynom ve jmenovateli reálné kořeny. Jejich hodnoty pak dosahujeme za x. 4. Lineární prostor Definice 4.1: Lineárním prostorem nad tělesem reálných čísel R nazýváme neprázdnou množinu V (jejíž prvky označíme a, b,..., x, y, o,... a nazveme vektory, reálná čísla označíme α, β,... a nazveme skaláry), na které jsou definovány dvě operace: SČÍTÁNÍ, tj. zobrazení + : V V V, které každým dvěma vektorům x, y V přiřadí vektor x + y V, kterému říkáme součet vektorů x a y, NÁSOBENÍ SKALÁREM, tj. zobrazení : R V V, které každému reálnému číslu α a vektoru x V přiřazuje vektor α x V, kterému říkáme skalární násobek skaláru α a vektoru x, přičemž tyto operace splňují x, y, z V, α, β R, následující podmínky: 1) x + y = y + x 2) (x + y) + z = x + (y + z) 3) o V, x V : x + o = x, o...nulový vektor 4) x V ( x) V : x + ( x) = o, x...vektor opačný k x 5) α (x + y) = α x + α y 6) (α + β) x = α x + β x 7) α (β x) = (α β) x 8) 1 x = x Definice 4.2: Množina R n všech uspořádaných n-tic reálných čísel, na které je definována ROVNOST: (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) a 1 = b 1... a n = b n, SČÍTÁNÍ: (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ), NÁSOBENÍ SKALÁREM α R: α (a 1, a 2,..., a n ) = (α a 1,..., α a n ), tvoří lineární prostor nad tělesem R. Takováto množina R n se nazývá aritmetický vektorový prostor. Přirozené číslo n se nazývá dimenze vektorového prostoru. Prvky se nazývají aritmetické vektory. 5

6 Definice 4.3: I. Buď V lineární prostor nad tělesem R, a, a 1,..., a m V. Existují-li taková k 1,..., k m R, že a = k 1 a k m a m, pak říkáme, že vektor a je lineární kombinací vektorů a 1,..., a m. II. Vektory a 1,..., a m nazýváme lineárně závislé, jestliže platí k 1 a k m a m = o, přičemž alespoň jedno z čísel k i 0 (i = 1,..., m). Platí-li rovnost pouze pro k 1 = k 2 =... = k m = 0, potom řekneme, že vektory a 1,..., a m jsou lineárně nezávislé. VLASTNOSTI LINEÁRNĚ NEZÁVISLÝCH VEKTORů: 1. Lineární nezávislost nezáleží na pořadí vektorů. 2. Jsou-li vektory a 1,..., a m lineárně nezávislé, pak a i o, i = 1,..., m. Tj. pokud skupina vektorů obsahuje nulový vektor, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. 3. Jsou-li vektory a 1,..., a m lineárně nezávislé, pak vynásobíme-li libovolný z vektorů číslem c 0, dostaneme opět lineárně nezávislé vektory. 4. Jsou-li vektory a 1,..., a m lineárně nezávislé, pak připočteme-li k libovolnému vektoru násobek jiného vektoru z této skupiny, dostaneme opět lineárně nezávislé vektory. 5. Jsou-li vektory a 1,..., a m lineárně nezávislé, pak přičteme-li k libovolnému vektoru lineární kombinaci ostatních, dostaneme opět lineárně nezávislé vektory. Věta 4.1: Buď W V, W, pak W je podprostorem prostoru V právě tehdy, když: a) a, b W : a + b W, b) α R a W : α a W. Definice 4.4: Buď M V, M. Množinu všech lineárních kombinací vektorů z M nazýváme lineární obal množiny M. Lineární obal množiny M značíme M. Definice 4.5: Lineárně nezávislou podmnožinu B V, jejíž lineární obal je roven V, nazýváme bází prostoru V, tj. B = V. Věta 4.2: 1. Nechť B = {f 1, f 2,..., f n } je báze prostoru V. Jsou-li vektory a 1, a 2,..., a s V lineárně nezávislé, pak s n. 2. Každá soustava vektorů z V o více než n prvcích musí být lineárně závislá. 3. Je-li B = {f 1, f 2,..., f n } báze prostoru V a B = {g 1, g 2,..., g m } jiná báze prostoru V, pak n = m. Definice 4.6: Nechť ve V existuje báze, která má konečný počet prvků n. Počet prvků této báze nazýváme dimenzí prostoru V a značíme dim V. Hovoříme pak o n-rozměrném lineárním prostoru. Dimenzi lineárního prostoru V = {o} pokládáme rovnu 0. Definice 4.7: Nechť V má bázi B = {f 1 f 2,,..., f n }. Uspořádanou n-tici f 1, f 2,..., f n nazýváme uspořádanou bází V. 6

7 Věta 4.3: Nechť B = f 1, f 2,..., f n je uspořádaná báze V. Každý vektor x V lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze B, tj. existuje právě jedna uspořádaná n-tice reálných čísel (x 1, x 2,..., x n ) taková, že x = x 1 f 1 + x 2 f x n f n. Definice 4.8: I. Čísla x 1, x 2,..., x n z předchozí věty nazýváme souřadnicemi vektoru x v uspořádané bázi B. Značíme x = (x 1, x 2,..., x n ) B. II. Bázi E = e 1, e 2,..., e n, kde e 1 = (1, 0,...0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1) nazýváme standardní. 5. Matice Definice 5.1: Maticí typu m/n rozumíme skupinu m n komplexních čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců (m, n N). Tato čísla nazýváme prvky matice. Označíme-li a ij prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci, pak matici typu m/n můžeme zapsat zkráceně A = [a ij ]. Definice 5.2: Buď A matice typu m/n. Posloupnost a 11, a 22,..., a mm se nazývá hlavní diagonála. Prvky této posloupnosti se nazývají diagonální. SPECIÁLNÍ TYPY MATIC: 1. Matice typu m/1 se nazývá sloupcová. 2. Matice typu 1/n se nazývá řádková. 3. Je-li m = n, nazýváme matici čtvercovou maticí řádu n. 4. Čtvercová matice A se nazývá jednotková, když a ik = 0 pro všechna i k a a ii = 1, i = 1, 2,..., n, tj. na hlavní diagonále má jedničky, jinde nuly. Označujeme ji E. 5. Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonální, jestliže má na hlavní diagonále alespoň jeden prvek nenulový a ostatní prvky jsou rovny nule. 6. Transponovaná matice A T k matici A vznikne z matice A tak, že vyměníme řádky matice za sloupce a opačně. Jestliže matice A je typu m/n, potom matice transponovaná je typu n/m. Platí (A T ) T = A. 7. Matice A se nazývá dolní (resp. horní) trojúhelníková matice, jestliže a ik = 0 pro i < k (resp. i > k). 8. Matici N, kde a ik = 0 pro všechna i = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n, nazýváme nulovou maticí. 9. Matice A se nazývá symetrická, jestliže A = A T (tj. a ik = a ki pro i, k = 1, 2,..., n). 10. Matice A se nazývá antisymetrická, jestliže A T = A (tj. a ik = a ki pro i, k = 1, 2,..., n). 11. Submaticí A ik nazveme takovou matici, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. 7

8 Definice 5.3: Buďte A,B matice téhož typu m/n. Potom klademe: I. Rovnost matic: A = B a ik = b ik, i = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n. II. Sčítání matic: A + B = [a ik + b ik ]. III. Násobení matic skalárem: β A = [β a ik ], β R (β C). Definice 5.4: (násobení matic) Pro matici A typu m/n a matici B typu n/p klademe: A B = [ n k=1 a ik b kj ] = [a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj ]. Tj. C = A B, přičemž c ij dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Věta 5.1: Platí (A + B) T = A T + B T = B T + A T, (A B) T = B T A T A T B T, A n = A A n 1. Definice 5.5: I. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A typu m/n nazveme hodností této matice. Označujeme hod(a), h(a). Hodnost nulové matice je 0. II. Řádkovými elementárními transformacemi (úpravami) matice nazýváme tyto úpravy: Výměna dvou řádků matice. Vynásobení nějakého řádku matice číslem různým od nuly. Přičtením c-násobku jednoho řádku matice k jinému řádku. Podobně definujeme sloupcové elementární transformace. III. Řekneme, že matice A,B jsou ekvivalentní, lze-li jednu z nich převést v druhou konečným počtem elementárních transformací. Označujeme A B. Věta 5.2: Pro matici A typu m/n platí: h(a) min(m, n). Řádkovými elementárními transformacemi se hodnost matice nemění. Transponováním se hodnost matice nemění, tj. ani sloupcovými elementárními transformacemi se hodnost matice nemění. SOUVISLOST HODNOSTI MATICE S LINEÁRNÍ ZÁVISLOSTÍ VEKTORů: Mějme vektory a 1 = (a 1, a 2,..., a n ), a 2 = (b 1, b 2,..., b n ),..., a r = (c 1, c 2,..., c n ). Uvažujme matici, jejíž řádky tvoří vektory a 1, a 2,..., a r, nechť h(a) = h. Jestliže h = r, vektory a 1, a 2,..., a r jsou lineárně nezávislé. Jestliže h < r, vektory a 1, a 2,..., a r jsou lineárně závislé a lze z nich vybrat právě h lineárně nezávislých vektorů (tj. tvoří podprostor dimenze h). 6. Determinanty Definice 6.1: Uvažujeme-li množinu všech pořadí čísel 1,2,...,n, tj. aritmetických vektorů (k 1, k 2,..., k n ), kde k i {1, 2,..., n}, k i k j, pro i j, i, j = 1, 2,..., n, pak uspořádaná dvojice (k i, k j ) tvoří inverzi v pořadí (k 1, k 2,..., k n ), jestliže i < j a k i > k j. 8

9 Budiž n přirozené číslo a mějme čtvercovou matici A n-tého řádu. Determinant této matice je součet A = n sgnπ a 1k 1 a 2k2... a nkn, kde se sčítá přes všechna pořadí π = (k 1, k 2,..., k n ) čísel 1,2,...,n. Znaménko (sgn) je kladné, resp. záporné, je-li počet inverzí v pořadí sudý, resp. lichý. Definice 6.2: Subdeterminantem A ik matice A příslušným k prvku a ik nazýváme determinant matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a k-tého sloupce. Algebraickým doplňkem k prvku a ik nazýváme výraz D ik = ( 1) i+k A ik. Věta 6.1:(Laplaceův rozvoj determinantu) Determinant se rovná součtu součinů prvků libovolného řádku a k nim příslušejících algebraických doplňků. Říkáme tomu rozvoj determinantu podle i-tého řádku: A = a i1 D i1 + a i2 D i a in D in. Pozn.: Pomocí Laplaceova rozvoje můžeme počítat determinanty libovolného řádu. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále. Věta 6.2: Transponováním se determinant nemění, tj. A = A T. Věta 6.3: Vyměníme-li v determinantu navzájem dva řádky, determinant změní znaménko. Má-li determinant dva řádky stejné, je roven nule. Obsahuje-li jeden řádek matice samé nuly, pak determinant této matice je roven nule. Nechť čtvercové matice A, Á, B téhož typu se navzájem liší pouze v i-tém řádku. Jestliže i-tý řádek matice B je součtem i-tého řádku matice A a i-tého řádku matice Á, potom B = A + Á. Vynásobíme-li jeden řádek čtvercové matice A reálným číslem c, potom determinant vzniklé matice je roven c A. Jinými slovy, společného činitele z řádku lze vytknout před determinant. Přičteme-li c-násobek (c 0) jednoho řádku k jinému, determinant se nezmění. Determinant se rovná nule právě tehdy, když má řádky lineárně závislé. Pozn.: Všechny věty, které jsou formulovány pro řádky, platí i pro sloupce. 7. Inverzní matice Věta 7.1: Jsou-li A,B čtvercové matice téhož řádu, pak A B = A B, tj. determinant součinu dvou matic se rovná součinu determinantů těchto matic. Definice 7.1: Čtvercovou matici A nazveme regulární, jestliže její determinant je nenulový. Pokud A = 0, potom matici A nazveme singulární. Čtvercovou matici X n-tého řádu nazveme maticí inverzní ke čtvercové matici A n-tého řádu, jestliže platí: A X = X A = E. 9

10 Věta 7.2: K singulární matici neexistuje matice inverzní. Věta 7.3: Inverzní matici k matici A (pokud existuje) je maticí A určena jednoznačně. Pozn.: Inverzní matice k regulární matici je regulární matice. Budeme ji značit A 1. Vztah A X = X A = E potom bude mít podobu A A 1 = A 1 A = E. Z toho také plyne (A 1 ) 1 = A. Pro determinant matice inverzní k matici A platí: A 1 = 1 A. Definice 7.2: Matici à nazveme adjungovanou ke čtvercové matici A, jestliže každý prvek a ik nahradíme jeho algebraickým doplňkem D ik a takto vzniklou matici transponujeme. Věta 7.4: Buď A regulární matice. Potom matice k ní inverzní je A 1 = 1 A Ã. Věta 7.5: Nechť A,B jsou čtvercové matice n-tého řádu. a) Je-li alespoň jedna z matic A,B singulární, pak je součin AB singulární. b) Jsou-li obě matice A,B regulární, je součin AB regulární matice a platí (AB) 1 = B 1 A 1. Věta 7.6: Převedeme-li řádkovými elementárními transformacemi matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární transformace převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A 1. Věta 7.7: Nechť je dána maticová rovnice AX = B, resp. XA = B, pro neznámou matici X, kde matice A je regulární a matice B je vhodného typu. Řešením této rovnice je matice X = A 1 B, resp. X = B A 1. Definice 7.3: Matici A nazýváme ortogonální maticí, platí-li A A T = E, tj. A T = A 1. Věte 7.8: Je-li A ortogonální matice, potom A = ±1. Věta 7.9: Inverzní matice k ortogonální matici je opět ortogonální matice. Věta 7.10: Součinem dvou ortogonálních matic je opět ortogonální matice. 10

11 8. Soustavy lineárních rovnic Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých zapisujeme ve tvaru a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kde a ij nazýváme koeficienty rovnice x j nazýváme neznámé rovnice b i nazýváme pravé strany rovnice (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n). Definice 8.1: 1. Je-li b i = 0 pro všechna i = 1, 2,..., m, pak předchozí soustavu nazýváme homogenní soustavou lineárních rovnic. 2. Je-li alespoň jedno z čísel b i různé od nuly, pak předchozí soustavu nazýváme nehomogenní soustavou lineárních rovnic. Definice 8.2: I. Řešením soustavy lineárních rovnic nazveme každou uspořádanou n-tici reálných čísel (β 1, β 2,..., β n ), která po dosazení do soustavy tuto soustavu identicky splňuje. II. Soustava se nazývá 1) neřešitelná, neexistuje-li žádné její řešení, 2) řešitelná, existuje-li alespoň jedno řešení a) určená, existuje-li právě jedno řešení, b) neurčená, existuje-li nekonečně mnoho jejích řešení. Definice 8.3: 1. Dvě soustavy lineárních algebraických rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li tutéž množinu řešení. 2. Úpravy, které převádějí jednu soustavu lineárních algebraických rovnic na soustavu s ní ekvivalentní, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy: 1. Napíšeme rovnice v libovolném pořadí. 2. Vynásobení libovolné rovnice číslem c K libovolné rovnici přičteme libovolný násobek jiné rovnice soustavy. 4. Vynecháme rovnici, která je násobkem jiné rovnice. 5. Vynecháme rovnici, která je lineární kombinací ostatních rovnic. Gaussova eliminační metoda: Ze soustavy lineárních rovnic sestavíme matici: a 11 a 12 a 1n b 1 a A/B = 21 a 22 a 2n b 2, kterou nazýváme rozšířenou maticí soustavy. a m1 a m2 a mn b m Tuto matici převedeme ekvivalentními úpravami na matici v trojúhelníkovém tvaru, která je ekvivalentní s původní maticí. Počet řešení soustavy zjistíme určením hod(a) a hod(a/b). Z upravené matice vytvoříme novou soustavu rovnic, ze které dopočítáme jednotlivé neznámé.. 11

12 Věta 8.1:(Frobeniova) Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je řešitelná (tj. má alespoň jedno řešení) právě tehdy, když hod(a) = hod(a/b). Důsledek 8.1: Soustava je neřešitelná právě tehdy, když hod(a) hod(a/b). Věta 8.2: Je-li hod(a) = hod(a/b) = n (počet neznámých), pak má soustava právě jedno řešení. Je-li hod(a) = hod(a/b) < n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Tato řešení jsou závislá na volbě n-h parametrů. Věta 8.3: Každá soustava homogenních lineárních rovnic je vždy řešitelná. Věta 8.4: Homogenní soustava A x T = o T, jejíž matice je singulární, má nekonečně mnoho řešení. Věta 8.5: Nechť x = (β 1, β 2,..., β n ), y = (γ 1, γ 2,..., γ n ) jsou řešením soustavy m homogenních rovnic o n neznámých A x T = o T, pak také α x, α x + β y (α, β R) jsou řešením této soustavy a množina všech řešení tvoří vektorový podprostor W, dimw = n h, kde h = hod(a). Věta 8.6: Homogenní soustava A x T = o T má pouze triviální řešení (tj. x = (0, 0,..., 0)) právě tehdy, když A = 0. Definice 8.4: 1. Nechť je dána soustava A x T = o T o n neznámých. Je-li hod(a) = h < n, pak každou bázi vektorového prostoru všech řešení dimenze n-h nazýváme fundamentální systém řešení. 2. Nechť x 1, x 2,..., x n h tvoří fundamentální systém řešení. Potom množina všech lineárních kombinací tvaru x = α 1 x 1 + α 2 x α n h x n h se nazývá obecné řešení dané homogenní soustavy. Definice 8.5: Nechť je dána nehomogenní soustava A x T = b T. Pak soustavu A x T = o T k soustavě A x T = b T. nazveme přidruženou Věta 8.7: Součet libovolného řešení soustavy A x T = b T a soustavy k ní přidružené A x T = o T je opět řešením soustavy A x T = b T. Věta 8.8: Rozdíl dvou libovolných řešení nehomogenní soustavy A x T = b T je řešením přidružené homogenní soustavy. Věta 8.9: Množinu všech řešení nehomogenní soustavy A x T = b T lze vyjádřit ve tvaru x = x 0 + x h, kde x 0 je jedno libovolné řešení nehomogenní soustavy a x h je obecné řešení homogenní soustavy k ní přidružené. 12

13 Definice 8.6: Množinu všech řešení nehomogenní soustavy A x T = b T ve tvaru x = x 0 + x h, kde x 0 je jedno libovolné řešení nehomogenní soustavy a x h je obecné řešení homogenní soustavy k ní přidružené se nazývá obecné řešení nehomogenní soustavy A x T = b T. Věta 8.10: Nechť je dána soustava lineárních rovnic A x T = b T, jejíž matice A je regulární. Potom existuje jediné řešení x T = A 1 b T. Věta 8.11: Nechť je dána soustava lineárních rovnic A x T = b T, jejíž matice A je regulární. Tato soustava má právě jedno řešení, tedy existuje jediná uspořádaná n-tice reálných čísel (β 1, β 2,..., β n ), kde β k = D k A, k = 1, 2,..., n, přičemž D k je determinant matice, která vznikne nahrazením k-tého sloupce matice A sloupcem pravých stran. 9. Vektorové podprostory Definice 9.1: Průnikem dvou vektorových podprostorů U,W vektorového prostoru V nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W. U V = {p V : p U p W } Spojením (součtem) dvou vektorových podprostorů U,W vektorového prostoru V nazýváme množinu těch vektorů, které se dají zapsat ve tvaru součtu vektoru z podprostoru U s vektorem z podprostoru W. U + W = {s V : s = u + w, u U w W } Věta 9.1: Nechť U,W jsou podprostory vektorového prostoru V. Potom průnik U W a spojení U + W jsou opět podprostory ve V a platí dim(u + W ) = dimu + dimw dim(u W ). Definice 9.2: Dva vektorové podprostory U,W vektorového prostoru V se nazývají komplementární ve V, je-li U W = {o} U + W = V. Jsou-li U a W komplementární ve V, potom spojení podprostorů U + W nazýváme direktním součtem U W podprostorů U a W. Věta 9.2: Nechť α, β jsou dvě uspořádané báze vektorového prostoru V, jejichž vektory jsou zadány souřadnicemi vzhledem k uspořádané bázi B tohoto vektorového prostoru. Dále nechť A αb je matice přechodu od báze B k bázi α a nechť A βb je matice přechodu od báze B k bázi β. Potom platí: x α = x β A βα, kde A βα je matice přechodu od báze α k bázi β, x β = x α A αβ, kde A αβ je matice přechodu od báze β k bázi α. 13

14 10. Vektorové prostory se skalárním součinem Definice 10.1: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R, dimv = n. Potom zobrazení : V V R, které pro každé x, y, z V a pro každé λ R splňuje podmínky: 1) x y = y x 2) (x + y) z = x z + y z 3) (λ x) y = λ (x y) 4) x x 0, kde x x = 0 x = o nazýváme skalární součin na V. Vektorový prostor s takto definovaným skalárním součinem nazýváme vektorový prostor se skalárním součinem V n. Věta 10.1: Na každém n-rozměrném vektorovém prostoru V existuje alespoň jeden skalární součin. Definice 10.2: Nechť a V n. Potom 1. a = a a nazýváme absolutní hodnota (velikost) vektoru a. 2. Je-li a = 1, pak a je jednotkový vektor. Věta 10.2: Pro každé a, b V n a pro každé λ R platí: 1) o a = a o = 0 2) λ a = λ a 3) a o, pak a 0 = 1 a a je jednotkový vektor 4) a b a b Cauchy-Bunjakovského nebo Schwarzova nerovnost. Definice 10.3: Nechť a, b V n jsou nenulové vektory. Potom v intervalu 0, π existuje jediné číslo ϕ, pro které platí cosϕ = a b, které nazýváme úhlem vektorů a, b. a b Definice 10.4: Nechť a 1, a 2,..., a k V n. Potom se a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a k a G(a 1, a 2,..., a k ) = 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a k nazýváme Gramův determinant vektorů a 1, a 2,..., a k. a k a 1 a k a 2 a k a k Věta 10.3: Vektory a 1, a 2,..., a k V n jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když Gramův determinant těchto vektorů je různý od nuly. Definice 10.5: Řekneme, že vektory a, b V n jsou kolmé (a b) právě tehdy, když a b = 0. Důsledek 10.1: 1. Pro každý a V n platí a o = 0, tedy nulový vektor o je kolmý ke všem vektorům z V n. 2. Pro každý nenulový vektor a V n platí a a > 0, tedy vektor nemůže být kolmý sám k sobě. Definice 10.6: Nechť a 1, a 2,..., a k V n jsou nenulové vektory. Řekneme, že tyto vektory tvoří ortogonální systém, jestliže a i a j pro i j, kde i, j = 1, 2,..., k. Tedy a i a j = 0 i j. 14

15 Důsledek 10.2: Ortogonální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi ve V n. Tato báze se nazývá ortogonální báze. Věta 10.4: Z každé báze ve V n lze vytvořit bázi ortogonální. Definice 10.7: 1. Systém vektorů w 1, w 2,..., w k V n se nazývá ortonormální, je-li ortogonální a w i = 1 pro i = 1, 2,..., k. 2. Libovolnou n-tici w 1, w 2,..., w n V n ortonormálních vektorů nazýváme ortonormální báze V n. Věta 10.5: Nechť je dána ortonormální báze W = w 1, w 2,..., w n ve V n a nechť x = x 1 w 1 + x 2 w x n w n = (x 1, x 2,..., x n ) W y = y 1 w 1 + y 2 w y n w n = (y 1, y 2,..., y n ) W Pak platí x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. Tímto vztahem lze definovat skalární součin v libovolném n-rozměrném vektorovém prostoru. Důsledek 10.3: Pro každé vektory x, y V n, které jsou dány souřadnicemi vzhledem k ortonormální bázi, platí: 1. x = x x x2 n 2. cosϕ = x y x y = x 1 y 1 +x 2 y x ny n, kde ϕ je úhel vektorů x, y. x 2 1 +x 2 2 n y +...+x2 1 2+y y2 n Definice 10.8: Nechť M je neprázdná podmnožina prostoru V n. Množinu (M) všech vektorů kolmých na každý vektor množiny M nazýváme ortogonálním doplňkem množiny M. Věta 10.6: 1. Ortogonální doplněk množiny M je podprostorem ve vektorovém prostoru se skalárním součinem. 2. Nechť je dán podprostor V k prostoru se skalárním součinem V n a nechť dimv k = k. Potom ortogonální doplněk podprostoru V k je podprostorem dimenze (n-k) ve V n, tedy dim(v ) = n k. 3. Podprostory (V k ) a V k jsou komplementární. Definice 10.9: Každý vektor x V n lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = y+z, kde y V k a z (V k ). Vektor y nazýváme ortogonálním průmětem vektoru x do podprostoru V k a vektor z nazýváme vektorem vzdálenosti vektoru x od podprostoru V k, výraz z = x y se nazývá chybou. 11. Lineární zobrazení Definice 11.1: Zobrazení f lineárního prostoru U do lineárního prostoru W (f : U W ) nazveme lineární zobrazení (homomorfismus) U do W právě tehdy, když pro každé a, b U a pro každé α R platí: 1. f(a + b) = f(a) + f(b) (aditivní zobrazení) 2. f(α a) = α f(a) (homogenní zobrazení) Věta 11.1: Zobrazení f : U W je lineární právě tehdy, když pro každé a, b U a pro každé α, β R platí: f(αa + βb) = αf(a) + βf(b). 15

16 Důsledek 11.1: Platí f(α 1 a 1 + α 2 a α k a k ) = α 1 f(a 1 ) + α 2 f(a 2 ) α k f(a k ). Věta 11.2: Nechť f : U W je lineární zobrazení. Potom obrazem nulového prvku o U o W W, tedy f(o U ) = o W. U je nulový prvek Věta 11.3: Nechť U, W jsou lineární prostory, f : U W je lineární zobrazení. Označme f(u) = {y W : y = f(x), x U}. Potom f(u) je podprostor ve W, tj. f(u) W. Definice 11.2: 1. Podprostor f(u) se nazývá obraz vektorového prostoru U v zobrazení f. 2. Dimenzi f(u), tj. obrazu vektorového prostoru U v zobrazení f, nazveme hodností lineárního zobrazení f. Platí hodf = dimf(u). Věta 11.4: Nechť B = b 1, b 2,..., b n je báze vektorového prostoru U a nechť w 1, w 2,..., w n jsou vektory z W. Pak existuje právě jedno zobrazení f : U W takové, že f(b i ) = w i, i = 1, 2,..., n. Říkáme, že toto zobrazení je určeno obrazy vektorů báze. Věta 11.5: Nechť U, V, W jsou lineární prostory nad R a f : U V, g : V W jsou lineární zobrazení. Potom složené zobrazení g f : U W je také lineární zobrazení. Věta 11.6: Lineární zobrazení přiřazuje lineárně závislým vektorům opět lineárně závislé vektory. Definice 11.3: Nechť f : U W je lineární zobrazení. Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro zobrazení f. Kerf = {x U : f(x) = o W }. Věta 11.7: Nechť f : U W je lineární zobrazení. Potom jádro tohoto zobrazení je podprostor v U, tj. Kerf U. Definice 11.4: Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá defekt lineárního zobrazení f. deff = dimkerf. Definice 11.5: Nechť f : U W je lineární zobrazení, B = b 1, b 2,..., b n je uspořádaná báze vektorového prostoru U a F = f 1, f 2,..., f m je uspořádaná báze prostoru W. Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F: f(b 1 ) = a 11 f 1 + a 12 f a 1m f m f(b 2 ) = a 21 f 1 + a 22 f a 2m f m f(b n ) = a n1 f 1 + a n2 f a nm f m 16

17 Matice A = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm se nazývá matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím B,F. Věta 11.8: Nechť f : U W je lineární zobrazení, B = b 1, b 2,..., b n je uspořádaná báze vektorového prostoru U, F = f 1, f 2,..., f m je uspořádaná báze prostoru W a A = (a ij ) je matice lineárního zobrazení f vzhledem k bázím B,F. Dále označme y = f(x), kde x U, x = (x 1, x 2,..., x n ) B a y W, y = (y 1, y 2,..., y m ) F. Pak platí y T F = A xt B. Věta 11.9: Nechť jsou dány vektorové prostory U, V, W s uspořádanými bázemi H, F, G. Nechť f : U V, resp. g : V W, je lineární zobrazení s maticí A, resp. B. Pak složené zobrazení g f : U W má matici BA a platí z T G = B A xt H. Pozn.: Nechť f : M N, g : N U, h : U W jsou lineární zobrazení s maticemi zobrazení A,B,C. Pro skládání zobrazení platí asociativní zákon, tedy h (g f) = (h g) f. Tato složená zobrazení mají stejnou matici zobrazení C(BA) = (CB)A. Každou homogenní soustavu m rovnic o n neznámých lze považovat za lineární zobrazení z V n do V m. Každá matice je maticí nějakého lineárního zobrazení. Věta 11.10: Hodnost lineárního zobrazení f : U W je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního zobrazení, tj. hodf = dimf(u) = hoda. Věta 11.11: Nechť f : U W je lineární zobrazení. Potom platí hodf + deff = dimu (tj. dimf(u) + dimkerf = dimu). Věta 11.12: Nechť f : U W je lineární zobrazení, A je matice tohoto zobrazení vzhledem k bázím B,F, dále G, resp. H, je uspořádaná báze vektorového prostoru U, resp. W. Označme G, resp. H, matici přechodu od báze B k bázi G, resp. od báze F k bázi H. Pak matice (H 1 ) T AG T je matice zobrazení f vzhledem k bázím G,H. 12. Prosté lineární zobrazení, izomorfismus Definice 12.1: 1. Lineární zobrazení f : U W je prosté právě tehdy, když každým dvěma různým vektorům x 1, x 2 U přiřazuje dva různé obrazy f(x 1 ), f(x 2 ) W. Tedy x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 2. Prosté lineární zobrazení se nazývá izomorfní zobrazení. 17

18 Věta 12.1: Nechť f : U W je lineární zobrazení. Potom jsou následující tvrzení ekvivalentní: 1. Zobrazení f je prosté. 2. deff = dimkerf = Obrazem lineárně nezávislých vektorů jsou opět lineárně nezávislé vektory. Věta 12.2: Nechť f : U W je izomorfní zobrazení. Potom inverzní zobrazení f 1 : W U je opět izomorfní. Definice 12.2: Izomorfní zobrazení vektorového prostoru U na vektorový prostor W se nazývá izomorfismus U na W. Věta 12.3: Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. Definice 12.3: Říkáme, že lineární prostor U je izomorfní s lineárním prostorem W, existuje-li prosté lineární zobrazení prostoru U na prostor W. Věta 12.4: Dva vektorové prostory jsou izomorfní právě tehdy, když mají stejnou dimenzi. Důsledek 12.1: Izomorfismus f : U W, kde dimu = dimw = n, zobrazuje bázi u 1, u 2,..., u n prostoru U na bázi f(u 1 ), f(u 2 ),..., f(u n ) prostoru W. Věta 12.5: Nechť f : U W je izomorfismus (dimu = dimw ), A je matice tohoto zobrazení vzhledem k bázi B = b 1, b 2,..., b n. Potom matice A je regulární ( A = 0) a inverzní matice A 1 je maticí izomorfismu f 1. Věta 12.6: Nechť f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x) jsou funkce z C(a, b) a nechť existují derivace těchto funkcí do řádu (n-1) včetně. Existuje-li x 0 z intervalu (a,b) tak, že W (x 0 ) = f 1 (x 0 ) f 2 (x 0 ) f n (x 0 ) f 1 (x 0) f 2 (x 0) f n(x 0 ) f (n 1) 1 (x 0 ) f (n 1) 2 (x 0 ) f (n 1) n (x 0 ) 0 potom jsou funkce f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x) lineárně nezávislé na intervalu (a,b). Věta 12.7: Nechť funkce f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x) mají v intervalu (a,b) derivace až do řádu (n-1) včetně a nechť jsou na tomto intervalu lineárně závislé. Potom W (x) = 0 pro všechna x z intervalu (a,b). Definice 12.4: Determinant W (x) se nazývá Wronského determinant (wronskián) funkcí f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x). 18

19 13. Spektrální vlastnosti matic Nechť A je čtvercová matice řádu n nad R. Hledáme takové vektory x o, pro které platí A x T = λ x T, kde λ je komplexní číslo. Protože λ x T = λ E x T, kde E je jednotková matice řádu n, lze rovnost A x T = λ x T psát ve tvaru (A x T λ E x T ) = o T, tedy (A λ E) x T = o T. Tato rovnice představuje homogenní soustavu n rovnic o n neznámých. Protože hledáme netriviální řešení této soustavy (x o), musí nutně platit A λ E = 0. A λ E charakteristický polynom, A λ E = charakteristická rovnice, λ (kořen charakteristické rovnice) charakteristické (vlastní) číslo, x o z rovnice (A λ E) x T = o T charakteristický (vlastní) vektor, množinu všech charakteristických čísel nazýváme spektrum matice A Charakteristická rovnice je algebraická rovnice n-tého stupně. Jejím řešením určíme spektrum. Ke každému charakteristickému číslu pak vypočítáme jeho charakteristický vektor. Je-li λ komplexní číslo, pak příslušný charakteristický vektor je uspořádaná n-tice komplexních čísel. Věta 13.1: Je-li A čtvercová matice řádu n a p(λ) její charakteristický polynom, potom p(a) = 0 (nulová matice řádu n). Tedy každá matice A je kořenem svého charakteristického polynomu. Věta 13.2: Nechť λ 1, λ 2,..., λ s jsou navzájem různá vlastní čísla matice A řádu n a n 1, n 2,..., n s jsou násobnosti těchto čísel. Pak platí: 1. n 1 + n n s = n 2. n 1 λ 1 + n 2 λ n s λ s = a 11 + a a nn (stopa matice A) 3. λ n 1 1 λn 2 2 λn s s = A Definice 13.1: Násobnost vlastního čísla λ matice A řádu n se nazývá algebraická násobnost čísla λ. Číslo (n h), kde h = hod(a λ E), se nazývá geometrická násobnost čísla λ. Věta 13.3: Všechny vlastní vektory příslušné k témuž reálnému vlastnímu číslu, doplněné nulovým vektorem, tvoří vektorový podprostor s dimenzí rovnou geometrické násobnosti tohoto čísla. Věta 13.4: Nechť A je symetrická matice řádu n nad R. Pak všechny kořeny charakteristické rovnice A λ E = 0 jsou reálná čísla a algebraická násobnost každého vlastního čísla je rovna jeho násobnosti geometrické. Věta 13.5: Nechť A je symetrická matice řádu n nad R a λ i, λ j její dvě různá vlastní čísla a x i, x j příslušné vlastní vektory. Pak platí x i x T j = 0. Definice 13.2: Nechť f : V V je lineární zobrazení. Vlastní vektor x lineárního zobrazení f je takový n e n u l o v ý vektor, pro který platí f(x) = λ x, kde λ R. Číslo λ nazýváme vlastním číslem zobrazení f. Pozn.: Je-li matice A maticí lineárního zobrazení f, pak vztah f(x) = λ x lze psát ve tvaru A x T = λ x T. Tedy vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení f jsou shodné s r e á l n ý m i vlastními čísly a vektory matice tohoto zobrazení. 19

20 Věta 13.6: Charakteristický polynom A λ E lineárního zobrazení f : V V nezávisí na volbě uspořádané báze, vzhledem k níž je matice A určena. 14. Podobné matice Definice 14.1: Nechť A,B jsou čtvercové matice řádu n. Pokud existuje regulární matice P tak, že B = P 1 A P, řekneme, že matice B je podobná matici A (A = B). Věta 14.1: 1. Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. 2. Podobné matice mají stejné determinanty. 3. Podobné matice mají stejnou hodnost. Věta 14.2: 1. Nemají-li matice A,B stejný charakteristický polynom, pak nejsou podobné. 2. Je-li A B, potom matice A,B nejsou podobné. Věta 14.3: Matice A,B jsou podobné právě tehdy, když hod(a λ i E) j = hod(b λ i E) j, i = 1, 2,..., s, j = 1, 2,..., p i 1, p i - násobnost daného λ i, kde λ 1, λ 2,..., λ s jsou navzájem různá vícenásobná vlastní čísla matic A,B. Věta 14.4: Čtvercová matice A řádu n je podobná s diagonální maticí D právě tehdy, když má matice A n lineárně nazávislých vlastních vektorů. Pak platí λ D = P 1 0 λ AP = 2 0, kde λ i, i = 1, 2,..., n, jsou vlastní čísla matice A (ne nutně 0 0 λ n různá) a sloupce matice P jsou tvořeny lineárně nezávislými vlastními vektory matice A. Věta 14.5:Ortogonální transformace na diagonální tvar Ke každé symetrické matici A řádu n nad R existuje ortogonální matice P a diagonální matice D tak, že platí D = P T AP. Sloupce matice P jsou tvořeny lineárně nazávislými jednotkovými vlastními vektory matice A, diagonála matice D obsahuje vlastní čísla matice A. Definice 14.2: Vztah D = P T AP nazýváme ortogonální transformací matice A na diagonální tvar. Pozn.: 1. Pokud je matice P ortogonální, můžeme rovnost D = P 1 AP přepsat na tvar D = P T AP. 2. Má-li matice A všechna vlastní čísla navzájem různá, pak sloupce matice P jsou tvořeny přímo jednotkovými vlastními vektory, které přísluší jednotlivým vlastním číslům. Tyto vektory jsou navzájem kolmé, tvoří tedy ortonormální bázi. Či-li, pokud z vektorů ortonormální báze vytvoříme matici tak, že je dáme do sloupců, dostaneme ortogonální matici. 3. Nechť má matice A vlastní čísla λ 1, λ 2,..., λ s s násobnostmi n 1, n 2,...n s. Pak platí n 1 + n n s = n. Každému číslu λ i odpovídá n i lineárně nezávislých vlastních vektorů. Tyto vektory lze Gram-Schmidtovým procesem ortogonalizovat a potom postupným vydělením jejich velikostmi dostaneme vektory jednotkové. 20

21 4. Je-li u některého vlastního čísla geometrická násobnost menší než násobnost algebraická, pak nelze najít n lineárně nezávislých vlastních vektorů a matici A nelze převést na diagonální tvar. 15. Lineární formy Definice 15.1: Lineární zobrazení c : V R, tj. vektorového prostoru V do množiny reálných čísel, nazýváme lineární formou na V. Nechť B = b 1, b 2,..., b n je uspořádaná báze a x = (x 1, x 2,..., x n ) B. Platí c(x) = c(x 1 b 1 + x 2 b x n b n ) = x 1 c(b 1 ) + x 2 c(b 2 ) x n c(b n ) = x 1 c 1 + x 2 c x n c n, kde c i = c(b i ), i = 1, 2,..., n. Označíme-li C = (c 1, c 2,..., c n ), pak můžeme psát c(x) = C x T B, kde C je matice lineární formy vzhledem k uspořádané bázi B. Tato matice je určena jednoznačně. Věta 15.1: změna matice lineární formy při změně báze Nechť B = b 1, b 2,..., b n a F = f 1, f 2,..., f n jsou dvě uspořádané báze, matice F je matice přechodu od B k F, tedy x B = x F F, a C je matice lineární formy c vzhledem k bázi B. Pak c(x) = C x T B = C (x F F ) T = C F T x T F, tedy D = C F T je matice lineární formy c vzhledem k bázi F. Věta 15.2: Lineární forma přiřazuje vektoru x stejné hodnoty nezávisle na tom, ke které bázi je vyjádřena matice této formy. 16. Bilineární formy Definice 16.1: Bilineární formou b na vektorovém prostoru V rozumíme zobrazení b : V V R, které má pro každé x, y, z V a pro každé α, β R tyto vlastnosti: 1. b(αx + βy, z) = αb(x, z) + βb(y, z) 2. b(x, αy + βz) = αb(x, y) + βb(x, z). 21

22 Definice 16.2: Nechť b je bilineární forma na V, dimv = n, G = g 1, g 2,..., g n je uspořádaná báze ve V, x = (x 1, x 2,..., x n ) G a y = (y 1, y 2,..., y n ) G. Potom b(x, y) = x G B y T G, kde matice B je tvořena prvky b ij, pro které platí b ij = b(g i, g j ), i, j = 1, 2,..., n. Matice B je matice bilineární formy b vzhledem k bázi G. Matice B bilineární formy vzhledem k uspořádané bázi G je určena jednoznačně. Věta 16.1: Nechť B je matice bilineární formy b vzhledem k uspořádané bázi G a F je matice přechodu od uspořádané báze G k uspořádané bázi F. Potom matice D = F BF T je matice bilineární formy b vzhledem k bázi F. Definice 16.3: Bilineární formu b na V nazýváme * symetrickou, je-li b(x, y) = b(y, x) * antisymetrickou, je-li b(x, y) = b(y, x) pro každé x, y V. Věta 16.2: Bilineární forma b je symetrická, resp. antisymetrická, právě tehdy, když její matice je symetrická, resp. antisymetrická. Nechť b je bilineární forma na V. Potom b s (x, y) = 1 2 [b(x, y) + b(y, x)] je symetrická bilineární forma a b a (x, y) = 1 2 [b(x, y) b(y, x)] je antisymetrická bilineární forma. Důsledek 16.1: b s (x, y) + b a (x, y) = b(x, y), kde b s (x, y) je symetrická část, b a (x, y) je antisymetrická část formy b. Pro matice těchto bilineárních forem platí B s = 1 2 (B + BT ) a B a = 1 2 (B BT ), tedy B = B s + B a. Definice 16.4: Hodnost matice bilineární formy nazýváme hodnost bilineární formy. 17. Kvadratické formy Definice 17.1: Nechť b(x, y) je symetrická bilineární forma na V. Potom zobrazení q : V R, kde q(x) = b(x, x) pro každé x V, se nazývá kvadratická forma na V. Maticí kvadratické formy nazveme matici přidružené symetrické bilineární formy. Hodnost matice kvadratické formy nazveme hodností kvadratické formy. Věta 17.1: Každé symetrické bilineární formě b na V je přiřazena právě jedna kvadratická forma q na V a naopak. Věta 17.2: Nechť A je matice kvadratické formy q vzhledem k uspořádané bázi G a F je matice přechodu od báze G k uspořádané bázi F. Potom matice D = F AF T je matice kvadratické formy q vzhledem k bázi F. Věta 17.3: Nechť na vektorovém prostoru V dimenze n (n > 1) je dána kvadratická forma q(x). Pak existuje uspořádaná báze U = u 1, u 2,..., u n taková, že vzhledem k ní má kvadratická forma tvar q(x) = λ 1 x λ 2x λ nx 2 n, kde alespoň jedno λ i 0. 22

23 Definice 17.2: Uspořádaná báze U = u 1, u 2,..., u n, vzhledem k níž má kvadratická forma tvar q(x) = λ 1 x λ 2x λ nx 2 n, se nazývá polární báze. Tento zápis kvadratické formy nazýváme kanonickým tvarem kvadratické formy. Transformace kvadratické formy na kanonický tvar: q(x) = x G A x T G. Potom vhodnou transformací x G = x U P, kde P je matice přechodu od báze E k bázi U, dostaneme q(x) = x U P AP T x T U, kde P AP T je diagonální matice a kvadratická forma má tedy vzhledem k bázi U kanonický tvar. Řádky matice P jsou tvořeny lineárně nezávislými jednotkovými vlastními vektory matice A. Tyto vektory tvoří polární bázi U. Definice 17.3: I) Definitní kvadratické formy 1. Kvadratická forma q(x) na V je pozitivně definitní, je-li q(x) > 0 pro všechna x o. 2. Kvadratická forma q(x) na V je negativně definitní, je-li q(x) < 0 pro všechna x o. II) Semidefinitní kvadratické formy 1. Kvadratická forma q(x) na V je pozitivně semidefinitní, je-li q(x) 0 pro všechna x o, přičemž existují vektory x o, pro něž q(x) = Kvadratická forma q(x) na V je negativně semidefinitní, je-li q(x) 0 pro všechna x o, přičemž existují vektory x o, pro něž q(x) = 0. III) Indefinitní kvadratické formy Kvadratická forma q(x) na V je indefinitní, existují-li vektory x, y V takové, že q(x) > 0 q(y) < 0. Definice 17.4: Nechť kvadratická forma q(x) na vektorovém prostoru V je vzhledem k uspořádané polární bázi U = u 1, u 2,..., u n určena vztahem q(x) = λ 1 x λ 2x λ nx 2 n. Označme p počet kladných koeficientů λ i > 0, r počet záporných koeficientů λ i < 0. Potom uspořádanou dvojici (p,r) nazveme signaturou kvadratické formy q(x). Věta 17.4: Kvadratická forma q(x) na V má vzhledem ke každé polární bázi tutéž signaturu, tj. se změnou polární báze se nemění počet kladných a záporných koeficientů v rovnici q(x) = λ 1 x λ 2x λ nx 2 n. Věta 17.5: Nechť q(x) je kvadratická forma na V, kde dimv = n. Pak platí: 1. q(x) je pozitivně definitní právě tehdy, když je její signatura rovna (n, 0). 2. q(x) je negativně definitní právě tehdy, když je její signatura rovna (0, n). 3. q(x) je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když je její signatura rovna (p, 0), kde p < n. 4. q(x) je negativně semidefinitní právě tehdy, když je její signatura rovna (0, r), kde r < n. 5. q(x) je indefinitní právě tehdy, když je její signatura rovna (p, r), kde p < n, r < n, p + r n. 23

24 Sylvestrovo kritérium pro klasifikaci kvadratických forem: a 11 a 12 a 1n a Nechť A = 12 a 22 a 2n je matice kvadratické formy q(x) na V. Označme a 1n a 2n a nn a D 1 = a 11, D 2 = 11 a a 11 a 12 a a 12 a 22, D 3 = a 12 a 22 a 23,..., D n = A. a 13 a 23 a 33 D 1, D 2,..., D n se nazývají hlavní determinanty. 1) Je-li D i > 0 pro všechna i = 1, 2,..., n, tj. všechny hlavní determinanty jsou kladné, pak kvadratická forma q(x) je pozitivně definitní. 2) Je-li sgnd i = ( 1) i pro všechna i = 1, 2,..., n, tj. znaménka hlavních determinantů se střídají, přičemž D i < 0, pak kvadratická forma q(x) je negativně definitní. 3) Je-li D i 0 pro všechna i = 1, 2,..., n a alespoň jeden hlavní determinant má jiné znaménko než je uvedeno v bodech 1) a 2), pak je kvadratická forma q(x) indefinitní. Definice 17.5: Skalárním součinem na V nazveme každou symetrickou bilineární formu b na V, jejíž přidružená kvadratická forma je pozitivně definitní. Definice 17.6: Pro matici symetrické bilineární formy b vzhledem k uspořádané bázi G = g 1, g 2,..., g n platí b ij = b(g i, g j ) = g i g j. Tato matice se nazývá maticí skalárního součinu nebo Gramovou maticí. 24

25 Definice: Definice: Definice: Definice: 25

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více