12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25"

Transkript

1 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25

2 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant součinu matic 5. Rozvoj determinantu podle prvků libovolného řádku 6. Adjungovaná a inverzní matice 7. Determinant transponované matice 8. Determinant jako funkce sloupců 9. Cramerovy vzorce pro řešení soustav

3 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

4 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2

5 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2 [ a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 11 r 2 a 21 r 1 [ ] a11 a 12 b 1 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b 1 a 21

6 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2 [ a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 11 r 2 a 21 r 1 odkud pro a 11 a 22 a 12 a 21 0 dostaneme [ ] a11 a 12 b 1 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b 1 a 21 x 1 = b 1a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21, x 2 = a 11b 2 b 1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21.

7 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc.

8 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d

9 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d kde d = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22

10 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d kde d = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22 Tyto vzorce se dají zobecnit na řešení soustav n rovnic o n neznámých.

11 12. Determinanty p. 5/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [a ij ], necht M A ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. MaticeM A ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i,j).

12 12. Determinanty p. 5/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [a ij ], necht M A ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. MaticeM A ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i,j). PŘÍKLAD 1 A = , MA 12 =

13 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel:

14 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11.

15 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n 1. Pak deta = a 11 M A 11 a 12 M A 12 +a 13 M A ( 1) n+1 a 1n M A 1n

16 12.1 Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n 1. Pak deta = a 11 M A 11 a 12 M A 12 +a 13 M A ( 1) n+1 a 1n M A 1n Determinant matice je tedy funkce prvků matice, která je definována explicitně pron = 1 a pro n > 1 je definována pomocí pravidla, které definuje determinant matice řádu n pomocí determinantů řádu n Determinanty p. 6/25

17 12. Determinanty p. 7/ Induktivní definice determinantu PŘÍKLAD = = = 1( ) 2( )+3(1 2 ( 1) 1 ) = = 1 ( 5) = 8.

18 12. Determinanty p. 7/ Induktivní definice determinantu PŘÍKLAD = = = 1( ) 2( )+3(1 2 ( 1) 1 ) = = 1 ( 5) = 8. PŘÍKLAD 3 l l 21 l l n1 l n2... l nn = l 11 Odtud speciálně plyne deti = 1. l l 32 l l n2 l n3... l nn = = l 11 l nn.

19 12. Determinanty p. 8/ Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n.

20 12. Determinanty p. 8/ Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtunsoučinů čísel a determinantů matic řádu n 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n 1)n! součinů.

21 12.1 Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtunsoučinů čísel a determinantů matic řádu n 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n 1)n! součinů. Existují efektivnější postupy výpočtu determinantů. 12. Determinanty p. 8/25

22 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb.

23 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb. DŮKAZ: αra 1 = αa αa 1n a a 2n = αa 11 A αa 1n A 1n = αdeta a n1... a nn

24 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb. DŮKAZ: αra 1 = ra 1 +r B 1 = αa αa 1n a a 2n = αa 11 A αa 1n A 1n = αdeta a n1... a nn a 11 +b a 1n +b 1n a a 2n = a n1... a nn = (a 11 +b 11 )A (a 1n +b 1n )A 1n = = (a 11 A a 1n A 1n )+(b 11 A b 1n A 1n ) = deta+detb.

25 12. Determinanty p. 10/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1.

26 12. Determinanty p. 10/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1. DŮKAZ: Pron = 2 platí ra 1 = a 11 a 12 a 21 a = 22 r A 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = (a 21 a 12 a 22 a 11 ) = ra 2 r A 1.

27 12.2 Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1. DŮKAZ: Pron = 2 platí ra 1 = a 11 a 12 a 21 a = 22 r A 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = (a 21 a 12 a 22 a 11 ) = ra 2 r A 1. Důkaz pro obecnější případ se provede rozepsáním determinantů minorů v D2 a vhodnou úpravou. Úplný důkaz je však komplikovaný. 12. Determinanty p. 10/25

28 12. Determinanty p. 11/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 1 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n 2 a necht B = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak r A i deta = i r r A j j = A j i r A i j = detb.

29 12. Determinanty p. 11/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 1 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n 2 a necht B = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak r A i deta = i r r A j j = A j i r A i j = detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 2. Viz literatura.

30 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb.

31 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 1. Viz literatura.

32 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 1. Viz literatura. Věty 1. a 2. můžeme shrnout tvrzením, že determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice řádků matice.

33 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice:

34 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = 0.

35 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = 0.

36 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a r B k = r A k +αr A l, k l, pak deta = detb.

37 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a r B k = r A k +αr A l, k l, pak deta = detb. 4. Jsou-li řádky A lineárně závislé, pak deta = 0.

38 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu.

39 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu

40 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant

41 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění

42 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění Elementární řádkové úpravy matice proto můžeme využít k převodu matice na speciální tvar vhodný pro výpočet determinantu. Pro nás je to prozatím dolní trojúhelníková matice, jejíž determinant je podle příkladu 3 roven součinu diagonálních prvků.

43 12. Determinanty p. 15/ Výpočet hodnoty determinantu PŘÍKLAD r 3 +2r 3 = = = r 2 = = 2 ( 6) 1 ( 1) = 12

44 12.3 Výpočet hodnoty determinantu PŘÍKLAD r 3 +2r 3 = = = r 2 = = 2 ( 6) 1 ( 1) = 12 PŘÍKLAD r 3 = r 2 = r 3 = = ( 2) 1 1 = Determinanty p. 15/ r 2 =

45 12. Determinanty p. 16/ Determinant součinu matic VĚTA 3 Necht A a B jsou čtvercové matice řádun. Pak det(ab) = deta detb.

46 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného 12. Determinanty p. 17/25 řádku VĚTA 4 JestližeA = [a ij ] je čtvercová matice řádun > 1, pak pro libovolný index k platí deta = a k1 A k1 + +a kn A kn.

47 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného 12. Determinanty p. 17/25 řádku VĚTA 4 JestližeA = [a ij ] je čtvercová matice řádun > 1, pak pro libovolný index k platí deta = a k1 A k1 + +a kn A kn. DŮSLEDEK: Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádun > Jsou-li k,l dva různé indexy řádků matice A, pak a k1 A l1 + +a kn A ln = Je-li A trojúhelníková matice, pak deta = a 11 a nn.

48 12. Determinanty p. 18/ Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Necht A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice à k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem [ ] A11... A n1 à = A 1n... A nn

49 12. Determinanty p. 18/ Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Necht A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice à k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem [ ] A11... A n1 à = A 1n... A nn PŘÍKLAD 6 Pro matici A = je à =

50 12. Determinanty p. 19/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 6 Pokračování Opravdu A 11 = = 2, A 12 = = ( 2 6) = 8, A 13 = = 2, A 21 = = ( 2 1) = 3, A 22 = = 3 3 = 6, A 23 = = 3, A 31 = = 4, A 32 = = 4, A 33 = = 4.

51 12. Determinanty p. 20/ Adjungovaná a inverzní matice VĚTA 5 Necht A je čtvercová regulární matice řádun > 1. PakdetA 0 a A 1 = 1 detaã.

52 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = =

53 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = = DŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když deta 0.

54 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = = DŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když deta 0. DŮKAZ: Je-li A singulární, pak má závislé řádky, takže podle důsledku 4 vět 1 a 2 platí deta = 0. Obrácené tvrzení plyne z věty 5.

55 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta.

56 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp.

57 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici.

58 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP.

59 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP. S použitím věty o součinu determinantů odtud plyne deta = det(p U L ) = P U L = L U P = det(lup) = deta.

60 12. Determinanty p. 23/ Determinant jako funkce sloupců Z věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice.

61 12. Determinanty p. 23/ Determinant jako funkce sloupců Z věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice. VĚTA 7 Necht A je čtvercová matice řádun > 1. Pak proi = 1,...,n platí deta = a 1i A 1i + +a ni A ni.

62 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce

63 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ).

64 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice

65 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i A b i = [ b ] = [ s A 1... s A i 1 b s A i+1... s A n která vznikne z A záměnoui-tého sloupce za b. ],

66 12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i A b i = [ b ] = [ s A 1... s A i 1 b s A i+1... s A n která vznikne z A záměnoui-tého sloupce za b. Výrazy ], x i = detab i deta, se nazývají Cramerovy vzorce. i = 1,...,n 12. Determinanty p. 24/25

67 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0

68 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20

69 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20 a čitatele Cramerových vzorců A b = = 12, Ab 2 = = 48, Ab 3 = = 12

70 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20 a čitatele Cramerových vzorců A b = = 12, Ab 2 = = 48, Ab 3 = = 12 Odtud x 1 = Ab 1 deta = 3 5, x 2 = Ab 2 deta = 12 5, x 3 = Ab 3 deta = 3 5.

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Interaktivní výuka lineární algebry na internetu Interactive learning of linear algebra on internet

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více