12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25"

Transkript

1 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25

2 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant součinu matic 5. Rozvoj determinantu podle prvků libovolného řádku 6. Adjungovaná a inverzní matice 7. Determinant transponované matice 8. Determinant jako funkce sloupců 9. Cramerovy vzorce pro řešení soustav

3 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

4 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2

5 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2 [ a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 11 r 2 a 21 r 1 [ ] a11 a 12 b 1 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b 1 a 21

6 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2 [ a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 11 r 2 a 21 r 1 odkud pro a 11 a 22 a 12 a 21 0 dostaneme [ ] a11 a 12 b 1 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b 1 a 21 x 1 = b 1a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21, x 2 = a 11b 2 b 1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21.

7 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc.

8 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d

9 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d kde d = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22

10 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d kde d = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22 Tyto vzorce se dají zobecnit na řešení soustav n rovnic o n neznámých.

11 12. Determinanty p. 5/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [a ij ], necht M A ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. MaticeM A ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i,j).

12 12. Determinanty p. 5/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [a ij ], necht M A ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. MaticeM A ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i,j). PŘÍKLAD 1 A = , MA 12 =

13 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel:

14 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11.

15 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n 1. Pak deta = a 11 M A 11 a 12 M A 12 +a 13 M A ( 1) n+1 a 1n M A 1n

16 12.1 Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n 1. Pak deta = a 11 M A 11 a 12 M A 12 +a 13 M A ( 1) n+1 a 1n M A 1n Determinant matice je tedy funkce prvků matice, která je definována explicitně pron = 1 a pro n > 1 je definována pomocí pravidla, které definuje determinant matice řádu n pomocí determinantů řádu n Determinanty p. 6/25

17 12. Determinanty p. 7/ Induktivní definice determinantu PŘÍKLAD = = = 1( ) 2( )+3(1 2 ( 1) 1 ) = = 1 ( 5) = 8.

18 12. Determinanty p. 7/ Induktivní definice determinantu PŘÍKLAD = = = 1( ) 2( )+3(1 2 ( 1) 1 ) = = 1 ( 5) = 8. PŘÍKLAD 3 l l 21 l l n1 l n2... l nn = l 11 Odtud speciálně plyne deti = 1. l l 32 l l n2 l n3... l nn = = l 11 l nn.

19 12. Determinanty p. 8/ Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n.

20 12. Determinanty p. 8/ Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtunsoučinů čísel a determinantů matic řádu n 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n 1)n! součinů.

21 12.1 Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtunsoučinů čísel a determinantů matic řádu n 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n 1)n! součinů. Existují efektivnější postupy výpočtu determinantů. 12. Determinanty p. 8/25

22 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb.

23 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb. DŮKAZ: αra 1 = αa αa 1n a a 2n = αa 11 A αa 1n A 1n = αdeta a n1... a nn

24 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb. DŮKAZ: αra 1 = ra 1 +r B 1 = αa αa 1n a a 2n = αa 11 A αa 1n A 1n = αdeta a n1... a nn a 11 +b a 1n +b 1n a a 2n = a n1... a nn = (a 11 +b 11 )A (a 1n +b 1n )A 1n = = (a 11 A a 1n A 1n )+(b 11 A b 1n A 1n ) = deta+detb.

25 12. Determinanty p. 10/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1.

26 12. Determinanty p. 10/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1. DŮKAZ: Pron = 2 platí ra 1 = a 11 a 12 a 21 a = 22 r A 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = (a 21 a 12 a 22 a 11 ) = ra 2 r A 1.

27 12.2 Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1. DŮKAZ: Pron = 2 platí ra 1 = a 11 a 12 a 21 a = 22 r A 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = (a 21 a 12 a 22 a 11 ) = ra 2 r A 1. Důkaz pro obecnější případ se provede rozepsáním determinantů minorů v D2 a vhodnou úpravou. Úplný důkaz je však komplikovaný. 12. Determinanty p. 10/25

28 12. Determinanty p. 11/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 1 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n 2 a necht B = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak r A i deta = i r r A j j = A j i r A i j = detb.

29 12. Determinanty p. 11/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 1 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n 2 a necht B = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak r A i deta = i r r A j j = A j i r A i j = detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 2. Viz literatura.

30 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb.

31 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 1. Viz literatura.

32 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 1. Viz literatura. Věty 1. a 2. můžeme shrnout tvrzením, že determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice řádků matice.

33 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice:

34 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = 0.

35 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = 0.

36 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a r B k = r A k +αr A l, k l, pak deta = detb.

37 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a r B k = r A k +αr A l, k l, pak deta = detb. 4. Jsou-li řádky A lineárně závislé, pak deta = 0.

38 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu.

39 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu

40 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant

41 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění

42 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění Elementární řádkové úpravy matice proto můžeme využít k převodu matice na speciální tvar vhodný pro výpočet determinantu. Pro nás je to prozatím dolní trojúhelníková matice, jejíž determinant je podle příkladu 3 roven součinu diagonálních prvků.

43 12. Determinanty p. 15/ Výpočet hodnoty determinantu PŘÍKLAD r 3 +2r 3 = = = r 2 = = 2 ( 6) 1 ( 1) = 12

44 12.3 Výpočet hodnoty determinantu PŘÍKLAD r 3 +2r 3 = = = r 2 = = 2 ( 6) 1 ( 1) = 12 PŘÍKLAD r 3 = r 2 = r 3 = = ( 2) 1 1 = Determinanty p. 15/ r 2 =

45 12. Determinanty p. 16/ Determinant součinu matic VĚTA 3 Necht A a B jsou čtvercové matice řádun. Pak det(ab) = deta detb.

46 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného 12. Determinanty p. 17/25 řádku VĚTA 4 JestližeA = [a ij ] je čtvercová matice řádun > 1, pak pro libovolný index k platí deta = a k1 A k1 + +a kn A kn.

47 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného 12. Determinanty p. 17/25 řádku VĚTA 4 JestližeA = [a ij ] je čtvercová matice řádun > 1, pak pro libovolný index k platí deta = a k1 A k1 + +a kn A kn. DŮSLEDEK: Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádun > Jsou-li k,l dva různé indexy řádků matice A, pak a k1 A l1 + +a kn A ln = Je-li A trojúhelníková matice, pak deta = a 11 a nn.

48 12. Determinanty p. 18/ Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Necht A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice à k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem [ ] A11... A n1 à = A 1n... A nn

49 12. Determinanty p. 18/ Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Necht A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice à k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem [ ] A11... A n1 à = A 1n... A nn PŘÍKLAD 6 Pro matici A = je à =

50 12. Determinanty p. 19/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 6 Pokračování Opravdu A 11 = = 2, A 12 = = ( 2 6) = 8, A 13 = = 2, A 21 = = ( 2 1) = 3, A 22 = = 3 3 = 6, A 23 = = 3, A 31 = = 4, A 32 = = 4, A 33 = = 4.

51 12. Determinanty p. 20/ Adjungovaná a inverzní matice VĚTA 5 Necht A je čtvercová regulární matice řádun > 1. PakdetA 0 a A 1 = 1 detaã.

52 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = =

53 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = = DŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když deta 0.

54 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = = DŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když deta 0. DŮKAZ: Je-li A singulární, pak má závislé řádky, takže podle důsledku 4 vět 1 a 2 platí deta = 0. Obrácené tvrzení plyne z věty 5.

55 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta.

56 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp.

57 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici.

58 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP.

59 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP. S použitím věty o součinu determinantů odtud plyne deta = det(p U L ) = P U L = L U P = det(lup) = deta.

60 12. Determinanty p. 23/ Determinant jako funkce sloupců Z věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice.

61 12. Determinanty p. 23/ Determinant jako funkce sloupců Z věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice. VĚTA 7 Necht A je čtvercová matice řádun > 1. Pak proi = 1,...,n platí deta = a 1i A 1i + +a ni A ni.

62 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce

63 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ).

64 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice

65 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i A b i = [ b ] = [ s A 1... s A i 1 b s A i+1... s A n která vznikne z A záměnoui-tého sloupce za b. ],

66 12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i A b i = [ b ] = [ s A 1... s A i 1 b s A i+1... s A n která vznikne z A záměnoui-tého sloupce za b. Výrazy ], x i = detab i deta, se nazývají Cramerovy vzorce. i = 1,...,n 12. Determinanty p. 24/25

67 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0

68 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20

69 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20 a čitatele Cramerových vzorců A b = = 12, Ab 2 = = 48, Ab 3 = = 12

70 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20 a čitatele Cramerových vzorců A b = = 12, Ab 2 = = 48, Ab 3 = = 12 Odtud x 1 = Ab 1 deta = 3 5, x 2 = Ab 2 deta = 12 5, x 3 = Ab 3 deta = 3 5.

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3 SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí).

p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí). Kapitola 10 Determinanty Začneme pomocnou definicí Definice 101 Vzájemně jednoznačné zobrazení p : X X nazýváme permutace na množině X Je-li p permutace na množině X, pak inverzní zobrazení p 1 : X X nazýváme

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava tel (553 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 1: Matice a determinanty 1 Přehled základních pojmů a tvrzení Základní pojmy Číselná

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ). Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1

Více

D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn

D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14

9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14 9. Bilineární formy 9. Bilineární formy p. 1/14 9. Bilineární formy p. 2/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma

DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j

Více

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Univerzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu.

Univerzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. Univerzitní licence MATLABu Pište mail na: operator@service.zcu.cz se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. * násobení maticové K = L = 1 2 5 6 3 4 7 8 Příklad: M = K * L N = L * K (2,2) = (2,2) * (2,2)

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových

Více

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty @7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice:

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS)

ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) Info ke zkoušce: zkouška Algebra 2 je typu kolokvium (= ústní zkouška), tj. u zkoušky není žádná písemka, jen ústní část. Máte

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více