12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25"

Transkript

1 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25

2 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant součinu matic 5. Rozvoj determinantu podle prvků libovolného řádku 6. Adjungovaná a inverzní matice 7. Determinant transponované matice 8. Determinant jako funkce sloupců 9. Cramerovy vzorce pro řešení soustav

3 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

4 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2

5 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2 [ a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 11 r 2 a 21 r 1 [ ] a11 a 12 b 1 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b 1 a 21

6 12. Determinanty p. 3/ Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme [ [ ] a11 a 12 b 1 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 22 r 1 a 12 r 2 a 11 a 22 a 12 a 21 0 b 1 a 22 a 12 b 2 [ a11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ]a 11 r 2 a 21 r 1 odkud pro a 11 a 22 a 12 a 21 0 dostaneme [ ] a11 a 12 b 1 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b 1 a 21 x 1 = b 1a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21, x 2 = a 11b 2 b 1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21.

7 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc.

8 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d

9 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d kde d = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22

10 12. Determinanty p. 4/ Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: [ a b det c d ] = a b c d = ad bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 =, x 2 = d d kde d = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22 Tyto vzorce se dají zobecnit na řešení soustav n rovnic o n neznámých.

11 12. Determinanty p. 5/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [a ij ], necht M A ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. MaticeM A ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i,j).

12 12. Determinanty p. 5/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [a ij ], necht M A ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. MaticeM A ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i,j). PŘÍKLAD 1 A = , MA 12 =

13 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel:

14 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11.

15 12. Determinanty p. 6/ Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n 1. Pak deta = a 11 M A 11 a 12 M A 12 +a 13 M A ( 1) n+1 a 1n M A 1n

16 12.1 Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo A a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-lin = 1, pak deta = det[a 11 ] = a 11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n 1. Pak deta = a 11 M A 11 a 12 M A 12 +a 13 M A ( 1) n+1 a 1n M A 1n Determinant matice je tedy funkce prvků matice, která je definována explicitně pron = 1 a pro n > 1 je definována pomocí pravidla, které definuje determinant matice řádu n pomocí determinantů řádu n Determinanty p. 6/25

17 12. Determinanty p. 7/ Induktivní definice determinantu PŘÍKLAD = = = 1( ) 2( )+3(1 2 ( 1) 1 ) = = 1 ( 5) = 8.

18 12. Determinanty p. 7/ Induktivní definice determinantu PŘÍKLAD = = = 1( ) 2( )+3(1 2 ( 1) 1 ) = = 1 ( 5) = 8. PŘÍKLAD 3 l l 21 l l n1 l n2... l nn = l 11 Odtud speciálně plyne deti = 1. l l 32 l l n2 l n3... l nn = = l 11 l nn.

19 12. Determinanty p. 8/ Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n.

20 12. Determinanty p. 8/ Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtunsoučinů čísel a determinantů matic řádu n 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n 1)n! součinů.

21 12.1 Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem A ij = ( 1) i+j M A ij Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru. deta = a 11 A a 1n A 1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtunsoučinů čísel a determinantů matic řádu n 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n 1)n! součinů. Existují efektivnější postupy výpočtu determinantů. 12. Determinanty p. 8/25

22 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb.

23 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb. DŮKAZ: αra 1 = αa αa 1n a a 2n = αa 11 A αa 1n A 1n = αdeta a n1... a nn

24 12. Determinanty p. 9/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Necht A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, aαje libovolný skalár. Pak αra 1 = αdeta, r A 1 +r B 1 = deta+detb. DŮKAZ: αra 1 = ra 1 +r B 1 = αa αa 1n a a 2n = αa 11 A αa 1n A 1n = αdeta a n1... a nn a 11 +b a 1n +b 1n a a 2n = a n1... a nn = (a 11 +b 11 )A (a 1n +b 1n )A 1n = = (a 11 A a 1n A 1n )+(b 11 A b 1n A 1n ) = deta+detb.

25 12. Determinanty p. 10/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1.

26 12. Determinanty p. 10/ Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1. DŮKAZ: Pron = 2 platí ra 1 = a 11 a 12 a 21 a = 22 r A 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = (a 21 a 12 a 22 a 11 ) = ra 2 r A 1.

27 12.2 Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Necht A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n 2. Pak r A 1 deta = r A r A 2 2 = r A 1. DŮKAZ: Pron = 2 platí ra 1 = a 11 a 12 a 21 a = 22 r A 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = (a 21 a 12 a 22 a 11 ) = ra 2 r A 1. Důkaz pro obecnější případ se provede rozepsáním determinantů minorů v D2 a vhodnou úpravou. Úplný důkaz je však komplikovaný. 12. Determinanty p. 10/25

28 12. Determinanty p. 11/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 1 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n 2 a necht B = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak r A i deta = i r r A j j = A j i r A i j = detb.

29 12. Determinanty p. 11/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 1 Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n 2 a necht B = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak r A i deta = i r r A j j = A j i r A i j = detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 2. Viz literatura.

30 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb.

31 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 1. Viz literatura.

32 12. Determinanty p. 12/ Determinant a antisymetrické formy VĚTA 2 Necht A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné α platí k αr A k = αdeta, k r A k +rb k = deta+detb. DŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 1. Viz literatura. Věty 1. a 2. můžeme shrnout tvrzením, že determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice řádků matice.

33 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice:

34 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = 0.

35 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = 0.

36 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a r B k = r A k +αr A l, k l, pak deta = detb.

37 12. Determinanty p. 13/ Determinant a antisymetrické formy DŮSLEDEK: Necht A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak deta = Má-li A nulový řádek, pak deta = Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a r B k = r A k +αr A l, k l, pak deta = detb. 4. Jsou-li řádky A lineárně závislé, pak deta = 0.

38 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu.

39 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu

40 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant

41 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění

42 12. Determinanty p. 14/ Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 2. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant 3. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění Elementární řádkové úpravy matice proto můžeme využít k převodu matice na speciální tvar vhodný pro výpočet determinantu. Pro nás je to prozatím dolní trojúhelníková matice, jejíž determinant je podle příkladu 3 roven součinu diagonálních prvků.

43 12. Determinanty p. 15/ Výpočet hodnoty determinantu PŘÍKLAD r 3 +2r 3 = = = r 2 = = 2 ( 6) 1 ( 1) = 12

44 12.3 Výpočet hodnoty determinantu PŘÍKLAD r 3 +2r 3 = = = r 2 = = 2 ( 6) 1 ( 1) = 12 PŘÍKLAD r 3 = r 2 = r 3 = = ( 2) 1 1 = Determinanty p. 15/ r 2 =

45 12. Determinanty p. 16/ Determinant součinu matic VĚTA 3 Necht A a B jsou čtvercové matice řádun. Pak det(ab) = deta detb.

46 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného 12. Determinanty p. 17/25 řádku VĚTA 4 JestližeA = [a ij ] je čtvercová matice řádun > 1, pak pro libovolný index k platí deta = a k1 A k1 + +a kn A kn.

47 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného 12. Determinanty p. 17/25 řádku VĚTA 4 JestližeA = [a ij ] je čtvercová matice řádun > 1, pak pro libovolný index k platí deta = a k1 A k1 + +a kn A kn. DŮSLEDEK: Necht A = [a ij ] je čtvercová matice řádun > Jsou-li k,l dva různé indexy řádků matice A, pak a k1 A l1 + +a kn A ln = Je-li A trojúhelníková matice, pak deta = a 11 a nn.

48 12. Determinanty p. 18/ Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Necht A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice à k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem [ ] A11... A n1 à = A 1n... A nn

49 12. Determinanty p. 18/ Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Necht A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice à k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem [ ] A11... A n1 à = A 1n... A nn PŘÍKLAD 6 Pro matici A = je à =

50 12. Determinanty p. 19/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 6 Pokračování Opravdu A 11 = = 2, A 12 = = ( 2 6) = 8, A 13 = = 2, A 21 = = ( 2 1) = 3, A 22 = = 3 3 = 6, A 23 = = 3, A 31 = = 4, A 32 = = 4, A 33 = = 4.

51 12. Determinanty p. 20/ Adjungovaná a inverzní matice VĚTA 5 Necht A je čtvercová regulární matice řádun > 1. PakdetA 0 a A 1 = 1 detaã.

52 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = =

53 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = = DŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když deta 0.

54 12. Determinanty p. 21/ Adjungovaná a inverzní matice PŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme = = DŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když deta 0. DŮKAZ: Je-li A singulární, pak má závislé řádky, takže podle důsledku 4 vět 1 a 2 platí deta = 0. Obrácené tvrzení plyne z věty 5.

55 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta.

56 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp.

57 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici.

58 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP.

59 12. Determinanty p. 22/ Determinant transponované matice VĚTA 6 Necht A je čtvercová matice. Pak deta = deta. DŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvarup = P 1 P k součinu elementárních permutačních maticp i, které jsou symetrické, takže P = P k P 1 a detp = P k P 1 = detp. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP. S použitím věty o součinu determinantů odtud plyne deta = det(p U L ) = P U L = L U P = det(lup) = deta.

60 12. Determinanty p. 23/ Determinant jako funkce sloupců Z věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice.

61 12. Determinanty p. 23/ Determinant jako funkce sloupců Z věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice. VĚTA 7 Necht A je čtvercová matice řádun > 1. Pak proi = 1,...,n platí deta = a 1i A 1i + +a ni A ni.

62 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce

63 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ).

64 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice

65 12. Determinanty p. 24/ Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i A b i = [ b ] = [ s A 1... s A i 1 b s A i+1... s A n která vznikne z A záměnoui-tého sloupce za b. ],

66 12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádun > 1, dostaneme pro složkyx i řešení x vzorce x i = [ A 1 b ] i = 1 deta (A 1ib 1 + +A ni b n ). Minory příslušné k prvkůmi-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i A b i = [ b ] = [ s A 1... s A i 1 b s A i+1... s A n která vznikne z A záměnoui-tého sloupce za b. Výrazy ], x i = detab i deta, se nazývají Cramerovy vzorce. i = 1,...,n 12. Determinanty p. 24/25

67 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0

68 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20

69 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20 a čitatele Cramerových vzorců A b = = 12, Ab 2 = = 48, Ab 3 = = 12

70 12. Determinanty p. 25/ Cramerovy vzorce PŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 x 3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy A = = 20 a čitatele Cramerových vzorců A b = = 12, Ab 2 = = 48, Ab 3 = = 12 Odtud x 1 = Ab 1 deta = 3 5, x 2 = Ab 2 deta = 12 5, x 3 = Ab 3 deta = 3 5.

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14

9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14 9. Bilineární formy 9. Bilineární formy p. 1/14 9. Bilineární formy p. 2/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty @7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice:

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

1.1 Operace s maticemi Soustavy lineárních rovnic Maticové rovnice a výpočet inverzní matice Elementární matice...

1.1 Operace s maticemi Soustavy lineárních rovnic Maticové rovnice a výpočet inverzní matice Elementární matice... Obsah Předmluva 3 Matice 5 Operace s maticemi 6 2 Soustavy lineárních rovnic 3 3 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 7 4 Elementární matice 2 5 Cvičení 23 6 Řešení 24 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Lineární algebra a geometrie ZS

Lineární algebra a geometrie ZS Lineární algebra a geometrie ZS Základní informace Doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc., Katedra algebry http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/ akademický rok 2011/2012, zimní semestr Základní informace... 1 Přednáška

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

rozumíme obdélníkovou tabulku

rozumíme obdélníkovou tabulku Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Cvičení č. 13 Determinant a vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Adjungovaná a inverzní matice. Cramerovo pravidlo.

Cvičení č. 13 Determinant a vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Adjungovaná a inverzní matice. Cramerovo pravidlo. Cvičení z ineární agebry 64 Vít Vondrák Cvičení č 3 Determinant a vastnosti determinantů Výpočet determinant djngovaná a inverzní matice Cramerovo pravido Determinant Definice: Nechť je reáná čtvercová

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic

MASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky

Více