1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35"

Transkript

1 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35

2 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný vektor 4. Matice 5. Násobení matice skalárem a sčítání matic 6. Nulová matice a odečítání matic 7. Transponované matice 8. Násobení matice a vektoru 9. Násobení matic

3 1. Matice a maticové operace p. 3/ Aritmetické vektory DEFINICE 1 n-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná n-tice čísel, jejíž prvky se nazývají složky. Tyto uspořádané n- tice budeme zapisovat do hranatých závorek do řádků nebo sloupců.

4 1. Matice a maticové operace p. 3/ Aritmetické vektory DEFINICE 1 n-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná n-tice čísel, jejíž prvky se nazývají složky. Tyto uspořádané n- tice budeme zapisovat do hranatých závorek do řádků nebo sloupců. PŘÍKLAD 1 Vektor průhybů lana z příkladu III z úvodní přednášky můžeme definovat předpisem u = u 0,u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6. Řešením úlohy je pak vektor u = 0, , , , , , 0

5 1. Matice a maticové operace p. 4/ Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značitv i. Např.u 1 = u 0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = 1,2 je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný.

6 1. Matice a maticové operace p. 4/ Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značitv i. Např.u 1 = u 0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = 1,2 je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný. DEFINICE 2 Dva aritmetické vektory u a v považujeme za stejné (píšeme u = v), jestliže mají stejnou dimenzi n a stejné odpovídající složky, tj. u 1 = v 1,...,u n = v n. Vektory u a v, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme u v).

7 1. Matice a maticové operace p. 4/ Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značitv i. Např.u 1 = u 0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = 1,2 je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný. DEFINICE 2 Dva aritmetické vektory u a v považujeme za stejné (píšeme u = v), jestliže mají stejnou dimenzi n a stejné odpovídající složky, tj. u 1 = v 1,...,u n = v n. Vektory u a v, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme u v). Jestliže u = 1,2 av = 2,1, pak u 1 = 1,v 1 = 2, takže u v.

8 1. Matice a maticové operace p. 5/ Aritmetické vektory Dvou a třírozměrné vektory - polohové vektory Volné a vázané vektory

9 1. Matice a maticové operace p. 5/ Aritmetické vektory Dvou a třírozměrné vektory - polohové vektory Vícerozměrné vektory: Volné a vázané vektory Znázornění vektoru 1, 2, 1, 2

10 1. Matice a maticové operace p. 6/ Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 3 Součin skaláru (čísla) α a aritmetického vektoru u = u 1,...,u n je vektor αu definovaný předpisem αu = αu 1,...,αu n.

11 1. Matice a maticové operace p. 6/ Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 3 Součin skaláru (čísla) α a aritmetického vektoru u = u 1,...,u n je vektor αu definovaný předpisem Pro složky αu tedy platí αu = αu 1,...,αu n. αu i = αu i, i = 1,...,n, například 31,2 = 3 1,3 2 = 3,6, 31,2 1 = 3 1 = 3, 31,2 = 3 2 = 6. 2

12 1. Matice a maticové operace p. 7/ Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = u 1,...,u n a v = v 1,...,v n stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem u+v = u 1 +v 1,...,u n +v n.

13 1.2 Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = u 1,...,u n a v = v 1,...,v n stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem Pro složky u+v tedy platí u+v = u 1 +v 1,...,u n +v n. u + v i = u i + v i, i = 1,...,n. Například 1,2+2,3 = 1+2,2+3 = 3,5, 1,2+2,3 = 1+2 = 3, 1 1,2+2,3 2 = 2+3 = Matice a maticové operace p. 7/35

14 1.2 Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = u 1,...,u n a v = v 1,...,v n stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem Pro složky u+v tedy platí u+v = u 1 +v 1,...,u n +v n. u + v i = u i + v i, i = 1,...,n. Například 1,2+2,3 = 1+2,2+3 = 3,5, 1,2+2,3 = 1+2 = 3, 1 1,2+2,3 2 = 2+3 = Matice a maticové operace p. 7/35

15 1. Matice a maticové operace p. 8/ Operace s aritmetickými vektory VĚTA 1 Pro libovolná čísla α, β a vektory u,v,w stejné dimenze platí: DŮKAZ: (6)1u i = 1u i = u i u+(v+w) = (u+v)+w (1) u+v = v+u (2) α(u+v) = αu+αv (3) (α+β)u = αu+βu (4) α(βu) = (αβ)u (5) 1u = u (6)

16 1. Matice a maticové operace p. 9/ Operace s aritmetickými vektory Vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými vektory. Např. stokrát výpočet 2.0u+2.0v s vektory u avdimenze zabírá sekund, zatímco výpočet 2.0(u+v) pouze sekund.

17 1. Matice a maticové operace p. 9/ Operace s aritmetickými vektory Vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými vektory. Např. stokrát výpočet 2.0u+2.0v s vektory u avdimenze zabírá sekund, zatímco výpočet 2.0(u+v) pouze sekund. Operaceαu+αv totiž potřebuje 2n operací násobení skaláru se složkami obou vektorů an operací součtů složek vektorů, tj. celkem 3n operací, výrazα(u+v) potřebuje n při součtu obou vektorů an operací násobení složek vektorů skalárem, tj. celkem2n operací, tedy pouze 2 původního počtu operací. 3

18 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u.

19 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u+o n = u. Opačný vektor splňuje u +( u) = o.

20 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u+o n = u. Opačný vektor splňuje u +( u) = o. Jestliže u a v jsou libovolné aritmetické vektory stejné dimenze, pak jediný vektor x, který splňuje u+x = v lze zapsat ve tvaru x = v+( u) = ( u)+v.

21 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u+o n = u. Opačný vektor splňuje u +( u) = o. Jestliže u a v jsou libovolné aritmetické vektory stejné dimenze, pak jediný vektor x, který splňuje u+x = v lze zapsat ve tvaru x = v+( u) = ( u)+v. Rozdíl aritmetických vektorů: v u = v +( u)

22 1. Matice a maticové operace p. 11/ Matice DEFINICE 6 Necht jsou dány prvky a 11,a 12,...,a mn z dané množiny F. Matice typu (m, n) (stručně m n matice) je obdélníková tabulka a11... a 1n A =..... a m1... a mn která má mn prvků a ij uspořádaných do m řádků r A i a n sloupců s A j, takže r A A = 1. = s A 1,...,sA n, r A m r A i = a i1,...,a in, s A j = Stručně píšeme též A = a ij. a1j. a mj.

23 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla).

24 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální).

25 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n.

26 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n.

27 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m,1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m.

28 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m,1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m. Prvky a 11,...,a ss,s = min{m,n} tvoří diagonálu matice A.

29 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m,1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m. Prvky a 11,...,a ss,s = min{m,n} tvoří diagonálu matice A. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A značímea ij.

30 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A =

31 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A = Reálná matice typu (7,8), tj. A R 7,8. Diagonála: 1,0,0,1,1,0,0. A 63 = 1.

32 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A = Matice z příkladu III z úvodní přednášky: A = Reálná matice typu (7,8), tj. A R 7,8. Diagonála: 1,0,0,1,1,0,0. A 63 = 1.

33 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A = Reálná matice typu (7,8), tj. A R 7,8. Diagonála: 1,0,0,1,1,0,0. A 63 = 1. Matice z příkladu III z úvodní přednášky: A = Reálná čtvercová matice řádu 5, tj. A R 5,5. Diagonála: 2,2,2,2,2. A 43 = 1.

34 1. Matice a maticové operace p. 14/ Matice DEFINICE 7 Matice A a B považujeme za stejné (píšeme A = B), jestliže jsou stejného typu a mají stejné odpovídající prvky, tj. A ij = B ij. Matice A a B, které nejsou stejné, jsou různé (píšemea B).

35 1. Matice a maticové operace p. 14/ Matice DEFINICE 7 Matice A a B považujeme za stejné (píšeme A = B), jestliže jsou stejného typu a mají stejné odpovídající prvky, tj. A ij = B ij. Matice A a B, které nejsou stejné, jsou různé (píšemea B). PŘÍKLAD ,2,

36 1. Matice a maticové operace p. 15/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 8 Součin skaláruαamatice A je maticeαa stejného typu jako A definovaná předpisem αa ij = αa ij.

37 1. Matice a maticové operace p. 15/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 8 Součin skaláruαamatice A je maticeαa stejného typu jako A definovaná předpisem αa ij = αa ij. PŘÍKLAD =

38 1. Matice a maticové operace p. 16/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 9 Součet matic A a B stejného typu je matice A + B stejného typu jako A a B definovaná předpisem A+B ij = A ij +B ij.

39 1. Matice a maticové operace p. 16/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 9 Součet matic A a B stejného typu je matice A + B stejného typu jako A a B definovaná předpisem A+B ij = A ij +B ij. PŘÍKLAD =

40 1. Matice a maticové operace p. 17/ Násobení matice skalárem a sčítání matic VĚTA 2 Pro libovolné číselné matice A, B, C stejného typu a pro libovolné skaláry α,β platí vztahy: A+(B+C) = (A+B)+C (1) DŮKAZ: (6)1A ij = 1A ij = A ij A+B = B+A (2) α(a+b) = αa+αb (3) (α+β)a = αa+βa (4) α(βa) = (αβ)a (5) 1A = A (6)

41 1. Matice a maticové operace p. 18/ Násobení matice skalárem a sčítání matic Obdobně jako v případě vektorů, vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými maticemi. Např. stokrát výpočet 2.0A+3.0A s čtvercovou maticí řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet ( )A pouze sekund.

42 1. Matice a maticové operace p. 18/ Násobení matice skalárem a sčítání matic Obdobně jako v případě vektorů, vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými maticemi. Např. stokrát výpočet 2.0A+3.0A s čtvercovou maticí řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet ( )A pouze sekund. OperaceαA+βA se čtvercovou maticí řáduntotiž potřebuje 2n 2 operací násobení skalárů se složkami matice an 2 operací součtů složek matic, tj. celkem3n 2 operací, výraz(α+β)a potřebuje 1 při součtu obou skalárů an 2 operací násobení složek matice skalárem, tj. celkemn 2 +1 operací, tedy pouze 1 původního počtu operací. 3

43 1. Matice a maticové operace p. 19/ Nulová matice a odečítání matic DEFINICE 10 Matice O = se nazývá nulová matice. Nulová matice typu (m,n) se značí O mn. Je-li A libovolná matice pak matice A se nazývá opačná matice k matici A a platí A ij = A ij

44 1. Matice a maticové operace p. 20/ Nulová matice a odečítání matic VĚTA 3 Pro libovolnou matici A a nulovou matici stejného typu platí A+O = A (1) A+( A) = O (2) A = ( 1)A (3)

45 1. Matice a maticové operace p. 20/ Nulová matice a odečítání matic VĚTA 3 Pro libovolnou matici A a nulovou matici stejného typu platí DŮKAZ: A+O = A (1) A+( A) = O (2) A = ( 1)A (3) (1):A+O ij = A ij +O ij = A ij +0 = A ij, (2): A+( A) ij = A ij + A ij = A ij +( A ij ) = 0 = O ij, (3): A ij = A ij = ( 1)A ij = ( 1)A ij.

46 1. Matice a maticové operace p. 21/ Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A+X = B, lze zapsat ve tvaru X = B+( A) = ( A)+B.

47 1. Matice a maticové operace p. 21/ Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A+X = B, lze zapsat ve tvaru X = B+( A) = ( A)+B. Definujeme odečítání matic nebo též rozdíl matic předpisem A B = A+( B).

48 1. Matice a maticové operace p. 21/ Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A+X = B, lze zapsat ve tvaru X = B+( A) = ( A)+B. Definujeme odečítání matic nebo též rozdíl matic předpisem A B = A+( B). PŘÍKLAD 5 A = , B = A B = A+( B) = , =

49 1. Matice a maticové operace p. 22/ Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu(m,n) definujeme matici transponovanoua typu (n, m) předpisem A = A. ij ji

50 1. Matice a maticové operace p. 22/ Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu(m,n) definujeme matici transponovanoua typu (n, m) předpisem A = A. ij ji PŘÍKLAD =

51 1. Matice a maticové operace p. 22/ Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu(m,n) definujeme matici transponovanoua typu (n, m) předpisem A = A. ij ji = PŘÍKLAD 6 VĚTA 4 Pro matice stejného typu a libovolný skalár platí: (A+B) = A +B, (1) (αa) = αa. (2)

52 1. Matice a maticové operace p. 23/ Násobení matice a vektoru Soustava z příkladu III z úvodní přednášky: 2u 1 u 2 = u 1 +2u 2 u 3 = u 2 +2u 3 u 4 = u 3 +2u 4 u 5 = u 4 +2u 5 =

53 1. Matice a maticové operace p. 23/ Násobení matice a vektoru Soustava z příkladu III z úvodní přednášky: u 1 2u 1 u 2 = u 1 +2u 2 u 3 = u 2 +2u 3 u 4 = u 3 +2u 4 u 5 = u 4 +2u 5 = S využitím definice násobení vektoru skalárem a součtu vektorů: u u u u =

54 1. Matice a maticové operace p. 24/ Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u 1 s A 1 +u 2 s A 2 +u 3 s A 3 +u 4 s A 4 +u 5 s A 5 = b ( )

55 1. Matice a maticové operace p. 24/ Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u 1 s A 1 +u 2 s A 2 +u 3 s A 3 +u 4 s A 4 +u 5 s A 5 = b ( ) Ze sloupcových vektorůs A 1,...,s A 5 sestavíme matici A = s A 1,s A 2,s A 3,s A 4,s A 5 =

56 1.8 Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u 1 s A 1 +u 2 s A 2 +u 3 s A 3 +u 4 s A 4 +u 5 s A 5 = b ( ) Ze sloupcových vektorůs A 1,...,s A 5 sestavíme matici A = s A 1,s A 2,s A 3,s A 4,s A 5 = Levá strana rovnice ( ) definuje součin matice A a vektoru u, takže u u Au = b, kde u = u 3 u 4,b = u Matice a maticové operace p. 24/35

57 1. Matice a maticové operace p. 25/ Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = a ij typu (m,n) a sloupcového vektoru x = x i dimenze n nazýváme vektor dimenzemdefinovaný předpisem y = Ax = x 1 s A 1 + +x n s A n.

58 1. Matice a maticové operace p. 25/ Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = a ij typu (m,n) a sloupcového vektoru x = x i dimenze n nazýváme vektor dimenzemdefinovaný předpisem y = Ax = x 1 s A 1 + +x n s A n. Rozepsáním definice po složkách dostaneme y i = Ax i = a i1 x 1 + +a in x n = r A i x.

59 1. Matice a maticové operace p. 25/ Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = a ij typu (m,n) a sloupcového vektoru x = x i dimenze n nazýváme vektor dimenzemdefinovaný předpisem y = Ax = x 1 s A 1 + +x n s A n. Rozepsáním definice po složkách dostaneme y i = Ax i = a i1 x 1 + +a in x n = r A i x. Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí: y i y A x = a i1... a in x 1. x n

60 1. Matice a maticové operace p. 26/ Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me a11 a 12 x1 a 21 a 22 x 2 = a11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x, 2

61 1. Matice a maticové operace p. 26/ Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me a11 a 12 x1 a11 x a 21 a 22 x = 1 + a 12 x 2 2 a 21 x 1 + a 22 x, = =

62 1. Matice a maticové operace p. 26/ Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me VĚTA 5 a11 a 12 x1 a11 x a 21 a 22 x = 1 + a 12 x 2 2 a 21 x 1 + a 22 x, = = 3 Pro libovolné matice A, B typu (m,n), n-rozměrné vektory u, v a skalár α platí: 4 8. A(αu) = α(au) = (αa)u (1) A(u+v) = Au+Av (2) (A+B)u = Au+Bu (3)

63 1.8 Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me VĚTA 5 a11 a 12 x1 a11 x a 21 a 22 x = 1 + a 12 x 2 2 a 21 x 1 + a 22 x, = = 3 Pro libovolné matice A, B typu (m,n), n-rozměrné vektory u, v a skalár α platí: 4 8. A(αu) = α(au) = (αa)u (1) A(u+v) = Au+Av (2) (A+B)u = Au+Bu (3) DŮKAZ: (2) A(u+v) i = ra i (u+v) = a i1 (u 1 +v 1 )+ +a in (u n +v n ) = = (a i1 u 1 + +a in u n )+(a i1 v 1 + +a in v n ) = = r A i u+r A i v = Au i +Av i, 1. Matice a maticové operace p. 26/35

64 1. Matice a maticové operace p. 27/ Násobení matic A, B libovolné čtvercové matice řádu 3, x vektor dimenze 3. A(Bx) = A x 1 s B 1 +x 2 s B 2 +x 3 s B 3 = x1 As B 1 +x 2 As B 2 +x 3 As B 3 Odtud můžeme definovat maticiab = As B 1,As B 2,As B 3.

65 1. Matice a maticové operace p. 27/ Násobení matic A, B libovolné čtvercové matice řádu 3, x vektor dimenze 3. A(Bx) = A x 1 s B 1 +x 2 s B 2 +x 3 s B 3 = x1 As B 1 +x 2 As B 2 +x 3 As B 3 Odtud můžeme definovat maticiab = As B 1,As B 2,As B 3. DEFINICE 13 Jestliže A je matice typu(m,p) a B je matice typu(p,n), pak součin matic A a B je matice AB typu (m,n) definovaná předpisem AB = As B 1,...,Asn B.

66 1. Matice a maticové operace p. 28/ Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme AB ij = a i1 b 1j + +a ip b pj = r A i s B j

67 1. Matice a maticové operace p. 28/ Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme AB ij = a i1 b 1j + +a ip b pj = r A i s B j a AB = r A 1 s B 1... r A 1 s B n..... r A ms B 1... r A ms B n = r A 1 B. r A mb.

68 1. Matice a maticové operace p. 28/ Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme AB ij = a i1 b 1j + +a ip b pj = r A i s B j a AB = r A 1 s B 1... r A 1 s B n..... r A ms B 1... r A ms B n = r A 1 B. r A mb. Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí: AB A B AB ij = a b 1j i1... a ip. b pj

69 1. Matice a maticové operace p. 29/ Násobení matic PŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b, 22

70 1. Matice a maticové operace p. 29/ Násobení matic PŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b, = = , 2 1

71 1. Matice a maticové operace p. 29/ Násobení matic PŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b, = = , 2 1 nelze násobit!!!

72 1. Matice a maticové operace p. 30/ Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány.

73 1. Matice a maticové operace p. 30/ Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány. Obecněji platí následující vztahy. VĚTA 6 Pro libovolný skalár α a matice A, B, C platí: A(αB) = α(ab) = (αa)b (1) A(B+C) = AB+AC (2) (A+B)C = AC+BC (3) kdykoliv jsou uvedené výrazy definovány.

74 1. Matice a maticové operace p. 30/ Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány. Obecněji platí následující vztahy. VĚTA 6 Pro libovolný skalár α a matice A, B, C platí: A(αB) = α(ab) = (αa)b (1) A(B+C) = AB+AC (2) (A+B)C = AC+BC (3) kdykoliv jsou uvedené výrazy definovány. A(B +C) ij = ra i s B+C j = r A i (s B j +s C j ) = DŮKAZ (2): = r A i s B j +r A i s C j = AB ij +AC ij

75 1. Matice a maticové operace p. 31/ Násobení matic Násobení matic je velmi výpočetně nákladné. Je proto velmi důležité operace dělat co nejefektivněji. Např. stokrát výpočet AC+BC s čtvercovými maticemi řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet (A+B)C pouze sekund.

76 1. Matice a maticové operace p. 31/ Násobení matic Násobení matic je velmi výpočetně nákladné. Je proto velmi důležité operace dělat co nejefektivněji. Např. stokrát výpočet AC+BC s čtvercovými maticemi řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet (A+B)C pouze sekund. Operace násobení matic se čtvercovými maticemi řádu n totiž potřebujen 2 (2n 1) = 2n 3 n 2 operací, tj. výraz AC+BC potřebuje4n 3 2n 2 při součinech matic a n 2 operací pro součet matic, tj. celkem 4n 3 n 2 operací, zatímco výraz(a+b)c potřebuje2n 3 tedy přibližně 1 2 původního počtu operací.

77 1. Matice a maticové operace p. 32/ Násobení matic VĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m,p), matice B typu (p,q) a matice C typu (q,n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C

78 1. Matice a maticové operace p. 32/ Násobení matic VĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m,p), matice B typu (p,q) a matice C typu (q,n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C DŮKAZ: A(BC) = A Bs C 1,...,Bs C n = A(Bs C 1 ),...,A(Bs C n) = = (AB)s C 1,...,(AB)s C n = (AB)C.

79 1. Matice a maticové operace p. 32/ Násobení matic VĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m,p), matice B typu (p,q) a matice C typu (q,n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C DŮKAZ: A(BC) = A Bs C 1,...,Bs C n = A(Bs C 1 ),...,A(Bs C n) = = (AB)s C 1,...,(AB)s C n = (AB)C. Indukcí lze dokázat obdobné tvrzení i pro součin více než tří matic. Odtud speciálně vyplývá, že mocnina čtvercové matice A k = AA A } {{ } k je definována jednoznačně nebot nezáleží na uzávorkování.

80 1. Matice a maticové operace p. 33/ Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádunse značíi n.

81 1. Matice a maticové operace p. 33/ Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádunse značíi n. VĚTA 8 Jestliže A je libovolná matice, pak pro jednotkové matice příslušné dimenze platí AI = A, IA = A.

82 1. Matice a maticové operace p. 33/ Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádunse značíi n. VĚTA 8 Jestliže A je libovolná matice, pak pro jednotkové matice příslušné dimenze platí AI = A, IA = A. DŮKAZ: Např.AI ij = a i1 0+ +a ij 1+ +a in 0 = a ij = A ij

83 1. Matice a maticové operace p. 34/ Násobení matic Pro matice A = , B = platí 1 2 AB = = ,BA = = takže AB BA.

84 1. Matice a maticové operace p. 34/ Násobení matic Pro matice A = , B = platí 1 2 AB = = ,BA = = takže AB BA. Navíc platí B 2 = = O.

85 1. Matice a maticové operace p. 34/ Násobení matic Pro matice A = , B = platí 1 2 AB = = ,BA = = takže AB BA. Navíc platí B 2 = = O. Pro násobení matic tedy neplatí komutativní zákon a mocnina nenulové matice může být nulová matice!

86 1. Matice a maticové operace p. 35/ Násobení matic VĚTA 9 Jestliže je A matice typu(m,p) a B je matice typu(p,n), pak platí: (AB) = B A

87 1. Matice a maticové operace p. 35/ Násobení matic VĚTA 9 Jestliže je A matice typu(m,p) a B je matice typu(p,n), pak platí: (AB) = B A DŮKAZ: (AB) ij =AB ji = r A j s B i = =a j1 b 1i + +a jp b pi = =b 1i a j1 + +b pi a jp = = ( ) s B ( ) i r A j = B A ij.

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Seminář z MATLABU. Jiří Krejsa. A2/710 krejsa@fme.vutbr.cz

Seminář z MATLABU. Jiří Krejsa. A2/710 krejsa@fme.vutbr.cz Seminář z MATLABU Jiří Krejsa A2/710 krejsa@fme.vutbr.cz Obsah kurzu Posluchači se seznámí se základy systému Matlab, vědeckotechnickými výpočty, programováním v Matlabu včetně pokročilých technik, vizualizací

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou

1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou Algebraické výrazy výrazy s promnnou S výrazy jsme se setkali v matematice a fyzice již mnohokrát. Pomocí výraz zapisujeme napíklad matematické vzorce. Vyskytují se v nich jednak ísla, kterým íkáme konstanty

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2 MANUÁL Výukových materiálů Matematický kroužek 8.ročník MK2 Vypracovala: Mgr. Jana Kotvová 2014 Číslo hodiny: 1 Téma: Celá čísla, přednost matematických operací Očekávané výstupy: žáci počítají jednoduché

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 TS Matematika pro 2. stupeň ZŠ Terasoft Celá čísla Celý program pohádkový příběh Království Matematikán se závěrečným vyhodnocením Zobrazení čísel na ose Zápis čísel zobrazených na ose Opačná čísla na

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

IAJCE Přednáška č. 8. double tprumer = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7) / 7; Console.Write("\nPrumerna teplota je {0}", tprumer);

IAJCE Přednáška č. 8. double tprumer = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7) / 7; Console.Write(\nPrumerna teplota je {0}, tprumer); Pole (array) Motivace Častá úloha práce s větším množstvím dat stejného typu o Př.: průměrná teplota za týden a odchylka od průměru v jednotlivých dnech Console.Write("Zadej T pro.den: "); double t = Double.Parse(Console.ReadLine());

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více