Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Transkript

1 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018

2 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta

3 Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost 301 (středa, po domluvě em) olga@majling.eu Cvičení navazují na přednášku Zápočet a zkouška Zápočet Domácí úkoly: 3 samostatné domácí práce, odevzdání na cvičení. Zápočtové testy: na přednášce (8-8:45). První: 5. března Opravy po domluvě s cvičícím. Zkouška Písemná část: příklady Ústní část.

4 Organizace předmětu a zdroje informací Tématické celky: I. Lineární algebra příklady: II. Diferenciální počet Funkce více proměnných III. Integrální počet. Dvojné, trojné, křivkové, plošné. dvojný: integral trojný křivkový

5 Lineární algebra Požadované znalosti Soustavy lineárních rovnic: věta o existenci a počtu řešení řešení Gaussovou eliminační metodou řešení Cramerovym pravidlem Operace s maticemi sčítání, násobení číslem maticové násobení určení hodnosti výpočet determinantu určení inverzní matice řešení maticové rovnice výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů Vektorové prostory lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru zdroje informací: příklady:

6 Soustavy lineárních rovnic Z jakých úloh? Nejstarší zaznamenaná úloha na soustavy rovnic (cca 200 př.n.l.): Tři snopy dobrého obiĺı, dva snopy průměrného a jeden podřadného se prodávají celkem za 39 dou. Dva snopy dobrého obiĺı, tři průměrného a jeden podřadného se prodávají za 34 dou. Jeden snop dobrého obiĺı, dva průměrného a tři podřadného se prodávají za 26 dou. Jaká je cena za jeden snop dobrého / průměrného / podřadného obiĺı? Zapsáno dnešní matematikou, dostáváme soustavu rovnic, kde x, y, z jsou neznámé pro ceny za jeden snop dobrého / průměrného / podřadného obiĺı. Analytická geometrie Vzájemná poloha přímek a rovin. Interpolace a aproximace hodnot z měření Fyzika Elektrické obvody,...

7 Analytická geometrie připomenutí Rovina (E 2 ) a prostor (E 3 ) přímka zadaná body A = [a x, a y, a z ], B = [b x, b y, b z ]: v rovině p : x = a x + t (b x a x ) y = a y + t (b y a y ) q : rovina zadaná body A = [a x, a y, a z ], B = [b x, b y, b z ], C = [c x, c y, c z ]: v prostoru x = a x + t (b x a x ) y = a y + t (b y a y ) z = a z + t (b z a z ) t R ρ : x = a x + r (b x a x ) + s (c x a x ) y = a y + r (b y a y ) + s (c y a y ) z = a z + r (b z a z ) + s (c z a z ) r, s R Analytické vyjádření přímky v rovině: p : ax + by + c = 0 roviny v prostoru: ρ : ax + by + cz + d = 0

8 Vektory Fyzika, geometrie: Vektor u je množina všech souhlasně orientovaných rovnoběžných úseček stejné délky. u = B A Algebra Aritmetický vektor u je uspořádaná n-tice (reálných čísel): u R 2, R 3,... R n Pro aritmetické vektory definujeme operace: sčítání vektorů násobení vektoru (reálným) číslem Nulový vektor: o = (0,..., 0) Opačný vektor u Lineární kombinace vektorů: u 1,..., u n R n, α 1,..., α n R: α 1 u α n u n

9 Soustava rovnic v maticovém zápisu úloha o snopech obiĺı Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Definice(Vektor). Reálný n-rozměrný (aritmetický) vektor je matice typu n 1 x = x 1 x 2. x n Označení: prvek na pozici (i, j) matice A:a ij množina všech reálných matic typu m n: R m n. Je-li m = n, potom matici nazýváme čtvercovou. Množina všech n-rozměrných vektorů se značí R n (namísto R n 1 ).

10 Maticový zápis soustavy rovnic Mějme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b n. Řešením rozumíme každý vektor x vyhovující všem rovnicím. Matice soustavy je matice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn a rozšířená matice soustavy je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (A b) =... a m1 a m2 a mn b 1 b 2. b n

11 Geometrický význam soustavy rovnic Mějme dvě rovnice o dvou neznámých, m = n = 2, tedy a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, 2x 1 x 2 = 3, a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2. 2x 1 + 3x 2 = 11. První rovnice popisuje přímku v R 2 (při a 11 0 a 12 0), (p : 2x y 3 = 0) druhá také, (q : 2x + 3y 11 = 0). Řešení soustavy leží tedy v průniku obou přímek. Podobně pro n = 3, každá rovnice popisuje rovinu v prostoru R 3 a řešení představuje průnik těchto rovin. x + y + z = 4 2x 3y + z = 3 x + 2y 2z = 1

12 Příklad Pro příklad o snopech obiĺı je soustava rovnic: úloha o snopech obiĺı 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26, která se maticově zapíše: Rozšířená matice soustavy plně popisuje soustavu rovnic. řádky odpovídají rovnicím, sloupce vlevo neznámým.

13 Elementární řádkové úpravy Definice Elementární řádkové úpravy jsou 1 vynásobení i-tého řádku číslem α 0 (tj. vynásobí se všechny prvky řádku), 2 přičtení α-násobku j-tého řádku k i-tému, přičemž i j, 3 výměna i-tého a j-tého řádku. Elementární řádkové operace zachovávají množinu řešení soustavy.

14 Postup řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminací Pomocí elementárních úprav převedeme rozšířenou matici soustavy na jednodušší matici, ze které řešení snadno určíme. Ten jednodušší tvar matice se nazývá odstupňovaný tvar matice. Definice (Odstupňovaný tvar matice). Matice A R m n je v řádkově odstupňovaném tvaru, pokud existuje r takové, že platí řádky 1,..., r jsou nenulové (tj. každý obsahuje aspoň jednu nenulovou hodnotu), řádky r + 1,..., m jsou nulové, a navíc označíme-li p i nejmenší číslo sloupce, ve kterém a ij 0, tak platí p 1 < p 2 < < p r. Každou matici lze prevést elementárními řádkovými úpravami do odstupňovaného tvaru. Sloupce p 1,... p r nazveme bázické, ostatní nebázické.

15 Převod do odstupňoveného tvaru Například následující postup převádí matici do odstupňovaného tvaru. Krok 1: Položíme číslo řádku i=1, číslo sloupce j=1. Krok 2: Pokud pro všechny další řádky k i a sloupce l j platí : a k,l = 0, končíme (ve zbývající části matice už nejsou nenulové prvky). Krok 3: Výběr aktuálního sloupce j (přeskočíme nulové podsloupečky). Najdeme nejmenší číslo sloupce l j takové, že v řádcích k i je v tomto sloupci aspoň jeden nenulový prvek. Tento sloupec bude aktuálním sloupcem, tj. j = min{l : l j, a kl 0 pro nějaké k i}. Krok 4: Výběr aktuálního řádku i. Jesliže a ij = 0, najdeme řádek k i, ve kterém a ik 0, a vyměníme řádky k a i. Krok 5: Elementární úprava řádků k > i (v těchto řádcích vynulujeme zbývající prvky sloupce j). Ke všem prvkům řádků k > i přičteme a kj a ij násobek řádku i. Krok 6: Zvětšíme i o 1, j o 1 a pokračujeme krokem 2.

16 Příklad převodu matice na odstupňovaný tvar Soustavě rovnic odpovídá rozšířená matice upravujeme: 2x 1 + 2x 2 x 3 + 5x 4 = 1 4x 1 + 5x 2 + 9x 4 = 3 x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 7x 4 = kterou postupně

17 Existence a počet řešení Z odstupňovaného tvaru rozšířené matice soustavy poznáme, zda soustava rovnic má nebo nemá řešení: Soustava nemá řešení, je-li aspoň jeden řádek ve tvaru ( b 0), (takový řádek odpovídá rovnici :0x 1 + 0x x n = b 0). Jinak řešení existuje; bud jediné nebo nekonečně mnoho. Z rozšířené matice soustavy vyškrtneme všechny nulové řádky. Soustava má jediné řešení, pokud v matici po vyškrtnutí nulových řádků zůstalo tolik řádků, kolik je neznámých. Toto řešení získáme postupným výpočtem neznámých od poslední k první, zdola nahoru tak, že z poslední rovnice vypočteme poslední neznámou, tu dosadíme do všech předcházejících rovnic; z předposlední.. druhé rovnic vyjádříme předposlední.. druhou neznámou a dosadíme do všech předcházejících rovnic; z první rovnici vyjádříme první neznámou. Soustava nekonečně mnoho řešení, pokud po vyškrtnutí nulových řádků zůstalo méně rovnic než neznámých. Řešení vyjádříme přes volné proměnné.

18 Vyjádření řešení zpětnou substitucí Mějme soustavu rovnic v odstupňovaném tvaru Řešení existuje, provedeme zpětnou substituci. x 4 = 1 x 3 je volná (nebázická) proměnná x 2 = 1 + x 4 2x 3 = 2 2x 3 x 1 = 1 2 (1 5x 4 + x 3 2x 2 ) = x 3 4 Řešení zapíšeme ve tvaru x = x , x 3 R

19 Příklad o snopech obiĺı Maticový zápis: Převod na odstupňovaný tvar: Existuje jediné řešení, rovnice: z = = 11 4 = 2.75, 2. rovnice: y = 1 5 (24 z) = ( ) = = 17 4 = 4.25, 1. rovnice: x = 1 3 (39 2y z) = 1 3 ( ) 11 4 = 37 4 = 9.25 Ceny jednoho snopu obiĺı jsou: 9.25 dou za dobré, 4.25 dou za průměrné, 2.75 dou za podřadné.

20 Příklad: Vzájemná poloha rovin a) b) x + y 4z = 9 x + y 4z = 1 x + y + 2z = 3 x + y + 2z = 2 x + y z = 6 x + y z = 3 Společné body (x, y, z) najdeme, vyřešíme-li soustavy rovnic. Maticové zápisy: Po úpravě na odstupňovaný tvar: a) b) a) b) řešení nemá řešení z = 1, y = t, x = 5 t, t R 3 roviny nemají společné body Roviny a) mají společnou přímku, určenou bodem [5, 0, 1] a směrovým vektorem ( 1, 1, 0) 1 2 3

21 Příklad Uvažujme elektrický obvod jak je vyznačený na obrázku. Chceme-li určit hodnoty elektrických proudů I 1, I 2, I 3, využijeme fyzikálních zákonů: 1. Ohmův zákon: Napětí je rovno součinu proudu a odporu: U = IR, 2. Kirchhoffův zákon o proudu: Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. 3. Kirchhoffův zákon o napětí: Součet napětí ve smyčce je roven nule. Kirchhoffův zákon o proudu: rovnice I 1 + I 2 I 3 = 0. Kirchhoffův zákon o napětí (spolu s Ohmovým zákonem) pro smyčku DABE dává rovnici 10I 1 10I 2 = 10, pro smyčku EBCF : 10I I 3 = 5. (Smyčku DABCFE již uvažovat nemusíme, nebot vyplývá z předchozích dvou.)

22 Tím dostáváme soustavu rovnic Převedeme na odstupňovaný tvar: Vyřešením dostaneme: I 1 = 0.7A I 2 = 0.3A I 3 = 0.4A 0 1 2

23 Frobeniova věta Definice Hodnost matice Hodností matice rozumíme počet nenulových řádků po převodu do odstupňovaného tvaru. Značíme rank(a) (nebo h(a)). Frobeniova věta charakterizuje řešitelnost soustav rovnic pomocí hodností matice a rozšířené matice soustavy: Soustava (A b) má (aspoň jedno) řešení právě tehdy, když rank(a) = rank(a b) (h(a)=h(a b)) Je-li h(a) = h(a B) =počet neznámých, má soustava jediné řešení. Je-li h(a) = h(a B) <počet neznámých, má soustava nekonečně mnoho řešení. V angličtině tuto větu nazývají Rouchého Capelliho věta, v Rusku Kroneckerova Capelliho věta a ve Španělsku Rouchého Frobeniova věta. Můžete se setkat i s názvem Rouché-Fonteného věta.

24 Frobeniova věta (a hodnosti matic) v příkladech 1 O snopech obiĺı: hodnost matice soustavy: rank(a) = 3, hodnost rozšířené matice: rank(a b) = 3 řešení existuje počet neznámých (3) = hodnosti matice jediné řešení 2 Vzájemná poloha rovin: hodnost matice soustavy: rank(a) = 2, hodnost rozšířené matice: a) rank(a b) = 2 řešení existuje počet neznámých (2) < hodnosti matice řešení. b) rank(a b) = 3 řešení neexistuje 3 Elektrický obvod: hodnost matice soustavy: rank(a) = 3, hodnost rozšířené matice: rank(a b) = 3 řešení existuje počet neznámých (3) = hodnosti matice jediné řešení

25 Homogenní soustava rovnic Soustava Ax = 0 s nulovou pravou stranou se nazývá homogenní. Evidentně, nulový vektor je vždy jejím řešením. Příklad x 1 +x 2 3x 4 x 5 = 0 x 1 x 2 +2x 3 x 4 = 0 4x 1 2x 2 +6x 3 +3x 4 4x 5 = 0 2x 1 +4x 2 2x 3 +4x 4 7x 5 = Hodnost matice soustavy je 3, neznámých 5 řešení. Řešení vyjádříme pomocí 2 parametrů: x 5 = p, nebo x 5 = 6p, x 3 = q, p, q R. x 5 = 6p x 4 = 2p x 3 = q x 2 = 5p + q x 1 = 7p q x x x = x 3 x = p + 1 q, p.q R 0 x 5 6 0

26 Soustavy rovnic s parametry Provedeme diskusi řešení soustav vzhledem k parametru a: Příklad x 2y +z = 1 x y +3z = 0 x 4y 3z = a Příklad x +y = 1 x ay = a 2 a y = a

27 Slovní úlohy 1 Zvětšíme-li jednu stranu trojúhelníka o 11 cm a druhou stranu o 11 cm zmenšíme, dostaneme rovnostranný trojúhelník. Když první stranu vynásobíme čtyřmi, je o 10 cm větší než trojnásobek třetí strany. Vypočtěte velikosti stran trojúhelníka. 2 Kyselina sírová je složena z vodíku, síry a kysĺıku. Poměr hmotnosti vodíku a síry je 1 : 16 a poměr hmotnosti kysĺıku a síry je 2 : 1. Kolik každého prvku obsahuje 1323 g kyseliny? 3 Hutník má čtyři různé slitiny, které obsahují cín, olovo, vizmut a kadmium. První slitina obsahuje 20 kg cínu a 10 kg olova. Druhá obsahuje 12 kg olova a 6 kg cínu. Třetí obsahuje 10,5 kg vizmutu, 6,4 kg olova a 3,1 kg cínu. Poslední slitina obsahuje 10 kg vizmutu, 5 kg olova, 2,5 kg kadmia a 2,5 kg cínu. Jaké množství každé slitiny je třeba použít na přípravu slitiny, která by obsahovala 81 kg vizmutu, 75 kg olova, 15 kg kadmia a 40 kg cínu?

28 Vektorové prostory Definice Neprázdná množina V, ve které jsou definovány dvě operace: sčítání prvků (z množiny V) násobení prvků (z množiny V) reálnými čísly tvoří vektorový prostor, pokud platí: uzavřenost ( u, v V, α R : v 1 + v 2 V, αv 1 V) existence neutrálního prvku ( o V : v V : o + v = v + o = v) existence inverzního prvku: ( v V u V : u + v = o), takový prvek označujeme opačný, u = v komutativnost a asociativnost operace sčítání, tj. v 1, v 2 V : v 1 + v 2 = v 2 + v 1 v 1, v 2, v 3 V : (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ) 1 R : v V : 1v = v α, β R, v V : α(βv) = (αβ)v distributivita α R, u, v V : α(u + v) = αu + αv α, β R, v V : (α + β)v = αv + βv

29 Příklady vektorových prostorů 1 R n 2 R m n 3 P Polynomy s reálnými koeficienty proměnné x 4 P n Polynomy nejvýše n-tého stupně s reálnými koeficienty proměnné x 5 F Reálné funkce f : R R 6 C Spojité funkce f : R R 7 C [a,b] Spojité funkce na intervalu a, b f : a, b R Sloupcový a řádkový prostor matice. Ke každé matici máme přirozeně přiřazeny dvě skupiny aritmetických vektorů, řádkové a sloupcové. Prostorům, které generují, říkáme řádkový a sloupcový prostor.

30 Lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů Definice (lineární kombinace). Je-li u 1, u 2,..., u n skupina vektorů ve vektorovém prostoru V a α 1, α 2,..., α n jsou reálná čísla, pak vektor α 1 u 1 + α 2 u α n u n (který je rovněž vektorem ve V) nazýváme lineární kombinací vektorů u 1, u 2,... u n. Definice (lineární závislost a nezávislost vektorů). Skupinu vektorů u 1, u 2,..., u n nazýváme lineárně závislou (LZ), jestliže existují reálná čísla α 1, α 2,..., α n, z nichž alespoň jedno je různé od nuly a platí α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o. Pokud α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o pouze pro α 1 = α 2 = = α n = 0, nazýváme skupinu vektorů lineárně nezávislou (LN). Tvrzení. Je-li jedním ze skupiny vektorů u 1, u 2,..., u n z vektorového prostoru V nulový vektor, pak tato skupina je LZ. Skupina vektorů u 1, u 2,..., u n (kde n > 1) z vektorového prostoru V je LZ právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z vektorů této skupiny vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů skupiny. Sloupce matice A tvoří LN skupinu vektorů právě když existuje jediné řešení soustavy Ax = o

31 Báze vektorového prostoru O vektorovém prostoru V řekneme, že je n rozměrný (dimv = n), jestliže v prostoru existuje skupina n vektorů, která je lineárně nezávislá a každá skupina více než n vektorů je lineárně závislá. Dimenze (rozměr) vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů, které lze ve V nalézt. Definice (báze vektorového prostoru). Necht V je n rozměrý vektorový prostor. Každou lineárně nezávislou skupinu n vektorů z V nazýváme bází prostoru V. Tvrzení. Je-li u 1, u 2,..., u n báze vektorového prostoru V, pak každý vektor z V lze vyjádřit jediným způsobem jako lineární kombinaci vektorů této báze.