6.1 Vektorový prostor

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6.1 Vektorový prostor"

Transkript

1 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána pravidla, jak s prvky operovat a manipulovat. Takový soubor tvoří často základ k dalšímu matematickému zkoumání a nazývá se pak prostor. Tento termín má svůj původ v geometrickém modelu, ve kterém prvky jsou tvořeny body. Budeme nyní definovat vektorový prostor. Definice 1. Množina prvků V se nazývá vektorový (lineární) prostor, jestliže 1) každým dvěma prvkům u V a v V je přiřazen prvek u + v V, který se nazývá součet prvků u a v (V je uzavřená vzhledem ke sčítání), 2) každému prvku u V a číslu λ R je přiřazen prvek λu V, který se nazývá násobek (vnější součin) prvku u a čísla λ (V je uzavřená vzhledem kvnějšímusoučinu), 3) tyto operace mají následující vlastnosti 1 u + v = v + u pro každé u, v V (komutativní zákon); 2 (u + v)+w = u +(v + w) prokaždéu, v, w V (asociativní zákon); 3 existuje právě jeden prvek o V takový, že u + o = u pro každé u V. Prvek o se nazývá nulový prvek; 4 pro každý prvek u V existuje ve V prvek označený u takový, že u +( u) =o; 5 1 u = u pro každé u V; 6 α(βu) =(αβ)u pro každý prvek u V a α, β R; 7 (α + β)u = αu + βu pro každý prvek u V a α, β R; 8 α(u + v) =αu + αv pro každé dva prvky u, v V a α R, kde = je relace ekvivalence (rovnost, býti stejný jako ). Prvky vektorového prostoru V se nazývají vektory. Poznámka 1. V této definici se neříká, jak se definují operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Je třeba, aby byly splněny uvedené vlastnosti těchto operací. 3

2 Ukázka 1. Příklady vektorových prostorů: 1. Nejjednodušším důležitým příkladem vektorového prostoru je množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel x =(x 1,...,x n ). Sčítání a násobení reálným číslem je v tomto prostoru definováno takto: Je-li x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n ), α R, pakx + y = z, kdez =(x 1 + y 1,...,x n + y n )a αx =(αx 1,...,αx n ). Položme o =(0,...,0) a x =( x 1,..., x n ), pak snadno ověříme, že je splněno všech osm axiomů vektorového prostoru. Rovnost = pak chápeme jako totožnost, tj. (x 1,...,x n )=(y 1,...,y n ), právě když x 1 = y 1,...,x n = y n. Tento prostor budeme značit R n. Speciálně pro n = 3 uspořádané trojice reálných čísel (x, y, z) tvoří vektorový prostor R 3. Součet dvou vektorů a 1 =(x 1,y 1,z 1 )aa 2 =(x 2,y 2,z 2 )se definuje a 1 + a 2 =(x 1 + x 2,y 1 + y 2,z 1 + z 2 ) a násobek reálným číslem se definuje λa 1 =(λx 1,λy 1,λz 1 ). 2. Orientovanou úsečkou je úsečka, jejíž jeden krajní bod je definován jako počáteční a druhý jako koncový. Dvě úsečky definujeme souhlasně orientované, jestliže jsou rovnoběžné (tj. mají stejný směr), mají stejnou délku a jejich koncové body leží ve stejné polorovině, jejíž hraniční přímkou je spojnice jejich počátečních bodů. Množina orientovaných úseček v rovině tvoří vektorový prostor. Vektor v rovině je množina souhlasně orientovaných úseček. Znázorňuje se vhodně umístěnou orientovanou úsečkou. Obr. 1: Několik souhlasně orientovaných úseček v rovině. Dva vektory u a v se rovnají, mohou-li být reprezentovány stejnou orientovanou úsečkou. Součtem dvou vektorů u a v je vektor w reprezentovaný orientovanou úsečkou získanou takto: Libovolně vybereme orientovanou úsečku reprezentující vektor u a orientovanou úsečku reprezentující vektor v zvolíme tak, aby její počáteční bod splýval s koncovým bodem úsečky reprezentující u. Orientovaná úsečka spojující počáteční bod úsečky reprezentující u akoncovýbod úsečky reprezentující v reprezentuje součet vektorů w = u + v. 4

3 w = u + v v u Obr. 2: Sčítání vektorů. Součinem vektoru u a čísla λ je vektor λu reprezentovaný orientovanou úsečkou téhož směru jako úsečka reprezentující u, jejíž délka je λ násobkem délky této úsečky a jejíž orientace je pro λ>0 shodná a pro λ<0opačná. Λ2,5u λ 2 u, λ 2 < 0 u λ 1 u, λ 1 > 0 Obr. 3: Násobení vektoru číslem. 3. Množina všech polynomů stupně nejvýše n tvoří vektorový prostor. Součet dvou polynomů je polynom stupně nejvýše n P (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, Q(x) =b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0 P (x)+q(x) =(a n + b n )x n +(a n 1 + b n 1 )x n 1 + +(a 1 + b 1 )x +(a 0 + b 0 ) a násobek reálným číslem λp (x) =λa n x n + λa n 1 x n λa 1 x + λa 0 je opět polynom stupně nejvýše n. Množina všech polynomů stupně n netvoří vektorový prostor, protože součtem dvou polynomů stupně n může být i polynom nižšího stupně, např. součtem polynomů třetího stupně P (x) = x 3 + x a Q(x) = x 3 + x je polynom prvního stupně P (x)+ Q(x) = 2x. 5

4 6.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice 2. Nechť V je vektorový prostor a n N. Nechťu 1, u 2,...,u n V a λ 1,λ 2,...,λ n R. Vektor n λ i u i = λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n (6.1) i=1 se nazývá lineární kombinace vektorů u 1,...,u n skoeficientyλ 1,...,λ n.jsouli všechna čísla λ 1,...,λ n rovna nule, pak se lineární kombinace (6.1) nazývá triviální, je-li aspoň jedno z čísel λ 1,...,λ n různé od nuly, nazývá se lineární kombinace (6.1) netriviální. Definice 3. Vektory u 1, u 2,...,u n V se nazývají lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru, tj. existují λ 1...,λ n,kde n i=1 λ i 0 (tj. aspoň jeden koeficient λ i, i =1,...,n, je různý od nuly), tak že n λ i u i = o. i=1 Vektory, které nejsou lineárně závislé, se nazývají lineárně nezávislé, tj. rovnost n λ i u i = o i=1 je splněna pouze pro λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0, existuje tedy pouze triviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Věta 1. Vektory u 1, u 2,...,u n V (n >1) jsou lineárně závislé, právě když aspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. Speciálně: Dva vektory jsou lineárně závislé, je-li jeden násobkem druhého. Ukázka 2. Rozhodněte, zda následující vektory z R 2 jsou lineárně závislé nebo nezávislé: 1. u =(1, 2), v =(2, 4). Na první pohled je vidět, že 2u = v, vektory u a v jsou lineárně závislé. 2. u =(1, 0), v =(1, 1). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2 je lineární kombinace λ 1 u + λ 2 v rovna nulovému vektoru, tedy λ 1 (1, 0) + λ 2 (1, 1) = (λ 1, 0) + (λ 2,λ 2 )=(λ 1 + λ 2,λ 2 )=(0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 =0, λ 2 =0, 6

5 to znamená, že λ 1 = λ 2 =0,avektoryu a v jsou lineárně nezávislé. (Můžeme také zkoumat, zda je u násobkem v, tj.zdaexistujeλ tak, aby u = λv, (1, 0) = λ(1, 1). Je zřejmé, že takové λ neexistuje, a vektory u a v jsou tedy lineárně nezávislé.) 3. u =(1, 2, 0), v =(1, 1, 1), w =(1, 1, 2). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2,λ 3 je lineární kombinace λ 1 u+λ 2 v+λ 3 w rovna o,tj. λ 1 (1, 2, 0)+λ 2 (1, 1, 1)+λ 3 (1, 1, 2) = (λ 1 +λ 2 +λ 3, 2λ 1 +λ 2 +λ 3, λ 2 +2λ 3 )= =(0, 0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, 2λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, λ 2 +2λ 3 =0, jejímž řešením je λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0, vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé. 4. u =(1, 2, 0), v =(1, 1, 1), w =(0, 1, 1). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2,λ 3 je lineární kombinace λ 1 u + λ 2 v + λ 3 w rovna o, tj. λ 1 (1, 2, 0)+λ 2 (1, 1, 1)+λ 3 (0, 1, 1) = (λ 1 +λ 2, 2λ 1 +λ 2 +λ 3, λ 2 +λ 3 )= =(0, 0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 =0, 2λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, λ 2 + λ 3 =0, odkud po úpravě dostaneme λ 1 = λ 2 a λ 3 = λ 2. Řešením soustavy jsou tedy všechny uspořádané trojice [ p, p, p], p R, tj. soustava má i netriviální řešení. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. 6.3 Dimenze prostoru Definice 4. Vektorový prostor V se nazývá n-rozměrný neboli dimenze n, n N, existuje-li v něm n lineárně nezávislých vektorů a každých n +1vektorů je lineárně závislých, značíme dim V = n. Označení 1. Vektorový prostor V dimenze n budeme značit V n. Definice 5. Každá množina n lineárně nezávislých vektorů prostoru V n se nazývá báze prostoru V n. Věta 2. Každý vektor u V n lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze V n. Koeficienty této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru v této bázi. 7

6 Ukázka R 2 : množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel je prostor dimenze 2. Báze R 2 jsou např. a) soustava vektorů e 1 =(1, 0), e 2 =(0, 1). b) soustava vektorů e 1 =(1, 1), e 2 =(3, 2). Vektor u, který má souřadnice (3, 5) v bázi e 1, e 2,tzn. u =3e 1 +5e 2 =(3, 5) má v bázi e 1, e 2 souřadnice (9, 2), protože u =9e 1 +( 2)e 2 =(3, 5). 2. R n : množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel je prostor dimenze n, má např. bázi e 1,...,e n,kdevektore i má všechny souřadnice kromě i-té souřadnice rovny nule a i-tá souřadnice je rovna jedné. Např.: (0, 5, 4, 3) = 0 (1, 0, 0, 0) + 5 (0, 1, 0, 0) + 4 (0, 0, 1, 0) 3 (0, 0, 0, 1) 3. P n (x): prostor všech polynomů stupně nejvýše n je prostor dimenze n +1, má např. bázi e 1 =1,e 2 = x, e 3 = x 2,... e n = x n 1, e n+1 = x n.každý polynom stupně nejvýše n lze vyjádřit jako lineární kombinaci této báze se souřadnicemi a 0,a 1,...,a n,tedyp (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a Podprostory vektorového prostoru Definice 6. Řekneme, že W je podprostor vektorového prostoru V, je-liw V a množina W tvoří vektorový prostor vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektorů čísly, které byly definovány v prostoru V. Ukázka Nulový vektor o V tvoří tzv. nulový podprostor prostoru V. Nulovýpodprostor a celý prostor V se nazývají nevlastní podprostory prostoru V. 2. Nechť V 3 je trojrozměrný prostor množina orientovaných úseček v trojrozměrném euklidovském prostoru. Je-li S libovolná rovina ve V 3 procházející počátkem souřadného systému, pak množina V 2 všech orientovaných úseček, ležících v rovině S, je podprostor vektorového prostoru V Množina všech polynomů stupně nejvýše 2 tvoří podprostor prostoru všech polynomů stupně nejvýše n, n 2. Poznámka 2. Protože libovolný podprostor W prostoru V je sám o sobě vektorový prostor, mají smysl pojmy báze W a dimenze W. Protože ve W nemůže existovat více lineárně nezávislých vektorů než ve V, platí, že dim W dim V; báze W má tedy nejvýše tolik vektorů jako báze V. 8

7 6.5 Vektorové prostory se skalárním součinem Definice 7. Říkáme, že ve vektorovém prostoru V je definován skalární součin, jestliže každé dvojici vektorů u, v V je přiřazeno reálné číslo (u, v) takové, že platí 1 (u, v) =(v, u) prokaždéu, v V; 2 (αu, v) =α(u, v) prokaždéu, v V a α R; 3 (u + v, w) =(u, w)+(v, w) prokaždéu, v, w V; 4 (u, u) 0prokaždéu V; (u, u) =0 u = o. Vektorový prostor V, ve kterém je definován skalární součin, se nazývá vektorový prostor se skalárním součinem. Poznámka 3. Nechť R 3 je množina uspořádaných trojic reálných čísel, pak skalární součin dvou vektorů u =(x 1,y 1,z 1 )av =(x 2,y 2,z 2 ) můžeme definovat: (u, v) =u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Skalární součin lze ve výše uvedených případech definovat i jiným způsobem, v každém případě ale musí být podmínky 1 4 z definice 7 splněny. Lze např. definovat (u, v) =x 1 x 2 +2y 1 y 2 +3z 1 z 2 (ověřte platnost podmínek 1 4 ). Úmluva 1. Dále bude V, resp.v n, znamenat vektorový prostor se skalárním součinem. V R n (tj. množiné uspořádaných n-tic reálných čísel) budeme skalární součin dvou vektorů u =(u 1,u 2,...,u n )av =(v 1,v 2,...,v n ) definovat: (u, v) =u 1 v 1 + u 2 v u n v n 6.6 Norma vektoru a úhel dvou vektorů Definice 8. Nechť u V. Číslo (u, u) senazývánorma (délka) vektoru u a značí se u. Definice 9. Úhel (odchylka) dvou nenulových vektorů u V a v V je úhel ϕ, pro který platí (u, v) cos ϕ =, u v 0 ϕ<π. (6.2) Věta 3. Pro každé u V a v V platí Cauchyova Buňakovského nerovnost (u, v) u v (6.3) 9

8 Minkowského (trojúhelníková) nerovnost u + v u + v (6.4) Ukázka 5. Nechť u =(1, 2) a v =(2, 1) jsou vektory z R 2,pak u = (u, u) = =5, v = 5, (u, v) = =4, cos ϕ = 4 5. Cauchyova Buňakovského nerovnost (u, v) = 4 5 = u v. Minkowského nerovnost u + v = (3, 3) = = u + v. Definice 10. Vektory u V a v V se nazývají ortogonální (kolmé), platí-li (u, v) =0. Věta 4. Nechť vektory u V, v V jsou ortogonální, pak platí u + v 2 = u 2 + v 2. (6.5) Poznámka 4. Vztahy (6.3) (6.5) plynou z vlastností skalárního součinu a ortogonality vektorů, (6.5) je vlastně Pythagorova věta. Definice 11. Vzdálenost dvou vektorů u V a v V je číslo d(u, v) = u v. Poznámka 5. Z nerovnosti (6.4) plyne trojúhelníková nerovnost pro vzdálenost tří vektorů u, v, w V d(u, w) d(u, v)+d(v, w). (6.6) Definice 12. Podmnožina M V se nazývá ortogonální, je-li(u, v) =0pro každé u, v M, u v, tj. každé dva vektory z množiny M jsou ortogonální. Je-li navíc u = 1 pro každý vektor u M, nazývásem ortonormální. Věta 5. Nechť M je ortogonální podmnožina v prostoru V taková, která neobsahuje nulový vektor. Pak M je množina lineárně nezávislých vektorů z V. Důsledek V každém prostoru V n (konečné dimenze) existuje ortogonální, a tedy i ortonormální, báze. 2. Vektory e 1, e 2,...,e n tvoří ortonormální bázi V n, jestliže platí (e i, e k )= { 1, pro i = k, 0, pro i k. (6.7) 10

9 Příklad 1. Najděte v R 2 nějakou ortogonální a ortonormální bázi. Řešení: Bázi R 2 tvoří dva lineárně nezávislé vektory. Zvolme např. u =(1, 1) a najděme k němu ortogonální vektor v =(v 1,v 2 ). Aby byly vektory u a v ortogonální, musí platit pro jejich skalární součin (u, v) =0,atedyv 1 + v 2 =0.Této rovnici vyhovuje nekonečně mnoho dvojic čísel (v 1,v 2 ), zvolíme-li např. v 1 =1, je v 2 = 1 av =(1, 1). Ortogonální bázi v R 2 tvoří vektory u =(1, 1), v =(1, 1). Ortonormální bázi pak tvoří takové násobky vektorů u a v, které mají normu rovnu 1, a to jsou zřejmě vektory u u, v v,tedy ( ) 1 2, 1 2, ( 1 2, 1 ). 2 Poznámka 6. Báze prostoru R n z příkladu 3 2., str. 8, je ortonormální. 6.7 Ortogonalita vektoru k podprostoru Definice 13. Nechť V m je podprostor prostoru V n,tedym n. Říkáme, že vektor u V n je ortogonální (kolmý) k prostoru V m, je-li ortogonální ke každému vektoru x V m,značímeu V m. Je-li vektor u ortogonální k vektorům e 1, e 2,...,e m, je ortogonální i ke každému vektoru, který je jejich lineární kombinací. Skutečně z rovnic (u, e i )=0, i =1,...,m, plyne, že pro libovolná λ 1,...,λ m R je (u,λ 1 e λ m e m )=λ 1 (u, e 1 )+ + λ m (u, e m )=0. Proto k tomu, aby byl vektor kolmý k prostoru stačí, aby byl vektor kolmý k vektorům nějaké jeho báze. 11

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Masarykova univerzita Přírodvědecká fakulta Bakalářská práce Lineární algebra, sbírka příkladů Brno 2007 Lenka Malounková Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 14.10.2016: 1/13 Minulé přednášky 1 Lineární kombinace. 2 Definice lineárního

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více