Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné"

Transkript

1 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak je f rostoucí na I. Je-li f ) < 0 pro každé I, pak je f klesající na I. Definice 3. Nechť 0 Df). Tento bod se nazývá stacionární, pokud f 0 ) = 0. Poznámka 4. Lokální etrém může nastat buď ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde f 0 ) neeistuje. Věta 5. Nechť je funkce f) spojitá v bodě 0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí O{ 0 } \ 0. Jestliže pro všechna O 0 ), < 0, je f 0 ) > 0 f 0 ) < 0) a jestliže pro všechna O{ 0 }, > 0, je f 0 ) < 0 f 0 ) > 0), pak má funkce f) v bodě 0 ostré lokální maimum minimum). Věta 6. Nechť f 0 ) = 0. Je-li f 0 ) > 0, pak má funkce f) v bodě 0 ostré lokální minimum. Je-li f 0 ) < 0, pak má funkce f) v bodě 0 ostré lokální maimum. Konvenost, konkávnost a inflení body Důsledek 7. Nechť I je otevřený interval a funkce f) má vlastní druhou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak je f ostře konvení na I. Je-li f ) < 0 pro každé I, pak je f ostře konkávní na I. Definice 8. Nechť 0 Df). Tento bod se nazývá kritický, pokud f 0 ) = 0. Věta 9. Nechť 0 je inflení bod a nechť eistuje f 0 ). Potom f 0 ) = 0. Nechť f 0 ) = 0 a eistuje okolí O δ 0 ) takové, že platí f 0 ) < 0 pro každé 0 δ, 0 ) a f 0 ) > 0 pro každé 0, 0 + δ), nebo naopak. Pak je 0 inflením bodem funkce f). Nechť f 0 ) = 0 a f 0 ) 0. Pak je 0 inflením bodem funkce f). Poznámka 0. Inflením bodem může může být buď kritický bod nebo bod, kde f 0 ) neeistuje. Zde je potřeba dát pozor na definici infleního bodu. V některých publikacích bývá inflení bod definován jako kritický bod, v němž druhá derivace mění znaménko, což znamená, že v inflením bodě musí eistovat vlastní druhá derivace, jejíž hodnota je rovna nule. Inflení body bývají někdy ještě rozdělovány do dvou kategorií podle chování f 0 ). Pokud 0 je inflení bod a současně f 0 ) = 0, nazývá se bod 0 sedlovým bode též stacionární inflení bod), a pokud 0 je inflení bod s f 0 ) 0, hovoříme o nestacionárním inflením bodě.

2 I. 5. Průběh funkce 67 Asymptoty Definice. Buď 0 R. Přímka = 0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže má f v 0 alespoň jednu itu nevlastní, tj. f) = ± nebo f) = ± Věta. Přímka y = a + b je asymptotou se směrnicí funkce f pro + právě tehdy, když eistují konečné ity f) + Analogické tvrzení platí pro. Vyšetřování průběhu funkce postup = a, f) a) = b. + i) Definiční obor; ii) spojitost, charakterostika bodů nespojitosti; iii) lichost, sudost, periodičnost; iv) f) = 0, intervaly, kde je funkce kladná a záporná; v) f ) = 0 a Df ); vi) monotonie, etrémy; vii) f ) = 0 a Df ); viii) konvenost, konkávnost, inflení body; i) asymptoty bez směrnice a směrnicí; ) graf funkce.

3 68 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 47) Zjistěte, zda je funkce sudá, nebo lichá. f) = 3 sin e Připomeňme, že funkce je sudá, jestliže je její graf symetrický dle osy y, tj. f ) = f), a lichá, jestliže je její graf symetrický dle počátku soustavy souřadnic, tj. f ) = f). Spočtěme tedy, čemu se rovná f ). f ) = ) 3 e ) sin ) = 3 e sin ) = 3 e sin = f). Daná funkce je tedy lichá.

4 I. 5. Průběh funkce 69 48) Zjistěte, zda je funkce sudá, nebo lichá. f) = + 5) cotg 7 ln 3 Spočtěme, čemu se rovná f ). f ) = )[ ) + 5] cotg ln 3 ) = + 5) ) cotg ) 3 7 ln 7 = + 5) cotg ln 3 = + 5) cotg ln 3 = f). 7 7 Daná funkce je tedy sudá.

5 70 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 49) Zjistěte, zda je funkce sudá, nebo lichá. Spočtěme, čemu se rovná f ). f ) = ) ) + sin ) f) = + sin = + + sin Daná funkce tedy není ani sudá, ani lichá. = + + sin ±f).

6 I. 5. Průběh funkce 7 50) Rozhodněte o kladnosti a zápornosti funkce f) = ) esin arccotg. Funkce může změnit znaménko pouze ve svém nulovém bodě protnutím osy ), nebo v bodech, kde není definována přeskočením osy ). Proto nejprve určíme definiční obor dané funkce Df) = R. Nyní najdeme nulové body této funkce f) = 0, ) e sin arccotg = 0, ) e sin = 0, = 0, =. Obdrželi jsme celkem dva intervaly, na nichž musíme zjistit znaménko funkce., ), ) sgn f + f záporná kladná Daná funkce je tedy záporná její graf je pod osou ) v intervalu, ) a kladná její graf je nad osou ) v intervalu, ).

7 7 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 5) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = Nejdříve určíme definiční obor funkce f). Je zřejmé, že platí Df) = R. Spočítáme první derivaci, tj. f ) = = 60 ). Nyní musíme určit definiční obor pro f ), ten je očividně Df ) = R, a stacionární body funkce f), tedy musíme vyřešit rovnici f ) = 0. Proto 60 ) = 0 = 0 nebo = 0 = 0, =, 3 =. Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly, ),, 0), 0, ) a, ), ve kterých zjistíme znaménka f ). Podle těchto znamének určíme průběh funkce v jednotlivých intervalech a určíme případné etrémy. K tomu nám pomůže následující tabulka, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Odtud je vidět, že funkce f) je rostoucí v intervalech, ), a, ), klesající v, ). Funkce f) má dva lokální etrémy, lokální maimum pro = a lokální minimum pro =.

8 I. 5. Průběh funkce 73 5) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = e. Stejným postupem jako v předchozím příkladě obdržíme Df) = R, f ) = e e = e ) a Df ) = R. Nyní určíme stacionární body funkce f), proto e ) = 0 = 0 = = a =. Nyní se nám definiční obor funkce f) rozpadl na tři intervaly, ve kterých určíme průběh funkce, tj., ), ) ), sgn f + f, ) a klesající v intervalech Tedy funkce f) je rostoucí v intervalu, ),. Také má dva lokální etrémy, konkrétně lokální minimum pro = a lokální maimum pro =. ),

9 74 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 53) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = ln. Určíme potřebné definiční obory a derivaci f), tj. Df) = 0, ), ), f ln ) =, Df ) = 0, ), ). ln Určíme stacionární body, proto ln ln ) = 0 ln = 0 nebo ln = = 0 nebo = e. Ovšem bod Df), proto je stacionárním bodem pouze. Nyní analyzujeme monotonii funkce f), tj. 0, ) ) ), e e, sgn f + f Tedy funkce f) je klesající v intervalech 0, ), a, e), rostoucí v intervalu e, ) a s lokálním minimem pro = e.

10 I. 5. Průběh funkce 75 54) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = sin, 0, π). Nejdříve určíme definiční obory ty jsou určeny již zadáním příkladu) a f ), tj. Df) = 0, π), f ) = cos, Df ) = 0, π). Najdeme stacionární body cos = 0 cos = = π 3 a = 5π 3. A analyzujeme monotonii funkce f) ) 0, π π, ) 5π 5π, π) sgn f + f Funkce f) je tedy rostoucí na intervalu π, ) ) 5π 3 3 a klesající na intervalech 0, π 3, 5π, π). Funkce má také dva lokální etrémy, lokální minimum pro = π a lokální 3 3 maimum v bodě = 5π 3.

11 76 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 55) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = ln. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = 0, ), f ) = + ln ), Df ) = 0, ). Najdeme stacionární body + ln ) = 0 ln = = e = e. A analyzujeme monotonii funkce f) 0, e) e, ) sgn f + f Funkce f) je tedy rostoucí na intervalu e, ) a klesající na intervalu 0, e). Funkce má také lokální minimum pro = e.

12 I. 5. Průběh funkce 77 56) Určete intervaly monotonie a etrémy pro funkci f) = + 3) e. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = R, f ) = e, Df ) = R. Najdeme stacionární body e = = 0 + ) + 3) = 0 = nebo = 3. A analyzujeme monotonii funkce f), 3) 3, ), ) sgn f + f Funkce f) je tedy rostoucí pro 3, ) a klesající pro, 3), ). Funkce má lokální minimum pro = 3 a lokální maimum pro =.

13 78 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 57) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = + 3) e. K analyzování chování tečen grafu funkce f) použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f ). Tedy, nejdříve určíme definiční obory a f ), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f ) tu ale již známe z příkladu 56, tedy Df) = R, f ) = , f ) = +, Df ) = R. e e Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f ) = 0, tj. + e = 0 + = 0 = a = +. Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f ), tj., ), + ) +, ) sgn f + + f Funkce f) je konvení v intervalech, ) a +, ), konkávní v intervalu, + ) a má dva inflení body pro = a = +.

14 I. 5. Průběh funkce 79 58) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = K analyzování chování tečen grafu funkce f) použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f ). Tedy, nejdříve určíme definiční obory a f ), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f ), tj. Df) = R, f ) = , f ) = 4, Df ) = R. Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f ) = 0, tj. 4 = 0 = a =. Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f ), tj., ), ), ) sgn f + + f Funkce f) je konvení v intervalech, ) a, ), konkávní v intervalu, ). Funkce má dva inflení body pro = a =.

15 80 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 59) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = e. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = R, f ) = e Nyní určíme kritické body, tj. ), f ) = e 3 ), Df ) = R. e 3 ) = 0 = 0 nebo = 3 = 0, = 3 a 3 = 3. Teď se nám definiční obor rozpadl na čtyři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f ), tj., ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f Funkce f) je konvení v intervalech 3, 0) a 3, ), konkávní v, 3) a 0, 3). Funkce má tři inflení body pro = 0, ± 3.

16 I. 5. Průběh funkce 8 60) Rozhodněte o konvenosti a konkávnosti funkce f) = 5 3. Nejdříve určíme definiční obory a f ), tj. Df) = R, f ) = 3 5 5, f ) = 6 5 5, 7 Df ) = R \ {0}. Rovnice = 0 7 nemá řešení. Ovšem druhá derivace neeistuje pro = 0, proto nám tento bod rozdělí definiční obor funkce f) na dva intervaly, proto, 0) 0, ) sgn f + f Funkce f) je konvení na intervalu, 0) a konkávní na intervalu 0, ). Funkce má inflení bod pro = 0.

17 8 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 6) Určete asymptoty bez směrnice funkce f) =. Určíme definiční obor funkce f), tj. Df) = R \ {0}, proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je = 0. Musíme ověřit itní chování funkce f) v tomto bodě, tj. 0 = +. Proto eistuje asymptota bez směrnice a je dána rovnicí = 0.

18 I. 5. Průběh funkce 83 6) Určete asymptoty bez směrnice funkce f) = 5 + sin. Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Určíme definiční obor funkce f), tj. Df) = R \ {0}, proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je = 0. Musíme ověřit itní chování funkce f) v tomto bodě, tj. 5 + sin ) =. 0 Proto asymptota bez směrnice neeistuje.

19 84 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 63) Určete asymptoty v ± funkce f) = 3. K určení rovnice asymptoty se směrnicí budeme postupovat dle daných vzorců, proto a = b = f) = f) a) = 3 = 3 3 = ) 3 3 = 3, = 3 = = 3. Při výpočtu jsme využili možnost nerozlišovat, zda itu počítáme v + nebo toto samozřejmě v některých případech není možné a asymptoty se mohou lišit). Proto rovnice asymptoty se směrnicí je v obou směrech rovna y = =

20 I. 5. Průběh funkce 85 64) Určete asymptoty funkce f) = Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor Df) = R \ {±}. V dírách definičního oboru vypočítáme jednostranné ity, tj. { = , ) + ) =,, +, = ) + ) = { +,,, +. Funkce f) má tedy dvě asymptoty bez směrnice o rovnicí = a =. Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj. a = b = = = 3 ) = =, = Funkce f) má asymptotu se směrnicí o rovnici y = = 0.

21 86 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 65) Určete asymptoty funkce f) = e +. Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor Df) = R \ { }. Vypočítáme jednostranné ity v, tj. { e +, + + =,,, Funkce f) má tedy asymptotu bez směrnice o rovnici =. Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj. a = = e + = e + = e + l H.p. e = + l H.p. e = =, e = 0. + V dalším nás tedy zajímá pouze směr do, proto e b = + = 0. Funkce f) má asymptotu se směrnicí pouze ve směru o rovnici y = 0.

22 I. 5. Průběh funkce 87 66) Vyšetřete průběh funkce f) = 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R \ {±}. ii) Zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme ) = + + = +, ) 3 3 = + =, 3 + = +, 3 =. iii) Poněvadž platí f ) = 3 = f), je zadaná funkce lichá to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 3 = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f záporná kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 3 ) ), Df ) = R \ {±}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 3 ) = 0 = 0, = 3, 3 = 3,, ) 3 ) 3,, 0) 0, ), ) 3, ) 3 sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má lokální maimum pro = 3 a lokální minimum pro = 3. Ve význačných bodech lok. etrémy, infl. body) je vhodné znát i jejich funkční hodnotu, proto spočítáme f ) 3 ) 3 = 3 3 a f = 3 3.

23 88 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + 3 ) ), 3 Df ) = R \ {±}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = ) = 0 = 0,, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Funkce f) má tedy v bodě = 0 inflení bod. Z předchozího již víme, že f0) = 0. V inflením bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f 0) = 0, což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = a =. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = 3 = = ) 3 = =, b = = = 0. Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 7. Graf funkce f) z Příkladu 66.

24 I. 5. Průběh funkce 89 67) Vyšetřete průběh funkce f) = +. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že + 0. Proto máme Df) = R \ { }. ii) Zjistíme itní chování v bodu nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme + + = + + = + ) =, + = = ) =. + iii) Poněvadž platí f ) = + ±f), není zadaná funkce ani lichá, ani sudá což je vidět už z nesymetrie definičního oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 0) 0, ) sgn f + f kladná záporná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = + ), Df ) = R \ { }. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 + ) = 0 = 0, =., ), ), 0) 0, ) sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce má v = lokální minimum a v = 0 lokální maimum. Spočtěme v těchto význačných bodech funkční hodnotu. f ) = 4, f0) = 0. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + ) 4 = + ) 3, Df ) = R \ { }.

25 90 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 = 0, což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována tj. v dírách jejího definičního oboru)., ), ) sgn f + f i) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici =. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = = + =, b = + + = + =. Funkce f) má tedy v + i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = +. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 8. Graf funkce f) z Příkladu 67.

26 I. 5. Průběh funkce 9 68) Vyšetřete průběh funkce f) = + ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna kladná reálná čísla, tedy Df) = 0, ). ii) Zjistíme itní chování na okraji definičního oboru + ln + ln = ln ln = l H.p. = ln = = 0 + = 0 =. iii) Vzhledem k tvaru definičního oboru je zřejmé, že zadaná funkce není ani lichá, ani sudá, ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0, + ln = 0, ln =, ln =, kde použité úpravy jsou vzhledem k oboru hodnot korektní. Protože ln > 0, daná funkce nemá žádný nulový bod a je tedy na celém svém definičním oboru buď pouze kladná, nebo pouze záporná zdůrazněme, že definiční obor je bez děr ). Tedy 0, ) sgn f + f kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) =, Df ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 =. Připomeňme, že vše navíc probíhá na definičním oboru původní funkce, tj. 0, ), ) sgn f + f Z tabulky vidíme, že funkce má v = lokální minimum. Spočtěme v tomto význačném bodě funkční hodnotu. f) = + 0 =.

27 9 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + 4 Df ) = R \ {0}. = 3, viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 = 0 =. 0, ), ) sgn f + f Čili funkce f má v = inflení bod. Funkční hodnota v něm je f) = + ln. =, 9. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Asymptotu se směrnicí má, opět vzhledem k definičnímu oboru, smysl hledat pouze v + : a = + ln l H.p. = + ln + ln = = = 0, = l H.p. = b = + ln =, tedy funkce f) asymptotu se směrnicí nemá. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 9. Graf funkce f) z Příkladu 68.

28 I. 5. Průběh funkce 93 69) Vyšetřete průběh funkce f) = 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3 0. Proto máme Df) = R \ {0}. ii) Zjistíme itní chování v bodu nespojitosti, tj. = ) = iii) Poněvadž platí f ) = + 3, není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0 =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto ), 0) 0,, ) sgn f + + f kladná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) ) =, Df ) = R \ {0}. 3 3 vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 ) = 0 =,, 0) 0, ), ) sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má pro = lokální minimum s hodnotou f) = 3. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f 3) ) =, Df ) = R \ {0}. 3 4 viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 3) = 0 = 3,

29 94 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 0) ) 0, 3 3, ) sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má pro = 3 inflení bod. Platí f ) 3 = 8 7 a směrnice tečny je rovna f ) 3 = 8, což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní. 8 i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = 3 = 3 3 = 3 3 = 0, b = = = Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 0. Graf funkce f) z Příkladu 69.

30 I. 5. Průběh funkce 95 70) Vyšetřete průběh funkce f) = +. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, tj. Df) = R. ii) Z bodu ii) plyne, že funkce je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f ) = + = f), je zadaná funkce sudá to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0 = ±. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), ), ) sgn f + + f kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 4 + ), Df ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0,, 0) 0, ) sgn f + f V bodě lokálního minima = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f0) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 3 ) + ) 3, Df ) = R. viii) Určíme inflení body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. 3 f ) = 0 3 = 0 = ± 3,

31 96 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 3 3 ) 3, ) 3 ) 3, sgn f + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má dva inflení body = ± 3 s hodnotami f 3 ± a ) f 3 = ± ± 3 3 i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = + = 3 + = 3 = 0, + b = + = =. + Funkce f) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce ) = Obrázek. Graf funkce f) z Příkladu 70.

32 I. 5. Průběh funkce 97 7) Vyšetřete průběh funkce f) = +. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R \ {±}. ii) Zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme ) + + = = +, ) + = + + =, iii) Poněvadž platí + + =, + = +. f ) = + = f), je zadaná funkce sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Je zřejmé, že průsečíky s osou neeistují neboť rovnice + = 0 nemá řešení). Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), ), ) sgn f + + f kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 4 ), Df ) = R \ {±}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0,, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f V bodě lokálního maima = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f0) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = ) ) 3, Df ) = R \ {±}.

33 98 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Funkce nemá kritické body rovnice 3 + = 0 nemá řešení). Určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj., ), ), ) sgn f + + f Je vidět, že funkce nemá inflení body. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = a =. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto + a = = + 3 = + 3 = 0, + b = = + =. Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek. Graf funkce f) z Příkladu 7.

34 I. 5. Průběh funkce 99 7) Vyšetřete průběh funkce f) = 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3 0. Proto máme = Df) = R \ {± 3}. ii) Zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme ) =, = 3 3 =, 3 = ) = +, iii) Poněvadž platí f ) = 3 = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f kladná záporná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = ), Df ) = R \ {± 3}. vi) Je zřejmé, že funkce f) nemá stacionární body. Určíme intervaly monotonie, tj., ) 3 3, ) 3, ) 3 sgn f f Funkce f) tedy nemá žádný lokální etrém. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 9 + ) 3 ) 3, Df ) = R \ {± 3}.

35 300 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = ) = 0 = 0,, ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f Z tabulky vidíme, že funkce f) má inflení bod pro = 0. Z předchozího již víme, že f0) = 0. Určíme zde ještě směrnici tečny, tj. f 0) = 3. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = 3 a = 3. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = 3 = 3 = 3 3 = 3 = 0, b = 3 = 0. Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 3. Graf funkce f) z Příkladu 7.

36 I. 5. Průběh funkce 30 73) Vyšetřete průběh funkce f) = + ). Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R{0}. ii) Zjistíme itní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme + ) = +, + ) = iii) Poněvadž platí f ) = ) = + ) = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + = 0 = =, tedy funkce nemá průsečíky s osou. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, 0) 0, ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) =, Df ) = R \ {±0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 = ±,, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Určíme funkčního hodnoty lokálního maima pro = a minima pro =, tj. f ) = a f) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 3, Df ) = R \ {±0}. viii) Inflení body očividně neeistují, určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj.

37 30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 0) 0, ) sgn f + f Z tabulky vidíme, že funkce f) nemá inflení bod. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = + [ ) + = ) ] + = = = 0. + =, Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y =. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 4. Graf funkce f) z Příkladu 73.

38 I. 5. Průběh funkce ) Vyšetřete průběh funkce f) = ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = 0, ). ii) Zjistíme itní chování v levém krajním bodě definičního oboru, tj. ln 0 + =. iii) Definiční obor funkce f) není symetrický, proto funkce f) ani nemůže být lichá nebo sudá. Navíc, je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 ln = 0 =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto 0, ), ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = ln, Df ) = 0, ). vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 ln = 0 = e, 0, e) e, ) sgn f + f Pro = e má funkce f) lokální maimum s funkční hodnotou f e) = e. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f 3 + ln ) =, Df ) = 0, ). 3 viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 ln 3 = 0 = e 3, ) ) 0, e 3 e 3, sgn f + f

39 304 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné V bodě = e 3 ) je rovna f e 3 ) má funkce f) inflení bod. Platí f e 3 = 3 e 3 a směrnice tečny = e 3, což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptotu se směrnicí pokud eistuje směr pro nemá smysl uvažovat), proto ln a = l H.p. = = 0, = 0. ln b = l H.p. = Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 5. Graf funkce f) z Příkladu 74.

40 I. 5. Průběh funkce ) Vyšetřete průběh funkce f) = ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 0. Proto máme Df) = R \ {0}. ii) Zjistíme itní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme iii) Poněvadž platí ln 0 + ln =, 0 ln = +. f ) = = ln = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 ln = 0 = = ±. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f záporná kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ln ) =, Df ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 ln = 0 = e = ± e,, e) e, 0) 0, e) e, ) sgn f + + f Funkce f) ma lokální minimum pro = e a lokální maimum pro = e s funkčními hodnotami f e) = e a f e) = e. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = ln 6 3, Df ) = R \ {0}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 ln 3 = 0 = e 3 = ± e 3,

41 306 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné ) ) ) ), e 3 e 3, 0 0, e 3 e 3, a = 0. ) Vypočítáme funkční ) hod- = 5 e 3, f e 3 = 3 e 3, noty a směrnice tečen, proto f ) f e 3 = e 3. sgn f + + f Funkce f) má tři inflení body pro = ± e 3 e 3 ) = 3 e 3, f e 3 i) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = ln = ln ln l H.p. = l H.p. = = 0. = 0, Funkce f) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 6. Graf funkce f) z Příkladu 75.

42 I. 5. Průběh funkce ) Vyšetřete průběh funkce f) = ln. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že ln eistuje. Proto máme Df) = 0, ). ii) Zjistíme itní chování v levém krajním bodě definičního oboru, proto ln ) =. 0 + iii) Definiční obor není symetrický, proto funkce f) nemůže být sudá ani lichá. Navíc, je zřejmé, že funkce není ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = ln. Pokud si vzpomenete na grafy elementárních funkcí, viz je zřejmé, že funkce f) nemá žádné průsečíky s osou, proto 0, ) sgn f + f kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) =, Df ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = =,

43 308 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 0, ), ) sgn f + f Určíme hodnotu lokálního minima, tj. f ) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) =, Df ) = R \ {0}. viii) Kritické body neeistují, určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. 0, ) sgn f + f Je tedy zřejmé, že funkce f) nemá inflení bod. i) Z bodu ii) plyne, že funkce asymptotu bez směrnice o rovnici = 0. Určíme i asymptotu se směrnicí směr pro nemá smysl), proto ln a = b = l H.p. = ln =. ln ) = =, Funkce f) tey nemá asymptotu se směrnicí. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 7. Graf funkce f) z Příkladu 76.

44 I. 5. Průběh funkce ) Vyšetřete průběh funkce v intervalu [0, π]. f) = ln + sin sin Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Základní rámec definičního oboru je již dán zadáním příkladu. Dále musí platit + sin sin > 0 a současně sin. Řešení druhé rovnice dostaneme ihned, tj. π stále platí [0, π]). První rovnici rozdělíme do dvou možností + sin > 0 sin > 0 nebo + sin < 0 sin < 0, sin > sin < nebo sin < sin >, [ ) 0, 3π 3π, π] [ ) 0, π π, π] nebo soustava nemá řešení. Tedy definiční obor zadané funkce je [ Df) = 0, π ) π, 3π ) ] 3π, π. ii) Určíme hodnoty v krajních bodech definičního oboru, tj. f0) = 0 a fπ) = 0. Také zjistíme itní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme ln π + sin sin = +, 3π ln + sin sin =. iii) Vzhledem k definičními oboru není funkce f) sudá, lichá ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + sin = + sin = sin sin sin = 0 = π. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto ) 0, π π, π) ) π, 3π 3π, π) sgn f + + f kladná kladná záporná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = [ cos, Df ) = 0, π ) π, 3π ) ] 3π, π. vi) Stacionární body neeistují, nyní určíme intervaly monotonie, tj. ) 0, π π, ) 3π 3π, π) sgn f + + f Zadaná funkce tedy nemá žádné lokální etrémy.

45 30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = sin [ cos, Df ) = 0, π ) π, 3π ) ] 3π, π. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 sin = 0 = 0, = π, 3 = π. ) 0, π π, π) ) π, 3π 3π, π) sgn f + + f Je zřejmé, že kritické body = 0 a 3 = π nemohou být infleními body. Určíme funkční hodnotu a směrnici tečny v inflením bodě = π, tj. f π) = 0 a f π) =. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích = π a = 3π. Poněvadž jsme na omezeném intervalu, nemá smysl uvažovat asymptoty se směrnicí. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 8. Graf funkce f) z Příkladu 77.

46 I. 5. Průběh funkce 3 78) Vyšetřete průběh funkce f) = e. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Funkce f) je spojitá v celém definičním oboru. iii) Poněvadž platí f ) = e = f), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, 0) 0, ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = e ), Df ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 = ±,, ), ), ) sgn f + f Funkce f) má lokální minimum pro = a lokální maimum = s funkčními hodnotami f ) = e a f) = e. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = e 3 ), Df ) = R \ {±}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 3 ) = 0 = 0, = 3, 3 = 3., ) 3 ) 3, 0 0, ) 3, ) 3 sgn f + + f

47 3 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce f) má tři inflení body pro = ± 3 a pro = 0. Určíme funkční hodnoty a směrnice tečen v infleních bodech, proto f ) 3 = 3 e 3, f ) 3 = 3 ) e 3, f 0) = 0, f 0) =, f = 3 ) 3 e 3 a f = e 3. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty se směrnicí. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = e e = b = e = e = 0, l H.p. = = 0. e Funkce f) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 9. Graf funkce f) z Příkladu 78.

48 I. 5. Průběh funkce 33 79) Vyšetřete průběh funkce f) = arctg. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Je zřejmé, že funkce f) je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f ) = arctg ) = arctg ) = f) je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určit průsečíky s osou není snadné, zřejmě f) = 0 = 0. Eistence dalších nulových bodů můžeme vyloučit, neboť v bodě vi) ukážeme, že funkce je stále rostoucí. Proto obdržíme, 0) 0, ) sgn f + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = + = +, Df ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 = 0 = 0,, 0) 0, ) sgn f + + f Funkce f) tedy nemá lokální etrémy. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = + ) 3, Df ) = R. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 = 0,, 0) 0, ) sgn f + f

49 34 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce f) má tedy inflení bod pro = 0. Z předchozího již víme, že f0) = 0. V inflením bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f 0) = 0, což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou. i) Asymptoty bez směrnice neeistují, určíme asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = arctg l H.p. = + =, arctg ) = arctg = ±π. Funkce f) má tedy dvě asymptoty se směrnicí. Pro je dána rovnicí y = + π a pro + máme y = π. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 30. Graf funkce f) z Příkladu 79.

50 I. 5. Průběh funkce 35 80) Vyšetřete průběh funkce ) f) = arccos. + Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Protože pro všechna R platí, tj. 0 + ) a 0 ), + vyhovují funkčnímu předpisu všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Funkce f) je spojitá v celém definičním oboru. iii) Poněvadž platí ) ) f ) = arccos = π arccos, + + zde jsme využili vztah arccos ) = π arccos ) není zadaná funkce lichá ani sudá to zjistíme již z grafu elementární funkce arccos ). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + = ) = 0 =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), ) sgn f + + f kladná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) ) = + ), Df ) = R \ {±}. vi) Vzhledem k definičnímu oboru f ) nemáme žádné stacionární body, určíme intervaly monotonie, tj., ), ), ) sgn f + + f Funkce f) má lokální maimum pro = a lokální minimum = s hodnotami f ) = π a f ) = 0. V těchto bodech není první derivace definována, proto zde má graf funkce f) hrot. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 ) + ), Df ) = R \ {±}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f ) = 0 4 ) = 0 = 0,

51 36 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, ), 0) 0, ), ) sgn f + + f Funkce f) má tři inflení body pro = ± a = 0. Určíme potřebné funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f ) = π, f ) =, + f ) =, f0) = π, f 0) =, f) = 0, f ) =, + f ) =. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme i asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = arccos ) + arccos + π = 0, ) = π. Funkce f) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = π. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 3. Graf funkce f) z Příkladu 80.

52 I. 5. Průběh funkce 37 8) Vyšetřete průběh funkce f) = 3 3. Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. Df) = R. ii) Je zřejmé, že funkce f) je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f ) = = 3 3 není zadaná funkce ani sudá ani lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 ) = 0 = 0, =. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, 0) 0, ), ) sgn f + + f kladná kladná záporná Ze změny znamének je vidět, že v bodě = 0 je pouze bod dotyku osy nikoli její průsečík. v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = ), Df ) = R \ {0, }. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 4 3) = 0 = 0, = 4 3,, 0) 0, 4 3) 4, ) 3, ) sgn f + f Funkce f) má lokální minimum pro = 0 a lokální minimum pro = 4 s hodnotami 3 f 0) = 0 a f ) 4 3 = Navíc, v bodě = 0 není první derivace definována, bude mít graf funkce v tomto bodě hrot. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 8 9 ) 3 3 ), Df ) = R \ {0, }. viii) Druhá derivace nemá nulový bod, určíme tedy intervaly konvenosti a konkávnosti, tj.

53 38 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, 0) 0, ), ) sgn f + f V bodě = má funkce f) inflení body. Z předchozího již víme, že f) = 0. V inflením bodě určíme ještě směrnici tečny, ovšem f ) neeistuje. Z výpočtu f ) = plyne, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou y. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = = = = 3 = 3 ) = 3 + ) l H.p. = 3 + ) 3 = = 3 ) ) l H.p. = = = 3 =, Funkce f) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = + 3. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 3. Graf funkce f) z Příkladu 8.

54 I. 5. Průběh funkce 39 8) Vyšetřete průběh funkce f) = + ) ). Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. ii) Zadaná funkce je spojitá v R. iii) Poněvadž platí Df) = R. f ) = + ) ) není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 + ) ) = ) 3 = 7 + ) =, = 9 8. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto, ), 9 8 ) 9 8, ) sgn f + f záporná záporná kladná Je tedy vidět, že v bodě = je pouze bod dotyku grafu funkce f) a osy. v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f ) = 3 +, Df ) = R \ { }. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = = 0 + = = 0., ), 0) 0, ) sgn f + + f Funkce f) má lokální maimum pro = a lokální minimum pro = 0 s hodnotami f ) = 0 a f0). vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = ) 4, Df ) = R \ { }. viii) Je vidět, že kritické body neeistují. Určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj.

55 30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, ), ) sgn f + + f Funkce f) tedy nemá inflení bod. i) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme nyní asymptoty se směrnicí pokud eistují), proto a = b = + ) ) + ) ) l H.p. = ) = 3 + =, ) ) Tedy funkce f) nemá ani asymptoty se směrnicí. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce =. Obrázek 33. Graf funkce f) z Příkladu 8.

56 I. 5. Průběh funkce 3 83) Vyšetřete průběh funkce f) = cos cos). Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že cos 0 π + kπ, k Z π 4 + kπ, k Z. Proto máme Df) = R \ { π 4 + kπ }. k Z ii) Spočítáme itní chování v bodech nespojitosti budeme uvažovat pouze interval [ π, π], viz bod iii)), tj. cos 3π cos) =, cos 3π + cos) = +, 4 4 cos π cos) =, cos π + cos) = +, 4 4 cos π cos) = +, cos π + cos) =, 4 4 3π 4 iii) Poněvadž platí cos cos) = +, f ) = cos ) cos ) = 3π + 4 cos cos) = f), cos cos) =. je zadaná funkce sudá. Funkce cos je periodická s periodou π a funkce cos) je periodická s periodou π. Proto zadaná funkce f) je periodická s periodou π. Při vyšetřování funkce se tudíž omezíme na libovolný interval délky π, my zvolíme interval [ π, π] iv) Určíme průsečíky s osou, tj. f) = 0 cos = 0 = π, = π. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f) kladná a záporná, proto ) π, 3π 4 3π, ) π 4 π, ) π 4 π, ) π π, ) π π, ) 3π 3π, π) sgn f f záporná kladná záporná kladná záporná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. cos f + ) sin ) =, Df ) = R \ { π cos) 4 + kπ k Z vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f ) = 0 cos + ) sin = 0 }. sin = 0 = π, = 0, 3 = π

57 3 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné..., π) ) π, 3π 4 3π, ) π 4 π, ) π 4 π, 0) ) 0, π π, ) π π, ) 3π 3π, π) π,...) sgn f f Funkce f) má tedy v intervalu [ π, π] lokální minima pro = ±π a lokální maimum pro = 0 s hodnotami f π) =, f 0) =, f π) =. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f ) = 4 cos 4 4 cos ) cos, Df ) = R \ { π cos kπ k Z }. viii) Vypočítáme kritické body a f ) = 0 4 cos 4 4 cos ) cos = 0 cos = 0 = π, = π. Rovnice 4 cos 4 4 cos = 0 nemá řešení, protože při použití substituce y = cos, dostaneme rovnici 4y 4y = 0 s řešením y = 3 < 0 a y = + 3 >, tedy řešení původní rovnice neeistuje stejný výsledek dostaneme bez počítání s využitím faktu cos, potom totiž dostaneme 4 cos 4 4 cos 3). Nyní určíme intervaly konvenosti a konkávnosti, tj...., π) ) π, 3π 4 3π, ) π 4 π, ) π 4 π, ) π π, ) π π, ) 3π 3π, π) π,...) sgn f f Funkce f) má proto v intervalu [ π, π] dva inflení body pro = ± π. V infleních bodech dopočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f ) ) π = 0, f π =, f ) ) π = 0, f π =. i) Z bodu ii) plyne, že funkce má čtyři asymptoty bez směrnice o rovnicích = 3π, 4 = π, = π a = 3π. Vzhledem k periodičnosti funkce f) nemají asymptoty se směrnicí smysl. ) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

58 I. 5. Průběh funkce 33 Obrázek 34. Graf funkce f) z Příkladu 83.

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

10. Derivace, průběh funkce

10. Derivace, průběh funkce Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.

Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. @034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus Vysoká škola polytechnická Jihlava Obor Finance a řízení Matematika, - cvičení Miloš Kraus. vydání září 005 Obsah Matematická logika 5 Funkce a jejich vlastnosti 8 3 Inverzní a cyklometrické funkce 5

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I. Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra

Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Autor práce: Markéta Medviďová Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více