Literatura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)

Transkript

1 Předmět: MA03 Opakování: formulace okrajové úlohy (OÚ), skalární součin funkcí, ortogonalita funkcí Nová látka: vlastní čísla a vlastní funkce OÚ ortogonalita vlastních funkcí řešitelnost OÚ Literatura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)

2 Opakování Okrajové úlohy: Ukázky: u + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0; u + u = 0, u(0) = 0, u(π) = 1; u + u = 0, u(0) = 0, u (π) = 0. nekonečně mnoho řešení. nemá řešení. u + u = 0, u (a) = 0, u(b) = 0, kde a < b. u + 15u = 0, u(0) = 0, u(π) = 0. u +λu = 0, u(a) = 0, u(b) = 0, kde λ R. Skalární součin funkcí u, v C([a, b]): (u, v) = b a u(x)v(x) dx. Ortogonální funkce u, v C([a, b]): (u, v) = b a u(x)v(x) dx = 0. u = (u, u) norma funkce u (často u 2 ).

3 Okrajová úloha (OÚ) u (x)+λu(x) = 0, (1) u(a) = 0, u(b) = 0, (2) kde λ R je dáno a řešení se hledá na intervalu [a, b]. Definice: Vlastním číslem OÚ (1)-(2) nazveme to λ R, pro něž má (1)-(2) netriviální (tj. nenulové) řešení. Je-li λ vlastní číslo, pak o každém netriviálním řešení řekneme, že je vlastní funkcí příslušnou vlastnímu číslu λ. Tvrzení 1: Je-li λ vlastní číslo OÚ (1)-(2), pak λ > 0. Důkaz: λ je vl. č. u = λu, u netriviální. Tedy ( u, u) = (λu, u) = λ u 2. Zároveň ( u, u) = b a u p.p. a okr. podm. (x)u(x) dx = u 2. Z dvojího vyjádření ( u, u) dostáváme u 2 = λ u 2. Z u 0 plyne u 2 > 0 a λ 0. Lze λ = 0? Necht ano, pak u = 0, tudíž u je konstanta na [a, b] u = 0 na [a, b] spor, nelze. Závěr: λ = u 2 / u 2 okr. podm. =

4 Tvrzení 2: Vlastní funkce příslušné různým vlastním číslům OÚ (1)-(2) jsou navzájem ortogonální. Důkaz: Necht u = λu a v = µv, kde u, v jsou vlastní funkce OÚ (1)-(2) a λ µ. Tedy ( u, v) = (λu, v) = λ(u, v). Zároveň ( u, v) = b a u p.p. a okr. podm. (x)v(x) dx = (u, v ). První odvozená rovnost (u, v ) = λ(u, v). Také ovšem ( v, u) = (µv, u) = µ(v, u) a ( v, u) = b a v p.p. a okr. podm. (x)u(x) dx = (v, u ). Druhá odvozená rovnost (v, u ) = µ(v, u). S využitím odvozených rovností a komutativity skalárního součinu dostáváme λ(u, v) = (u, v ) = (v, u ) = µ(v, u) = µ(u, v). Jelikož λ µ, musí být (u, v) = 0.

5 Tvrzení 3: Pro a = 0 a b = π má OÚ (1)-(2) tuto množinu vlastních čísel λ k = k 2, kde k = 1, 2, 3,... Dále pro každé k = 1, 2, 3,... přísluší vlastnímu číslu λ k vlastní funkce u k (x) = sin kx, kde x [0,π]. Tvrzení 4: Vlastní čísla a příslušné vlastní funkce OÚ (1)-(2) jsou λ k = ( ) kπ 2, u k (x) = sin b a kπ(x a), k = 1, 2, 3,... b a Tvrzení 3 je speciálním případem tvrzení 4, a to se dokáže přímým výpočtem.

6 Řešitelnost OÚ u (x)+λu(x) = f, (3) u(a) = 0, u(b) = 0, (4) kde λ R a f C([a, b]) je dáno a řešení se hledá na intervalu [a, b]. Definice: Vlastní čísla a vlastní funkce OÚ (1)-(2) nazveme též vlastními čísly a vlastními funkcemi OÚ (3)-(4). Věta o řešitelnosti 1) Jestliže λ není vlastní číslo (tj. u +λu = 0 s okr. podm. u(a) = 0, u(b) = 0 má jen triviální řešení), pak OÚ (3)-(4) má právě jedno řešení. 2) Je-li λ vlastní číslo OÚ (3)-(4) a zároveň f je ortogonální k vlastní funkci příslušné vl. č. λ, pak OÚ (3)-(4) má nekonečně mnoho řešení. 3) Je-li λ vlastní číslo OÚ (3)-(4) a zároveň f není ortogonální k vlastní funkci příslušné vl. č. λ, pak OÚ (3)-(4) nemá žádné řešení.

7 Příklad: závislost počtu řešení na λ u +λu = 2 sin( 2x)+7 sin(4x), u( π) = 0, u(π) = 0. 1) Není-li λ vlastní číslo, pak OÚ (3)-(4) má právě jedno řešení. 2) Je-li λ vlastní číslo OÚ (3)-(4) a zároveň f je ortogonální k vlastní funkci příslušné vl. č. λ, pak OÚ (3)-(4) má nekonečně mnoho řešení. 3) Je-li λ vlastní číslo OÚ (3)-(4) a zároveň f není ortogonální k vlastní funkci příslušné vl. č. λ, pak OÚ (3)-(4) nemá žádné řešení. Označme množinu všech vl. čísel V = { k 2 /4 R : k = 1, 2, 3,... } ; příslušné vl. fce. jsou u k (x) = sin(k(x +π)/2). Povšimněme si, že 2 sin( 2x)+7 sin(4x) = 2u 4 + 7u 8. Odpověd : 1) λ R\V OÚ má právě jedno řešení. 3) λ { 4 2 /4, 8 2 /4 } = {4, 16} OÚ nemá žádné řešení. 2) λ V \{4, 16} OÚ má nekonečně mnoho řešení.

8 Příklad: zjednodušení předchozího; λ = 1 u + u = x 2, u( π) = 0, u(π) = 0. 1) Není-li λ vlastní číslo, pak OÚ (3)-(4) má právě jedno řešení. 2) Je-li λ vlastní číslo OÚ (3)-(4) a zároveň f je ortogonální k vlastní funkci příslušné vl. č. λ, pak OÚ (3)-(4) má nekonečně mnoho řešení. 3) Je-li λ vlastní číslo OÚ (3)-(4) a zároveň f není ortogonální k vlastní funkci příslušné vl. č. λ, pak OÚ (3)-(4) nemá žádné řešení. Z předchozího příkladu známe množinu všech vl. čísel V = { k 2 /4 R : k = 1, 2, 3,... } ; příslušné vl. fce. jsou u k (x) = sin(k(x +π)/2). Vidíme, že 1 je druhé vlastní číslo, tj. k = 2 a λ 2 = 1. Příslušná vlastní funkce u 2 = sin(x +π) = sin(x). Je (u 2, x 2 ) = 0? (u 2, x 2 ) = π π sin(x)x 2 dx lichá f. = 0. Odpověd : Číslo 1 je vl. číslo a příslušná vl. funkce je ortogonální k x 2. OÚ tedy má nekonečně mnoho řešení. Lze spočítat: u(x) = c sin x +(π 2 2) cos x + x 2 2, c R.

9 OÚ s jinými okrajovými podmínkami u +λu = f, (5) u(a) = 0, u (b) = 0. (6) ( k 1 2 π 2) 2 Vlastní čísla OÚ (5)-(6) jsou λ k = (b a) 2, kde k = 1, 2,... ( k 1 ) π(x a) 2 Vlastní funkce přílušná vl. č. λ k je u k = sin. b a Věta o řešitelnosti zůstává beze změny. Vlastní čísla a vlastní funkce ovšem odpovídají OÚ (5)-(6) s f = 0.

10 Příklad: závislost počtu řešení na λ u +λu = 1 3 sin( 2x)+7 sin 6x 1 sin 14x sin( 18x) 2 7 sin( 22x), u(0) = u (π/4) = 0. Řešení: Vl. čísla V = {4(2k 1) 2 : k = 1, 2,...}, vlastní funkce u k = sin ( 2(2k 1)x ). Pravá strana f 1 3 u 1 + 7u u 4 5u u 6. Jestliže λ / V, pak právě jedno řešení. Pro k = 1, 2, 4, 5, 6 je (u k, f) 0, tedy pro λ = 4, 36, 196, 324, 484 úloha nemá řešení. Jestliže λ V \{4, 36, 196, 324, 484}, pak příslušná vlastní funkce je ortogonální k f, a tudíž úloha má nekonečně mnoho řešení.

11 OÚ s jinými okrajovými podmínkami u +λu = f, (7) u (a) = 0, u(b) = 0. (8) ( k 1 2 π 2) 2 Vlastní čísla OÚ (7)-(8) jsou λ k = (b a) 2, kde k = 1, 2,... ( k 1 ) π(x a) 2 Vlastní funkce přílušná vl. č. λ k je u k = cos. b a Věta o řešitelnosti zůstává beze změny. Vlastní čísla a vlastní funkce ovšem odpovídají OÚ (7)-(8) s f = 0.

12 Další příklady ve skriptech v kapitolách 4.5, 4.6 (stabilita nosníku), 5.7 (příklady 5.16 b) - e)), 5.8.