8. série. Finální myš(maš)

Transkript

1 Téma: Datumodeslání: 8. série Finální myš(maš) ½ º Ú ØÒ ¾¼¼ ½º ÐÓ (a) V růžovém království pěstují nový záhon růží. Záhon má tvar obdélníku 2 0, rozděleného na čtverce. Aby záhon potěšil oko krále, je potřeba, aby v každých dvou(hranou) sousedních čtvercích byl jiný druh růží. Zahradník má dohromady n 2 druhů růží. Určete kolika způsoby můžezáhonosázetrůžemi. (b) V šachovnicovém království dva princové právě bojují o trůn. Na nádvoří královského hradu je vyznačena velká šachovnice o rozměrech 8 8. Královští jezdci začínají v levém horním poli šachovnice. Princové se střídají v rozkazech pro jezdce a vždy je pošlou na nějaké další pole na šachovnici(jezdci se mohou však pohybovat jen tak, jak se pohybuje šachový kůň) Princ, kterýjezdcepošlenapole,nakterémužbyli,neníhodenveletarmádě,apřicházíotrůn.první rozkaz dává starší princ. Určete, který z princů má vyhrávající strategii, tj. bude-li dávat vhodné rozkazy,budemítjistotu,žeotrůnnepřijde. ¾º ÐÓ Je dána rovnice 4xy= z 2 + x+y. (a) Dokažte,ževcelýchčíslechbeznulymátatorovnicenekonečněmnohořešení. (b) Vyřeštetutorovnicivpřirozenýchčíslech. º ÐÓ Vprostorujedánauzavřená lomenáčáraznúseček.všechnyúsečkyjsoustejnědlouhéaúhly uvšechvrcholů(míst,kdesečára láme )jsoustejněvelké.vzávislostina nurčete,jestliuž nutně všechny vrcholy čáry leží ve stejné rovině. (a) Úlohuřeštepro n=4an=6. (b) Úlohuřešteproobecné n. º ÐÓ Fibonnacihoposloupnostírozumímeposlopoupnostdanoupředpisem F = F 2 =af i+2 = = F i+ + F i pro ipřirozené. (a) Dokažte,žeprokaždépřirozené nplatí F 2 + F F2 n= F nf n+. (b) Dokažte, že je-li n přirozené, potom ho lze právě jedním způsobem zapsat jako součet n=f i + F i2 + +F ik kde i 2ai j+ i j +2prokaždé j {,2,..., k }. Toznačí,žejejíkonecazačátekležívtomtéžbodě.

2 º ÐÓ (a) Mějme nčísel x, x 2,... x nnáhodně(rovnoměrněnezávisle 2 )vybranýchzintervalu(0,). Určetepravděpodobnost,žeprokaždé i {3,4,..., n}platí,že x i ležíuvnitřintervaluskrajními body x i 2 a x i. (b) Mějme n bodů náhodně(rovnoměrně nezávisle) vybraných na kružnici. Určete pravděpodobnost,žestředkružniceležíuvnitřmnohoúhelníkutvořenéhotěmitobody. º ÐÓ (a) Buď Ebodnaúhlopříčce BDčtverce ABCD.Ukažte,žebody A, Eastředyopsaných kružnictrojúhelníků ABEa ADEtvořídalšíčtverec. (b) Buď ABCDkonvexníčtyřúhelník, Xbodnastraně AB, Y průsečík DXs AC.Ukažte,že kružniceopsanétrojúhelníkům ABC, CDY a BXDmajíspolečnýbod. º ÐÓ (a) Dokažte,žeprokaždépřirozenéčíslo n >platí n 2 < n n. (b) Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí + + «+ < n (n+) 2. Řešení 8. série. úloha (a) V růžovém království pěstují nový záhon růží. Záhon má tvar obdélníku 2 0, rozděleného na čtverce. Aby záhon potěšil oko krále, je potřeba, aby v každých dvou(hranou) sousedních čtvercích byl jiný druh růží. Zahradník má dohromady n 2 druhů růží. Určete kolika způsoby může záhon osázet růžemi. (b) V šachovnicovém království dva princové právě bojují o trůn. Na nádvoří královského hradu je vyznačena velká šachovnice o rozměrech 8 8. Královští jezdci začínají v levém horním poli šachovnice. Princové se střídají v rozkazech pro jezdce a vždy je pošlou na nějaké další pole na šachovnici(jezdci se mohou však pohybovat jen tak, jak se pohybuje šachový kůň) Princ, kterýjezdcepošlenapole,nakterémužbyli,neníhodenveletarmádě,apřicházíotrůn.první rozkaz dává starší princ. Určete, který z princů má vyhrávající strategii, tj. bude-li dávat vhodné rozkazy, bude mít jistotu, že o trůn nepřijde. 2 Neformálněřečeno:Žádnýbodnenípravděpodobnějšínežjinýavolba x i nezávisínavolbě ostatních x j, j i.vícesedočtešvúvodukpátésérii.

3 (a) Očíslujme si políčka jako na obrázku a začněme je osazovat podle tohoto pořadí Proprvnípolíčkomáme nmožností,prodruhé n (nesmímepoužítstejnýdruhrůžíjaký jenapolíčku).uvažujmeteď2případy: () napolíčku3jestejnýdruhrůžíjakonapolíčku2,tedypro políčko4máme n možností (2) napolíčku3jejinýdruhrůžínežnapolíčku2,tedypropolíčko3máme n 2možností, pro políčko 4 rovněž Dvojicipolíček(3,4)můžemeosázet n +(n 2) 2 způsoby.udvojicpolíček(5,6),(7,8),... (9,20) je situace analogická osazování políček 3 a 4, a proto pro políčka 3 20 máme dohromady (n +(n 2) 2 ) 9 možností.tudížcelýzáhonmůžemeosázet n(n )(n +(n 2) 2 ) 9 způsoby, cožjepodrobnékosmetickéúpravětosaméjako n(n )(n 2 3n+3) 9. (b) Rozdělmešachovnicina8obdélníků2 4avšimněmesi,žestojí-likůňnalibovolném políčku Pjednohozobdélníků,existujevtomtoobdélníkupřesnějednopole P,nakterémůže (jednímtahem)skočit(povšimnisi,ženaopakzp skočínapole P,neboli P = P).Ztoho už poměrně snadno vyrobíme vyhrávající strategii pro prvního z princů: Vždy táhni na pole ve stejnémobdélníku,vekterémjezdeczrovnastojí(tedyzpole P napole P ). Proč s touto strategií nemůže prohrát? Princ prohraje tehdy, když už nemá, kam táhnout. Abytedyprvníprincprohrál,muselabynastatsituace,kdykůňstojínanějakémpolíčku P a nemůžeskočitna P,protožetamužbyl.Jaksealemohlostát,žeužbylnapoli P?Jsoudvě možnosti:buďtonanětáhlněkdydřívdruhýprinc pakbyaleprvníhnedjelna P = P,takže bynatomtopolíčkuteďnemohlstátapřemýšlet,kammůžejet!anebonanětáhlprvníprinc tenalena P skočíjenomzp,takžeanivtomtopřípaděbysetunemohlkůňocitnoutznovu. První princ tedy nemůže prohrát, a protože někdo časem vyhraje, bude to první princ. Ať žijenovýkrál!(: 2. úloha Je dána rovnice 4xy= z 2 + x+y. (a) Dokažte, že v celých číslech bez nuly má tato rovnice nekonečně mnoho řešení. (b) Vyřešte tuto rovnici v přirozených číslech. (a) Rovnice v přirozených číslech je zadaná samostatně jako část (b), asi to tedy nebude niclehkého... Cožtakhletedyzkusitzvolitnějakouzneznámýchzápornou?Celkemsetřeba nabízívolba y=,podosazenídozadanérovnicečlověkužcelkemčastodopočte,žetřeba x= (5t 2 +2t), z=5t+, t Zdávánekonečněmnohonavzájemrůznýchřešení. (b) Dokážeme, že rovnice nemá žádné přirozené řešení. K tomu se nám bude hodit použít následujícího nepříliš obtížného pozorování: Lemma. Dává-ličíslo n Nzbytek3podělení4,jedělitelnénějakýmprvočíslem,kterétaké dávázbytek3podělení4. Vyzbrojeni tímto lemmatem(které si krásná čtenářka nebo udatný čtenář může dokázat bez mojí pomoci) se můžeme pustit do boje s úlohou. Rovnici nejprve upravíme do ekvivalentního tvaru(4x )(4y )=(2z) Přitom xjepřirozené,přirozenéčíslo4x dávápodělení

4 4zbytek3,atedyjedělitelnénějakýmprvočíslem p,kterétakédávázbytek3podělení4.číslo (2z) 2 +jetedydělitelnétímto p.ha!ukazujese,žedrak(vlastnězadanáúloha)jezákeřnější, nežsenaprvnípohledzdálo!budemenanějmusetvytasitještějednolemma: Lemma. Pokudprvočíslo p,kterédávázbytek3podělení4,dělíčíslo a 2 + b 2,pak pdělíobě čísla a, b. Ztohotolemmatuužjednodušeplyne,že pdělí,cožjezajistéspor. Zbývátedydokázattotodruhé,netriviální,lemma.Určitě p 3.Předpokládejme,že a b 2 0(mod p),ale pnedělíani aani b.označme x = ab p 2.PoužitímmaléFermatovy větyavztahu a 2 b 2 (mod p)můžešsnadnoověřit,že x 2 (mod p).umocněnímtéto kongruence na(p )/2 dostaneme(opět používáme MFV, ale(v poslední úpravě) také toho, že p 3(mod4),tedy(p )/2jeliché): cožjespor,protožebypak pdělilodvojku. x p ( ) p 2 = (mod p), 3. úloha Vprostorujedánauzavřená 3 lomenáčáraznúseček.všechnyúsečkyjsoustejnědlouhéaúhly uvšechvrcholů(míst,kdesečára láme )jsoustejněvelké.vzávislostina nurčete,jestliuž nutně všechny vrcholy čáry leží ve stejné rovině. (a) Úlohuřeštepro n=4an=6. (b) Úlohuřešteproobecné n. (a) Pro n = 4 uvažme pravidelný čtyřstěn ABCD. Pak hledaným protipříkladem je uzavřená lomenáčára ABCDA(všechnyúsečkysvírajíúhel60 ).Pro n=6uvažmekrychli ABCDEFGH auzavřenoulomenoučáru ABCDHGFEA(tentokrátsvírajíúhel90 ). (b) Nejdřívenajdemeprotipříkladyprosudá naprolichá n,kterájsouostřevětšínež5. Pro n=4mámevyřešenov(a).buď n=2k, k 3.Obdobnějakopropřípad n=6;uvažme schody (vizobrázek,všechnydvojicesousedníchhransvírajíúhel90 ). 3 Toznačí,žejejíkonecazačátekležívtomtéžbodě.

5 Nechť n=2k+pronějaképřirozené k 3,pakzkonstruujemeuzavřenoulomenoučáru obdobně jako v předchozím případě, jen na konci nahradíme poslední(horní hranu schodů) dvěma hranamiatotak,žeposlednídvavrcholy rozevřeme tak,abybylyprávěvevzdálenosti 2a, kde a je délka hrany. Pak mezi ně můžeme vložit pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s rameny délky aatodokoncetak,abyjehoramenasposlednímihranamilomenéčárysvíralaúhel90 (rozmysli si, že mohou svírat téměř libovolný úhel největší úhel svírají, pokud leží s předchozími hranami v rovině). Anynítanejtěžšíčástúlohy:dokážeme,žepro n=5musíužcelálomenáčáraležetvrovině. Mějme vyhovující lomenou čáru ABCDEA. Uvědomme si, že máme-li daný libovolný úhel a délku, tak všechny vzdálenosti v požadované lomené čáře jsou určeny, protože každé dva sousední úsekyležívrovině,tedymámedanouvzdálenost ABa BCtedyiAC,obdobně BD, CE DAa EB, tedy vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Snadno ověříme, že pak už musí být lomená čára určená jednoznačně(až na nějaké shodné zobrazení). Uvažmenyníshodnézobrazení,kterébody A, B, C, DaEzobrazípořadědobodů B, C, D, Ea A.Označmetotozobrazení f.pakzřejmě fzobrazujetěžištěbodů A, B, C, D, Enasebe sama. Zobrazení f může být přímé, nebo nepřímé(nepřímé je např. v rovině osová souměrnost, přímé naopak posunutí, otočení). Pokud složíme zobrazení f pětkrát za sebe dostaneme identitu, tedy fmusíbýtpřímézobrazení(jinakipětkrátsloženébybylonepřímé)aprotožemápevný bod, tak je to otočení(nějaká trojrozměrná rotace kolem těžiště), z čehož již plyne, že ABCDE je pravidelný pětiúhelník a leží tedy v jedné rovině. 4. úloha Fibonnacihoposloupnostírozumímeposlopoupnostdanoupředpisem F = F 2 =af i+2 = = F i+ + F i pro ipřirozené. (a) Dokažte,žeprokaždépřirozené nplatí F 2 + F F2 n = FnF n+. (b) Dokažte, že je-li n přirozené, potom ho lze právě jedním způsobem zapsat jako součet n=f i + F i2 + +F ik kde i 2ai j+ i j +2prokaždé j {,2,..., k }. (a) Dokážemematematickouindukcí.Pro n=máme F 2 =2 = =F F 2. Předpokládejmetedy,žetvrzeníplatípro nadokažmepro n+: F 2 + F F2 n + F2 n+ = FnF n++ F 2 n+ = F n+(f n+ F n+ )=F n+ F n+2 V první rovnosti byl použit indukční předpoklad a v poslední definice Fibonacciho posloupnosti. (b) Nejdříve indukcí přes dva dokážeme, že každý součet, který vyhovuje zadání a obsahuje pouzeindexy(ostře)menšínež i,jeostřemenšínež F i. Pro i=3mámejedinýmožnýsoučet,ato F 2 =aplatí F 2 =<2=F 3.Pro i=4máme součty F 2 a F 3 aplatí F 2 =<F 3 =2<F 4 =3.

6 Nechťtvrzeníplatípro i,mějmesoučetvyhovujícízadání,jehožnejvětšíindexje i+ (označmeho S),pakpoodečtení F i+ dostanemesoučetsnejvyššímindexemnejvýš i.tedy podle indukčního předpokladu platí: S F i+ < F i S < F i + F i+ = F i+2 Nyní podobnou indukcí dokážeme, že každé přirozené číslo má právě jeden takový rozklad na součet. První indukční krok je stejný jako v předchozím případě. Tedy předpokládejme, že tvrzeníplatíprokaždé n 0 < F i adokažmehopro F i n < F i+.protožesoučetobsahující F j sindexynejvýše i jemenšínež F i,takrozkladčísla nmusíobsahovat F i (nemůžeobsahovat anivětší,protože n < F i+ ).Uvažmetedyčíslo n F i ajehorozklad.platí n < F i+ n F i < F i+ F i = F i,pokudjetedy n F i nenulové,májednoznačnýrozkladzindukčního předpokladu,jinakjsmenašlijednoznačnýrozklad n=f i. 5. úloha (a) Mějme nčísel x, x 2,... x nnáhodně(rovnoměrněnezávisle 4 )vybranýchzintervalu(0,). Určetepravděpodobnost,žeprokaždé i {3,4,..., n}platí,že x i ležíuvnitřintervaluskrajními body x i 2 a x i. (b) Mějme n bodů náhodně(rovnoměrně nezávisle) vybraných na kružnici. Určete pravděpodobnost, že střed kružnice leží uvnitř mnohoúhelníku tvořeného těmito body. (a) Cílem úlohy bylo uvědomit si, že výsledná pravděpodobnost závisí jen na pořadí bodů v intervalu, ne na jejich konkrétní poloze. Všech možných pořadí je n!, snadno si rozmyslíš, že pro n 2jendvěpořadívyhovujípodmínkámzadání.Jsoutopořadí a x < x 3 < x 5 < < x 6 < x 4 < x 2 x > x 3 > x 5 > > x 6 > x 4 > x 2. Výslednápravděpodobnostjetedy 2.Pro n=jesamozřejmějenjedno pořadí avýsledná n! pravděpodobnost je. (b) Budeme počítat pravděpodobnost, že střed neleží uvnitř mnohoúhelníku, výsledná pravděpodobnost se pak získá odečtením od jedničky. Střed neleží uvnitř mnohoúhelníku, právě když všechny body leží v nějaké společné polorovině procházející středem kružnice(rozmysli si). Nyní provedeme trik. Představme si, že pro každý bod nejprve vybereme(rovnoměrně nezávisle) dvojici protilehlých bodů, a až potom se rozhodneme,kterýztěchtodvoubodůbudehledanýbod(spravděpodobností 2 prokaždýzbodů). Pravděpodobnost, že pro dva různé body vybereme stejnou dvojici protilehlých bodů je nulová, tedy takovou situaci uvažovat nebudeme. Když už máme zvoleny dvojice protilehlých bodů, tak počet všech možných voleb vrcholů mnohoúhelníkuje2 n.ukážeme,že2nztěchtovolebneobsahujestředkružnice.totižpříslušný mnohoúhelník neobsahuje střed, pokud je na kružnici souvislý úsek vybraných bodů a potom 4 Neformálněřečeno:Žádnýbodnenípravděpodobnějšínežjinýavolba x i nezávisínavolbě ostatních x j, j i.vícesedočtešvúvodukpátésérii.

7 následuje souvislý nevybraných bodů(samozřejmě protilehlých k vybraným). Takový úsek lze jednoznačně určit například bodem, co je na kraji tohoto úseku ve směru hodinových ručiček, a takových možných bodů je 2n(máme n dvojic protilehlých bodů). Kdyžtedymámeurčenydvojiceprotilehlýchbodů,dostávámepravděpodobnost 2n 2 n, že střed kružnice neleží v mnohoúhelníku. Protože tato pravděpodobnost nezávisí na volbě dvojic, je tedy i pravděpodobnost v původní úloze, že střed leží vně mnohoúhelníku rovna Pravděpodobnost,žestředležíuvnitřjetak n 2 n. 2 n = n n 2 n. 6. úloha (a) Buď Ebodnaúhlopříčce BDčtverce ABCD.Ukažte,žebody A, Eastředyopsaných kružnic trojúhelníků ABE a ADE tvoří další čtverec. (b) Buď ABCDkonvexníčtyřúhelník, Xbodnastraně AB, Y průsečík DXs AC.Ukažte,že kružnice opsané trojúhelníkům ABC, CDY a BXD mají společný bod. (a) Označme S, S 2 středykružnicopsanýchtrojúhelníkům ABE, AED,stejnějakonaobrázku. S 2 D 45 E C A S 45 B Potomjepodlevětyostředovémaobvodovémúhlu AS E =2 ABE =2 45 =90. Analogickyprodruhýstřed S 2 dostáváme AS 2 E =90.Dálevíme,žejsoutrojúhelníky AS E a AS 2 Erovnoramenné(protoženapř. S A = S E =r jepoloměrprvníkružnice),dopočtenímúhlůvtěchtotrojúhelnícíchdostaneme AES = EAS = AES 2 = EAS 2 =45. Všechnyúhlyvečtyřúhelníku AS ES 2 jsoupravéa S A = S E užzaručuje,žejetočtverec. (b) Označmepostupně k, k 2 a k 3 kružniceopsanétrojúhelníkům BDX, DCY a ABC,úhly ABZ =α, XDZ =α 2 a ACZ =α 3 a Zprůsečíkkružnic k a k 2.Cílembudeukázat, žebod Zležíinakružnici k 3,vizobrázek.

8 D k 2 k α 2 Z Y α 3 C A k 3 X Úhly α a α 2 jsouobvodovéúhlynakružnici k příslušejícístejnétětivě XZ,proto α = α 2. Úhly α 2 a α 3 jsouobvodovéúhlynakružnici k 2 ktětivě Y Z,proto α 2 = α 3.Složenímrovností α = α 2 a α 2 = α 3 dostáváme α = α 3,jinakzapsáno ABZ = ACZ.Zdalšíhopoužití větyoobvodovýchúhlechplyne,žebody ABCZležínajednékružnici,tedynakružnici k 3,což jsme chtěli dokázat. 7. úloha (a) Dokažte,žeprokaždépřirozenéčíslo n >platí α n 2 < n n. (b) Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí B «< 5 n (n+) 2. (a) Platnost zadané nerovnosti dokážeme indukcí. Pro n=2jenerovnosttriviálněsplněna: 4 < 2. Indukční krok: Předpokládáme platnost nerovnosti pro všechna k n a dokážeme platnost pro n n 2+ (n+) 2 < n + n (n+) 2 = n2 (n+) n(n+) 2 n(n+) 2 < kde v první nerovnosti jsme využili indukčního předpokladu a v poslední faktu, že pro n přirozené kladné číslo. A tímto je nerovnost dokázána. (b) Indukcí dokážeme silnější nerovnost «5 n (n+) 2 5 2n+3. n n+, n(n+) 2 je (i) n=zřejměplatí ` (ii) Aťnerovnostplatípro n,dokážemejipro n.ktomustačídokázat,žeselevástrana 5 zvětší méněkrát než pravá strana, neboli nerovnost + 2 2n+3 5 n (n+) 5 2 2n+ 5.Pochvíli nudného upravování výrazů zjistíme, že tato nerovnost vskutku platí.