Syntetická geometrie I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Syntetická geometrie I"

Transkript

1 Shodnost Pedagogická fakulta

2 Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní symetrie AC AB + BC Vzdálenost měříme pomocí zadané jednotkové vzdálenosti, kterou přenášíme pohybem (třeba kružítkem, stupnicí na pravítku... )

3 Vzdálenost bodu a přímky, délka úsečky Definice (Vzdálenost bodu a přímky) Vzdálenost bodu A od přímky p je vzdálenost bodu A od kolmého průmětu A bodu A na přímku p. Definice (Délka úsečky) Délka úsečky je vzdálenost její koncových bodů.

4 Délky v Věta ( ) V trojúhelníku se stranami a, b, c platí: a < b + c b < a + c c < a + b neboli a b < c < a + b

5 Strany v Definice (Klasifikace podle délek stran) Obecný, a b c a. Rovnoramenný, dvě strany (ramena) jsou rovnaké délky. Třetí strana se nazývá základna. Rovnostranný, všechny strany jsou rovnako dlouhé.

6 Obsah 1) Obsah trojúhelníku ABC je S = 1 2 av a = 1 2 bv b = 1 2 cv c

7 Obsah 2) Obsah trojúhelníku ABC je S = 1 2 ab sin γ = 1 2 bc sin α = 1 2ac sin β S = 1 2 cv c = 1 2cb sin α

8 Eukleidovy věty Eukleides (cca st. p. n. l.)

9 Eukleidovy věty Věta (Eukleidova o výšce) Necht je dán trojúhelník ABC a C 1 je pata výšky na stranu c. Označme c a = C 1 B, c b = C 1 A. Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, právě tehdy, když v 2 c = c a c b. Důkaz (Přímo) ABC je pravoúhlý ABC CBC 1 ACC 1 podle (uu) v c = c a vc 2 = c a c b. c b v c (Sporem) Necht v ABC platí v 2 c = c a c b? je pravoúhlý. Není-li ABC pravoúhlý pak existuje A AB (CA CB). Označme A C 1 = c b, pak dle platí v A BC : v 2 c = c a c b a podle předpokladu v 2 c = c a c b, tedy c b = c b a A = A.

10 Eukleidovy věty Věta (Eukleidova o odvěsně) Necht je dán trojúhelník ABC a C 1 je pata výšky na stranu c. Označme c a = C 1 B, c b = C 1 A. Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, právě tehdy, když a 2 = cc a (b 2 = cc b ). Důkaz (Přímo) ABC je pravoúhlý ABC CBC 1 podle (uu) c a = a c a a 2 = cc a. (Sporem) Necht v ABC platí a 2 = cc a? je pravoúhlý. Stejně ako v Eukleidově větě o výšce... c = c.

11 Pythagorova věta Pythagoras (cca 6. st. p. n. l.)

12 Pythagorova věta

13 Pythagorova věta Věta (Pythagorova) Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, právě tehdy, když c 2 = a 2 + b 2. Důkaz (jeden z mnoha) (Přímo) z Eukleidovych vět o odvěsně a výšce: a 2 + b 2 = cc a + cc b = c(c a + c b ) = c 2. (Sporem) Necht v ABC platí a 2 + b 2 = c 2? je pravoúhlý. Sestrojíme A (2 možnosti) stejně ako v Eukleidových větách. Označme CA = b, AA = d. 1) AC 1 C b 2 = v 2 c + c2 b 2) A C 1 C b 2 = v 2 c + c 2 b 3) A CB c 2 = a 2 + b 2. Dosadíme 2) do 3) : (c ± d) 2 = a 2 + v 2 c + (c b ± d) 2. Dosadíme 1) do předpokladu: c 2 = a 2 + v 2 c + c2 b cd = c b d d = 0.

14 Pythagorova věta Pravoúhlý s celočíselnými délkami stran nazýváme pythagorejský.

15 Cosinova věta Věta (Cosinova) V libovolném ABC se stranami a, b, c a vnitřnímí úhly α, β, γ platí: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ Důkaz pro ostroúhlý AC 1 C : b 2 = v 2 c + c 2 b = v 2 c + (b cos α) 2 BC 1 C : a 2 = v 2 c + (c b cos α) 2 odečtením dostáváme a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α podobně pro tupoúhlý (cos(π α) = cos α).

16 Obsah 3) - Hérónův vzorec Hérón 1. pol 1. st. n.l.

17 Obsah 3) - Hérónův vzorec Obsah trojúhelníku ABC je S = s(s a)(s b)(s c), kde s = a + b + c. 2 S = 1 2ab sin γ 16S 2 = 4a2 b 2 sin 2 γ c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ 4a 2 b 2 cos 2 γ = (c 2 (a 2 + b 2 )) 2 4a 2 b 2 = 16S 2 + (c2 (a 2 + b 2 )) 2 16S 2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)( a + b + c) S 2 = s(s a)(s b)(s c)

18 Kružnice Definice ( ) Kružnice k(s, r) je množina bodů, které mají od daného pevného bodu S vzdálenost r. S - střed kružnice r - poloměr kružnice

19 Osy v Věta (Osy stran) Osy stran v trojúhelníku se protínají v jednom bodě S o, který je středem kružnice opsané trojúhelníku. Důkaz. S o o a o c S o o a S o B = S o C S o o c S o A = S o B S o A = S o B = S o C a body A, B, C leží na kružnici k o se středem S o.

20 Osy v Věta (Osy úhlů) Osy úhlů v trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Důkaz. S v o α o γ S v o α S v ; AB = S v ; AC S v o γ S v ; AC = S v ; BC S v ; AB = S v ; BC a S v leží na o β. S v je střed kružnice vepsané k v, která se dotýká stran ABC v bodech T a, T b, T c.

21 Eulerova přímka Věta (Eulerova přímka) V každém nerovnostranném trojúhelníku leží střed kužnice opsané S o, těžiště T a ortocentrum V na jedné přímce. Důkaz. Stejnolehlost H(T, 2) : S c C S a A o c v c o a v a S o o c o a V v c v a TS o V

22 Thalétova kružnice Thalés 7.-6.st. p.n.l.

23 Thalétova kružnice Věta (Thalétova kružnice) Necht AB je průměrem kružnice k a bod C je libovolný bod na kružnici k takový, že A C B, pak úhel ACB je pravý.

24 Thalétova kružnice Věta (Thalétova kružnice) Necht AB je průměrem kružnice k a bod C je libovolný bod na kružnici k takový, že A C B, pak úhel ACB je pravý. Důkaz.

25 Eukleidovské konstrukce Konstrukce pomocí pravítka a kružítka. Využití eukleidových a pythagorovy věty.

26 Redukčný úhel Dělení úsečky v daném poměru.

27 Shodná zobrazení Definice (Shodná zobrazení - izometrie) Zobrazení f : ρ ρ se nazývá shodné zobrazení neboli shodnost, izometrie, právě když pro libovolné dva různé body A, B ρ a jejich obrazy A, B platí A B = AB. přímá shodnost zachovává orientaci prostoru nepřímá shodnost nezachovává orientaci prostoru

28 Věty o shodných Definice (Shodné útvary) Dva útvary S 1 a S 2 jsou shodné S 1 = S2 právě tehdy, když existuje shodnost, která zobrazí S 1 na S 2. Věta (Shodné ) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se sss v délkách všech stran. sus v délkách dvou stran a úhlu jimi sevřeném. usu v délke jedné strany a dvou vnitřných úhlech, které ji svírají. Ssu v délkách dvou stran a úhlu proti delší z nich.

29 Shodná zobrazení

30 Shodná zobrazení Věta (Grupa shodností) Všechna shodná zobrazení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz (Náznak) Uzavřenost. A B = AB ; A B = A B AB = A B. T.j. skládaním shodností dostaneme shodnost. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek.

31 Vlastnosti shodnosti Věta (Vlastnosti shodnosti) Shodnost 1 zachovává incidenci. 2 zachovává uspořádání. 3 zachovává dvojpoměr. 4 zachovává středy úseček (a dělicí poměr). 5 zachovává poměry úseček a velikosti úhlů. 6 zachovává délky úseček (a obsahy).

32 Klasifikace shodností - osová souměrnost Definice (Osová souměrnost) Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení v rovině O(o), které přiřazuje každému bodu X / o bod X tak, že o je osa úsečky XX. Osa o je přímka samodružných bodů. Samodružné body: SB leží na o. Samodružné přímky: přímky k ose a osa o. Samodružné směry: směry a s osou.

33 Klasifikace shodností - osová souměrnost Věta Libovolné shodné zobrazení v rovině je bud osovou souměrností, nebo jej lze rozložit na nejvýše 3 osové souměrnosti. Důkaz (konstrukcí) Necht je shodné zobrazení dáno 3 páry odpovídajících si nekolineárních bodů X, Y, Z X, Y, Z. Sestrojíme postupně osové souměrnosti (v obecném případě): O 1 : X X 1 = X, Y, Z Y 1, Z 1 O 2 : X 1 = X 2 = X, Y 1 Y 2 = Y, Z 1 Z 2 O 3 : X 2 = X 3 = X, Y 2 = Y 3 = Y, Z 2 Z 3 = Z

34 Klasifikace shodností - osová souměrnost

35 Klasifikace shodností - osová souměrnost Necht m je osa úsečky XX, volíme O 1 (m).

36 Klasifikace shodností - osová souměrnost Necht n je osa úsečky Y 1 Y, volíme O 2 (n).

37 Klasifikace shodností - osová souměrnost Necht o je osa úsečky Z 2 Z, volíme O 3 (o).

38 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Definice (Posunutí, translace) Posunutí, translace je shodné zobrazení v rovině T ( XX ), které každému bodu X přiřazuje bod X tak, že pro každou další dvojici odpovídajících si bodů Y, Y platí, že úsečky XY, X Y mají společný střed. Samodružné body: pro T Id neexistují žádne samodružné body. Samodružné přímky: pro T Id : přímky XX. Samodružné směry: směry.

39 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Věta Každé posunutí lze rozložit na 2 osové souměrnosti. Důkaz (konstrukcí) Necht je posunutí dáno párem odpovídajících si bodů X X a sestrojme páry nekolineárních bodů X, Y, Z X, Y, Z. Volíme libovolně osovou souměrnost O 1 (m) takovou, že m XX, potom sestrojíme druhou osovou souměrnost O 2 (n) takovou, že n m : O 1 : X, Y, Z X 1, Y 1, Z 1 O 2 : X 1, Y 1, Z 1 X, Y, Z

40 Klasifikace shodností - posunutí (translace)

41 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Volíme O 1 (m), osa m je kolmá k XX.

42 Klasifikace shodností - posunutí (translace) O 2 (n) takové, že osa n je osou X 1 X.

43 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Věta (Grupa translací) Posunutí s identitou tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz Uzavřenost. T ( X X ) T ( XX ) T ( XX ). T.j. skládaním posunutí dostaneme posunutí. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek je opačné posunutí T ( XX ) 1 = T ( X X).

44 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Definice (Otočení, rotace) Otočení, rotace je shodné zobrazení v rovině R(S, ϕ), které každému bodu X přiřazuje bod X tak, že XS = X S a X SX = ϕ je daný orientovaný úhel. Bod S je samodružný bod zobrazení. Samodružné body: pro R Id je S jediný samodružný bod. Samodružné přímky: pro ϕ kπ, k Z neexistují samodružné přímky. Samodružné směry: pro ϕ kπ, k Z neexistují samodružné směry.

45 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Definice (Středová souměrnost) Středová souměrnost S(S) je rotace se středem S a úhlem ϕ = 2kπ + π, k Z. Samodružné body: S je jediný samodružný bod. Samodružné přímky: přímky procházející středem. Samodružné směry: směry.

46 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Věta Každé otočení lze rozložit na 2 osové souměrnosti, jejíchž osy svírají úhel, kterého velikost je polovina velikosti úhlu otočení. Důkaz (konstrukcí) Necht je otočení dáno párem odpovídajících si bodů X X a středem S a sestrojme páry nekolineárních bodů X, Y, Z X, Y, Z. Volíme libovolně osovou souměrnost O 1 (m) takovou, že S m, potom sestrojíme druhou osovou souměrnost O 2 (n) takovou, že S n : O 1 : X, Y, Z X 1, Y 1, Z 1 O 2 : X 1, Y 1, Z 1 X, Y, Z

47 Klasifikace shodností - otočení (rotace)

48 Klasifikace shodností - otočení (rotace) O 1 (m) takové, že S m. XS, m = X 1 S, m = µ

49 Klasifikace shodností - otočení (rotace) O 2 (n) takové, že S n a n je osa X 1 X. X 1 S, n = X S, n = ν XSX = 2µ + 2ν, m, n = µ + ν

50 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Věta Otočení se stejným středem a identita tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz Uzavřenost. R(S, ψ) R(S, ϕ) R(S, ϕ + psi)). T.j. skládaním otočení dostaneme otočení. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek je otočení o opačný úhel R(S, ϕ) 1 = R(S, ϕ).

51 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Věta Složením dvou otočení je otočení, nebo posunutí. Důkaz R 1 (S 1, ϕ); R 2 (S 2, ψ). Je-li S 1 = S 2 pak tvrzení platí z předešlé věty. Je-li S 1 S 2, rozložíme otočení na osové souměrnosti R 2 (S 2, ψ) R 1 (S 1, ϕ) = (O 22 (n 2 ) O 21 (m 2 )) (O 12 (n 1 ) O 11 (m 1 )). Pro R 1 volíme m 1 libovolně, S 1 m 1, n 2 je tedy jednoznačně určeno. Pro R 2 volíme m 2 = n 1 a n 2 je jednoznačně určeno. Osová souměrnost je involuce a tedy: O 22 (n 2 ) (O 21 (n 1 ) O 12 (n 1 )) O 11 (m 1 ) = O 22 (n 2 ) O 11 (m 1 ). Z vět o rozkladu posunutí a otočení na osové souměrnosti: Ak m 1 n 2 pak jde o posunutí. Ak m 1 n 2 pak jde o otočení se středem S 3 m 1 n 2 o úhel ϕ + ψ.

52 Klasifikace shodností - otočení (rotace)

53 Klasifikace shodností - posunutá osová souměrnost Definice (Posunutá osová souměrnost) Posunutá osová souměrnost je shodné zobrazení v rovině P složené z osové souměrnosti a posunutí ve směru její osy. Samodružné body: neexistují žádne samodružné body. Samodružné přímky: osa o (pozor! není přímka samodružných bodů). Samodružné směry: směry a s osou..

54 Klasifikace shodností - shrnutí Existují následující typy shodností: přímé: I identita T posunutí (translace) R otočení (rotace) + spec. případ středová souměrnost nepřímé: O osová souměrnost P posunutá osová souměrnost Věta Každou přímou shodnost lze rozložit na dvě osové souměrnosti. Každou nepřímou shodnost lze rozložit na lichý počet osových souměrností. Důkaz Přímý důsledek předešlých vět a definic.

55 Skládání shodností T I = T T T = T, I T R = R T O = P, O R I = R R R = R, T, I R O = P, O O I = O O O = R, T, I I I = I Věta (Grupa přímých shodností) Všechna přímá shodná zobrazení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.

56 Skládání shodností a podobností Věta Složením shodnosti a stejnolehlosti je podobnost. Důkaz Shodnost: S : X, Y X, Y : X Y = XY Stejnolehlost: H : X, Y X, Y : X Y = λ X Y H S : X, Y X, Y : X Y = λ XY. Oveřili jsme definici. Věta Libovolnou podobnost lze rozložit na stejnolehlost a shodnost. Důkaz Necht je dána podobnost s koeficientem k, která zobrazí X, Y, Z X, Y, Z. Volíme libovolnou stejnolehlost s koeficientem k, která zobrazí X, Y, Z X 1, Y 1, Z 1. Dourčíme shodnost X 1, Y 1, Z 1 X, Y, Z. (nejvýše 3 os. s.)

57 Mongeova grupa Věta (Mongeova grupa, grupa homotetií) Množina všech stejnolehlostí a posunutí s identitou tvoří grupu vzhledem na skládání zobrazení. Důkaz (viz 05_monge.ggb) Víme: posunutí s identitou tvoří grupu, stejnolehlosti se společným středem tvoří grupu. Necht je dáno H 1 (S 1, λ 1 ), H 2 (S 2, λ 2 ), takové, že S 1 S 2 : Je-li λ 1 λ 2 = 1 A 2 B 2 = λ 1 λ 2 AB = AB a dostáváme shodnost. Ze stejnolehlosti H(A 1, A 1 A ) je AA 1 A 2 S 1 A 1 S 2 A 1 S 1 a S 1 S 2 AA 2. Stejně tak pro všechny páry odpovídajících si bodů a jedná se o posunutí o AA 2.

58 Mongeova grupa Věta (Mongeova grupa, grupa homotetií) Množina všech stejnolehlostí a posunutí s identitou tvoří grupu vzhledem na skládání zobrazení. Důkaz (viz 05_monge.ggb, pokračování) Je-li λ 1 λ 2 1 S 1 S 2 AA 2 a využijeme Menelaovu větu: AS 3 A 2 S 2 A 1 S 1 A 2 S 3 A 1 S 2 AS 1 = 1 AS 3 A 2 S 3 λ 2λ 1 = 1 A 2 S 3 = AS 3 λ 2 λ 1 Stejně pro všechny ostatní body dostávame stejnolehlost H(S 3, λ 1 λ 2 ).

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Podobnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Trojúhelník. Jan Kábrt

Trojúhelník. Jan Kábrt Trojúhelník Jan Kábrt Co se učívá ve školách Výšky, jejich průsečík ortocentrum O Těžnice, jejich průsečík těžiště T Osy stran, střed kružnice opsané S o Osy úhlů, střed kružnice vepsané S v Někdy ještě

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01)

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01) ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016 65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

Analytická geometrie II: Geometrické transformace

Analytická geometrie II: Geometrické transformace Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková 2006 2008 Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková,

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I .. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 01 Shodné útvary je možné je přemístěním ztotožnit, lidově řečeno jsou stejné Co splňují útvary, které jsou podobné? Mají stejný tvar, ale různou velikost. Kdybychom

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Geometrie

Více

s dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili

s dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili Dělení úsečky ŠÁRKA GRGLITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha V tomto článku se budeme zabývat sadou geometrických úloh, které jsou tematicky podobné. Liší se jen hodnotou jednoho

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Zajímavé matematické úlohy

Zajímavé matematické úlohy Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006

Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Délky v trojúhelníku Martina Vaváčková Motto: I can calculate everything. Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Na přednášce si ukážeme prostou, ale účinnou zbraň při řešení mnohých geometrických

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Astaloš Dušan. frontální, fixační. samostatná práce, skupinová práce

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Astaloš Dušan. frontální, fixační. samostatná práce, skupinová práce METODICKÝ LIST DA34 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník I. obecný trojúhelník Astaloš Dušan Matematika šestý frontální,

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více