( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )"

Transkript

1 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice Nerovnice s absolutní hodnotou Iracionální nerovnice Nerovnice s parametrem Úlohy:. Určete definiční obor výrazu či funkce: a) y = + D( f ) = ( ; ) ( ;0 ) b) y = D( f ) = ; ) c) y = log( + ) D( f ) = ( ; 4; ) y = log + D( f ) = ( ;) ( ; ) d) e) = log( 5 8 4) f) g) y D( f ) = ; ( ; 5 y = + + D( f ) = ( ; ; ) + y = D( f ) = φ h) y = log D( f ) = ;) ( ; 4 4 i) y = 4 D( f ) = ; ) ( ; 8. Řešte: a) 7 4 > 5 b) c) + > 0. Řešte: a) (.. 6 ) < 0 0 ( ; ) ( 5 ) ; ; ;5) ( ; ) ( ) ; ( ; ) b) < c) > 5 ( 4; ) ( ;5 ) ( ; ) ( ; ) ( 5 ) ;. Řešte: a) 7 5 4( ) ; b) + ; ) c) + > 0 ( ; ) ( ; ) ( ; + ) + < ( ; ) d) 0 e) < + ( ; 5) ( ; ) ( ) ;

2 f) < + g) h) ( 0 ) ; 6; ( ; ) ( ; + ) i) 6 ( ; ) ( ; + ) 5 j) ; ; k) + < φ l) + < 0. Řešte: a) 5 4 > + ) φ 8 ; 9 b) ( + ).( + ) ( ; 5 0; + ) c) > 4 ; 8 8 d) + 8 < 8;. Řešte: a) ( 6 ). ( ) < + ; 6 b) > ;0 ) ; 5 c) + > d) + 7 > ; ; 4 74 ( ; 5; e) ( + ).( 5) < 8. Řešte v oboru R: a) a a b) p < p + 4 ;a parametr ;p parametr p c) + ;p parametr p p d) + m m > 0 ;m parametr e) m ( m ) + m + < 0 ;m parametr f) a. ( ) + ( a ) a ;a parametr. Řešte: a).( + ).( ).( + ) > 0 ( ; ) ( ;0 ) ( ; ) b) ; ; + ) 4 c) > 0 ; ; 4; 4 9. Určete číslo k tak, aby rovnice : ( k + 4) + k + 6k = 0 měla reálné kořeny. k 8; + ). Řešte: a) + + ( ) ; 4

3 + b) c) 7 5 ; 4 ( ; ; + ) { ± } 4 5 f) < 5 + ; ;. Řešte nerovnice: a) ; ; b) 4 0 6; + ) c) ; ) 7 d) + 8 ;) ( 5; 6 e) ;+ ) f) 4 ;) 4;6). Řešte nerovnice: a) < + + b) ( 4) c). 7 d) e) 4 4 ( 0 ) 6. + < ( ; ) ; ( ;5 ) ; ( ; ) ( 7 + ) ; ( ; ) ( + ) ; ( + ) ;

4 7. Soustavy rovnic a nerovnic s více nezná - mými b) y + yu + u = yu z + zy + yz = yz z + zu + z = zu yz + zu + yu = yzu ([;;;]) Další dovednosti: -řešit rovnice kde je více neznámých, než rovnic - řešit rovnice kde je méně neznámých, než rovnic -zvláštní soustavy Možné maturitní otázky: Soustavy rovnic a nerovnic Nerovnice s absolutní hodnotou Úlohy:. Nádrž se plní -mi přívody A, B, C. Současně otevřenými přívody A, B se naplní za hodinu, přívody A, C za 45 minut, přívody B, C za,5 hodiny. Jak dlouho by se plnila každým přívodem zvlášť? (7 min, 6 h, h). Dva konvení mnohoúhelníky mají dohromady 4 stran a 09 úhlopříček. Které to jsou? ( a ). Dva dělníci společně odvedou práci za dní. Po osmi dnech společné práce jeden onemocněl a druhý dokončil tuto práci za dalších 0 dnů. Za kolik dní by ji udělal každý sám? (0 h, 0 h) 4. Řešte soustavu rovnic: a) ( + ).( y ) = ( ).( y + ) ( ).( y + 4) = ( + 7).( y ) ([5;4]). Řešte: a) + = + y y = + y y a) 7 + y 6z = 4y + 9z = y 9z = 5 ; ([;;4]) tg+ tgy a) 4 = 8 tg 6 tg y = 8 ([45 ;6 5 ]) a) 8 7 y + 6z 5u = 6 : y : z : u = : : : 4 ([-;-4;-6;-8]) a) sin sin y = 0, 6 + y = ([9 ; 5 40 ]) a) tg + tg y = tg - tg y = ([45 ; 6 5 ]) 4

5 a) y = 400 log y = 6 ([ 4;00 ]; [ 00;4] ) + y = y = φ log log y a) + 5 = 4 log log y 5 = 56 ([00;0]) ch) y = 64 y 6 [ ] 6 + = a) + y = 74 ;4 ; ;4 y = [ 5; 7 ] ; [ 7;5 ] a) + y = 5 y = 5 ([;]) a) + y + y = 7 y = [ ; 4 ] ; [ 4; ] a) y = + + = y [ ; ] ; [ ;9 ] ; [ ; ] ; [ ; ] a) = y + 5 = y [ ] [ ] 4;6 ; ; ; ; ; 8; 6 b) + y z = + 5y + z = 0 4t 8t + t; ; V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050 cm. Jak dlouhé jsou jeho strany? ( cm,44 cm,55 cm) 8. Vlak pojíždí tunelem dlouhým 0 m. Od okamžiku, kdy vjede do tunelu lokomotiva, až do okamžiku, kdy poslední vagón opustí tunel, uplyne 9 sekund. Od tohoto okamžiku uplyne dalších 4 sekund, než lokomotiva přijede k návěšti, která je km od tunelu. Vlak jede stálou rychlostí. Určete jeho rychlost a délku vlaku. (d = 60 m, v = 0 m/s). Řešte soustavy rovnic: a) + y + z = 4 + y + 4z = 5 + y + z = 0 ([-9;7;-7]) b) + y + z = 4 + y z = + 4y + 5z = 6 ([-6;;-4]). Řešte: a) 4 y = c) + y + 4 y = 0 y = 0 φ 5

6 . Řešte soustavy rovnic: a) + y + + y = y y = 7 [ ] b) 4 + 9y = 6 c) 5; ; ; y + 5 = [ 0; ± ] ; [ ;0 ] + y + + y = 0 + y = 6 [ 6;0 ] ; [ 0;6 ]. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R 4 + y B = {[ ] } [ ; y] : R y R y { }. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R + y B = {[ ] } [ ; y] : R y R 4 + 9y { 6}. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = [ ; y] : R y R + y B = {[ ; y] : R y R + y 4} 4. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R y 0 B = {[ ] } [ ; y] : R y R y { } 5. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R y + B = {[ ] } [ ; y] : R y R 4 + y { 5} 6. Řešte graficky v RR: + y 0 y = y ; ; 7. Řešte graficky v RR: y y 0 + y 0 8. Řešte soustavu nerovnic o jedné neznámé: Řešte: - > + y ( - ) > y ; + φ 0. Řešte graficky v RR: a) 5 + y 0 b) + 4y c) 6 + 0y 60 d) - y 6 Určete pro která [, y] nabývá výraz V[, y]: 0 = + 5y etrémní hodnoty a) M ; 9 9 b) M [ 0; ] c) M ; m neeistuje 0 6 d) m ; 7 7 ) 6

7 . Graficky řešte a) y - b) + y 5 c) + y 5 d) + y 7 Zjistěte, kde má fce y = - etrém.. a) M [ 4;5] b) m[ ; ] 8 c) M ; 5 5 d) m [ ; ] ; M ; 7

8 8. Geometrické útvary v rovině Další dovednosti: -Eukleidova věta o výšce a odvěsnách -mocnost bodu ke kružnici -čtvrtá měřická úměrná -konstrukce úseček (Eukleidovy.věty, Pythagorova věta, čtvrtá geometrická úměrná) -tětivový tečnový čtyřúhelník -sinová a kosinová věta Možné maturitní otázky: Rovinné útvary Množiny bodů dané vlastnosti Úlohy:. Sestrojte rovnoběžník, znáš-li velikost sousedních stran a, b a velikost úhlu určeného úhlopříčkami.. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány strany a,b,c,d ( a > d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu stran AB a AD.. Sestrojte čtverec, je-li dáno: a) a + e = 8 b) e - a = 4. Je dána přímka p a body A a B, které leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímky p a prochází body A a B. 5. Sestrojte trojúhelník: 8 a) a + b + c, β, χ b) a + b = 9, c = 5,7; χ = 75 o c) a - b, α, β d) a - b = 4, c = 5,5, χ = 45 o 6. Kosočtverec má plochu S= 864 cm. Jedna úhlopříčka je o cm kratší, než druhá. Určete úhlopříčky a stranu. (48; 6; 0 cm) 7. Vypočtěte obsah plochy ohraničené opsanou a vepsanou kružnicí trojúhelníku ABC: a = 6 cm, b = 49 cm, c = 55 cm. (89, cm ) 8. Trojúhelník ABC rozdělte rovnoběžkou se stranou AB na dvě části stejného obsahu. = v c v c. 9. Kružnici je vepsán a opsán pravidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich obsahu je 8.Vypočtěte poloměr kružnice. (viz kapitola př. ) (r = 4 cm) 0. Vypočtěte strany pravoúhlého trojúhelníka,je-li t a =8, t b =. (,7; 5,5;,9 cm). Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) c, t c, χ, b) a, v a, α c) a+b, v a, c. Sestrojte obdélník ABCD: a) a + b; e b) a + b; ω

9 . Rozdělte kruh dvěma soustřednými kružnicemi na tři části 6 stejného obsahu. r = r. ; r = r. 4. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který platí: a = 5, α = 45 poloměr kružnice vepsané ρ =,5 cm. 5. Jsou dány přímky a b a bod M. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 6. Sestrojte ABC: a) c = 4, χ,= 60 o, v c = b) t b = 6, v b = 5, c = 5,5 c) t a = 6, t b = 9, t c = d) v c =, b = 4, ρ = e) v a, α, o α f) r, v a, α 7. Sestrojte lichoběžník: a) a = 0, c = 5, e = 6, f = b) b = 4, c = 9, f = 7, v =,5 c) b = 4; c = ; f = 5; α = 60. d) 8. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a) a, b, e, f, ε b) a = 8, c = 5, e = 8,5; f = 6, δ = 45 o c) tětivový, a = 5; β = 0,e = 7; f =8 d) tečnový, a = 7,5; b =,5, α = 45 ; ρ =. 9. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a kružnice l(o;r), která rovnoběžky protíná. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímek a a b a s kružnicí l mají: a) vnitřní dotyk 9 b) vnější dotyk 0. Jsou dány dvě soustředné kružnice k (O;),k (O;4) a bod A ( OA = ). Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají k, k a prochází bodem A.. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: r = 9 cm, a = 5 cm, β =. Určete zbývající strany a úhly. (b = 7,0; c = 7,69; α = 56,5, χ = 00,5 ). V obecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 8 cm, v c = 6 cm, β = 6 0. Určete zbývající strany a úhly. (a = 59,6; b = 9,95; α = 5,, χ = 7, ). Je dána kružnice l(o;r) a její tečna t. Sestrojte všechny kružnice, které mají poloměr cm, dotýkají se přímky t a s kružnicí l mají vnější dotyk. 4. Je dán obdélník ABCD, se stranami a a b. Sestrojte čtverec KLMN tak, aby jeho obsah byl roven obsahu daného obdélníku. a =. b 5. Je dána kružnice l(o;r), její bod A a mimo ni přímka t. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky t a kružnice l se dotýkají v bodě A. 6. K danému pravoúhlému trojúhelníku ABC s odvěsnami a a b sestrojte: a) čtverec = a. b

10 b) rovnostranný trojúhelník, = a. b které mají stejný obsah. 7. Je dán obdélník ABCD, se stranami a a b. Nad jeho úhlopříčkou sestrojte obdélník BDKL stejného obsahu. a + b = ab 0

11 Další dovednosti: - skládání zobrazení - přímá a nepřímá shodnost - věty o shodnosti trojúhelníků Možné maturitní otázky: Shodná zobrazení v rovině 9. Shodnosti v rovině Úlohy:. Společným bodem dvou kružnic veďte přímku tak, aby na ní kružnice vyťaly shodné tětivy.. Dané jsou dva různé body A,B ležící v jedné z polorovin určených přímkou p. Sestrojte bod X p tak, aby AX + BX bylo minimální.. Je dána kružnice k(s;) a bod A, AS =,5. Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, s délkou 5,5 cm, které procházejí bodem A. 4. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány velikosti jeho stran a, b, c, d ( a>d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu alfa. 5. Sestrojte trojúhelník ABC: a) α, t b, a b) t a, β, χ c) c, v a, a + b d) c, α, b - a 6. Jsou dány tři soustředné kružnice. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrcholy ležely postupně na soustředných kružnicích. 7. Je dána úsečka AA (např. 5 cm). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA = t a a pro které platí: a) c = 4, b = 7; b) b = 6, β = 45 ; c) b = 6, t b = 6; d) χ = 45 ; β = Sestrojte lichoběžník ABCD je-li dáno: a, c, e, f. 9. Jsou dány rovnoběžné přímky a, b a bod M (ležící v pásu přímek a, b). Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. (Řešte úlohu dvěma způsoby). 0. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a bod M uvnitř pásu (a, b). Sestrojte všechny úsečky AB kolmé k přímkám a, b s krajními body A, B na přímkách a, b, které z bodu M vidíme pod úhlem 60 o.. Vyhledejte místo na řece šířky d, ve kterém by měl stát most tak, aby cesta z obce A do obce B byla co nejkratší.. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a = 5, c = 5,5 ; e = 6, f = 5,5; ε =0 o (ε = úhlu ASB).. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A a, B b. 4. Sestrojte: a) čtverec ABCD: a + e, b) obdélník ABCD: e, a - b c) lichoběžník ABCD: b, c, d, α β.

12 5. Je dán ostrý úhel XVY a jeho vnitřní bod C. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy A, B ležely po řadě na polopřímkách VX a VY a obvod trojúhelníku byl minimální. 6. Kružnice k (S ;r ), k (S ;r ) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k a k a úhlopříčka BD na přímce p. 4. Jsou dány soustředné kružnice k (S;4), k (S;) a bod A, AS =. Sestrojte všechny: a) rovnostranné trojúhelníky ABC, B k, C k b) čtverce ABCD, B k, D k 5. Jsou dány kružnice k (S ;r ), k (S ;r ), které se protínají v bodech C, Q. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC, pro které platí: A k, B k a χ = Jsou dány soustředné kružnice k (S ;r ), k (S ;r ) a bod S ležící na menší z nich. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy leží na daných kružnicích. 8. Je dán trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny úsečky YX se středem M a s krajními body X, Y na hranici trojúhelníku. 9. Jsou dány kružnice k (S ;), k (S ;), S S = 7. Sestrojte všechny úsečky XY S S, X k a Y k a XY = S S. 0. Je dána kružnice k(s;r), její tečny t t a úsečka délky a > r. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany a a A t, B t a C k.. Je dána kružnice k(s;r), bod A uvnitř kružnice. Sestrojte všechny rovnoběžníky ABCD, jejichž vrcholy B, C, D leží na kružnici a strana AB má délku r.. Sestrojte rovnoběžník ABCD: a = 5; b = ; ε = 0.. Sestrojte lichoběžník ABCD: a = 6,5; b = 4; c = ; d =.

13 Další dovednosti: - Apollóniovy úlohy - Pappovy úlohy 0. Podobnost a stejnolehlost Možné maturitní otázky: Stejnolehlost a podobnost Úlohy:. Sestrojte ABC: a) α = 60 o, β = 75 o, ρ =,6; b) α = 60, β = 45, t c = 6; c) b : a = 5 : 4, χ = 60 o, v c = 5; d) a : c = 4 : 7, β = 45 o, t c = 4,5; e) a : b : c = 7 : 4 : 5, v b = 4; f) α = 45 o, β = 60 ο, r = 5; g) b + c = 4, α = 75, χ = 45 ; h) α = 45, β = 55, v c = 4.. Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky t v jejím bodě A a dané kružnice k, která přímku t neprotíná.. Je daná kružnice k a na ní bod T. Sestrojte kružnici, která má s danou kružnicí dotyk v bodě T a dotýká se dané přímky p. 4. Sestrojte společné tečny ke dvěma kružnicím k (S ;,5), k (S ;,5) různého poloměru., jeli: = 6 S S a) = S S b) = S S c) 5. Sestrojte kosočtverec ABCD: e : f = : 4 ; a= Sestrojte kosodélník ABCD: a : b = 5 :, α = 75, f = Pomocí stejnolehlosti sestrojte čtverec: a) a + e = 6 b) e - a =. 8. Do daného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby KL AB, M a, N b. 9. Jsou dány dvě kružnice se stejnými poloměry k (O,r), k (O, r), které se protínají. Bod O je středem úsečky O O. Veďte bodem O přímku tak, aby její průsečíky s kružnicemi k, k byly krajními body tří shodných úseček. 0. Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a bod M. Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a a b.. Je dán konvení úhel AVB a bod M, který leží uvnitř úhlu. Bodem M veďte přímku m, která protíná ramena VA, VB v. = VY : : VX platí: bodech X,Y a přitom. Je dán čtverec ABCD (a = 5) a bod M BM ) =, M BD). Sestrojte všechny úsečky XY, které jdou bodem M a mají krajní body na hranici čtverce ABCD tak, aby platilo:. = 4 MY : : MX. Do kružnice k(s;4cm) vepište obdélník ABCD, pro který platí: AB : BC = : 4.

14 4. Jsou dány různoběžky a, b a kružnice l(o;r) ležící uvnitř jednoho úhlu určeného přímkami a, b. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b a s kružnicí l má dotyk: a) vnitřní b) vnější 5. Je dána kružnice k(s;4cm), její tečna t a bod M k tak, že tak, cm. Sestrojte úsečku XY procházející bodem M = Mt. = : MY : MX aby X k, Y t a 6. Jsou dány dvě protínající se kružnice. Jedním jejich průsečíkem veďte takovou přímku, která na kružnicích vytíná tětivy, jejichž poměr délek je :. 7. Je dána kružnice k a její dva navzájem kolmé průměry. Sestrojte tětivu kružnice k, kterou dané průměry rozdělí na tři shodné úsečky. 8. Ve vnitřní oblasti kružnice k zvolte bod T. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC vepsané kružnici k, které mají těžiště T. 9. Do daného útvaru vepište aspoň jeden čtverec tak, že všechny jeho vrcholy leží na hranici útvaru a čtverec má s útvarem společnou osu souměrnosti. Je dán: a) rovnoramenný trojúhelník b) kosočtverec c) kruhová výseč d) půlkruh e) kruhová úseč 0. Je dána kružnice k(s;,5) a bod M SM ) =.( Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které jdou bodem M a jsou bodem M děleny v poměru : 5. 4

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Příklady na 13. týden

Příklady na 13. týden Příklady na 13. týden 13-1 Kruhový záhon o průměru 10 m se má osázet begóniemi. Na jednu sazenici je zapotřebí 2 dm 2. 1g semena má 5 000 zrn, jejichž klíčivost je 85 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

4.3.2 Koeficient podobnosti

4.3.2 Koeficient podobnosti 4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s. Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14 Vážený čtenáři, sbírka příkladů, kterou jsi právě otevřel Vám chce pomoci při studiu jedné z nejkrásnějších vědních disciplín - matematiky. Sbírka obsahuje všechny typy příkladů, včetně výsledků, které

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

16. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary

16. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary OČEKÁVANÝ VÝSTUP PODLE RVP ZV 1. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary Úloha 1 Rovinné útvary v obrázku jsou označeny symboly A L. A B C D E F G H I J K L V tabulce je uveden název obrazce a odpovídající

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více