1. podzimní série. KdyžseLenkatuhleozkouškovémnudila,přišlanato,žepokudproreálnáčísla a, b, cplatí nerovnosti

Transkript

1 1. podzimní série Téma: Triky Datumodeslání: ½½º Ò ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Miško vymyslel trik! Nejdříve požádá Tomáška, ať si vybere osmičku nebo devítku. Potom mu řekne, aby zvolené číslo vynásobil jakýmkoliv sudým číslem, to nevybrané jakýmkoliv lichým číslem, výsledky sečetl a součet mu oznámil nazpět. Miško pak dokáže určit, které číslo si Tomášek původně vybral. Jak to dělá? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Předpokládejme,žemámenapapířenapsanávšechnapřirozená 1 čísla.násobkyčísla2010zakroužkujeme modrou fixou, násobky čísla 2011 červenou. Potom ještě zakroužkujeme fialovou fixouvšechnačísla,kterájsousoučtemnějakého modrého anějakého červeného čísla.dokažte, že mezi milionem a dvěma miliony(obojí včetně) je přirozené číslo, které fialovou fixou zakroužkované není. º ÐÓ Ó Ýµ KdyžseLenkatuhleozkouškovémnudila,přišlanato,žepokudproreálnáčísla a, b, cplatí nerovnosti a b+c, b c+a, c a+b, paktatočíslaužnutněmusísplňovat a+b+c=0.dokažteto. Možná jste už zaslechli, že existuje 1000 po sobě jdoucích přirozených čísel, mezi nimiž se nenacházížádnéprvočíslo jsoutotřeba !+2,1001!+3,...,1001!+1001.Ukažte,žesedá najít i takových 1000 po sobě jdoucích přirozených čísel, že je mezi nimi prvočísel právě pět. Dokažte, že rovnice a 2 + b 5 = c 3 má v oboru přirozených čísel nekonečně mnoho řešení. Franta zkoumal funkci f(x)= 9x 3+9 x. Pochvilcepřišelnato,žekdyžza xpostupnědosadíčísla funkční hodnoty sečíst. Jaký součet Frantovi vyšel? 1 Nuluzapřirozenéčíslonepovažujeme. 2 Číslo n!(čti enfaktoriál )jedefinovánojako n!=1 2 3 n , ,..., ,umízískané

2 Honzík má celá čísla raději než reálná, a tak tráví mnoho času zaokrouhlováním. Teď se zrovna snažízjistit,kolikje 3 j (1+ 2) 2010! k,aleprotožejetoužopravduvelkéčíslo,takbyrádvěděl aspoňto,zdajesudéneboliché.pomůžetemu? KennysPepousedomluvili,ževečerpřiohnipředvedoutrik.PepanechalOlinavybratpět písnízezpěvníkuse124písněmi.sámpakztěchtopětipísnívybralčtyřiaurčil,vjakémpořadí sebudouhrát.natozavolalikennyhoaonyčtyřipísněmuvdanémpořadízazpívali.jakmile dozpívali,kennyihnedzačalzpívatzbývajícípátou.jaktopepaskennymmohliudělat? 4 3 Symbol x značí celoučástreálnéhočísla x,tj.největšíceléčíslo,kteréjemenšínebo rovno x. 4 PepaKennymuvprůběhunicnenaznačoval,Kennypátoupíseňurčiljenomzezazpívaných písní, jejich pořadí a perfektní znalosti zpěvníku.

3 Řešení 1. podzimní série 1. úloha Miško vymyslel trik! Nejdříve požádá Tomáška, ať si vybere osmičku nebo devítku. Potom mu řekne, aby zvolené číslo vynásobil jakýmkoliv sudým číslem, to nevybrané jakýmkoliv lichým číslem, výsledky sečetl a součet mu oznámil nazpět. Miško pak dokáže určit, které číslo si Tomášek původně vybral. Jak to dělá? (Miško Szabados) Označmečísla,ktorépoužijeTomášekprinásobení,ako2ka2l+1(k, l Z).Pozrimesana výsledok, keď si Tomášek vyberie číslo 8: 8 2k+9 (2l+1)=2 (8k+9l+4)+1, čo je zjavne nepárne(liché). V prípade výberu čísla 9 dostávame 9 2k+8 (2l+1)=2 (9k+8l+4) atoječíslopárne(sudé). Vidíme,žeTomášekpoviepárnyvýsledokprávevprípade,žesizvolilčíslo9.Miškovisateda stačí pozrieť na paritu výsledku a podľa nej určí zvolené číslo. 2. úloha Předpokládejme,žemámenapapířenapsanávšechnapřirozená 5 čísla.násobkyčísla2010zakroužkujeme modrou fixou, násobky čísla 2011 červenou. Potom ještě zakroužkujeme fialovou fixouvšechnačísla,kterájsousoučtemnějakého modrého anějakého červeného čísla.dokažte, že mezi milionem a dvěma miliony(obojí včetně) je přirozené číslo, které fialovou fixou zakroužkované není. (Pepa Tkadlec) První řešení: Všechnafialovězakroužkovanáčíslajsoutvaru2010k+2011l,kde k, l N.Abybylotakové číslomenšínež ,musíbýt k a l ,tj. k 995al 994.Fialově zakroužkovaných čísel tedy rozhodně nebude více než a to je méně než počet přirozených čísel v intervalu od jednoho do dvou milionů. Některá z nich tedy fialově zakroužkovaná být nemohou. Druhé řešení: Dokážeme, že žádné číslo mezi jedním a dvěma miliony, které je zakroužkované modře, už nemůže být zakroužkované fialově. Uvažme číslo c, které je modře zakroužkované, tj. c = 2010m pronějaképřirozené m,azároveňfialovězakroužkované,tedysedázapsattakéjako c=2010k lpronějakápřirozená k, l.zrovnosti2010m=2010k+2011lvidíme,žečíslo2011lmusí býtdělitelné2010,aprotožečísla2010a2011jsounesoudělná,je ldělitelné2010.proto l 2010 (nuluzapřirozenéčíslonepovažujeme,jakjstesevzadánídočetli).potomale c l ,cožjeněcopřesčtyřimiliony,actedyneležívevytyčenémintervalu. Obdobně bychom mohli dokázat, že ani žádné červeně zakroužkované číslo mezi jedním a dvěma miliony nemůže být zakroužkované fialově. 5 Nuluzapřirozenéčíslonepovažujeme.

4 Poznámka(třetí řešení): Fialově nezakroužkovaných čísel je ale ještě mnohem více. Každé fialově zakroužkované číslo jetvaru2010k+2011l=2010(k+ l)+l.abytakovéčíslonepřevyšovalodvamiliony,můžebýt k+lnejvýšerovno994,tedy l 993,atudížnapříkladvšechnačíslamezimilionemadvěma miliony, která dávají po dělení 2010 zbytek větší než 993, nemohou být fialově zakroužkovaná. Obecně čím menší čísla uvažujeme, tím menší musí mít zbytek po dělení 2010, aby byla fialově zakroužkovaná. 3. úloha KdyžseLenkatuhleozkouškovémnudila,přišlanato,žepokudproreálnáčísla a, b, cplatí nerovnosti a b+c, b c+a, c a+b, paktatočíslaužnutněmusísplňovat a+b+c=0.dokažteto. (LenkaSlavíková) Umocněním zadaných nerovností získáme novou soustavu(ekvivalentní s tou původní) a 2 b 2 +2bc+c 2, b 2 c 2 +2ca+a 2, c 2 a 2 +2ab+b 2. Všechny tři nerovnosti nyní sečteme a vzniklou nerovnost upravíme pomocí známého vzorce prodruhoumocninusoučtutříčlenů(a+b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2(ab+bc+ca).Dostáváme tedy a 2 + b 2 + c 2 2(a 2 + b 2 + c 2 )+2(ab+bc+ca), 0 (a+b+c) 2. Protožekaždýčtverecjenezáporný,mámedvojicinerovností0 (a+b+c) 2 0.Zdeale musínastatrovnost,atedy a+b+c=0,cožjsmechtělidokázat. 4. úloha Možná jste už zaslechli, že existuje 1000 po sobě jdoucích přirozených čísel, mezi nimiž se nenacházížádnéprvočíslo jsoutotřeba !+2,1001!+3,...,1001!+1001.Ukažte,žese dá najít i takových 1000 po sobě jdoucích přirozených čísel, že je mezi nimi prvočísel právě pět. (Michal Kenny Rolínek) V zadání jsme dostali 1000 po sobě jdoucích přirozených čísel, mezi nimiž se nenachází žádné prvočíslo(1001!+2,...,1001!+1001).uvědomímesi,žemeziprvními1000přirozenýmičísly 1,...,1000jeprvočíselvícenež5(konkrétně168).Dohodněmese,žeposunutímojednabudeme mysletpřechododtisícice(k+1, k+2,..., k+1000)ktisícici(k+2, k+3,..., k+1001). Posunutím o jedna přibereme do tisícice jedno číslo a jedno číslo ztratíme, takže počet prvočíselvtisícicisezměnínejvýšeojedna. 6 Číslo n!(čti enfaktoriál )jedefinovánojako n!=1 2 3 n.

5 Když se teď posouváním o jedna dostaneme od tisícice obsahující 168 prvočísel k tisícici s 0 prvočísly, musíme při tom někdy narazit na tisícici po sobě jdoucích přirozených čísel obsahující právě pět prvočísel. Tím je tvrzení dokázáno. 5. úloha Dokažte, že rovnice a 2 + b 5 = c 3 má v oboru přirozených čísel nekonečně mnoho řešení. (Franta Konopecký) Nejdřívsivšimneme,žeřešenímjenapříkladtrojice a=10, b=3, c=7.ztétojednétrojice teď vyrobíme nekonečně mnoho dalších trojic, které budou také řešením. Definujme a n= a n 15, b n= b n 6, c n= c n 10, kde n N.Čísla a n, b n, c njsouřešenímpůvodnírovnice,cožzjistímedosazením.opravdutotiž a 2 n+ b 5 n= a 2 n 30 + b 5 n 30 =(a 2 + b 5 ) n 30 = c 3 n 30 = c 3 n. Jelikož za n můžeme dosadit libovolné přirozené číslo, existuje nekonečně mnoho různých řešení. 6. úloha Franta zkoumal funkci f(x)= 9x 3+9 x. Pochvilcepřišelnato,žekdyžza xpostupnědosadíčísla funkční hodnoty sečíst. Jaký součet Frantovi vyšel? , ,..., ,umízískané (Franta Konopecký) Nejprve se podívejme, jak bude vypadat součet libovolných dvou funkčních hodnot oné funkce: f(x)+f(y)= 9x 9y 3+9x+ 3+9 y = 3 9x +3 9 y +2 9 x+y 3 9 x +3 9 y +9 x+y +9. Jestliženynípoložíme x+y=1,dostanemetaké f(x)+f(y)=1(trik!).takovédvojicezískáme, pokud spárujeme první dosazenou hodnotu s poslední, druhou s předposlední atd. Celkem takvytvoříme1004dvojic,přičemžnámzbydečlen = 1 2,pronějžzvlášťvypočteme,že f( 1 2 )= 1 2. Součetvšechfunkčníchhodnotjepakroven = úloha Honzík má celá čísla raději než reálná, a tak tráví mnoho času zaokrouhlováním. Teď se zrovna snažízjistit,kolikje 7 j (1+ 2) 2010! k,aleprotožejetoužopravduvelkéčíslo,takbyrádvěděl aspoň to, zda je sudé nebo liché. Pomůžete mu? (Honzík Vaňhara) 7 Symbol x značí celoučástreálnéhočísla x,tj.největšíceléčíslo,kteréjemenšínebo rovno x.

6 Hlavnímtrikemtétoúlohybylopřijítnato,žečíslo N= ! ! 2 jeceléanavícsudé.todokážemetak,žesipomocíbinomickévětyrozložíme: != 2010! 2010! 2010! 2010! 2010! , ! != 2010! 2010! 2010! 2010! ( 2) 2010! ! Když rovnice sečteme, dostáváme 2010! 2010! 2010! «N= Uvnitřzávorkyjsouceláčísla,tedy N jesudé,stejnějakočíslo2010!.pakužstačívyužít toho,že1 2jezápornéčíslovětšínež 1.Jehosudámocninatakbudekladnáamenšínež 1, tedy 0 < ! 2 <1. Zrovnosti ! 2 = N ! 2 vidíme, že zkoumáme dolní celou část ze sudého čísla, od kterého jsme odečetli něco mezi nulou ajedničkou.vyjdenámtedy,žehonzíkovočíslo N 1jeliché. Alternativní důkaz sudosti N (přes rekurentní posloupnost) Označíme si a=1+ 2, b=1 2, N k = a k + b k, tedy N= N 2010!. Teďsivšimneme,že a, bjsoukořenykvadratickérovnice x 2 2x 1,takže a 2 =2a+1, b 2 =2b+1. Vynásobenímtěchtorovnicčísly a k, b k obdržíme a k+2 =2a k+1 + a k, b k+2 =2b k+1 + b k, takže N k+2 =2N k+1 + N k. Mámetakrekurentnívztahproposloupnost N k,zekteréhovyplývá,žepokudjsoučísla N k i N k+1 sudá,pakin k+2 jesudé.stačínámprotoověřitsudostprvníchdvouhodnot.tojevšak snadné, neboť N 0 =1+1=2, N 1 = =2. 8. úloha KennysPepousedomluvili,ževečerpřiohnipředvedoutrik.PepanechalOlinavybratpět písnízezpěvníkuse124písněmi.sámpakztěchtopětipísnívybralčtyřiaurčil,vjakémpořadí

7 sebudouhrát.natozavolalikennyhoaonyčtyřipísněmuvdanémpořadízazpívali.jakmile dozpívali,kennyihnedzačalzpívatzbývajícípátou.jaktopepaskennymmohliudělat? 8 (Pepa Tkadlec) Množinu písniček označme P a jednotlivým písničkám přiřaďme čísla od 1 do 124. Čísla přiřazenápětiolinemvybranýmpísničkámoznačímebúno 9 p 0 < p 1 < p 2 < p 3 < p 4.Pepa určízbytek isoučtučísel p 0,..., p 4 podělenípětiavynechápíseň p i. Pokudoznačímeještěsoučetčtyřostatníchpísníjako j (mod5) 10,pakztohoplyne,že p i i j (mod5). Ze zpěvníku nyní odeberme čtyři zazpívané písně a ty zbylé(příslušnou množinu označme Q) přečíslujme čísly od 1 do 120 tak, abychom zachovali pořadí z původního číslování. Kennym hledanápíseňbudemítvmnožině Qčíslooimenšínežvmnožině P,protoževQchybípísničky p 0 až p i 1.Číslohledanépísničkyvnovémčíslovánídávátedypodělenípětizbytek(i j) i= j (trik!). Toto číslo Kenny zná, neboť zná součet čísel odpovídajících čtyřem zazpívaným písním. Číselod1do120,kterádávajípodělenípětizbytek j,je120:5=24.abybylkenny schopen určit hledanou píseň jednoznačně, zbývá pomocí pořadí čtyř zpívaných písní zakódovat číslozmnožiny {1,2,...,24}.Tojevšaksnadné,neboť4různěvelkáčíslalzeuspořádatprávě 4! = 24 různými způsoby. Kennymu a Pepovi se tak stačí předem dohodnout, které pořadí odpovídá kterému číslu. Kennyužtedyznáčíslohledanépísněvnovémčíslování.Nazávěrpřičtením i(cožjepočet zpívanýchpísní,kterémajívqmenšíčíslonežpíseňnezpívaná)dostanejejíčíslovmnožině P. 8 PepaKennymuvprůběhunicnenaznačoval,Kennypátoupíseňurčiljenomzezazpívaných písní, jejich pořadí a perfektní znalosti zpěvníku. 9 Bezújmynaobecnosti. 10 Tentozápisznačízbytekčísla jpodělenípěti.podobnězápis a b(mod d)značí,žečísla a, b dávají stejný zbytek po dělení číslem d. Takovému zápisu se říká kongruence a vše podstatné o něm nalezneš v naší knihovně na stránkách