PARADOX LHÁŘE A JEHO ŘEŠENÍ

Transkript

1 PARADOX LHÁŘE A JEHO ŘEŠENÍ Jiří Raclavský ÚVOD Nejlegendárnějším ze sémantických paradoxů je paradox lháře, který filosofy i logiky trápí už od antiky. 1 Pro nás bude vhodné základně rozeznávat eubulidovsko-tarskiovskou variantu, 1): Věta 1) je nepravdivá. (tento druh paradoxu budu nazývat autoreferenční nekvantifikační), 2 a (pozměněnou) epimenidovskou variantu Xenie: Vše, co Xenie říká, je nepravdivé. (autoreferenční kvantifikační druh). 3 Ačkoli prostý člověk může nastávat názor, že paradoxní věta je přece jen nepravdivá, popř. že je přece jen pravdivá, v diskusi o paradoxech se uvažuje, že předpokládáme-li, že paradoxní věta je pravdivá, tak by to, co říká, mělo být nepravdivé, což se ale vlastně vylučuje; na druhou stranu za předpokladu, že není pravdivé, co ta věta říká, by ale ta věta byla pravdivá, což se rovněž vylučuje (odtud i starší názvy pro sémantické paradoxy: kontradikce, popř. antinomie). Při takovýchto předpokladech vzbuzují dojem paradoxu i určité dvojice vět rozlišujme tedy dále jourdainovskou variantu 1): Věta 2) je nepravdivá. 2): Věta 1) je pravdivá. (heteroreferenční nekvantifikační druh), buridanovskou insolubilii Sókrates: Vše, co říká Platón, je nepravdivé. Platón: Vše, co říká Sókrates, je pravdivé. (heteroreferenční kvantifikační druh; mj. stačí, když aspoň jedna z vět je kvantifikační). Důsledkem tzv. Curryho-Löbova paradoxu věta CL) zní Je-li věta CL) pravdivá, pak každá věta pravdivá. ; lze pak (s premisou CL) je pravdivá ) odvodit, že každá věta je pravdivá je zjištění, že paradox nezapříčiňuje negace. Důsledkem tzv. Yablova paradoxu i v Sorensenově variantě lineárního zástupu, kdy první student si myslí Všichni/někteří za mnou si myslí něco nepravdivého, což si myslí i ti za ním je, že ani kruhová reference není pravou příčinou paradoxu. Dále A. N. Prior tvořil paradoxy, které lze charakterizovat jako kontextové, byť jde vlastně o zkontextování pomocí deskripce, která má referovat i na vyřčenou větu; např. si myslím, že jsem v místnosti 102 a říkám Vše vyřčené v místnosti Tento text je pouhým výtahem z autorovy sepisované studie [Raclavský 2006b] o sémantických paradoxech, výtahem učiněným vzhledem k záměru naznačenému v nadpisu. Spis [Raclavský 2006b] by měl zacelit v našem jazykovém prostředí zjevnou mezeru v řádném zmapování historické situace, detailních rozborech stávajících přístupů, atd.; toto není ve zde předkládaném textu z důvodu omezeného rozsahu možné. 2 Lukasiewiczovskou deskripčně-kontextovou obměnou je: Věta za dvojtečkou v této poznámce pod čarou je nepravdivá. 3 Ushenkovskou deskripčně-kontextovou obměnou (v rámečku 1 je napsáno Všechny věty v rámečku 1 jsou nepravdivé ) je: Všechny věty za dvojtečkou v této poznámce pod čarou jsou nepravdivé. 1

2 V tomto textu se budeme věnovat řešením, přičemž řešením se rozumí přesvědčivé je nepravdivé, paradox prý vzniká, když jsem, což ale nevím, ve skutečnosti v místnosti odhalení příčiny patologičnosti sémantických paradoxů, zjištění souvislostí s uspokojivou teorií pravdy (či pravdivosti), případně i teorií jazyka, a to pokud možno s technickou podporou. Takovéto fundamentální řešení (či přesněji princip řešení) poskytl, což se budu snažit obšírně doložit a vyložit, též Pavel Tichý, který vlastně zúročil podstatné leč někdy ignorované návrhy Russella a zčásti i Tarského. Zahraniční encyklopedie uvádí kromě Russella a Tarského dále zejm. Kripkeho, Barwise s Etchemendym a další teoretiky. Avšak ti mohou být řazeni do několika (navzájem nikoli disjunktních) skupin: a) ti, jejichž základní vysvětlení bylo okamžitě vystaveno tzv. zesílenému lháři ( strenghtened Liar ), b) ti, jejichž celý přístup byl diskreditován tzv. mstivým lhářem ( revenge Liar ), 5 c) ti, jejichž vysvětlení čelí popř. ještě dalším závažným námitkám. RUSSELLOVO A TARSKÉHO ŘEŠENÍ Russellova rozvětvená teorie typů Přelom 19. a 20. století se nesl ve znamení paradoxů, které zasadily značnou ránu naivní teorii množin, která byla prosazována coby jednotící fundament matematiky. Zásluhou Bertrand Russella je, že tyto paradoxy zbavil matematických specifičností a formuloval je (již roku 1901) ve velice jednoduché podobě známé jakožto Russellův paradox. 6 Coby prostředek zamezení paradoxů pak navrhl teorii typů, která se v rudimentární podobě objevila v The Doctrine of Types, což byl dodatek B. v jeho knize Principles of Mathematics ([Russell 1903]). Po poměrně spletitém vývoji, během něhož Russell např. uvažoval, že množiny jsou pouhé logické fikce, došlo k publikování rozvětvené teorie typů ( ramified theory of types ) ve stati Mathematical Logic as Based on the Theory of Types ([Russell 1908]). Zatímco jednoduchá ( simple ) teorie typů sestává z typů, tedy kolekce individuí, tříd individuí, tříd tříd individuí atd., rozvětvená teorie typů přináší navíc ještě řády, přičemž právě řády jsou spjaty s definováním, které je spjato s příčinou řady paradoxů. Pro příklad: výroková funkce, která buďto obsahuje kvantifikaci přes výrokové funkce řádu n, anebo je tvrzena 4 V poznámkách 3 a 4 jsme viděli, že na kontextový typ se dá proměnit jakákoli varianta. 5 Zesílený i mstivý lhář jsou nazývány silnější lhář ( stronger Liar ). 6 Jde o paradox normálních množin. V pozdější variantě je známý též jako paradox holiče (v jisté vesnici žije holič, který holí všechny, co se neholí sami holí sám sebe?). 2

3 o výrokových funkcích řádu n, je sama řádu n+1, takže oblast signifikace výrokové funkce musí být omezena určitým řádem: n + 1. logický typ bude sestávat z propozic řádu n, které jsou takové, že obsahují propozice řádu n 1, ale ne vyššího řádu, coby své zjevné proměnné. ([Russell 1908], s. 238) Rozvětvená teorie typů, kterou uvedl Russell s Whiteheadem i v Principia Mathematica ([Whitehead, Russell ]), nebyla dobře přijata. 7 Příčinou odmítnutí rozvětvené teorie byly např. obtíže spatřované kolem axiómu reducibility, jehož smyslem je velmi volně řečeno jaksi propojovat objekty různých řádů, aby nedocházelo k nežádoucí multiplikaci entit; o něco přesněji: axióm reducibility zavádí ekvivalence mezi propozicemi řádu n a propozicemi nejbližšího nižšího typu (které jsou už ovšem tzv. predikativní). 8 Ideu, která podkládá (rozvětvenou) teorii typů coby řešení paradoxů, Russell opakovaně vystihoval formulací principu bludného kruhu ( vicious circle principle, VCP), který si adaptoval od Henriho Poincarého. Příčinu paradoxů Russell vystihuje následovně: Ve všech předchozích kontradikcích... je společná charakteristika, kterou můžeme popsat jako sebe-referenci či reflexivnost. Poznámka Epimenida musí zahrnovat sebe sama ve svém dosahu. ([Russell 1908], s. 224) Za řešení navrhuje dodržovat princip bludného kruhu: Bludy [ fallacies ], jak jsme viděli, jsou zamítnutelné [ are to be avoided ] tím, co může být zváno princip bludného kruhu, tj. žádná totalita nemůže obsahovat prvky definované v termínech sebe. Tento princip je v našem technickém jazyku Cokoli, co obsahuje zjevnou proměnnou, nesmí být možnou hodnotou této proměnné. Tudíž cokoli, co obsahuje zjevnou proměnnou, musí být odlišného typu od možné hodnoty této proměnné; budeme říkat, že to je vyššího typu. ([Russell 1908], s. 237) Cokoli obsahuje vše z kolekce, nesmí být něčím z této kolekce. ([Russell 1908], s. 225) Konstituováním hierarchie řádů propozic v rozvětvené teorii typů Russell dochází k přesvědčení, že vyřešil paradox lháře. Píše třeba: Tudíž např. jestliže Epimenides tvrdí všechny prvořádové propozice mnou tvrzené jsou nepravdivé, tak tvrdí druhořádovou propozici; může to tvrdit pravdivě bez tvrzení jakékoli prvořádové propozice a tak nevzniká žádná kontradikce. ([Russell 1908], s. 238) Ohlasy na Russellův přístup k řešení paradoxu lháře byly dlouhodobě poměrně pozitivní. (Mínilo se ovšem někdy, že věty obsahující autoreflexivitu jsou jím chápány jako významuprázdné.) Příznivé ohlasy ale byly utlumeny jednak (údajnou) limitací tohoto 7 Jednoduchá teorie typů má sice se sémantickými paradoxy v zásadě málo společného, je však považována za řešení paradoxů množinových (resp. je zdrojem inspirace pro analogická řešení). 8 S praktickým užitím axiómu reducibility se setkáme níže v podsekci Obnovení paradoxu axiómem reducibility. 3

4 přístupu co se týče matematiky, jednak filosofickým pochybováním nad hierarchiemi řádů v jazyce vůbec. 9 Zejména Tarského řešení paradoxů pomocí metajazyků, které bylo úzce navázáno na definování pojmu pravdy (tento trend později přejal Kripke i mnozí další), pak snížilo význam Russellova řešení a do první poloviny sedmdesátých let bylo obyčejně viděno jen jako jedno ze dvou řešení (a do jisté míry bylo jakoby zapomenuto). 10 Tarského metajazyky Zejména v legendární stati The Semantic Conception of Truth: and the Foundations of Semantics ([Tarski 1944]) uvedl do světového filosofického kontextu Alfred Tarski svůj známý rigorózní přístup k definování (či explikaci) pojmu pravdy s důsledným odlišováním objektového jazyka a metajazyka. Protože o zkoumání teorie pravdy nám v této stati přímo nejde, zmíníme jen některé relevantní skutečnosti. Především se Tarski omezil jen na jaksi syntakticistně pojatý predikát pravdy už proto, že termín propozice byl v jeho době velmi kolísavý co do svého významu, Tarski se rozhodl: aplikovat termín pravdivý na věty.... Následně musíme vždy relativizovat pojem pravdy, stejně tak jako věty, k specifickému jazyku; protože je zřejmé, že týž výraz, který je pravdivou větou jednoho jazyka, může být nepravdivý nebo významuprázdný v jazyce jiném. ([Tarski 1944], s. 342) Jazyky, jakými jsou jazyky přirozené, charakterizoval Tarski jakožto univerzální a to v tom smyslu, že dovolují v sobě diskutovat o všem, včetně vlastností toho jazyka samého; takovéto jazyky nazývá pak sémanticky uzavřené : jazyk, v němž je antinomie [paradox lháře; J.R.] zkonstruována, obsahuje jako přídavek ke svým výrazům také jména těchto výrazů, stejně tak sémantické termíny jako termín pravdivý referující k větám tohoto jazyka... ([Tarski 1944], s. 342) Právě jazyky s tímto rysem, dále se standardní logikou a též se schopností utvořit větu Věta ta-a-ta je nepravdivá jsou nekonzistentní ([Tarski 1944], s. 343). Tyto jazyky Tarski zamítl a zvolil namísto nich formalizované jazyky, jejichž objektový jazyk neobsahuje sémantické predikáty a jejichž metajazyk obsahuje objektový jazyk (resp. jeho metajazykový obraz ) a definované sémantické predikáty aplikovatelné na tento objektový jazyk. Tímto vzniká celá nekonečná hierarchie metajazyků, z nichž každý jazyk má k sobě metajazyk, který je 9 Po ustavení pojmu propozice coby prostě funkce z možných světů do pravdivostních hodnot totiž pro hierarchie russellovských propozic (které jsou strukturovány, neboť obsahují například kvantifikátory či proměnné) nebylo místo. Za pochybné lze mít současnou obecnou snahu znovu zavést russellovské propozice, ale zapomínat přitom na rozvětvenou teorii typů (tato poznámka se netýká P. Tichého či D. Kaplana). 10 Tak jako i v následujících dvou sekcích mnohé z komentářů jsou v zásadě obecnými názory předních teoretiků na paradoxy (v sekci Liar-business se však místy významně odchyluji formulováním specifických komentářů, a to zvl. u Kripkeho, dialetheismu, či Hintikky). 4

5 esenciálně bohatší ([Tarski 1944], s ). Každý metajazyk může popisovat věty jen jazyka nižšího ( pravdivý definovaný v jazyce n lze aplikovat jen na věty jazyka n-1). Tarského řešení bylo po třicet let zvláště logiky považováno za zásadní a správný přístup k definování pravdy. Vzhledem k spletitostem Russellovy hierarchie typů (jejíž potřeba nebyla při neakceptaci strukturovaných propozic viděna) byla pro řešení sémantických paradoxů dávána jasná přednost právě metajazykům. Tarskému ale bylo postupně časem vyčítáno nemálo věcí, např. to, že odsoudil přirozené jazyky jakožto nekonzistentní a namísto nich se věnoval jazykům formálním, což se pro adekvátní vystižení přirozeného jazyka nejeví jako vhodný postup. Dále mu byl vyčítán redukcionistický přístup k pojmu pravdy, zejm. nedostatek snahy vyložit pravdivost, kterou máme v přirozeném jazyce. Závažnou námitkou též je, že predikát pravdivý byl Tarským vlastně indexován vzhledem k metajazyku, v němž je definován, takže tu je nekonečně mnoho predikátů pravdivý. Co se týče paradoxů, bylo namítáno, že zcela všechny sebe-referující věty jsou jím vyřazeny jako významuprázdné, což jistě není správné. Další významný druh kritiky upozorňuje na nemožnost rozhodnout, predikáty kterého vlastně metajazyka jsou predikáty pravdivosti ve dvojici vět jako Sókrates: Vše, co říká Platón, je nepravda. Platón: Vše, co říká Sókrates, je pravda.. Určitým vyvrcholením kritik je pak mstivý lhář Tato věta není pravdivá na jakékoli úrovni dané hierarchie metajazyků. 11 LIAR-BUSINESS Analogicky k již používanému donkey-business tvořím liar-business, což je velmi výstižný termín pro situaci posledního (skoro) půlstoletí. Sto významnějších statí, desítka monografií. 12 Po Tarského vystoupení připomínala filosofická debata o sémantických paradoxech do konce šedesátých let jakousi pustinu, jen tu a tam některý málo významný filosof zapochyboval o Tarského tvrzení o nekonzistenci přirozeného jazyka nebo o paradoxnosti lhářského paradoxu vůbec. Jistý zlom však přichází v první polovině sedmdesátých let, kdy postupně sílící kritika Tarského přístupu k definování pravdy vyvrcholila níže uváděným Kripkeho návrhem, jenž dal silný impulz pro nová zkoumání paradoxů. 11 Otázkou ovšem je, zdali tento druh tvrzení není přece jen vysloven v ještě vyšším jazyku. 12 Pozn.: pro značný rozsah seznamu literatury, které autor této statě z tohoto množství načetl, byla nakonec v referencích uvedena jen nejnezbytnější část. 5

6 Lhářská věta má třetí pravdivostní hodnotu Svérázná skupina v přístupu k řešení sémantických paradoxů vznikla v prostředí free logic, když Bas van Fraassen navrhl v půlce šedesátých let tzv. metodu supervaluací, která používala Kleeneho trojhodnotovou logiku, v níž pravdivostní díra ( gap ), je onou třetí hodnotou. Technika supervaluací spočívá v podstatě v tom, že valuace jsou postupně ve stádiích obohacovány, interpretace nějaké formule je rozšiřována (jde o jakýsi evaluační proces ). Tuto metodu do matematické dokonalosti, říká se, dovedl Saul Kripke ve stati Outline of a Theory of Truth ([Kripke 1975]). 13 Cílem uplatnění metody fixpointů bylo neakceptovat hierarchii metajazyků a vysvětlit pravdivost v rámci jednoho a téhož jazyka. Protože technika fixpointů není nakonec pro řešení paradoxu lháře zásadně zajímavá, popíšeme si ji jen stručně. Kripke vlastně zamýšlel zachovat tarskiovské T-schéma v podobě (Tr je zkratkou za pravdivý, predikát aplikovatelný na gödelovská čísla výrazů, p je proměnná pro propozice chápané však v obecném smyslu, (p) je tzv. gödelovské číslo p ): Tr(p) p, neboli Je pravda, že p, platí právě tehdy, když platí p. 14 Nyní uvažujme dvě množiny, S 1, která je množinou všech pravdivých propozic nějakého jazyka L, a S 2, která se coby doplněk S 1 sestává ze všech nepravdivých propozic; nějaká dvojice (S 1,S 2 ) je pak zvána fixpointem Tr. 15 Nyní uvažujme proces, kdy nějaký lidský subjekt začíná vyhodnocovat věty, na které lze aplikovat predikát Tr. Zpočátku neví, která věta vyjadřuje propozici pravdivou či nepravdivou (S 1 i S 2 jsou tedy prázdné), postupně však do S 1 přidává propozice pravdivé, do S 2 dává propozice komplementární (na větné úrovni jde o negace vět), atd., a to v evaluačních stádiích. Během tohoto procesu, ba ani na jeho konci, lhářská propozice nespadne ani do S 1, ani do S 2 Kripke tomu říká, že lhářská věta nemá fixpoint: věta je paradoxní, pokud nemá žádnou pravdivostní hodnotu v žádném fixpointu. To jest, paradoxní věta A je taková, že pokud φ((s 1,S 2 )) = (S 1,S 2 ), pak A není ani element S 1, ani S 2. ([Kripke 1975], s. 708) Obratem v žádném fixpointu musí být rozuměno, že nejen v jakémkoli fixpointu jistého evaluačního procesu, ale v žádném fixpointu vůbec jakéhokoli evaluačního procesu. Kripke připomíná, že Kleeneho třetí hodnota u, znamená absenci pravdivostní hodnoty: O několik měsíců před vyjitím Kripkeho textu vyšel článek Roberta L. Martina a Petera Woodruffa On Representing True-in-L in L ([Martin, Woodruff 1975]), v němž dokázali existenci maximálních fixpointů (nikoli minimálních) a to v systému tzv. slabé trojhodnotové logiky, nikoli silné, jak to učinil Kripke. 14 V inspiraci λ-kalkulem, jehož je teorie fixpointu běžnou součástí, můžeme (byť nepřesně) říci, že nějaká funkce F (zde potažmo Tr) má jako fixpoint objekt X, když platí ekvivalence (FX) X (potažmo ono T-schéma). 15 Přesněji ([Kripke 1975], s ]): pro ordinální úroveň σ, platí-li (S 1, σ+1, S 2, σ+1 ) = ϕ ((S 1, σ, S 2, σ )), pak (S 1, σ, S 2, σ ) je tzv. minimální fixpoint. 16 Věta jako Tato věta je pravdivá je podle Kripkeho sice také tzv. neuzemněná, nicméně není paradoxní, protože existuje evaluační proces, v němž má fixpoint. 6

7 paradox je zamezitelný připuštěním pravdivostních děr a deklarováním, že paradoxní věty trpí těmito děrami ([Kripke 1975], s. 698) Otázkou je, v čem je Kripkeho návrh přínosem, pokud nám nejde o problematiku pravdy (rozšiřování extenze Tr je prostě jen postup, kdy si subjekt aproximuje svoje chápání pojmu pravdy, resp. rozšiřuje množství vět, které jsou pro něj pravdivé). Přece už Dmitrij Anatoljevič Bočvar pracoval ve třicátých letech s trojhodnotovou logikou tak, že ona třetí hodnota ( nesmyslná, paradoxní, nedefinovaná ) byla určena právě pro paradoxní věty. Zásadní oficiální námitka proti Kripkeho řešení paradoxů ale spočívá v napadnutí Kripkeho prostřednictvím úkroku do metajazyka, ve kterém Kripke formuluje svá tvrzení o fixpointech, tedy tvorba mstivého lháře Tato věta není pravdivá (popř. je paradoxní, má díru ) nebo je nepravdivá (některými teoretiky je nazýván jen zesíleným). Na tvorbu silnějšího lháře přitom dopředu upozorňoval van Fraasen, pro troj- a více hodnotové logiky byla možnost zesíleného lháře už od padesátých let známá (mj. zesílený lhář je sestavitelný i pro fuzzy logiky). Mj. mstivý lhář je tu cenou za to, že lhářský výrok je zjevně chápán (na rozdíl od Tarského či snad i Russella) jako významuplný. 18 V následnictví Kripkeho jdou některé netechnické, ovšem zase více filosoficky laděné, pokusy o dosažení prakticky stejného výsledku bez technického aparátu fixpointů, cílem je vystižení rámcově stejné intuice, jakou měl Kripke. První z významných statí je Pointers to Truth od Haima Gaifmana ([Gaifman 1992]), který se zamýšlí nad postupem připisování pravdivostní hodnoty různým lhářským větám a ukazuje při tom smyčky a černé díry ; postuluje pak tzv. GAP pro rozpoznané selhání v přiřazení standardní pravdivostní hodnoty. GAP neznamená pouhé nedefinováno, jak je tomu u Kleeneho a tím i u Kripkeho, je to jen indikace pozatímního selhání přiřazení standardní pravdivostní hodnoty, pokusy o přiřazení mohou totiž pokračovat. V úzké návaznosti na Geifmana postupoval Laurence Goldstein ve stati A Unified Solution to Some Paradoxes ([Goldstein 2000]), který namísto s GAP pracuje s FA, což znamená nezdařený přístup ( failed attempt ) v připsání standardní pravdivostní hodnoty. Ovšem pro oba vzniká okamžitý problém se zesíleným lhářem Tato věta má GAP / je FA nebo je nepravdivá. Má se tedy 17 V prostředí Transparentní intenzionální logiky využil metodu fixpointů Tomáš Vlk ([Vlk 1990]), který ukázal, že i věta Tato věta je pravdivá je paradoxní, neboť má nekonečně mnoho fixpointů (co přesně je fixpoint, je ovšem u Vlka definováno poněkud jinak než u Kripkeho). Podle Vlka obě paradoxní věty vyjadřují konstrukce, které nekonstruují žádnou propozici. Pro Tichého je ale neakceptovatelný (jak uvidíme níže) právě Vlkův teoretický předpoklad, že věty Tato věta je nepravdivá, Tato věta je pravdivá jsou významuplné podle Tichého totiž nevyjadřují žádnou konstrukci (jsou významuprázdné). 18 To plyne z toho, že pro Kripkeho jakýkoli prvek z množiny gödelovských čísel výrazů, S i, jazyka J musí mít pendant v S i, tj. musí sestávat jen z těch výrazů, které jsou v jazyce významuplné. 7

8 zato, že pravdivostní díry ( truth-value gaps ) nezvítězí nad paradoxem žádným jednoznačným způsobem. 19 Lhářská věta je pravdivostně nestabilní Další linii tvoří filosofické, či pak i logické, pokusy chápat lhářskou větu jakožto sémanticky nestabilní, což započal Hans G. Herzberger už v roce 1970, markantněji se však vyslovil ve stati Naive Semantics and the Liar Paradox ([Herzberger 1982]), kde přispěl i s jistým technickým aparátem. Nezávisle takovýto nějaký aparát navrhl i Anil Gupta ve stati Truth and Paradox ([Gupta 1982]), v níž proponoval první variantu revizionistické teorie pravdy. Jeho metodu si ilustrujeme na příkladu, kdy ustavíme kruhovou definici (užitečnost kruhových definic chtěl Gupta ukázat) G(x) = df [F(x) H(x)] [F(x) H(x) G(x)]. Pro zjištění extenze predikátu G začínáme hypotézou o jeho případné extenzi a poté, co uskutečníme jedno prošetření, revidujeme naši hypotézu a opakujeme proceduru s novou hypotézou, atd.; tímto opakováním vzniká tzv. revizní sekvence. Pro případ zjištění pravdivosti nějaké věty postupujeme obdobně, avšak s tím, že věta je stabilní, pokud si v revizní sekvenci udržuje stejnou pravdivostní hodnotu. Vidíme, že podobně jako u Kripkeho jde o zjišťování pravdivosti vět z hlediska poznávajícího subjektu. Guptovu teorii vzápětí modifikoval Nuel Belnap ve stati Gupta s Rule of Revision Theory of Truth ([Belnap 1982]), který navrhl modifikování Guptovy teorie revize změnou procedury pro tzv. limitní stadia, což i Gupta akceptoval. Významnou námitkou však je, že tato teorie chápe pravdu jako kruhový koncept, čímž odmítají příliš mnoho našich intuicí ohledně pravdy. Neméně závažná je možnost zesíleného lháře Tato věta je (sémanticky) nestabilní nebo je nepravdivá. Kontextuální přístupy k řešení lhářských paradoxů Další skupinu přístupů k lhářským paradoxům tvoří přístupy kontextuální, což do jisté míry souvisí s kontextovými variantami paradoxu lháře. Počátky najdeme u Charlese Parsonse, který ve stati The Liar Paradox ([Parsons 1974]) navrhuje jednotný přístup k sémantickým i množinovým paradoxům, který je založen na kontextové závislosti jak extenze predikátu pravdivý, tak ovšem i domény kvantifikace. Byť v návaznosti na Burgeho 19 Je s podivem, že do hesel zahraničních encyklopedií se vůbec nedostalo řešení Jaakko Hintikky ([Hintikka 1996]) v prostředí jeho independence-friendly (IF) logic. Při tom, jak Hintikkově přístupu sám rozumím, se mi ale jeví, že lhářská věta (pro niž není vítězná strategie ani pro subjekt, ani pro Přírodu), má onu pomyslnou třetí hodnotu; následně by ovšem věta Tato věta má vítěznou strategii pro Přírodu nebo je bez vítězné strategie byla zesíleným lhářem. 8

9 své statě píše Michael Glanzberg (zejm. [Glanzberg 2001], The Liar in Context ), přičemž argumentuje, že problém paradoxu lháře, je skutečně prý jen problémem kontextu. Modelujeme-li kontext podle něj jako množinu propozic (množinu K) předpokládaných v dané situaci, tak lhářská věta nevyjadřuje žádnou propozici, nicméně z definice kontextu se jeví, že nějakou propozici v kontextu K vyjadřuje. Glanzberg se proto domnívá, že množina K musí být pro to (vlastně až donekonečna) rozšiřována. (Důležité je si uvědomit, že podle Glanzberga i Parsonse indexikalita nespočívá primárně ve výrazu pravdivý jako u Burgeho či nověji Keitha Simmonse ([Simmons 1993]), ale ve změnách domén kvantifikace.) Za významný čistě filosofický přístup se považuje náhled Tylera Burgeho ze stati Semantical Paradox ([Burge 1979]). Kontext promluvy a snaha mluvčích získat pravdivostní hodnoty zkoumáním situace (či možných situací), kdy by promluva mohla být pravdivá, je podle Burgeho podstatným znakem jazyka. Predikát pravdivý pro něho není konstantou (jako např. u Tarského), je to výraz, jehož význam závisí na kontextu a právě vzhledem k tomu je indexován. Klíčová nevýhoda tohoto druhu přístupů je nasnadě slovo pravdivý je vysvětlováno jako radikálně vágní (a ze sémantiky se stala, dík odvolávání se na kontext, vlastně pragmatika). 20 Navíc si všimněme, že opět jde o pojem pravdivosti z hlediska toho, jak ji shledává poznávající subjekt. Velký ohlas vyvolalo přesvědčivé technické vysvětlení kontextuálního zakotvení lhářské věty, které předložili renomovaní logikové Jon Barwise a John Etchemendy v knize The Liar ([Barwise, Etchemendy 1987] 21 ). Jde o matematicky i filosoficky sofistikovaný přístup uskutečněný v rámci situační sémantiky (J. Barwise a J. Perryho) s oporou v teorii nedobře založených množin P. Atzela a v austinovské teorii pravdy, podle níž propozice je pravdivá, pokud určitá konkrétní situace, o níž vypovídá, patří do určitého typu situací (což je množina stavů věcí). Odlišují pak popření ( denial ) a negaci ( negation ): popření nějaké propozice znamená, že daná propozice není určitého typu situace, např. proto, že není splněna nějaká presupozice (např. když nějaký objekt, o kterém věta vypovídá, neexistuje); ovšem negace nějaké propozice znamená, že daná propozice přece jen je určitého typu situace popření propozice p tedy vytváří vlastně novou propozici Je pravda, že non-p. Dle Barwise a Etchemendyho lze lhářskou větu (značenou λ ) chápat buďto ve smyslu asertivního lháře ( assertive liar ), kdy situace je toho typu, že ona propozice je nepravdivá, anebo ve smyslu popírajícího lháře ( denial liar ), kdy situace není toho typu, že propozice je pravdivá. 20 Ta jistě může být teoreticky modelována, Burgeho přístup ale ještě není přesvědčivě takovouto teoretickou rekonstrukcí. 21 Pro nedostupnost této práce přejímám následující z Kirkham, Richard L. (1995): Theories of Truth: A Critical Introduction. Cambridge, London: A Bradford book, The MIT Press. 9

10 Podstatné je však jejich zjištění, že jak asertivní lhář, tak popírající lhář jsou nepravdivé věty. K tomu docházejí následovně (postup zjištění je stejný i pro popírajícího lháře). Nejprve předpokládejme, že afirmativní lhář je pravdivý, tedy že <Tr, λ; nepravda> 22 je prvkem situace S; ta je podmnožinou množinového modelu světa M, proto je afirmativní lhář nepravdivý (propozice je nepravdivá, když <p; nepravda>); tento předpoklad tudíž vede ke sporu. Na druhou stranu předpokládejme, že afirmativní lhář je pravdivý, tedy že <Tr, λ; pravda> je prvkem situace S. Ta je podmnožinou množinového modelu světa M, proto je afirmativní lhář nepravdivý (propozice je nepravdivá, když <p; nepravda>); tento předpoklad tedy nevede ke sporu. Důsledky řešení Barwise a Etchemendyho jsou následující: za cenu poněkud nestandardní teorie pravdy je zachován princip dvouhodnotovosti, je vyřešen i zesílený lhář. Dále: je-li asertivní lhář nepravdivý, pak tento fakt není součástí situace, o níž vypovídá; následně tento fakt je sice mimo onu situaci, ale existuje jiná situace, v níž platí. S tím posledním ovšem souvisí, že žádná aktuální situace nemůže být univerzální množinou všech situací, protože vždy existuje fakt, který v této množině není. Proto Barwise s Etchemendym tvrdí, že žádná propozice nesmí vypovídat o univerzální množině všech situací (jde tu o záměrnou analogii s množinou všech množin). Právě to, že nelze vypovídat o celém světě, se však jeví být pochybným protiintuitivním předpokladem. Copak nemůžeme říci třeba, že každá smysluplná věta má či nemá pravdivostní hodnotu? Jenže pak jistě není problém zkonstruovat globálního lháře, za jakého navrhuji právě tvrzení Každá smysluplná věta má či nemá pravdivostní hodnotu a přitom tato věta (toto souvětí) je nepravdivá. Dialetheismus Velice kuriózní, nicméně zřejmě díky masivní textové podpoře tolerovaný, je názor, že lhářská věta je zároveň pravdivá i nepravdivá, b dokonce že s těmito pravdivými kontradikcemi se máme naučit žít. Čelním (a téměř jediným) propagátorem tohoto pojetí je Graham Priest, který od konce sedmdesátých let publikoval mnoho článků a několik knih (počínaje statí The Logic of Paradox [Priest 1979]), v nichž prosazuje parakonzistentní logiku, podle níž věty mohou mít jedno ze čtyř pravdivostních ohodnocení nic, pravda, nepravda, a konečně speciálně rezervováno pro lhářskou větu pravda-i-nepravda ( paradoxní hodnota ; proto název dialetheismus ). Kromě lhářské věty je Priestovi důvodem i (vlastně docela známá) empirická situace, kdy stojím nad prahem ve dveřích mezi 22 V principu takto je u Barwise a Etchemendyho modelován význam věty; Tr je predikát být pravdivý, λ je lhářská propozice. 10

11 dvěma místnostmi A a B a stojím tam přesně napůl, jsem tedy v A či nejsem v A?, Priest odpovídá obojí. Aby nezůstal u tohoto (lehce) zpochybnitelného příkladu, spekuluje o (kontradiktorických) možných světech, kde neplatí zákony logiky apod., jakou je ta naše. Lze ale namítat, že kontradiktorické světy nejsou adekvátními alternativami k našemu světu a že jedině ty možné světy, které jsou kombinatorickými alternativami k našemu světu, jsou skutečně relevantní pro naše klíčové poznání; možné světy přece slouží pro modelování toho, co je fakt a co je kontra-fakt, tedy co je pravdivé a co je nepravdivé. V případě věty Král Francie je holohlavý ono poukazování na fakt jistě zjistit nemůžeme, protože nikdo není králem Francie, proto pak říkáme, že tato věta je bez pravdivostní hodnoty. To by ovšem nemělo vést k dovozování se, že lhářská věta vyjadřuje jak fakt, tak kontra-fakt to je proti smyslu chápání faktů (k jejichž vyjadřování slouží věty), nemůže přece doopravdy platit obojí. Další těžkou vadou Priestovy koncepce je esenciální metodická chyba v tom, že explikační funkce přiřazující větám pravdu či nepravdu, pojímá zcela neudržitelně jako jedno-mnohoznačné zobrazení, kdy jisté větě jsou přiřazeny dvě různé funkční hodnoty. Klíčový důvod pro parakonzistentní logiku však Priest stejně spatřuje v tom, že přirozené jazyky jsou prostě nekonzistentní a tudíž jeho logika musí být parakonzistentní a ne klasická. Ačkoli Priest užívá nejbravurnější sofistiku pro zdůvodnění své tak nápadně absurdní koncepce, je třeba si povšimnout, že onen klíčový důvod, který Priest zdůvodňuje pouze odkazem na Tarského autoritu a podotkněme, že zrovna dotyčné místo bylo mnoha teoretiky napadeno vůbec nemusí být tím common-sense pojetím, kvůli kterému je třeba zavrhnout logiku klasickou. Protože alternativu, kterou nám předkládá Priest, je jedním zavržením common-sensu za druhým: přes palubu jdou u Priesta mnohé fundamentální odvozovací principy vč. modu ponens, ale taky požadavek konzistence teorií atd. atd., což tedy znamená mnohonásobně více ztrát a újem na zdravém rozumu, než respektování údajné common-sense intuice, že přirozené jazyky jsou nekonzistentní. Uzavírám tedy, že dialetheismus mnohem víc problémů plodí než kolik řeší. 23 TICHÉHO ŘEŠENÍ Transparentní intenzionální logika 23 A jako domněnku dodávám, že po aféře Sokal si humanitní vědec nemůže jistý, zda Priest nakonec není jen vytrvalý sokolovský provokatér. 11

12 Vůči Russellově přístupu nebyl donedávna vznesen žádný rozhodující argument, 24 takovouto zásadní námitku ovšem vznesl a zdůvodnil Pavel Tichý. K vysvětlení bude nezbytné uvést základ jeho Transparentní intenzionální logiky (TIL), jejíž vrcholnou fázi nalezneme v knize Foundations of Frege s Logic ([Tichý 1988]). Tento logický systém je pozoruhodný tím, že explicitně integroval jednak centrální myšlenku intenzionální logiky, totiž práci s intenzemi (vč. propozic), které jsou u Tichého chápány jako funkce z možných světů a časových okamžiků, jednak integroval myšlenku strukturovanosti jazykové výrazy vyjadřují strukturované entity ( abstraktní procedury ), tzv. konstrukce, které (typicky) konstruují intenze či extenze (konstrukce jsou výrazům přiřazovány coby jejich logické analýzy). Strukturované propozice, které jsou běžnou součástí diskursu analytické filosofie jazyka, tak mají díky Tichému precizní formální vystižení. Toto je provedeno v důsledně objektuálně pojatém λ-kalkulu (λ-kalkulu s typy). Věty vyjadřují propoziční konstrukce a tyto konstrukce konstruují propozice, které jsou větami denotovány (věty denotují, popř. označují, propozice). Propoziční konstrukce vyjádřená např. větou Xenie myslí obsahuje coby své hlavní podkonstrukce konstrukci individua-xenie a konstrukci vlastnosti (chápané jako intenze) myslet. Protože objekty, o nichž chceme pomocí jazyka vypovídat (Xenie, myslet, atd.) nejsou všechny jednoho druhu, v TIL je integrována rozvětvená teorie typů. Základní část rozvětvené teorie typů (tj. vlastně jednoduchá teorie typů) kategorizuje v bázi B celou rodinu atomických typů (neprázdných a vzájemně disjunktních souborů) a to kolekci individuí (ι), kolekci pravdivostních hodnot (ο), kolekci možných světů (ω) a kolekci reálných čísel/časových okamžiků (τ). Nad těmito atomickými typy jsou kolekce (m-árních) funkcí definovaných na objektech, tedy typy molekulární, jakými jsou např. propozice, tj. funkce z možných světů a časů 25 do pravdivostních hodnot (vlastnosti jsou pak funkce z možných světů a časů do tříd objektů, vztahy do tříd n-tic objektů, atd.). 26 Přesnou definicí (nechť ξ, ξ i je jakýkoli typ): Typy řádu 1 (T 1 ) (t 1 i) Jakýkoli prvek B je typ řádu 1 nad B. 24 Dokonce i Church píše jen Může být pociťováno nebezpečí, že axióm reducibility obnoví sémantické antinomie, vzhledem k jejichž vyhnutí byla zamýšlena rozvětvená hierarchie typů. Ale toto se, přinejmenším žádným zjevným způsobem, neobjevilo být uskutečněno. ([Church 1976], s. 758). 25 Každá intenze je přesněji vzato funkcí z možných světů do chronologie ξ-objektů, ω (τξ). ((ξτ)ω) budeme zkráceně zapisovat ξ τω. 26 Mj. Russellova hierarchie typů byla limitovaně formulována pouze v termínech propozičních (výrokových) funkcí a predikátů (srov. [Russell 1908], s. 236, ). 27 Definice přejímáme (s výjimkou jednoduché a dvojité exekuce) z [Tichý 1988], kap

13 (t 1 ii) Jestliže 0<m a ξ, ξ 1,..., ξ m jsou typy řádu 1 nad B, pak soubor (ξξ 1... ξ m) všech m-árních totálních a parciálních zobrazení z ξ 1... ξ m do ξ je také typ řádu 1 nad B. (t 1 iii) Nic jiného není typ řádu 1 nad B, pokud to neplyne z (t 1 i) a (t 1 ii). Nyní si zde vložíme definici druhů konstrukcí (proměnné jsou chápány ryze objektuálně, nikoli jako písmena, konstantám odpovídají triviální procedury zvané trivializace, funkční aplikaci odpovídá tzv. kompozice, λ-abstrakci pak tzv. uzávěr): 1) Proměnná (x). Proměnné jsou (jednoduchými) konstrukcemi. Proměnná x k konstruuje k-tou entitu z dané sekvence entit námi zvolené hierarchie typů obdržených (objektuálně chápanou) valuací. Pro jakoukoli valuaci v proměnná v-konstruuje to, co jí valuace v přiřazuje. 2) Trivializace ( 0 X). Nechť X je jakákoli entita. Trivializace X je přímou, bezprostřední, konstrukcí entity X samotné. Konstrukce 0 X konstruuje X bez jakékoli změny. To, co je v-konstruováno pomocí 0 X, nikdy nezávisí na v, takže 0 X je vlastní pro jakoukoli v. 3) Kompozice ([X X 1...X m ]). Nechť X je konstrukce, která v-konstruuje funkci F určitého typu a nechť X 1,..., X m jsou konstrukce, které v-konstruují entity E 1,..., E m určitých typů. Jestliže funkce F je definována na argumentu z entit E 1,..., E m, pak konstrukce [X X 1...X m ], tedy kompozice konstrukcí X, X 1,..., X m (v tomto pořadí), v-konstruuje hodnotu funkce (zobrazení) F na tomto argumentu. Jestliže X ne(v-)konstruuje zobrazení, které je definováno na určitém argumentu, tj. entitách v-konstruovaných pomocí X 1,..., X m, pak je kompozice [X X 1...X m ] v-nevlastní. 28 4) Uzávěr ([λx 1...x m Y]). Nechť x 1,..., x m jsou libovolné navzájem odlišné proměnné v-konstruující entity typů ξ 1,..., ξ m (v tomto pořadí) a Y konstrukce v-konstruující prvky typu ξ. Pro jakoukoli valuaci v, uzávěr [λx 1...x m Y] v-konstruuje funkci F takovou, že hodnotou F na m-tici prvků E 1,..., E m příslušných typů ξ 1,..., ξ m je ten prvek typu ξ, který je v(e 1 /x 1,..., E n /x n )-konstruován konstrukcí Y, kde valuace v(e 1 /x 1,..., E m /x m ) je jako v s výjimkou přiřazení E 1 proměnné x 1,..., E m proměnné x m. Je-li Y v(e 1 /x 1,..., E n /x m )-nevlastní, je funkce F na tomto argumentu nedefinována. Pro jakoukoli v je konstrukce [λx 1...x m Y] v-vlastní. 29 Pro jakýkoli typ nad B chceme, aby proměnné probíhající objekty tohoto typu a konstrukce obsahující takovéto proměnné také patřily do typů nad B. Avšak proměnná nebo konstrukce obsahující proměnnou nesmí patřit do svého vlastního průběhu, musíme ji proto zahrnout do typu vyššího řádu. Jinými slovy, TIL akceptuje VCP. 30 Výše jsme definovali typy prvního řádu, tj. typy, které zahrnují entity neobsahující žádné proměnné nebo konstrukce. Abychom mohli definovat typy vyššího řádu (které zahrnují objekty obsahující proměnné probíhající nad typy prvního řádu), definujeme konstrukce obsahující takovéto proměnné, tj. konstrukce 28 Konstrukce tvaru [[... w] t] budeme zkráceně zapisovat [...] wt. 29 Konstrukce tvaru [λw [λt [...]]] budeme zkráceně zapisovat λwλt [...]. 30 Rozvětvení hierarchie typů se u Tichého objevuje ovšem až v [Tichý 1988]. Tichého přímé přihlášení se k VCP srov. tamtéž, s

14 řádu n; konstrukce nepatří do týchž typů jako entity, které konstruují, tedy každá konstrukce je (anebo patří do) určitého typu, ale konstruuje entitu nižšího typu. Poté definujeme typy řádu n+1, čímž zajistíme zdvihání řádů : 2. Konstrukce řádu n (C n ) (c n i) Nechť ξ je jakýkoliv typ řádu n nad B. Jakákoli proměnná probíhající ξ je konstrukce řádu n nad B. Jestliže A je z (tj. náleží do) typu ξ, pak 0 A je konstrukce řádu n nad B. (c n ii) Jestliže 0<m a X, X 1,..., X m jsou konstrukce řádu n, pak [X X 1...X m ] je konstrukce řádu n nad B. Jestliže 0<m, ξ je typ řádu n nad B, a Y, stejně tak jako odlišné proměnné x 1,..., x m jsou konstrukce řádu n nad B, pak [λx 1...x m Y] je konstrukce řádu n nad B. (c n iii) Nic jiného není konstrukce řádu n nad B, pokud to neplyne z (c n i) a (c n ii). 3. Typy řádu n+1 (T n+1 ) Nechť * n je souborem všech konstrukcí řádu n nad B. Soubor typů řádu n+1 nad B je definován následovně: (t n+1 i) * n a každý typ řádu n je typ řádu n+1 nad B. (t n+1 ii) Jestliže 0<m a ξ, ξ 1,..., ξ m jsou typy řádu n+1 nad B, pak soubor (ξξ 1... ξ m ) všech m- árních totálních a parciálních zobrazení z ξ 1... ξ m do ξ je také typ řádu n+1 nad B. (t n+1 iii) Nic jiného není typ řádu n+1 nad B, pokud to neplyne z (t n+1 i) a (t n+1 ii). Pro praktickou ukázku si uveďme konstrukci o tom, že každá prvořádová konstrukce je pravdivá nebo nepravdivá: 31 λwλt [ 0 *1 [λc *1 [ 0 [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ] [ 0 [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ]] ]]] Typy konstruovaných objektů jsou následující: negace,, je známou unární pravdivostní funkcí, patří do typu (οο), disjunkce ( ; podobně, ) je známou binární pravdivostní funkcí, patří do typu (οοο), možné světy konstruované proměnnou w patří do typu ω, časové okamžiky konstruované proměnnou t patří do typu τ. Proměnné w a t konstruují objekty typu řádu 1; nicméně samy jsou, coby konstrukce řádu 1, prvky typů řádu n+1 (kde n=1, čili řádu 2; srov. (t n+1 i)). Konstrukce 0 Pravdivý 1 jejíž η-rozvinutou formou je λwλt [λc *1 [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ]] konstruuje vlastnost prvořádových konstrukcí, tj. objekt náležící do typu (ο* 1 ) τω. 32 Proměnná c *1, jak je indikováno v horním indexu, konstruuje prvořádové konstrukce patřící 31 Konstrukce je β-redukována, přesněji jde o následek I. pravidla λ-konverze na konstrukci λwλt [ 0 *1 [λc *1 [ 0 [λwλt [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ]] wt [λwλt [ 0 [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ]]] wt ]]]; této praxe se budeme držet i níže. 32 Protože všechny typy řádu 1, jako např. ο, jsou zároveň typu řádu 2 (jen zdánlivě jde o replikaci, jsou prostě prvky více kolekcí-řádů), aby byly konstruovatelné druhořádovými konstrukcemi, zde náš typ (ο* 1 ) τω náleží do typu řádu 2 (srov. (t n+1 i)); analogicky níže. Čtenář však nemusí k této složitosti blíže přihlížet, vystačí s odlišováním řádů konstrukcí (a pak řádů kódů). 14

15 do typu řádu 1 (tj. * 1 ), zde užitý obecný kvantifikátor je funkcí spadající do typu (ο(ο* 1 )). 33 Konstrukce-proměnná c *1 patří do typu řádu 2 (přesně do typu * 2 ) a celá naše konstrukce tedy zjevně patří do typu řádu 2 (přesně do typu * 2 ). 34 Neboli: celá tato konstrukce sama není hodnotou proměnné c *1, nekvantifikuje přes sebe sama, je totiž druhořádová přes takovouto konstrukci kvantifikují až třetiřádové konstrukce jako třeba λwλt [ 0 *2 [λc *2 [ 0 [ 0 Pravdivý 2 wt c *2 ] [ 0 [ 0 Pravdivý 2 wt c *2 ]] ]]]. Dodejme, že predikát být pravdivý 1 je uvažován jako totalizující konstrukcím, které nejsou v nějakém světě a čase pravdivé (jako např. konstrukce nějakého individua) přiřadí pravdivostní hodnotu nepravda. Pro upřesnění, o který druh pravdivosti konstrukcí přesně jde, si uveďme následující objektuální definici, podle níž pravdivost (prvořádových) konstrukcí obnáší totéž jako existuje propozice taková, že je tím, co konstruuje (prvořádová) konstrukce a její hodnotou (ve w, t) je pravda. Ve výsledné konstrukci užijeme konstrukci funkce Γ (π*i), náležící do typu (ο τω * i ), která přiřazuje konstrukcím určitého řádu i propozice, které tyto konstrukce konstruují (ovšem konstruují-li je; pokud nikoli, funkce Γ (π*i) je pro takovýto argument-konstrukci nedefinována). Výraz pravda označuje pravdivostní hodnota pravda (která patří do typu ο) = ξ je známým typem binární relace obecně typu (οξξ), zde porovnává pravdivostní hodnoty, proměnná p konstruuje propozice (π je zkratkou typu propozic, ο τω ); je znak pro to, že konstrukce na obou stranách konstruují pro jakoukoli valuaci týž objekt, ovšem pokud konstrukce nalevo nekonstruuje nic, tak konstrukce napravo také nic nekonstruuje. Tedy: [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ] [ 0 π [λp [ 0 [ 0 = ο p [ 0 Γ (π*1) c *1 ]] [ 0 = ο p 0 wt Pravda] ]]] Obnovení paradoxu axiómem reducibility Onu zásadní kritiku Russellova řešení přináší Tichý v [Tichý 1988] na stranách , odkud adoptujeme následující pasáže. Tichý diskutuje větu, kterou pronáší Jiří IV. (my budeme mít Xenii) a vysvětluje, že v duchu vysvětlení Russellových strukturovaných propozic bychom ji měli parafrázovat jako: 35 L) Xenie netvrdí žádnou pravdivou (propoziční) konstrukci. 33 Podobně je tomu pro níže užívaný existenční kvantifikátor (v horním indexu uvádíme vždy typ objektů, kterých to má být podmnožina množin). 34 Mj. tato konstrukce konstruuje propozici, která je pravdivá ve všech možných světech a časech. 35 Upřesněme, že L) není deskripcí, ani čirou definiční zkratkou, ale zkráceným jménem Xenie netvrdí žádnou pravdivou propoziční konstrukci., tj. L) je zkrácením Xenie netvrdí žádnou pravdivou propoziční konstrukci. ; analogicky níže pro LL). Nechť však L*) je (pomocnou) definicí konstrukce, jejíž zápis je uváděn za L*) ; analogicky pro LL*). 15

16 tedy v převyprávění Neexistuje (propoziční) konstrukce, kterou Xenie tvrdí a která je pravdivá, přičemž analýzou-významem této věty je konstrukce ( tvrdit 1 označuje vztah individuí k prvořádovým konstrukcím, (ο ι * 1 ) τω -objekt), Xenie denotuje individuum): L*) λwλt [ 0 [ 0 *1 [λc *1 [ 0 [ 0 Tvrdit 1 wt 0 X c *1 ] [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ]] ]]]] Nyní jestliže tvrzení L), jehož významem je L*), je jediné, které Xenie ve w, t tvrdí 1, pak je vztažena přímo k oné konstrukci L*). Třída konstrukcí, o níž se říká, že jsou pravdivé. atd., je třídou prvořádových konstrukcí (konstrukcí náležících do typu * 1 ). Ovšem sama konstrukce L*) je druhořádová, jde o konstrukci náležící do typu * 2. Zákonitě je tak třída prvořádových konstrukcí, k nimž by Xenie měla mít vztah tvrdit 1, prázdná, tudíž konstrukce L*) je beze všech pochyb jednoduše pravdivá (ve w, t), žádný paradox zde nevzniká. 36 Danou skutečnost jistě věděl i Russell, který vlastně toto předložil coby své řešení paradoxu lháře (srov. výše). Tichý však pokračuje: Tento argument je bez jakékoli úhony, ale postrádá filosofickou zajímavost, kterou mu Russell připisoval. To je proto, že paradox může být snadno znovu ustaven a učiněn imunním vůči Russellem navrženému rozřešení. ([Tichý 1988], s. 226) Právě k tomuto Tichý využil axióm reducibility, který ukazuje, že ke každému atributu vyššího řádu (atributem je a nadále bude míněna konstrukce vlastnosti) existuje ekvivalentní atribut nižšího řádu, který konstruuje zcela tutéž vlastnost (vlastnost coby intenzi). Jde o to, že onen atribut vyššího řádu, je-li vztahován k individuím, určuje jistou vlastnost-intenzi, tedy funkci z možných světů do tříd individuí, a právě takovouto intenzi může určovat jiný atribut, klidně odlišného řádu. Proto můžeme nadefinovat třeba atribut být pravdomluvec (prvního řádu) ( truth-teller property, u Tichého značená J 1 ) coby ekvivalent atributu být takový, že existuje prvořádová konstrukce, kterou tvrdí a která je pravdivá ( je znak kongruence, znak pro to, že konstrukce na obou stranách konstruují pro jakoukoli valuaci týž objekt; pokud konstrukce nalevo nekonstruuje nic, tak konstrukce napravo také nic nekonstruuje; proměnná x konstruuje individua): [ 0 Pravdomluvec 1 wt x] [ 0 *1 [λc *1 [ 0 [ 0 Tvrdit 1 wt x c *1 ] [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ] ]]] Pokud bychom konstrukce obou vlastností uzavřeli příslušnými λ uzávěry (v zápise λwλt [λx a příslušné závorky napravo), šlo by o dvě různé konstrukce téže jediné vlastnosti individuí, tedy dvě konstrukce, které jsou ekvivalentní, ačkoli první z nich je konstrukce prvořádová, kdežto druhá druhořádová. 37 Nyní je možné, že Xenie říká prostě a jen: 36 Je zjevné, že větu L) nemá cenu chápat tak, že označuje konstrukci, která kvantifikuje přes druhořádové konstrukce, protože tato konstrukce by byla třetiřádová. 37 Prvořádové atributy obsahují proměnné probíhající např. individua, ovšem druhořádové atributy typicky obsahují proměnné probíhající prvořádové objekty. 16

17 LL) Xenie není pravdomluvec (prvního řádu). větu vyjadřující, zdá se, konstrukci: LL*) λwλt [ 0 [ 0 Pravdomluvec 1 wt 0 X]] Nechám čtenáře samostatně si domyslet (vynechávám zde Teorém 42.1), že aby tato konstrukce byla pravdivá, tak Xenie by musela pomocí ní tvrdit něco, co je nepravdivé (a naopak), takže paradox je beznadějně obnoven. Aby to bylo o něco zřejmější: dle naší definice atributu být pravdomluvec 1 je LL*) konstrukcí ekvivalentní s L*), takže L*) by měla být pravdivá právě tehdy, když Xenie nemá vztah k žádné prvořádové konstrukci, nicméně právě LL*) takovou prvořádovou konstrukcí, k níž má Xenie vztah tvrdit 1, je, což ovšem vytváří onu smyčku paradoxu. Tichý proto konstatuje: Lhářský paradox se tudíž ukazuje coby mající málo co společného s Principem bludného kruhu. V souladu s Principem reducibility k jakékoli konstrukci obsahující kvantifikaci přes konstrukce existuje materiálně ekvivalentní [tj. kongruentní; J.R.] konstrukce neobsahující žádnou takovou kvantifikaci. Následně může být paradox znovu ustaven bez porušení pravidel typově-teoretické správnosti. ([Tichý 1988], s. 257) Xenie říká, že tvrdí něco nepravdivého; Teorém 43.1 V této sekci se zatím budeme zabývat pouze tím, co věty označují-denotují, tedy propozicemi, nikoli ještě tím, co vyjadřují co je jejich významem propozičními konstrukcemi (také nás ještě nebude zajímat vztaženost věty k určitému jazyku). Tichý Teorémem 43.1 v Příloze na s. 292 v [Tichý 1988] dokazuje, že LL), je-li vyřčena Xenií, nedenotuje tu propozici, kterou se zdá denotovat. 38 Znění Teorému 43.1 je v podstatě následující: 39 předpokládejme (jedinou) prvořádovou konstrukci C potencionálně ekvivalentní druhořádové konstrukci L*) takovou, že, po dosazení namísto c *1, konstrukce λwλt [ 0 Tvrdit 1 wt 0 X c *1 ] konstruuje ve w, t pravdu. Pak ale C nemůže konstruovat tutéž propozici jako: L*) λwλt [ 0 [ 0 *1 [λc *1 [ 0 [ 0 Tvrdit 1 wt 0 X c *1 ] [ 0 Pravdivý 1 wt c *1 ] ]]]] Důkaz ukazuje, že za daných okolností, kdy se Xenie pokouší tvrdit LL*), konstrukce LL*) (potažmo C) konstruují zásadně odlišné propozice, neboť v dané w a t konstruují odlišnou pravdivostní hodnotu. Protože: 38 Tento teorém a jeho důkaz následuje Teorém 42.1, který je zcela analogický, ovšem namísto postoje k prvořádovým konstrukcím a pravdivosti coby vlastnosti prvořádových konstrukcí zahrnuje postoj k propozicím a pravdivost coby vlastnost propozic (formálně λwλt [ 0 [ 0 π [λp [ 0 [ 0 Tvrdit π wt 0 X p] [ 0 Pravdivý π wt p] ]]]]). 39 Tichý užil jiné znaky pro reprezentaci anglických výrazů, různé zkratkové notační konvence apod. 17

18 a) konstruuje-li C pravdivou propozici (ve w a t), pak konjunkce je pravdivá (Xenie tvrdí C a C je pravdivá) a ona třída konstrukcí tedy obsahuje C; jenže takto L*) konstruuje nepravdivou propozici, že ona třída konstrukcí je prázdná; b) konstruuje-li C nepravdivou propozici, pak konjunkce je nepravdivá a ona třída konstrukcí tedy neobsahuje nic; jenže takto L*) konstruuje pravdivou propozici, že ta třída je prázdná. 40 Viděli jsme, že platí ekvivalence oněch atributů a proto by měla platit (a skutečně platí) i ekvivalence L*) a LL*). Teorém 43.1 však ukazuje na to, že je nemožné, aby věta LL) vyjadřovala konstrukci LL*). Kdyby totiž Xeniiným vyslovením věty LL) došlo k vyjádření LL*), tvrdilo by se něco, co je pravdivé právě tehdy, když je nepravdivé; ta propoziční konstrukce však nemůže být pravdivá právě tehdy, když je nepravdivá. To, co smysluplně pro Xenii nelze, je tvrdit-vyjádřit LL*) jistě, že Xenie může vyslovit větu LL), jenže nemůže pomocí ní vyjádřit LL*); kdyby k tomu došlo, nastalo by něco, co nastat nemůže. Ještě jinak: ačkoli zcela bezproblémově platí ekvivalence oněch atributů (konstrukcí), nelze, aby ten atribut nižšího řádu byl vyjádřitelný v jazyce téhož řádu; Teorém 43.1 ukazuje, že kdyby tomu tak bylo, choval by se zcela jiným způsobem, než jaký je dán onou definiční ekvivalencí. Chybějící premisa; výraz pravdivý Ki je významuprázdný v kódu K i Nepochybně existuje jedna důležitá podmínka vzniku paradoxu: to, co Xenie říká, musí být významuplné, vyslovuje-li např. blabla, není splněna sémantická presupozice, že nějaká konstrukce je významem (type-ů) jí vylouděných zvuků např. v českém jazyce. Tím se dostáváme k závažné otázce, jíž je, že významuplnost výrazu je podmíněna tím, k jakému jazyku ten výraz patří pronesu-li Ich bin ein Lügner, jistě netvrdím něco v češtině významuplného, proto vůbec nevzniká paradox. Jak píše Tichý: to, co je tvrzeno při dané příležitosti, závisí nejen na tom, jaké zvuky (či jaké nápisy) [obecně jakékoli výrazy coby type-y; J.R.] jsou produkovány, ale také na tom, kterým jazykem je to řečeno. Přese vše, co teorém 43.1 říká, Jiří IV. smí klidně vyslovit větu (2) [ Jiří IV. není pravdomluvec., J.R.], pokud takto netvrdí konstrukci (1) [tj. λwλt [ 0 [ 0 Pravdomluvec 1 wt 0 J]]; J.R.]; například ji může vyslovit, pokud při takové příležitosti nemluví anglicky. ([Tichý 1988], s. 227) Pokud komunikuji prostřednictvím češtiny (jakéhokoli řádu), tak věta Ich bin ein Lügner je v té češtině jednoduše významuprázdná a proto žádný paradox nevzniká nepoukazuji nijak na onu problémovou konstrukci: 40 Důležitá obecná poznámka: To, co platí pro kód K 1, lze vždy bezproblémově zobecnit pro K i jakéhokoli i. 18