Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Transkript

1 Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

2 Logika není o řešení logických paradoxů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

3 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

4 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Začala jakou součást filosofie ve 4. století př.n.l. Cíl: rozeznat správné argumenty ve filosofické diskusi Všichni lidé jsou smrtelní, Sokrates je člověk, tudíž je smrtelný Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

5 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Od 19. století se část logiky vyvinula v matematickou logiku Cíl: vyřešit krizi v základech matematiky PA Pr(0 = 1) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

6 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Dnes se logika používá zejména v informatice Cíl: popsat a provádět usuzování v různých formalizovaných kontextech [α](x = 4) [α; (x := 2x)](x = 8) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

7 Logika (dle Wikipedie) Logika má více významů v češtině se běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je také formální věda, zkoumající onen způsob vyvozování závěrů. Logika není empirickou vědou o myšlení; studuje objektivní podmínky správnosti, jinak řečeno je to disciplína studující relaci vyplývání. Jako mnoho dalších věd vznikla logika coby součást filosofie a částečně takové zařazení stále platí. Logika se výrazně rozvinula i v matematice, a tak je řazena i do matematiky. Logika má prakticky důležité aplikace v informatice. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

8 Matematická logika (dle Wikipedie) Matematická logika se zabývá zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz axiomatizace model bezespornost úplnost rozhodnutelnost Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

9 Logika jako hygiena matematiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

10 Tři úrovně logiky I Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizovné scénáře II Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénařích. matematika a (teoretická) informatika Cíl: vytvořit různé logiké systémy pro popis a provádění usuzování ve formalizovaných scénářích III Formální abstraktní jazyky a matematická logika. Cíl: vytvořit matematický základ pro předchozí urovně matematika Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

11 Co je správné usuzování? Úroveň I Příklad 1.1 Pokud by Bůh existoval, tak by byl dobrý a všemocný. Pokud by Bůh byl dobrý a všemocný, tak by lidé netrpěli. Ale, lidé trpí. Tudíž Bůh neexistuje. Je to správný úsudek? A pokud ano, tak v jakém smyslu? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

12 Co je správné usuzování? Úroveň I Úroveň II (Naivní) formalizace Atomické část: Formalizovaný úsudek: p: Bůh existuje q: Bůh je dobrý r: Bůh je všemocný s: Lidé trpí p q r q r s s p Je to správný úsudek? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

13 Co je správný úsudek? Úroveň I Úroveň II (Naivní) formalizace Pozorování: každý úsudek má předpoklady a závěr Předpoklad: ty mohou být v daném kontextu bud pravdivé nebo nepravdivé Definice: úsudek je správný iff není žádný kontex, v němž by byly všechny jeho předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý Pozorování: předpoklady i závěr mají vnitřní strukturu Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

14 Klasická výroková logika: Syntax Úroveň III Atomické formule (výrokové atomy): spočetná nekonečná množina Var primitivních výroků (t.j. výroků bez další vnitřní struktury) Formule: nejmenší množina For obsahující Var, tž. pro každé ϕ, ψ For platí: ϕ ψ For a ϕ For Obvyklé symboly pro: atomické formule: p, q, r, s, t,... formule: ϕ, ψ, χ,... množiny formulí: Γ,, Ψ, Φ,... Příklady neformulí: p pp q p p p q p Příklady formulí: p q p p p ( q p) (p q) q Negace má větší prioritu než implikace! Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

15 Klasická výroková logika: Syntax Primitivní spojky: (binární) implikace a (unární) negace Definované (binární) spojky: disjunkce, konjunkce, ekvivalence : ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ = (ϕ ψ) ϕ ψ = (ϕ ψ) (ψ ϕ) Priorita spojek: Příklady formulí (bez konvence o prioritě spojek): p (p q) p (( q) p) Příklady formulí (s konvencí o prioritě spojek): p p q p q p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

16 Klasická výroková logika: Sémantika Základní princip: v daném kontextu má každá formule právě jednu z pravdivostních hodnot: pravda, nepravda Definice 1.2 Ohodnocení je každé zobrazení e: For {0, 1} tž.: { 1 pokud e(ϕ) e(ψ) e( ϕ) = 1 e(ϕ) e(ϕ ψ) = 0 pokud e(ϕ) > e(ψ) Tvrzení 1.3 e(ϕ ψ) = min{e(ϕ), e(ψ)} { 1 pokud e(ϕ) = e(ψ) e(ϕ ψ) = 0 pokud e(ϕ) e(ψ) e(ϕ ψ) = max{e(ϕ), e(ψ)} Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

17 Správné usuzování (v klasické výrokové logice) Definice 1.4 Formule ϕ je logickým důsledkem množiny formulí Γ, Γ = ϕ, pokud pro každé ohodnocení e platí: pokud e(γ) = 1 pro každou fli γ Γ, pak e(ϕ) = 1. Správný úsudek = logický důsledek Úsudek je správný iff není žádný kontex, v němž by byly všechny jeho předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

18 Příklady (ne)správných úsudků Příklad 1.5 Modus ponens: p q p q Toto je správný úsudek (pokud e(p q) = e(p) = 1, pak e(q) = 1). Příklad 1.6 Abdukce: p q q p Toto není správný úsudek (vezměme: e(p) = 0 a e(q) = 1). Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

19 Ještě jeden příklad Title text: Note that this implies you should NOT honk solely because I stopped for a pedestrian and you re behind me Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

20 Ještě jeden příklad Note that this implies you should NOT honk solely because I stopped for a pedestrian and you re behind me Příklad 1.7 h l l ϕ h Toto je správný úsudek bez ohledu na ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

21 Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad 1.8 p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE, opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Jistěže ne! Jen víme, že tento závěr je pravdivý pokud (!) jsou pravdivé předpoklady tohoto úsudku. A navíc! Víme to pouze pokud souhlasíme se správností formalizaci původního úsudku a věříme, že (klasicka výroková) logika je správná. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

22 Strukturalita logického usuzování Pokud by Bůh existoval, Pokud by Bůh byl dobrý a všemocný, Ale, lidé trpí. tak by byl dobrý a všemocný tak by lidé netrpěli. Tudíž Bůh neexistuje. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

23 Strukturalita logického usuzování Pokud by politici byli ideální, tak by byli schopní a čestní. Pokud by politici byli schopní a čestní, tak by neexistovala korupce. Ale, korupce existuje. Tudíž politici nejsou idealní. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

24 Strukturalita logického usuzování Pokud by X byla množina racionálních čísel, tak by byla nekonečná a hustá. Pokud by X byla nekonečná a hustá, tak existuje prosté f : N X Ale žádné takové f neexistuje. Tudíž X není množina racionálních čísel. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

25 Připomeňme si sémantickou definici správného úsudku Ohodnocení je každé zobrazení e: For {0, 1} tž.: { 1 pokud e(ϕ) e(ψ) e( ϕ) = 1 e(ϕ) e(ϕ ψ) = 0 pokud e(ϕ) > e(ψ) Formule ϕ je logickým důsledkem množiny formulí Γ, Γ = ϕ, pokud pro každé ohodnocení e platí: pokud e(γ) = 1 pro každou fli γ Γ, pak e(ϕ) = 1. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

26 Ted to zkusme syntakticky Axiomy (pro každou fli ϕ, ψ, χ For): A1 ϕ (ψ ϕ) A2 (χ (ϕ ψ)) ((χ ϕ) (χ ψ)) A3 ( ϕ ψ) (ψ ϕ) Dedukční pravidlo Modus Ponens (pro každou ϕ, ψ For): ϕ Důkaz formule ϕ z množiny předpokladů Γ je konečná posloupnost formulí ψ 1,..., ψ n tž. ψ n = ϕ a pro každé i n, bud ψ i je instance axiomu nebo prvek Γ, nebo existují j, k < i tž. ψ k = ψ j ψ i. Píšeme Γ ϕ pokud existuje důkaz ϕ z množiny předpokladů Γ. ϕ ψ ψ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22

27 Věta u úplnosti Věta 1.9 (Věta u úplnosti) Pro každou množinu formulí Γ {ϕ} platí: Γ ϕ iff Γ = ϕ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická logika / 22