Linearní algebra příklady

Transkript

1 Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového násobení zprava nebo zleva následující maticové operace: a K prvnímu sloupci přičteme dvojnásobek druhého sloupce b Od třetího řádku odečteme první řádek a vynásobení zprava maticí E + E b vynásobení zleva maticí E E. Ukažte, že pro čtvercové matice A a B stejného řádu platí a (A B T = B T A T. b (A B = B A.. Pomocí matice lineárního zobrazení popište prostorovou rotaci kolem osy y o úhel π v kladném smyslu. 6 ( / x + 0, 5 z, y, 0, 5 x + / z 4. Určete obraz čtverce < 0, > < 0, > v lineárním zobrazení daným standardní maticí ( A = 0 Čtyřúhelník s vrcholy (, 0, (6,, (8,, (0, Určete zobrazení, které bodu (x, y, z přiřadí nejbližší bod na přímce y = x, z = 0. ( x 5 + y 5, x 5 + 4y 5, 0

2 6. Popište v R zobrazení, které vznikne postupnou aplikací rotace kolem osy x o úhel α a kolmé projekce do roviny xy a to v obou možných pořadích. a (x, cos α y sin α z, 0 b (x, cos α y, sin α y 7. Zobrazení T : R R má standardní matici ( A = Určete matici tohoto zobrazení vůči bázi a {(, 0, (, } b {(,, (, } ( a b ( Pro lineární zobrazení T : C C platí platí T (, = (, ; T (, = (,. Nalezněte standardní matici zobrazení T. ( 9. Lineární zobrazení T : C C má vůči bázi {(,, (, } matici ( Určete standarní matici. ( 4

3 0. Určete vlastní čísla a vektory matice ( [( + 5, ] 5... [( 5, ]. Určete vlastní čísla a vektory matice ( 0 j j 0... [(j, ]... [( j, ]. Určete vlastní čísla a vektory matice [(, 0,, (0,, 0]; 5... [(,, ].. Určete spektrum matice σ(a = {, + j, j } 4. A má vlastní číslo λ. Ukažte, že λ σ(a. 5. A je regulární matice. Ukažte, že λ σ(a právě tehdy když λ σ(a.

4 6. Určete matici x, která má vlastní číslo s vlastním vektorem (, a vlastní číslo s vlastním vektorem (, 0. (Např. ( / 5/ 0 7. a Ukažte, že pro čtvercovou matici A platí det(a = det(a b Ukažte, že λ σ(a právě tehdy když λ σ(a. 8. Řešte soustavu deferenčních rovnic. x n+ = 0, x n +, y n y n+ = 0, x n +, 5y n v = (, 6 + 6; v = (, 6 6; Počáteční stav c v + c v přejde na (zookrouhleno c, 9 n v + c 0, 4 n v. 9. Z nádoby č. se v daném kroku přeleje % obsahu do nádoby č. a současně se % obsahu nádoby č. přeleje do nádoby č.. Počáteční stav je x 0 objemu v první a y 0 objemu ve druhé nádobě. Určete vývoj po n krocích. (x n, y n = c (, + c (0, 97 n (, (c, c - souřadnice počátečního vektoru vůči bázi {(,, (, }. Rovnovážný stav: poměr :. 0. Čtvercová matice A se nazývá řádkově stochastická, jestliže její členy jsou všechny v intervalu < 0, > a jestliže všechny její řádkové součty jsou rovny jedné. Ukažte, že každá řádkově stochastická matice má jedničku ve svém spektru. 4

5 . Čtvercová matice A se nazývá sloupcově stochastická, jestliže její členy jsou všechny v intervalu < 0, > a jestliže všechny její sloupcové součty jsou rovny jedné. Ukažte, že každá sloupcově stochastická matice má jedničku ve svém spektru.. Ukažte, že podobnost je relace ekvivalence na množině M n n.. A, B M n n jsou regulární matice. Ukažte, že A je podobná B právě tehdy když A je podobná B. 4. Ukažte, že pro A, B M n n platí σ(ab = σ(ba. 5. Ukažte, že všechny diagonální matice mající na diagonále stejnou množinu prvků jsou si podobné. ( 5 6. A =. Pomocí diagonalizace spočtěte A 4 5 k. ( k+ + k k+ + k k+ + k k+ + k 7. Ukažte, že pro čtvercovou matici A M n n platí < Ax, y >=< x, A y > pro všechna x, y C n. 8. Řešte soustavu diferenčních rovnic x n+ = 5 4 x n + 4 y n y n+ = 4 x n y n x 0 = a, y 0 = b. 5

6 ( ( x n = a + k + b + k k+ k+ ( y n = a ( + k + b + k k+ k+ 9. Diagonalizujte matici 5 A = A = PDP, kde 0 P = D = diag(,, Jsou diagonalizovatelné následující matice 4 4 a 5 b 0 6? a ano b ne. Je dána matice j 0 A = j 0 0 Nalezněte spektrální rozklad matice A (tj. vyjádření matice jako podobné diagonální prostřednictvím ortonormální matice a vyjádřete lineární zobrazení odpovídající matici A jako kombinaci jednodimenzionálních projekcí. 6

7 A = PDP, kde a P = j j 6 j D = diag(,,. Zobrazení T je dáno T = P v P v + P v, kde v = ( j, 0,, v = ( j 6, 6, 6, v = ( j,,.. Je dána matice A = Nalezněte spektrální rozklad matice A (tj. vyjádření matice jako podobné diagonální prostřednictvím ortonormální matice a vyjádřete lineární zobrazení odpovídající matici A jako kombinaci jednodimenzionálních projekcí. A = PDP, kde a P = D = diag(,, 0. Zobrazení T je dáno T = P v + P v + 0 P v, kde v = 5 (,, 0, v = 45 (, 4, 5, v = (,,. 7

8 . Nechť A je pozitivně definitní matice. Ukažte, že A je regulární. Ukažte, že existuje pozitivně definitní matice B tak, že A = B. 4. Nalezněte ortonormální bázi složenou z vlastních vektorů matice ( { (,, (, } 5. Užitím principu maxima nalezněte maximum funkce f(x, y = x + xy + y na jednotkové kružnici x + y =. Maximum 4 pro bod (,. 6. Užitím principu maxima nalezněte maximum funkce q(x, y, z = x + y + 4z + 4xy + xz + yz na jednotkové sféře. Maximum 6 v bodě (,,. 7. Rozhodněte zda je křivka o rovnici x + xy + y = elipsa a určete její osy a polosy. osa [ (, ] s polosou /; osa [ (, ] s poloosou. 8. Vláda plánuje opravit x kilometrů silnic a zlepšit y hektarů lesa. Restrikce rozpočtu má tvar nerovnosti 9x + 4y 6. Stanovte x a y tak, aby byla za dané podmínky maximální funkce užitecnosti u(x, y = xy (utility function. x = ; y =. 8