1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

Transkript

1 . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x, y) = xy+x y, c) f(u, v) = u v, d) f(k, l) = k sin(k l), e) f(x, y) = x sin 3 ( y), f) f(a, b) = ln a + b. 3. Spočtěte všechny první parciální derivace funkce f v bodě X 0 : a) f(x, y) = ln(x + y 3 ) y, X 0 = [, 0, b) f(x, y) = x 3y, X 0 = [e,. 4. Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě X 0 : a) f = ln(x + x + y ), X 0 = [, 0, [, 4,0 b) f = arctg x + y xy, X 0 = [0,, [ 0,, 0 c) f = e xey, X 0 = [0, 0. [, 0, 5. Spočtěte gradient funkce f(x, y) = ln x y v bodě X 0 = [5,. [gradf(x) = f = 6. Za pomoci vhodného softwaru nakreslete vektorové pole gradientu funkce f. a) f(x, y) = x + y, b) f(x, y) = x y, c) f(x, y) = sin x sin y. Poznámka: Lze použít například WolframAlpha.com a zadat pro danou funkci příkaz plot grad. Řešení příkladu 6 je na obrázcích, a 3. ( x, y ) Obrázek : Graf funkce f(x, y) = x + y (vlevo) a její vektorové pole gradientu (vpravo) 7. Spočtěte velikost gradientu funkce f(x, y) = cos(xy) + x + y v bodě X 0 = [ π 3, Spočtěte intenzitu elektrického pole v bodě X 0 = [,, je-li jeho potenciál ϕ(x, y) =. x +y Platí: E(x, y) = ϕ(x, y).

2 Obrázek : Graf funkce f(x, y) = x y (vlevo) a její vektorové pole gradientu (vpravo) Obrázek 3: Graf funkce f(x, y) = sin x sin y (vlevo) a její vektorové pole gradientu (vpravo) 9. Jsou dány funkce f(x, y) = x + y a g(x, y) = x 3y + 3xy. Nalezněte úhel mezi gradienty funkcí f a g v bodě X 0 = [3, 4. [ cos α = 0.99, α = Nalezněte bod, ve kterém gradient funkce z = ln(x + 6 y ) je roven vektoru (, 9 ). [ [ 3, 3 4, [ 7 3, 3 4. Nalezněte body, ve kterých se velikost gradientu funkce z = (x + y ) 3 rovná. [Body ležící na kružnici x + y = 3. Určete úhel mezi gradienty funkce f(x, y) = ln y x v bodech A = [, 3 4, B = [,. [ cos ϕ = 0 3. Určete úhel mezi gradienty funkce f(x, y, z) = x + y + z v bodech A = [a, 0, 0, B = [0, a, 0. [ π

3 4. Spočtěte směrovou derivaci funkce f v bodě X 0 ve směru s. a) f(x, y) = x y +, X 0 = [, 3, s svírá s kladným směrem osy x úhel 50 : α) podle definice, β) vzorcem f s (X 0) = gradf(x 0 ) s. b) f(x, y) = ln(e x + e y ), X 0 = [0, 0, s = (, ). 5. Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = e x +y v bodě X 0 = [, ve směru vektoru s = (, ). [ 6e 6. Je dána funkce f(x, y) = x + y a bod X 0 = [, 3. Určete: a) Směr, ve kterém funkce f v bodě X 0 nejvíce roste. b) Určete úhel, pod kterým funkce f v bodě X 0 nejvíce roste. 7. Určete vektor s v jehož směru funkce f(x, y) = x + y v bodě X 0 = [, 3 stoupá pod úhlem 45. [Dvě řešení, s. = (0, 90; 0, 43) a s. = ( 0, 75; 0, 66) 8. Je dána funkce f(x, y) = x 3 x y + xy + a bod M = [, a N = [4, 6. Určete: a) Směrovou derivaci funkce f ve směru vektoru MN. [ 5 b) Směrovou derivaci funkce f ve směru jednotkového vektoru, který jde z bodu M do N. [ 9. Určete derivaci funkce f(x, y) = 3x 4 + xy + y 3 v bodě M = [, ve směru jednotkového vektoru, který svírá s kladným směrem osy x úhel 35. [ 0. Určete derivaci funkce f(x, y) = ln(x + y) v bodě [, ležícím na parabole y = 4x ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. [ 3. Určete derivaci funkce f(x, y) = arctg(xy) v bodě [, ve směru jednotkového vektoru osy prvního kvadrantu. [. Určete derivaci funkce f(x, y) = ln(e x + e y ) v počátku souřadnicového systému ve směru jednotkového vektoru, který svírá s kladným směrem osy x úhel α. (cos α + sin α) 3. Určete derivaci funkce f(x, y) = arctg x y v bodě [, 3 ležícím na kružnici x + y x = 0 ve směru jednotkového vektoru tečny ke kružnici v tomto bodě. [ 4. a) Zapište první parciální derivace funkce z = F (x, y), která je zadána jako složená funkce z funkcí u a v jako z = F (x, y) = f ( u(x, y), v(x, y) ) Řešení: F x = z x = f u u x + f v v x ; F y =... b) Vypočtěte takto parciální derivace funkce f(x, y) = cos (xy) + 3e x+y, u které si zvolme například označení f(x, y) = (u(x, y)) + 3v(x, y). c) Derivujte jako složenou funkci funkci f(x, y) = (ln x) sin x. d) Zamyslete se nad výpočtem f(x,y) x funkce f(x, y) = u + 3v, kde u(x, y) = cos(xy) a funkce v je dána implicitně rovnicí vx + ln v + y = Mějme funkci f : R R, která má v bodě X 0 = [x 0, y 0 spojité parciální derivace až do řádu 3. Zapište pomocí sumační symboliky i rozepsáním totální diferenciály.,. a 3. řádu (tj. df(x 0 ; h, k), d f(x 0 ; h, k) a d 3 f(x 0 ; h, k)) funkce f v bodě X 0 při prírůstku h = (h, k). 6. Určete totální diferenciál funkce f(x, y) = x y 7. Určete totální diferenciál funkce f v bodě X 0 : xy v bodě X 0 = [; při přírůstku h = (0, 03; 0, 0). [0, 0 a) f(x, y) = e x cos y, X 0 = [0; 0, [dx b) f(x, y) = x +y, X 0 = [ ;, [ [ 5 dx 4 5 dy c) f(x, y, z) = x yz, X 0 = [x; y; z, [x yz (yzdx + xz ln xdy + xy ln xdz) 3

4 8. Pomocí totálního diferenciálu vypočtěte přibližnou hodnotu a) 0, 97,05, b) sin 7 tg Určete totální diferenciál. řádu funkce f v bodě X 0 při přírůstku (h, k). a) f(x, y) = e xy, X 0 = [,, (h, k) = (0, ; 0, 3), b) f(x, y) = e x cos y. [0, Pomocí totálního diferenciálu určete, o kolik se změní délka diagonály a obsah obdélníka se stranami a = 6 m, b = 8 m, jestliže se kratší strana zvětší o mm a delší strana se zkrátí o 5 mm. [obsah se zmenší o, 4 dm, diagonála se zkrátí o,8 mm 3. Necht je středový úhel kruhové výseče α = 60 zvětšen o. O kolik je třeba zmenšit původní poloměr R = 0 cm této výseče, aby její plocha zůstala zachována? [zmenšit o 6 cm 3. Mějme komolý jehlan se čtvercovými základnami, které mají délky stran a = m, resp. b = m a výškou v = m. O kolik musíme změnit výšku v, dojde-li ke zvětšení strany a o 7 cm a zmenšení strany b o 7 cm za podmínky, že objem zůstane stejný. [zmenšit o cm 33. Mějme funkci f : R n R, která má v bodě X 0 a v jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m včetně. Zapište pomocí sumační symboliky a totálních diferenciálů Taylorův polynom stupně m, tj. T m (X). 34. Určete Taylorův polynom T m (X) stupně m funkce f v bodě X 0 : a) f(x, y) = cos x cos y +, m =, X 0 = [0, 0, b) f(x, y) = sin x sin y, m =, X 0 = [ π, 3 π, c) f(x, y) = x y, m = 3, X 0 = [,, [xy y + d) f(x, y) = cos x cos y, m =, X 0 = [0, 0, [ + x +y e) f(x, y) = x y, m = 3, X 0 = [,, f) f(x, y) = e x+y, m = 3, X 0 = [,, g) f(x, y) = x y, m =, X 0 = [,, h) f(x, y) = ln x + y, m =, X 0 = [,. Grafické řešení příkladu 34 a) je na obrázku 4. Obrázek je vygenerovaný v softwaru GeoGebra, viz Obrázek 4: Graf funkce f(x, y) = cos x cos y + (modře) a příslušný Taylorův polynom T (x, y) v bodě X 0 = [0, 0 (zeleně) 4

5 , Pomocí Taylorova polynomu. řádu vypočtěte přibližně hodnotu arctg 0, Je dána funkce f(x, y) = 5x + 4 sin y a bod X 0 = [, π 3. a) Určete Taylorův polynom. stupně funkce f v bodě X 0. b) Pomocí určeného Taylorova polynomu. stupně určete přibližnou hodnotu 5 (, 03) +4 sin ( π 3 + 0, ). c) Odhadněte chybu, které se dopustíte, když funkci f nahradíte Taylorovým polynomem. stupně. Řešení příkladu 36: a) T (x, y) = (x ) + (y π 3 ) + 0(x ) + 0 3(y π 3 ). b) 5 (, 03) + sin ( π 3 + 0, ). = T (, 0; π 3 ) 4, 58. c) Pro odhad druhého Taylorova zbytku R (x, y) použijeme Lagrangeův tvar R m (x, y) = (m+) dm+ f(x 0 + ϑ(x X 0); h, k), kde ϑ (0, ), který odhadneme například jako R (x, y) 3 c ( h + k )3, kde konstanta c je suprémem s absolutních hodnot třetích derivací funkce f v bodě X 0 + ϑ(x X 0 ). V našem případě h = x x 0 =, 03 = 0, 03, k = y y 0 = π 3 + 0, π 3 = 0, a c = 4 (tj. cos y jsme odhadli celkem hrubě hodnotou, tedy 4 cos y 4). Potom R (x, y) 3 4 ( 0, , )3 =, Poznámka: Výpočtem na kalkulačce zjistíme, že 5 (, 03) + 4 sin ( π 3 + 0, ) = 4, 50. Provedeme-li kontrolu našeho výpočtu, tak vidíme, že skutečně platí 4, 58 4, 50, , 4, 50 +, Poznámka: Odhad m-tého Taylorova zbytku by se dal udělat i přesněji (například místo součtu h + k uvažovat h + k, ale my jsme pro odhad použili raději jemnější podmínku, kterou jsme pak schopní použít i v příkladu 37, kde by h + k vycházelo rovno nule). 37. Je dána funkce f(x, y) = x + ln y a bod X 0 = [,. a) Určete Taylorův polynom. stupně funkce f v bodě X 0. b) Pomocí určeného Taylorova polynomu. stupně určete přibližnou hodnotu (,0) + ln, 0. c) Odhadněte chybu, které se dopustíte, když funkci f nahradíte Taylorovým polynomem. stupně. Řešení příkladu 37: a) T (x, y) = (x + ) + (y + ) 8 + (x + ) + 0 (y ). b) (,0) + ln, 0 =. T (, 0;, 0) = 0, c) Použijeme-li pro odhad druhého Taylorova zbytku R (x, y) nerovnost z řešení příkladu 36c), potom R (x, y) 3 ( 0, 0 + 0, 0 )3 =, Určete rovnici tečné roviny a parametrické rovnice normály ke grafu funkce f v bodě X 0 : a) f(x, y) = x + y, X 0 = [,,?, [τ : 4x + y z 3 = 0, n :... b) f(x, y) = x 4 + x y xy + x, X 0 = [,?,, [τ : 5x + y z 3 = 0, n :... c) f(x, y) = x + y xy, X 0 = [3, 4,?, [τ : 7x + y + 5z 60 = 0, n : K elipsoidu x + y + z = určete tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou 4x + y + z =. [4x + y + z ± 9 = 0 5