Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Transkript

1 Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63

2 / 63

3 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná n-tice čísel x i C, i = 1,..., n. Píšeme x = x 1. x n C n. 2 / 63

4 Aritmetický vektor Definition 2 Definujeme sčítání vektorů po složkách tj. x 1 + y 1 x + y =. x n + y n a násobení vektoru číslem po složkách tj. λx 1 λ x =. λx n 3 / 63

5 Aritmetický vektor Definition 3 Definujeme skalární součin dvou vektorů ( x, y ) = n x i y i i=1 4 / 63

6 Axiomy skalárního součinu Pro takto definovaný skalární součin platí následující: ( x, x ) 0 a ( x, x ) = 0 x = 0 ( x, y ) = ( y, x ) ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) ( λ x, y ) = λ ( x, y ), kde x, y, z C n a λ C. Jde o čtyři axiomy, který definují obecně skalární součin. 5 / 63

7 Schwarzova nerovnost Pro vektory x a y platí tzv. Schwarzova nerovnost ( x, y ) 2 ( x, x ) ( y, y ). 6 / 63

8 Matice Definition 4 Matice s rozměry n m (tj. n řádků a m sloupců) je dána čísly a ij C n,m, i ˆn, j ˆm. Matici lze také chápat jako m vektorů z nichž každý má n řádků (složek). Píšeme A = a a 1m..... a n1... a nm C n,m 7 / 63

9 Matice Definition 5 Definujeme sčítání po složkách, tj. pro A, B C n,m je A + B = a 11 + b a 1m + b 1m..... a n1 + b n1... a nm + b nm dále definujeme násobení číslem, tj. pro A C n,m, λ C je λa λa 1m λa = λa n1... λa nm, 8 / 63

10 Matice Definition 6 Definujeme násobení a vektoru, tj. pro A C n,m a x C m je m i=1 a 1ix i A x =. C n m i=1 a nix i a násobení dvou, tj. pro A C n,k, B C k,m je AB = k i=1 a 1kb k1.... k i=1 a nkb k1... k i=1 a 1kb km. k i=1 a nkb km C n,m 9 / 63

11 Matice Při násobení platí asociace, tj. (AB) C = A (BC), ale obecně neplatí komutativní zákon, tj. AB BA. 10 / 63

12 Determinant Definition 7 Pro čtvercové řádu n tj. A C n,n definujeme det A = π S n signπa π(1)1 a π(n)n, kde S n je množina všech permutací na ˆn a signπ = ( 1) #TRANSPOZICπ. Definition 8 Bud A C n,m. Determinant řádu q vybraný z A je determinant libovolné čtvercové řádu q získané z A odstraněním libovolných n q řádků a m q sloupců. 11 / 63

13 Transponovaná a komplexně sdružená Definition 9 Transponovaná k i A C n,m je A T pro níž platí ( A T ) ij = a ji, pro i ˆn a i ˆm. Definition 10 Komplexně sdružená k i A C n,m je A pro níž platí ( A ) ij = a ij, pro i ˆn a i ˆm. 12 / 63

14 Čtvercové Definition 11 Hermitovsky sdružená (konjugovaná) k i A C n,m je A pro níž platí pro i ˆn a i ˆm. A = A T, 13 / 63

15 Hodnost Definition 12 Hodnost (rank) A značíme h (A) nebo rank (A) a je to maximální počet nenulových determinantů různého řádu vybraných z A. Definition 13 Obraz (range) A C n,m je prostor definovaný jako range (A) { y C n y = A x pro x C m}. 14 / 63

16 Jádro Definition 14 Jádro (kernel) A C n,m je prostor definovaný jako { ker (A) x C m A x = } 0 Platí následující vztahy: Pro A R n,m je rank (A) = rank ( A T ). Pro A C n,m je rank (A) = rank (A ). Pro A C n,m je rank (A) + dim (ker (A)) = n. 15 / 63

17 Čtvercové Definition 15 Čtvercová A C n,n je regulární právě když je její hodnost rovna n. Jinak je tato singulární. Platí, že det A 0 A je regulární. 16 / 63

18 Čtvercové Definition 16 Matice A C n,n je silně regulární, právě když platí a 11 0, ( ) a11 a det 12 0, a 21 a 22 a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 0, a 31 a 32 a 33 det A / 63

19 Čtvercové Definition 17 Čtvercová A je diagonální právě když a ij = 0 pro i j a i, j ˆn. Definition 18 Jednotková I je diagonální taková, že a ii = 1 pro i ˆn. Pro regulární i A existuje A 1 taková, že AA 1 = A 1 A = I 18 / 63

20 Čtvercové Platí následující vztahy: (AB) T = B T A T AB = A B (AB) = (AB) T = B T A T = B A 19 / 63

21 Čtvercové Definition 19 Pro čtvercové A C n,n definujeme: A je normální AA = A A A je samosdružená A = A samosdružená A je symetrická A R n,n samosdružená A je hermitovská A C n,n A je izometrická A = A 1 izometrická A je ortogonální A R n,n izometrická A je unitární A C n,n. 20 / 63

22 Izometrické I je ortogonální i unitární je-li A R n,n, pak platí: jsou-li A a B ortogonální AB je ortogonální je-li A ortogonální A 1 = A T je-li A ortogonální det A = ±1 je-li A C n,n, pak platí: jsou-li A a B unitární AB je unitární je-li A unitární A 1 = A je-li A unitární det A = 1 21 / 63

23 Blokové Definition 20 Bloková je taková, že její jednotlivé prvky tvoří opět. Přitom musí platit, že prvky blokové ve stejném sloupci mají stejný počet sloupců a prvky blokové ve stejném řádku mají stejný počet řádků. A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 = ( A11 A 12 A 21 A 22 ) 22 / 63

24 ( B11 B Necht B = 12 B 21 B 22 ). Blokové Pokud mají příslušné bloky A a B stejné rozměry, pak lze tyto sečíst po blocích, tj. ( ) A11 + B A + B = 11 A 12 + B 12. A 21 + B 21 A 22 + B 22 Je-li λ R, pak ( λa11 λa λa = 12 λa 21 λa 22 ). 23 / 63

25 Blokové Chceme-li spočítat součin C = AB, pak platí ( ) ( ) ( C11 C C = 12 A11 A = 12 B11 B 12 C 21 C 22 A 21 A 22 B 21 B 22 kde C 11 = A 11 B 11 + A 12 B 21, C 12 = A 11 B 12 + A 12 B 22, C 21 = A 21 B 11 + A 22 B 21, C 22 = A 21 B 12 + A 22 B 22, a požadujeme, aby A 11 měla stejný počet sloupců jako má B 11 řádků. To samé požadujeme pro bloky A 12 a B 21 a podobně pro další bloky. ), 24 / 63

26 Definition 21 Řídká je taková, která má většinu svých prvků nulových. Řídké Zdroj: Matrix market 25 / 63

27 Řídké Remark 22 U řídkých se snažíme ukládat do paměti jen nenulové prvky (CSR formát) a stejně tak provádět veškeré výpočty pouze s nenulovými prvky. Tím lze mnoho algoritmů v numerické mate výrazně zefektivnit. 26 / 63

28 Definition 23 Čtvercová A C n,n je dolní trojúhelníková, právě když a ij = 0 pro i, j ˆn a j > i, tj. a A = a 21 a a n1 a n2... a nn Čtvercová A C n,n je horní trojúhelníková, právě když a ij = 0 pro i, j ˆn a j < i, tj. a 11 a a 1n 0 a a 2n A = a nn 27 / 63

29 Theorem 24 Součin dvou dolních (resp. horních) trojúhelníkových je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Přitom na diagonále má výsledná součin odpovídajících diagonálních prvků původních. Důkaz. Lze ukázat přímo ze sum pro součin dvou. 28 / 63

30 Theorem 25 Inverzní k horní (resp. dolní) trojúhelníkové i je opět horní (resp. dolní) trojúhelníková a její diagonální prvky jsou převrácené hodnoty odpovídajících diagonálních prvků původní. Důkaz. Indukcí po řádcích A / 63

31 Rozklad na dolní a horní trojúhelníkovou Theorem 26 Každou silně regulární (tedy čtvercovou) i A lze jedinečným způsobem vyjádřit ve tvaru součinu kde A = LDR, L je dolní (levá) trojúhelníková s jedničkami na diagonále R je horní (pravá) trojúhelníková s jedničkami na diagonále D je diagonální 30 / 63

32 Definition 27 Matice A se nazývá podobná i B, pokud existuje regulární T taková, že A = T 1 BT. Mluvíme pak o podobnostní transformaci í T. Remark 28 Tato vlastnost je symetrická. Tj. je-li A podobná B, pak je B podobná A A = T 1 BT TA = BT TAT 1 = B. Matice podobnostní je T / 63

33 Remark 29 V rozkladu na dolní a horní trojúhelníkovou i A = LDR nejde o žádnou podobnostní transformaci. To je její nevýhoda. Remark 30 Podobné vlastně vyjadřují stejný operátor v různých bázích. T je vlastně í přechodu X P Y. Budou nás zajímat rozklady založené na podobnostní transformaci. Jejich výhodou je, že dokáží odhalit spektrum. 32 / 63

34 Vlastní čísla Definition 31 Vlastním číslem A (eigenvalue) nazýváme takové číslo λ, pro které existuje nenulový vektor x takový, že A x = λ x. Vektor x se nazývá vlastním vektorem A (eigenvector) k číslu λ. Množina všech vlastních čísel A se nazývá spektrum A a značíme je σ (A). Číslo ρ (A) = max λ σ(a) λ, nazýváme spektrálním poloměrem A. 33 / 63

35 Remark 32 Vlastní čísla A x = λ x A x λ x = 0 (A λi) = 0 det (A λi) = 0. Definition 33 Rovnici det (A λi) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí A a polynom det (A λi) charakteristickým polynomem A. Definition 34 Násobnost vlastního čísla λ jakožto kořene charakteristického polynomu se nazývá algebraická násobnost a značí se ν a (λ). Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů k vlastnímu číslu λ je jeho geometrická násobnost a značí se ν g (λ). 34 / 63

36 Definition 35 Householderovou reflekční í (elementární unitární í) nazveme každou i H w tvaru H w = I 2 w w, kde w je Householderův vektor, pro který platí w 2 = ( w, w ) = 1. Theorem 36 Householderova reflekční je hermitovská a unitární. 35 / 63

37 Theorem 37 Necht U je unitární. Pak platí U x 2 = x 2, pro libovolný vektor x. 36 / 63

38 Theorem 38 Necht H w je Householderova reflekční a v C n je libovolný vektor. Pak vektor H w v je zrcadlový obraz vektoru v podle nadroviny L { x C n w x = ( x, w ) = 0 } v tom smyslu, že splňuje následující podmínky: H w v 2 = v 2 H w v + v L ( H w v v ) L. 37 / 63

39 Theorem 39 Je-li λ vlastní číslo A, pak existuje H w, že H w AH w e (1) = λ e (1). 38 / 63

40 Theorem 40 Pro libovolnou i A C n,n existuje unitární U taková, že A = U RU, kde R je horní trojúhelníková. Remark 41 Jelikož podobné mají stejná vlastní čísla (viz. dříve), vlastní čísla A jsou na diagonále R. 39 / 63

41 Theorem 42 Normální trojúhelníková je diagonální. Theorem 43 Pro libovolnou normální i A existuje unitární U taková, že A = U RU, kde R je diagonální. Je-li A hermitovská, pak R má na diagonále reálná čísla. 40 / 63

42 Theorem 44 Necht A C n,n a λ 1,..., λ p jsou všechna její navzájem různá vlastní čísla. Pak existuje regulární T taková, že J 1 1 J J 1 s 1 J 2 1 A = T 1... J 2 s 2... J p 1... J p kde diagonální bloky jsou tvaru λ k J k 1 λ k i =......, 1 λ k pro k ˆp, i ŝ k. Přitom až na pořadí diagonálních bloků je tato dána jednoznačně. sp T, 41 / 63

43 Remark 45 Z víme, že A je diagonalizovatelná, právě když kořeny charakteristického polynomu leží v daném tělese (R nebo C) a ν g (λ) = ν a (λ) pro každé λ σ (A). Obecně je ale ν g (λ) ν a (λ). Pokud platí, že ν g (λ) < ν a (λ) pro nějaké λ σ (A), pak i nelze diagonalizovat, ale lze ji převést na Jordanův tvar s jedničkami pod diagonálou. 42 / 63

44 Vlastní čísla Theorem 46 Podobné A a B mají stejná vlastní čísla a k pevně zvolenému vlastnímu číslu λ přísluší stejný počet lineárně nezávislých vlastních vektorů jak u A tak u B. Důkaz. Z Jordanovy věty. 43 / 63

45 Definition 47 Čtvercová A je pozitivně, právě když pro každý vektor x 0 platí, že x A x je kladné (> 0) reálné číslo. Značíme také A > 0. Je-li pro čtvercovou i B A B > 0, pak píšeme A > B. Theorem 48 Všechna vlastní čísla pozitivně A jsou kladná. Je-li A hermitovská s kladnými vlastními čísly, pak je pozitivně. 44 / 63

46 Pojem limity a konvergence v algebře Definition 49 ( ) Necht je dána vektorů x (k) = x (k) 1,..., x (k) T n pro { k = 1, 2, Říkáme, že vektorů x (k)} k=1 konverguje k vektoru x = (x 1,..., x n ) T, právě když pro každé i ˆn Používáme značení nebo lim x (k) k i = x i. x (k) x, lim x (k) = x. k 45 / 63

47 Pojem limity a konvergence v algebře Definition 50 Analogicky předchozí definici říkáme, že A (k) = a (k) a (k) 1m..... a (k) n1... a (k) nm C n,m, pro k = 1, 2, 3,... konverguje k i A, právě když pro každý prvek a ij pro i ˆn a j ˆm platí lim k a (k) ij = a ij. 46 / 63

48 Remark 51 Dokazovat konvergenci po prvcích by bylo velmi nešikovné. K vyšetřování konvergence použijeme normu. Definition 52 Norma na množině vektorů z C n je taková funkce, která každému vektoru x C n přiřazuje reálné číslo x, a která splňuje následující podmínky: x 0 a x = 0 x = 0, λ x = λ x pro všechna λ C a všechna x C n, x + y x + y pro všechna x, y C n. 47 / 63

49 Remark 53 Snadno vidíme, že platí x y = 0 x y = 0 x = y. Tato vlastnost normy se často používá k důkazu, že dva vektory se rovnají. 48 / 63

50 Příklady norem: maximová norma - x = max i ˆn x i součtová norma - x 1 = n i=1 x i euklidovská norma - x ( n 2 = i=1 x i 2) 1 2 Remark 54 Lze ukázat, že platí lim p x ( n ) 1 p = lim x i p p p i=1 Dokažte, že uvedené normy splňují definici. = x. 49 / 63

51 Theorem 55 Pro libovolné dvě normy α a β na množině vektorů z C n existují kladné konstanty γ 1 a γ 2 splňující pro libovolný vektor x. Bez důkazu. γ 1 x α x β γ 2 x α, 50 / 63

52 Theorem 56 Necht { x (k)} je vektorů. Potom k=1 x (k) x x (k) x 0, v libovolné normě. Důkaz. Pokud x (k) x, pak x (k) x 0 a existuje γ > 0 tak, že x (k) x γ x (k) x pro libovolnou normu. Opačný směr se dokáže podobně. 51 / 63

53 Definition 57 Norma na množině čtvercových řádu n je funkce, která každé i A C n,n přiřazuje reálné číslo A splňující: A 0 a A = 0 A = θ, λa = λ A, A + B A + B, AB A B, pro všechna A, B C n,n a λ C. 52 / 63

54 Remark 58 Na ovou normu se lze dívat jako na vektorovou normu aplikovanou na vektory, které mají n 2 složek. Tato norma navíc splňuje čtvrtý bod definice. Proto i tato norma splňuje větu o konvergenci vektorů v normě. Tudíž i konvergenci lze vyšetřovat pomocí norem. 53 / 63

55 Příkladem ové normy je Schurova norma: n A S = a ij 2. i,j=1 Dokažte, že tato norma splňuje všechny čtyři body definice. 54 / 63

56 Definition 59 Maticová norma se nazývá souhlasnou s danou vektorovou normou, platí-li pro libovolnou i A C n,n a libovolný vektor x C n A x A x. Remark 60 Schurova ová norma je souhlasná s euklidovskou normou. Důkaz. Dokažte. 55 / 63

57 Definition 61 Maticová norma indukovaná vektorovou normou je norma daná vztahem A = max A x, x =1 pro A C n,n. dokažte, že takto definovaná ová norma splňuje definici normy maximum existuje vždy, nebot jde o supremum spojité funkce na kompaktní množině ne pro každou ovou normu existuje vektorová norma, která ji indukuje 56 / 63

58 Theorem 62 Při značení A = max x =1 A x, A 1 = max x 1 =1 A x 1, A 2 = max x 2 =1 A x 2, pro každou i A C n,n platí následující vztahy: A = max n i ˆn j=1 aij, A 1 = max n j ˆn i=1 a ij, A 2 = ρ (A A). 57 / 63

59 Definition 63 Bud A hermitovská a PD. Podle Schurovy věty je A = U DU, kde D je diagonální s kladnými prvky. Pro libovolné p R definujeme A p = U D p U. 58 / 63

60 Definition 64 Bud A hermitovská pozitivně. Pak energetickou vektorovou a ovou normu definujeme jako x A := A 1 2 x, 2 B A := A 1 2 BA / 63

61 Theorem 65 Necht A C n,n. Potom platí Konvergence geometrické i A k θ ρ (A) < 1. Theorem 66 Postačující podmínka pro to, aby A k θ pro A C n,n je, že existuje ová norma taková, že A < 1. Theorem 67 Absolutní hodnota libovolného vlastního čísla λ σ (A) je nejvýše rovna libovolné normě dané A C n,n. 60 / 63

62 Konvergence geometrické i Theorem 68 Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby řada I + A + A , konvergovala je, A k θ. Součtem této řady je pak (I A) / 63

63 Konvergence geometrické i Theorem 69 Je-li A < 1 pro A C n,n, pak (I A) 1 (I + A + A A k) A k+1 1 A. 62 / 63

64 silně regulární rozklad A = LDR Householderova generované ové normy konvergence geometrické i 63 / 63