Modelování vývoje výnosů zahraničního aktiva pro českého investora

Transkript

1 Modelování vývoje výnosů zahraničního aktiva pro českého investora Aleš Kresta 1 Abstrakt Příspěvek je zaměřen na modelování výnosů závisejících na vývoji dvou rizikových faktorů, konkrétně je v příspěvku modelováno pravděpodobnostní rozdělení výnosů indexu Nikkei 5 v české měně pro jeden den. Pro modelování marginálních rozdělení pravděpodobnosti je použit normální inversní Gaussův model, závislost mezi oběma rizikovými faktory je modelována eliptickými kopula funkcemi Gaussovou a studentovou kopula funkcí. V příspěvku je porovnávána vhodnost použití těchto dvou kopula funkcí, přičemž srovnávacím kritériem jsou základní charakteristiky pravděpodobnostního rozdělení a hodnoty Value at Risk na v praxi nejpoužívanějších hladinách spolehlivosti. Z výsledků vyplývá, že v tomto konkrétním případě je pro modelování závislostí vhodnější zvolit Gaussovu kopula funkci. Klíčová slova Kopula funkce, normální inversní Gaussův model, modelování výnosů, Value at Risk. 1. Úvod Investuje-li investor do zahraničního aktiva, je nutné při modelování vývoje výnosů tohoto aktiva zohlednit i výnosy zahraniční měny. Tímto vzniká potřeba modelovat vývoj dvou rizikových faktorů, které jsou mezi sebou do určité míry závislé. V případě modelování bez zohlednění této závislosti mezi jednotlivými rizikovými faktory může dojít k nadhodnocení (v případě záporné závislosti) nebo podhodnoceni rizika (v případě kladné závislosti). Z tohoto důvodu je potřeba s touto závislostí v modelu uvažovat. Elegantním řešením je použití kopula funkcí neboť umožňují uvažovaný model rozdělit na dvě části: (i) část zachycující závislost pomocí kopula funkce a (ii) pravděpodobnostní rozdělení jednotlivých rizikových faktorů - marginální rozdělení. Nejvíce využívané jsou eliptické kopula funkce, které vycházejí z příslušného sdruženého rozdělení pravděpodobnosti. Jedná se konkrétně o Gaussovu kopula funkci a studentovu kopula funkci. Zatímco Gaussova kopula funkce vychází ze sdruženého normálního rozdělení pravděpodobnosti a nelze s ní modelovat těžké konce, studentova kopula funkce těžké konce umožňuje zachytit a měla by proto být pro modelování finančních časových řad vhodnější. Cílem příspěvku je srovnat vhodnost použití eliptických kopula funkcí (Gaussovy a studentovy kopula funkce) při modelování výnosů indexu Nikkei 5 v české měně. Příspěvek je členěn následovně. V druhé kapitole je uveden popis teorie kopula funkcí, ve třetí kapitole je charakterizován normální inversní Gaussův model použitý pro modelování marginálních rozdělení a ve čtvrté kapitole je popsána metodologie Value at Risk. Použitá teoretická východiska jsou následně v páté kapitole aplikována při modelování výnosů indexu Nikkei 5 v české měně. 1 Ing. Aleš Kresta, katedra financí, Ekf VŠB-TU Ostrava, Sokolská tř. 33, Ostrava, ales.kresta@vsb.cz. Tento příspěvek vznikl v rámci projektu GAČR 40/08/137 a SGS VŠB-TUO SP/0104.

2 . Charakteristika kopula funkcí Kopula funkce byly poprvé představeny Sklarem [9], přehled teorie spolu s praktickou aplikací pak lze nalézt v [5; 6; 7]. Pro jednoduchost budeme dále uvažovat dvourozměrnou kopula funkci. Kopula funkce jsou v podstatě reálné funkce, které zachycují závislost jednotlivých 0,1, distribučních funkcí v [ ] přičemž musí platit: [ 0,1] [ 0,1] v R, C : (1) ( u, 0) = C( 0, v) = 0, C ( u, 1) u, C( 1, v) = v, ( u, v ) C( u, v1 ) C( u1, v ) + C( u1, v1 ) 0, u1 u, v1 v C () = (3) C. (4) Na kteroukoliv kopula funkci může být pohlíženo jako na vícerozměrnou distribuční funkci s marginálními distribučními funkcemi ve formě standardizovaného rovnoměrného rozdělení. Předpokládejme dvě potencionálně závislé náhodné proměnné a s marginálními distribučními funkcemi dle Sklarova teorému platí: F F a F a sdruženou distribuční funkcí ( x, y) C( F ( x) F ( y) ) F,. Potom, =,. (5) Pokud jsou marginální distribuční funkce F a F spojité, kopula funkce C je jedinečná. Sklarův teorém naznačuje také inversní vztah, C u, v = F F u F v. (6) ( ) ( ) ( ) ( ),, Z formulace (6) je patrné, že sdružená pravděpodobnost obsahuje dvě rozdílné informace: (i) marginální distribuční funkce náhodných proměnných, (ii) funkci závislosti těchto distribučních funkcí. Zatímco marginální distribuční funkce jsou dány pomocí F a F, kopula funkce popisuje pouze závislost těchto distribučních funkcí. Za předpokladu znalosti marginálních distribučních funkcí náhodných proměnných je pro potřeby modelování nezbytné zvolit vhodnou kopula funkci. S trochou zjednodušení lze rozlišit eliptické a Archimedovy kopula funkce. Hlavní rozdíl mezi těmito dvěma typy spočívá ve způsobu jejich konstrukce a odhadu. Zatímco pro Archimedovy kopula funkce je potřeba definovat generující funkci, pro eliptické kopula funkce je dostatečná znalost související sdružené distribuční funkce (např. Gaussova, Studentova, atd.). 1.1 Definice Gaussovy kopula funkce Gaussova kopula funkce patří mezi eliptické kopula funkce. Za předpokladu korelace mezi náhodnými proměnnými R může být definována následovně: Ga C u, v = Φ Φ u, Φ v, (7) R ( ) ( ) ( ) R ( ) kde Φ je inversní funkce k distribuční funkci normovaného normálního rozdělení Φ, Φ R značí dvou-rozměrnou sdruženou distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení při korelaci R. 1. Definice studentovy kopula funkce Studentova kopula funkce vychází ze studentova rozdělení, lze ji tedy definovat následovně: St CR, υ ( u, v) = tr, υ ( tυ ( u), tυ ( v) ), (8)

3 kde R opět značí korelaci mezi náhodnými proměnnými, funkci studentova rozdělení s υ stupni volnosti a t υ je inversní funkcí k distribuční t je dvou-rozměrnou sdruženou distribuční funkcí normovaného studentova rozdělení s korelací R a υ stupni volnosti. Pomocí parametru υ lze u studentovy kopula funkce ovlivnit konce rozdělení. Pro nižší hodnoty tohoto parametru je pravděpodobnost extrémního scénáře vyšší (lze tedy takto modelovat těžké konce), naopak čím je parametr υ vyšší tím více se studentova kopule blíží Gaussově kopuli. 1.3 Popis metod odhadu parametrů při modelování pomocí kopula funkcí Existují tři hlavní přístupy k odhadu parametrů při modelování pomocí kopula funkcí: EMLM (exact maximum likelihood method), IFM (inference function for margins) a CML (canonical maximum likelihood). Zatímco při použití EMLM jsou odhadovány všechny parametry najednou, což může být výpočetně velmi náročné (obzvláště při odhadu vysoce dimensionálních dat, nebo při použití složitějších marginálních funkcí), při IFM a CML jsou odhadnuty zvlášť parametry marginálních rozdělení a kopula funkce. Při IFM jsou odhadnuty nejprve parametry marginálních distribučních funkcí a na jejich základě pak parametry kopula funkce. U CML jsou parametry kopula funkce odhadnuty na základě empirických distribučních funkcí. Detaily těchto metod lze nalézt např. v [5]. V tomto příspěvku bude využito IFM přístupu. 3. Popis normálního inversního Gaussova modelu Normální inversní Gaussův model (NIG) byl ve finanční literatuře představen v []. Jedná se o model z rodiny Lévyho modelů, jejichž bližší charakteristiku lze nalézt například v [1; 3; 8]. Předpokládejme parametry α > 0, α < β < α and δ > 0, NIG ( α, β, δ ) rozdělení pravděpodobnosti, jímž se NIG model řídí, má charakteristickou funkci: ( ) = ( ) + φ NIG u, α, β, δ exp δ α β δ α β iu, (9) a související funkci hustoty pravděpodobnosti: αδ K1 ( ) ( ) ( α δ + x ) x,, β, δ = exp δ α β + βx f NIG α. (10) π δ + x Parametry rozdělení pravděpodobnosti tohoto modelu mohou být v podstatě odhadnuty dvěma metodami: (i) metodou maximální věrohodnosti a (ii) metodou momentů. Při odhadu metodou maximální věrohodnosti maximalizujeme sdruženou pravděpodobnost pozorovaných hodnot, při metodě momentů předpokládáme rovnost populačních a výběrových momentů (tzn. momenty námi pozorovaného výběru). Detaily těchto metod lze nalézt v [4]. V tomto příspěvku bude využito metody maximální věrohodnosti. 4. Charakteristika metodologie Value at Risk Value at Risk () je metoda hodnocení rizika, která se dnes používá hlavně v oblasti finančních institucí. v podstatě vyjadřuje maximální možnou ztrátu na určité hladině spolehlivosti α. Formálně lze tedy definovat následovně: Pr ( Π t+ t α, t ) = α, (5) kde Π vyjadřuje náhodnou veličinu zde konkrétně změnu ceny portfolia za čas t, α, t maximální ztrátu na dané hladině spolehlivosti α pro časový horizont t a Pr značí pravděpodobnost. Nejčastěji používané hladiny spolehlivosti (zakotvené v legislativou daných R, υ

4 metodologiích) jsou 15 %, 1 %, 0,5 % a 0,03 %. Rovněž časový horizont, pro který je hodnota počítána může být pro jednotlivé instituce různý pro banky dle metodologie Basel II je to 10 dní, pro pojišťovny dle metodologie Solvency II pak jeden rok. Obecně je však hodnota počítána spíše pro kratší časové intervaly. 5. Modelování vývoje indexu Nikkei 5 v české měně V aplikační části bude proveden odhad parametrů kopula funkcí pro index Nikkei 5 a měnový kurz JP/CZK pomocí metody IFM. Jako marginální distribuční rozdělení bude uvažováno normální inversní Gaussovo rozdělení. Pomocí takto odhadnutých modelů bude modelováno pravděpodobností rozdělení výnosů indexu v české měně. Pro odhad modelů byly použity denní výnosy za období až Základní charakteristiky časových řad použitých pro odhad parametrů a následné ověření kvality modelování jsou shrnuty v tabulce č. 1. Časová Směrodatná 0,03 Špičatost Šikmost řada odchylka 15 % 1 % 0,5 % % N5 (v 0,016 13,77-0,40 1,34 % 5,0 % 6,6 % 1,1 % JP) JP/CZK 0,010 13,83-0,313 0,7 %,7 % 3,1 % 10, % N5 (v 0,015 7,5807-0,485 1,3 % 3,38 % 3,87 % 8,33 % CZK) Tab.č.1: Charakteristiky použitých časových řad Pro všechny časové řady je střední hodnota blízká nule, a proto není v tabulce zachycena. Srovnáním směrodatné odchylky zjistíme, že více volatilním a tedy i více rizikovým faktorem je vývoj indexu Nikkei 5, jehož směrodatná odchylka je 0,016 % zatímco směrodatná odchylka měnového kurzu je pouze 0,010 %. Směrodatná odchylka výnosů indexu Nikkei 5 v českých korunách (0,015 %) je nižší než v japonských jenech (0,016), což je způsobeno zápornou korelací uvažovaných rizikových faktorů. Vysoká hodnota špičatosti a nenulová šikmost indikuje u obou rizikových faktorů vhodnost použití Lévyho modelu, který umožňuje modelovat i tyto vyšší momenty. Ze vstupních časových řad byly odhadnuty marginální distribuční funkce, které byly modelovány normálním inversním Gaussovým modelem. Tento model byl zvolen s ohledem na vyšší špičatost a nenulovou šikmost vstupních dat, a tedy nemožnost použití normálního rozdělení. Využitím marginálních distribučních funkcí byly dle (5) normalizovány pozorované hodnoty výnosů a tím byla získána struktura závislosti, která bude modelována pomocí kopula funkcí. Tato struktura je zachycena na obrázku č. 1.

5 Obr.č. 1: Normalizované hodnoty výnosů Z obr. č. 1 je zřejmá záporná korelace mezi oběma rizikovými faktory, neboť nejvíce pozorování leží poblíž úsečky [0;1] [1;0]. Rovněž lze vidět, že pouze velmi málo pozorování leží v levém dolním a pravém horním rohu. Lze tedy říci, že případy, kdy obě aktiva současně dosahovaly extrémního kladného výnosu (pravý horní roh) respektive záporného (levý dolní roh) jsou ojedinělé. Případy kdy jedno aktivum dosahovalo vysokého kladného a druhé vysokého záporného výnosu (levý horní a pravý dolní roh) jsou však poměrně časté. Z takto normalizovaných hodnot byly metodou maximální věrohodnosti odhadnuty parametry Gaussovy a studentovy kopula funkce. Pro Gaussovu kopula funkci je odhadnut parametr korelace -0,313 a pro studentovu kopula funkci parametr korelace -0,619 a stupně volnosti 3,8551. Funkce hustoty obou odhadnutých kopula funkcí zachycuje obrázek č.. Při porovnání obou grafů s pozorovanými hodnotami na obr. č. 1 lze vidět, že studentova kopula funkce hůře modeluje již zmiňovaný levý dolní a pravý horní roh, které jsou lépe modelovány Gaussovou kopula funkcí. Obr.č. : Funkce hustoty pravděpodobnosti Gaussovy (vlevo) a studentovy (vpravo) kopula funkce Posledním krokem je následná simulace výnosů dle obou uvažovaných modelů metodou Monte Carlo. Pro obě kopula funkce bylo simulováno scénářů, z nichž byla následně spočtena funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti, která je srovnána graficky na obr. č. 3. Srovnání základních charakteristik pravděpodobnostních rozdělení udává tab. č..

6 Obr.č. 3: Funkce hustoty pravděpodobnosti výnosů indexu Nikkei 5 v CZK Na obr. č. 3 lze vidět, že při nezohlednění vzájemné závislosti jsou konce pravděpodobnostního rozdělení těžší než empirické. Toto je způsobeno nezohledněním záporné korelace mezi jednotlivými faktory, kdy vysoký výnos (respektive ztráta) jednoho aktiva je kompenzován ztrátou (respektive výnosem) druhého aktiva. Pravděpodobnostní rozdělení modelována s pomocí kopula funkcí se již velmi blíží empirickému. Lze pozorovat, že rozdělení modelované studentovou kopula funkcí je špičatější než rozdělení modelované Gaussovou kopula funkcí. Toto je zapříčiněno relativně nízkým počtem stupňů volnosti. Model N5 (v CZK) Bez závislostí Gaussova kopule Studentova kopule Směrodatná odchylka Špičatost Šikmos t 15 % 1 % 0,5 % 0,03 % 0,015 7,580-0,485 1,3 % 4,39 % 5,73 % 10,4 % 0,019 7,143-0,34 1,57 % 5,31 % 6,43 % 11,51 % 0,016 8,43-0,343 1,34 % 4,61 % 5,71 % 11,00 % 0,016 10,411-0,14 1,30 % 4,79 % 6,01 % 11,14 % Tab.č.: Charakteristika výnosů indexu Nikkei 5 dle jednotlivých modelů ve srovnání s empirickými Srovnáním momentů rozdělení pravděpodobnosti a hodnot obou modelů s empirickými lze pozorovat, že Gaussova kopula funkce se empirickému rozdělení pravděpodobnosti blíží více. Studentova kopula funkce se liší hlavně ve špičatosti a šikmosti, ale i hodnoty na sledovaných hladinách pravděpodobnosti jsou více vzdáleny empirickým než u Gaussovy kopula funkce. Ale i přes to modeluje studentova kopula funkce vývoj indexu lépe, než pokud bychom závislosti nezohlednili. 6. Závěr V příspěvku byla diskutována a aplikována problematika kvantifikace rizika vycházejícího ze dvou vzájemně závislých rizikových faktorů. Teoreticky byly vysvětleny problematika modelování pomocí kopula funkcí, normální inversní Gaussův model použitý pro modelování marginálních distribučních funkcí a kvantifikace rizika pomocí metodologie. Tyto teoreticko-metodologické poznatky byly poté aplikovány při simulaci výnosů indexu Nikkei 5 v české měně.

7 Z výsledků prezentovaných v příspěvku vyplynuly následující závěry. Při nezohlednění závislostí je riziko v podobě hodnoty nadhodnoceno oproti empirickému rozdělení pravděpodobnosti. Toto je způsobeno negativní korelací rizikových faktorů. Srovnáním výsledků obou kopula funkcí se jako vhodnější jeví použití Gaussovy kopula funkce. Tato oproti studentově kopula funkci lépe modeluje jak šikmost a špičatost tak i riziko v podobě hodnoty na sledovaných hladinách pravděpodobnosti. Literatura [1] Applebaum, D.: Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press, Cambridge, 004. [] Barndorff-Nielsen, O. E. Normal inverse Gaussian distributions and the modeling of stock returns. Aarhus University, [3] Bertoin, J.: Lévy Processes. Cambridge University Press, Cambridge, [4] Green, H. W.: Econometric analysis. 6. Prentice Hall, Upper Saddle River, 008. [5] Cherubini, G.; Luciano, E.; Vecchiato, W.: Copula Methods in Finance. Wiley, 004. [6] Nelsen, R. B.: An Introduction to Copulas. Springer, 006. [7] Rank, J.: Copulas: From Theory to Application in Finance. Risk Books, 006. [8] Shoutents, W.: Lévy processes in Finance. Wiley, Chichester, 003. [9] Sklar, A.: Fonctions de repartition à n dimensions et leurs marges. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 8 (1959), Summary Modelling of foreign asset returns for a Czech investor This paper is focused on the modelling of returns which are dependent on the two risk factors, to be specific there are returns of the index Nikkei 5 denominated in the Czech currency modelled in the paper. Marginal distributions are modelled by normal inverse Gaussian model; the dependency between both risk factors is modelled by elliptic copula functions the Gaussian and the student copula function. In the paper, the comparison of a suitability of these two copula functions is made. The criteria of comparison are basic descriptive characteristics and Value at Risk at the commonly used probability levels. From the results it is apparent that in this particular case the Gaussian copula function is more suitable for dependency modelling.