ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN"

Transkript

1 ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b střední hodnota E( X ) rozptyl D( X ) a b ( b a) 1

2 Exponenciální rozdělení E(A, ) je vhodným modelem doby čekání do nastoupení určitého jevu, kde parametr A je počáteční doba, během níž tento jev nemůže nastat např. doba čekání zákazníka na obsluhu, pravděpodobná doba životnosti výrobku, doba mezi odjezdy apod. hustota pravděpodobnosti f( x) 1 0 x A e x A x A

3 distribuční funkce (udává pravděpodobnost, že jev nastane nejpozději v čase x) x A F( x) 1 e x A Střední hodnota E( X ) A Rozptyl DX ( )

4 Příklad : Průměrná životnost výrobku je 5 let. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný výrobek nepřežije 3 roky? A=0 E(X) = δ = 5 0,5 0, 0,15 0,1 0, P X F 3 1 e 0, ,1%

5 Normální rozdělení N(µ, ) Gaussovo - Laplaceovo rozdělení nejdůležitější rozdělení, je vhodným modelem všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobené velkým počtem nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů ze jím za určitých podmínek aproximovat některá jiná rozdělení (viz. centrální limitní věta) hustota pravděpodobnosti 1 ( x ) f ( x). e x střední hodnota E(X) = rozptyl D(X) =

6 hustota pravděpodobnosti N(µ, ) ,08 0,06 0,04 0, ,15 0,1 0,09 0,06 0,

7 NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) normovaná náhodná veličina X E( X ) X U DX ( ) hustota pravděpodobnosti 1 f ( u) ( u) e - u u střední hodnota E(U) = 0 rozptyl D(U) = 1 distribuční funkce t 1 F( u) ( u) e dt u

8 NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) 0,4 0,3 0, 0, V důsledku symetrie kolem nuly platí:! distribuční funkce u 1 p% kvantil up u1 p u!!! medián u05, 0

9 Příklad 1: Výška lidí v určitém souboru má normální rozdělení se střední hodnotou = 175 cm a směrodatnou odchylkou = 8 cm. 1.Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude vyšší než 185 cm?. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude mít výšku v rozmezí cm? 3. Jakou výšku překročí 10% lidí v souboru? N(175;64) ad 1/ 0,05 0,04 0,03 0,0 0, P X P( X 185 ) 1 F , 5 1 0, 894 0, , 6%

10 ad / P 170 X 180 P U 8 8 P 0,65 U 0,65 0,65 0,65 0, 65 [1 ( 0, 65) 0, 734 [1 0, 734] 0, 468 ad 3/ P( X xp) P u P x P x P u P x0,9 u0, ,8 185,5 cm

11 Důležité kvantily normovaného normálního rozdělení u u 1,645 u 1,645 0,05 0,95 1,96 u 1,96 0,05 0,975

12 PRAVIDLO 3 SIGMA Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s padne do centrálních pásů,,, 3 0,4 0,3 0, 0, P(µ - X µ + ) = 0,688 P(µ - X µ + ) = 0,9545 P(µ - 3 X µ + 3 ) = 0,9973

13 LOGARITMICKO-NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ LN, model asymetricky rozdělených náhodných veličin Jestliže má náhodná veličina Y ln Xnormální rozdělení s parametry,, pak náhodná veličina X má LN rozdělení s hustotou pravděpodobnosti 0,16 0,1 0,08 0, Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny X 1 f ( x). e x 1 E Y E ln X lg x D Y D ln X E X exp / D X exp exp 1

14 Další rozdělení důležitá v matematické statistice Rozdělení chí-kvadrát Rozdělení t Studentovo Rozdělení F - Fischerovo ( ) t( ) F( 1, )

15 LIMITNÍ VĚTY Tvrzení o vlastnostech pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího počtu náhodných pokusů. zákon velkých čísel centrální limitní věta CLV se zabývá normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení

16 Zákon velkých čísel (ZVČ) Zvětšujeme-li počet pokusů, lze za jistých podmínek docílit téměř jistoty, že se bude pozorovaná empirická charakteristika jen libovolně málo lišit od charakteristiky teoretické. Centrální limitní věta (CLV) CLV se zabývá normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení

17 Moivre - Laplaceova věta X1, X,... X n je posloupnost nezávislých náhodných veličin, které mají alternativní rozdělení A(π). Pak posloupnost náhodných veličin n X n i 1 n i 1 konverguje pro n k náhodné veličině s rozdělením N(0,1). podmínka aproximace n (1- ) 9

18 Praktický význam M-L věty : Pro dostatečně velké n lze binomické rozdělení Bi(n,π) se střední hodnotou E(X) = n a rozptylem D(X) = n (1- ) aproximovat pomocí normálního rozdělení N n, n 1

19 Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek bude vyžadovat opravu během záruky je 0,. Jaká je pravděpodobnost, že z 800 prodaných kusů bude během záruky třeba opravit více než 170 kusů = 0,, n = 800 X...Bi (800, 0,) E(X) = n = 160 D(X) = n (1- ) = 18 P(X >170) = 1 - P(X 170) = 1 P U = 1 - P(U 0,8339) = 1-0,81 = 0,188

20 Lindebergova - Lévyho věta Náhodná veličina, která vznikne jako součet (nebo průměr) n vzájemně nezávislých n.v., které mají stejné rozdělení se stejnými středními hodnotami E(X i ) = a konečnými rozptyly D(X i ), má pro dosti velké n přibližně normální rozdělení A) pro X = X i i, N ne X nd X i B) pro X n X i 1 i, N E X D X n i

21 Příklad.Počet hodin, který posluchači věnují během týdne studiu určitého předmětu je náhodná veličina se střední hodnotou E(X) = = hod. a směrodatnou odchylkou = 1 hod. Jaká je pravděpodobnost, že 100 náhodně vybraných posluchačů věnuje předmětu v průměru 1,75 až,5 hod. týdně E(X i ) = µ =, = 1, n = 100 E( X ) D( X ) P(1,75 X,5) = P 1,75, 5 U = P(-,5 U,5 ) = (u =,5) - (u = -,5) = = (,5) - [1 - (,5)] = 0,498758

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Intervalové Odhady Parametrů

Intervalové Odhady Parametrů Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Základní typy pravděpodobnostních rozdělení

Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Petra Schreiberová, Jiří Krček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 208 OBSAH Diskrétní rozdělení

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 7 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme spojité modely Tyhle termíny by měly být známé: Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota Mccalova transformace Normální rozdělení Přehled

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Pravděpodobnost, náhodná proměnná. Statistické metody a zpracování dat. III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení. Pravděpodobnost, náhodná proměnná

Pravděpodobnost, náhodná proměnná. Statistické metody a zpracování dat. III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení. Pravděpodobnost, náhodná proměnná Pravděpodobnost, náhodná proměnná Statistické metody a zpracování dat III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení Petr Dobrovolný Popisné a průzkumové metody umožňují přehledné shrnutí informací, které

Více

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech. Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

12. prosince n pro n = n = 30 = S X

12. prosince n pro n = n = 30 = S X 11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli

Více

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost (8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 1: Opakování ze statistiky LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Z čeho studovat 1) Z KNIHY Krkošková,

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Pravdepodobnosť. Rozdelenia pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť. Rozdelenia pravdepodobnosti Pravdepodobnosť Rozdelenia pravdepodobnosti Pravdepodobnosť Teória pravdepodobnosti je matematickým základom pre odvodenie štatistických metód. Základné pojmy náhoda náhodný jav náhodná premenná pravdepodobnosť

Více

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více