9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
|
|
- Tomáš Růžička
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x). Pokud má vstupní hodnota náhodný charakter, je náhodnou veličinou, bude mít i výstupní hodnota náhodný charakter. Základní úlohou je tedy určit ze známého rozdělení vstupní veličiny rozdělení veličiny výstupní. Definujme nejprve co je transformovaná náhodná veličina Definice: Transformovaná náhodná veličina. Je-li X náhodná veličina a h je reálná funkce taková, že její definiční obor obsahuje obor hodnot náhodné veličiny X, pak náhodnou veličinu Y, která je definována vztahem ( ) X = x Y = h(x) nazýváme transformovanou náhodnou veličinou a označujeme ji symbolem ( ) Y = h(x). Poznámka: Při definici obecných a centrálních momentů jsme vlastně použili trasformovanou náhodnou veličinu např. X 2, X k, (X E(X)) 2, a pod. Obdobně jsme při odvozování vlastností normálního rozdělení vyšetřovali lineární závislost Y = αx + β, tedy trasformovanou náhodnou veličinu. Ukázali jsme si také vlastnost střední hodnoty při lineární trasformaci, totiž vzorec E(αX + β) = αe(x) + β. Budeme nyní hledat vztah mezi rozděleními při transformaci. Budeme uvažovat nejprve diskrétní rozdělení jako zvláštní případ Věta: Transformace diskrétního rozdělení. Nechť má náhodná veličina X diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, p(x) = P (X = x), potom má transformovaná náhodná veličina Y = h(x) také diskrétní rozdělení a pro její distribuční funkci p platí: p (y) = p(x), y R. x h 1 (y) 71
2 Důkaz: První část tvrzení je zřejmá. Jestliže náhodná veličina X nabývá diskrétních hodnot z množiny {x i }, pak hodnoty náhodné veličiny Y jsou z množiny {h(x i )}. Pro pravděpodobnostní funkci p náhodné veličiny Y pak platí: p (y) = P (Y = y) = P (h(x) = y) = P (X h 1 (y)) = = x h 1 (y) p(x), y R. Vzor hodnoty y, tedy množina h 1 (y) je ovšem množina všech hodnot x, pro které je y = h(x), tedy hodnot náhodné veličiny X, které se při trasformaci pomocí funkce h trasformují do hodnoty Y = h(x). Ty tvoří množinu diskrétních hodnot, které se navzájem vylučují a tedy pravděpodobnost P (Y = y) dostaneme jako součet pravděpodobností z uvedeného vzorce. Poznámka: Výpočet pravděpodobnostní funkce provedeme tedy tak, že k tabulce pravděpodobnostní funkce přidáme řádek hodnot y = h(x), zjistíme, které hodnoty proměnné x přejdou při trasformaci do stejné hodnoty a odpovídající pravděpodobnosti p(x) sečteme. Tabulku pak přerovnáme podle velikostí proměnné y. Postup si ukážeme na jednoduchém příkladě. Příklad: Nechť je rozdělení náhodné veličiny X dáno tabulkou Tab Utvořme tabulku pro rozdělení náhodné veličiny Y = X 2 1. x p(x),1,25,15,3,2 Tab y x p(x),1,25,15,3,2 Tab Přidáme k tabulce řádek funkčních hodnot proměnné x po transformaci y = x 2 1. Dostaneme rozšířenou tabulku Tab
3 Z tabulky vidíme, že náhodná veličina Y nabývá hodnot -1, a 3. Je pak: p ( 1) = P (Y = 1) = P (X 2 1 = 1) = P (X = ) = p() =, 15; p () = P (Y = ) = P (X = 1 X = 1) = p( 1) + p(1) =, 55; p (3) = P (Y = 3) = P (X = 2 X = 2) = p( 2) + p(2) =, 3. Pravděpodobnostní funkce p náhodné veličiny Y je uvedena v tabulce Tab y -1 3 p (y),15,55,3 Tab Poznámka: V případě spojitého či smíšeného rozdělení provedeme výpočet distribuční funkce podle uvedeného algoritmu. Pokud je transformovaná náhodná veličina spojitá, nalezneme z ní snadno hustotu derivováním Algoritmus pro transformovanou distribuční funkci. Nechť má náhodná veličina X distribuční funkci F, případně hustotu f, kde f(x) = F (x). Označme si G distribuční funkci, případně g, g(y) = G (y) hustotu transformované náhodnou veličiny Y = h(x). Potom podle definice distribuční funkce je: G(y) = P (Y y) = P (h(x) y) = P (X h 1 (, y ), y R, kde symbolem h 1 (, y ) označujeme vzor množiny (, y, tedy množinu všech x, pro které je h(x) y. Tato množina je intervalem, nebo sjednocením intervalů a odpovídající pravděpodobnost zjistíme pomocí původní distribuční funkce či hustoty. Budeme uvedený algoritmus ilustrovat na několika příkladech Příklad: Lineární transformaci Y = αx + β jsme uvedli v kapitole 8 pro normální rozdělení. Zopakujme si uvedený výpočet. V souladu s uvedeným označením je G(y) = P (Y y) = P (αx + β y) = P (αx y β) = 73
4 = P (X y β α P (X y β α ) = F ( y β α ) α > ) = 1 F ( y β α ), α <. Potom pro hustotu g rozdělení náhodné veličiny Y dostaneme: ( ) d g(y) = G dy F ( y β α (y) = ) = 1 α f(y β α ) ( ) d dy 1 F ( y β α ) = 1 α f(y β α ) = 1 ( ) y β α f. α 9.5. Příklad: Nechť má náhodná veličina X exponenciální rozdělení Exp(; 1) s hustotou, která je určena vztahy: f(x) =, x <, e x, x. Určete hustotu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny Y = X. Řešení: Znázorníme si na obrázku Obr průběh hustoty f a na obrázku Obr vyznačíme průběh trasformující funkce y = x, x, ). 1 y f(x) Obr x y y, Y Y = X y = Y X = y 2 x, X Obr
5 Z obrázku 9.1 vyplývá, že náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu, ), neboť zde je hustota f kladná. Z obrázku 9.2 vyplývá, že funkce y = x zobrazuje tento interval na interval, ). To znamená, že náhodná veličina nabývá pouze hodnot z tohoto intervalu a tudíž jsou její distribuční funkce G a hustota g rovny nule pro y <. Pro hodnoty y vypočteme hodnotu distribuční funkce G výše popsaným algoritmem. Je G(y) = P (Y y) = P ( X y) = P ( X y 2 ) = F (y 2 ) F () = = F (y 2 ), y, ). Odtud dostaneme, že pro hustotu g platí vyjádření: g(y) = G (y) = d dy ( ) F (y 2 ) = 2yf(y 2 ) = 2ye y2, y (, ). Snadno vypočteme i hodnotu distribuční funkce F náhodné veličiny X. Je, x, F (x) = 1 e x, x. Odtud plyne, že G(y) =, y, 1 e y2, y. Všimneme si, že k určení hustoty g nám postačilo znát hustotu f. Výpočet distribuční funkce G pomocí distribuční funkce F je prováděn pouze v symbolech a po provedení derivace vystačíme k vyjádření hustoty g pouze s hustotou f Příklad: Jestliže má náhodná veličina X normální rozdělení N(; 1), určete hustotu a distribuční funkci transformované náhodné veličiny Y = X 2. Řešení: V souladu se značením v kapitole 8 označíme Φ distribuční funkci a ϕ hustou náhodné veličiny X. Z průběhu funkce ϕ na obrázku Obr. 8.1 vyplývá, že náhodná veličina X nabývá všech reálných hodnot. Znázorníme si na obrázku 9.3 průběh trasformující funkce Y = X 2. 75
6 y, Y Y = X 2 y Y = y X = y X = y x, X Obr g(y) y Obr 9.4. Protože funkce y = x 2 nabývá všech nezáporných hodnot, bude náhodná veličina Y nabývat také nezáporných hodnot. Jsou tedy její distribuční funkce G a hustota g rovny nule pro zápornou hodnotu argumentu. Pro y pak dostaneme: G(y) = P (Y y) = P (X 2 y) = P ( y X y) = = Φ( y) Φ( y) = 2Φ( y) 1, když použijeme vztahu Φ( x) = 1 Φ(x) z kapitoly 8. Potom pro hustotu g náhodné veličiny Y odtud dostaneme: g(y) = G (y) = d dy (2Φ( y) 1) = 1 y ϕ( y) = 1 2πy e y 2, y (, ), jestliže použijeme skutečnosti z kapitoly 8, ϕ(x) = 1 2π e x2 2, x R. Toto rozdělení nazýváme rozdělení χ 2 (1) o jednom stupni volnosti. Čteme chí-kvadrát a rozdělení tohoto typu patří k nejpoužívanějším v matematické statistice. Průběh hustoty je znázorněn na obrázku
7 9.7. Příklad: Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 1). Určete rozdělení náhodné veličiny Y = lnx. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (, 1) a transformující funkce y = lnx nabývá v tomto intervalu všech kladných hodnot. Náhodná veličina Y nabývá tudíž kladných hodnot a jsou tedy její distribuční funkce G a hustota g rovny nule pro záporné hodnoty argumentu. Situaci si znázorníme na obrázku Obr Hodnoty distribuční funkce pro kladný argument vypočteme popsaným způsobem. Je pak G(y) = P (Y y) = P ( lnx y) = P (lnx y) = P (X e y ) = = 1 F (e y ) = 1 e y, když použijeme výsledků o rovnoměrném rozdělení z odstavce 5.9. Hustotu g získáme přímo derivováním nebo ze vztahu g(y) = G (y) = d dy ( 1 F (e y ) ) = f(e y ) = e y, y >. Opět použijeme vyjádření pro hustotu rovnoměrného rozdělení z odstavce 5.9. Průběh hustoty g je znázorněn na obrázku Obr y y, Y Y = y Y = lnx 1 g(y) X = e y 1 x, X Obr Obr 9.6. y 9.8. Příklad: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Exp(; 1) a náhodná veličina Y = min{x, 2}. a) Určete rozdělení náhodné veličiny Y (její distribuční funkci). b) Vypočtěte střední hodnotu E(Y ), rozptyl D(Y ) a směrodatnou odchylku σ(y ). 77
8 Řešení: Náhodná veličina nabývá kladných hodnot. Její hustota rozdělení pravděpodobnosti f je rovna, x (, ), f(x) = e x, x, ). Distribuční funkci F určíme ze vzorce F (x) = Je pak pro x : F (x) = ; pro x > : F (x) = F () + F (x) = x x f(t) dt, x R. e t dt = + [ e t] x = 1 e x. Tedy, x (, ), 1 e x, x, ). Náhodná veličina Y nabývá hodnot z intervalu (, 2. Pro její distribuční funkci G platí: y (, : G(y) = P (Y y) = P (min{x; 2} y) = P (X y) = ; y (, 2) : G(y) = P (Y y) = P (min{x; 2} y) = P (X y) = = F (y) = 1 e y ; y 2, ) : P (Y y) = P (min{x; 2} y) = 1. Náhodná veličina Y má smíšené rozdělení a P (Y = 2) = P (X 2) = 1 F (2) = 1 (1 e 2 ) = e 2 =, Střední hodnotu Y vypočteme takto: E(Y ) = min{x; 2}f(x) dx = 2 xe x dx e x dx = = [e x ( x 1)] (1 F (2)) = 3e e 2 =, K výpočtu rozptylu použijeme vzorce D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Je 2 E(Y 2 ) = (min{x; 2}) 2 f(x)dx = x 2 e x dx + 4.P (X 2) = = [ e x ( x 2 2x 2) ] (1 F (2)) = 1e e 2 = 1, 188. Potom je D(Y ) = E(Y 2 ) E(Y ) 2 = 2 6e 2 (1 e 2 ) 2 =, Pro směrodatnou odchylku dostaneme σ(y ) = D(Y ) =,
9 9.9. Definice: Charakteristická funkce Je-li X náhodná veličina, pak funkci ψ X reálné proměnné t, která je definována vztahem ψ X (t) = E(e jtx ), t R, nazýváme charakteristickou funkcí náhodné veličiny X Věta: Výpočet charakteristické funkce. Charakteristickou funkci náhodné veličiny vypočteme pomocí vzorce, který závisí na typu rozdělení. 1. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p(x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = x R e jtx p(x), t R. 2. Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotu f(x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = f(x)e jtx dx, t R. 3. Náhodná veličina X má smíšené rozdělení s distribuční funkcí F (x), pak je její charakteristická funkce rovna ψ X (t) = x R[F (x) F (x )]e jtx + F (x)e jtx dx, t R Příklad: Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení (alternativní), kdy p() = P (X = ) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, < p < 1. Řešení: Podle vzorce v 1 z odstavce 9.1. je ψ X (t) = p()e jt. + p(1)e jt.1 = 1 p + pe jt, t R. 79
10 9.12. Příklad: Náhodná veličina X má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 1). Řešení: Hustota f náhodné veličiny X je rovna jedné v intervalu (, 1) a jinde je nulová. Potom podle vzorce v 2 z odstavce 9.1 je ψ X (t) = 1 e jtx dx = [ ] e jtx 1 jt = j(1 ejt ), t R, t. t Příklad: Náhodná veličina X má rozdělení Exp(; δ). Řešení: Náhodná veličina má kladnou hustotu f(x) = 1 δ e x δ pro x >. Podle vzorce 2 z věty 9.1 je charakteristická funkce rovna ψ X (t) = 1 δ = e jtx e x δ dx = 1 δ 1 [ δ(jt 1 δ ) e x(jt 1 )] δ = 1 1 jδt. e x(jt 1 δ ) dx = Věta: Vlastnosti charakteristické funkce. Pro charakteristickou funkci náhodné veličiny X platí: 1. Je ψ X () = 1, ψ X (t) 1, t R. 2. Funkce ψ X je spojitá v R. 3. Funkce ψ X má tolik derivací v nule, kolik má náhodná veličina momentů a je 4. Pro čísla α, β je ψ (k) X () = jk E(X k ), k =, 1, 2,.... ψ αx+β (t) = e jtβ ψ X (αt), t R. 5. Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak je ψ X+Y (t) = ψ X (t).ψ Y (t), t R. Důkaz: Tvrzení 1 snadno vyplývá ze vzorců 1-3 z odstavce 9.1. Tvrzení 2 nebudeme odvozovat, jeho důkaz není obtížný, je pouze pracný. 8
11 Ke tvrzení 3 uvedeme jako příklad formální odvození vztahu pro spojité rozdělení. Je ψ X(t) = d dt a odtud po dosazení dostaneme ψ X() = j f(x)e jtx dx = xf(x) dx = je(x). f(x)jxe jtx dx Vzorec pro další momenty dostaneme opětovným derivováním. Poměrně snadno ověříme možnost záměny derivování a integrace. Tvrzení 4 snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty. Je totiž ψ αx+β (t) = E(e jt(αx+β) ) = E(e jtβ e j(αt)x ) = e jtβ ψ X (αt). Tvrzení 5 vyplývá z vlastnosti pro střední hodnotu součinu nezávislých veličin. Je ψ X+Y (t) = E(e jt(x+y ) ) = E(e jtx e jty ) = E(e jtx )E(e jty ) = ψ X (t)ψ Y (t) Příklad: Náhodné veličiny X i, 1 i n, jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení Exp(; δ). Určete charakteristickou funkci náhodné veličiny T = 2nX δ. Řešení: Podle příkladu má každá z náhodných veličin X i charakteristickou funkci ψ(t) = 1 1 jδt. Potom podle tvrzení 5 z věty 9.14 má jejich součet X = n X i charakteristickou funkci i=1 ψ X = 1 (1 jδt) n. Potom podle tvrzení 4 z věty 9.14, kde volíme α = 2 δ, β = je ψ T (t) = ψ X( 2 δ t) = 1 (1 2jt) n. Poznámka: Charakteristická funkce ψ T je charakteristickou funkcí náhodné veličiny, která má rozdělení χ 2 (2n). Této skutečnosti se využívá při odhadech parametrů exponenciálního rozdělení. 81
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Více5. T e s t o v á n í h y p o t é z
5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceŘešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.
VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
Více, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceZáklady počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky
Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceVlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Více