EXTRÉMY V TEPLOTNÍCH ŘADÁCH

Transkript

1 ROBUST 24 c JČMF 24 EXTRÉMY V TEPLOTNÍCH ŘADÁCH Monika Rencová Klíčová slova: Teorie extrémů, teplotní řady, tříparametrické Weibullovo rozdělení. Abstrakt: Ze statistického hlediska je užitečné studovat chování maximálních nebo minimálních ročních teplot. Z teorie extrémů vyplývá, že rozdělení ročních minimálních/maximálních teplot by mělo odpovídat jednomu z extremálních rozdělení. Existuje však několik důvodů, proč dostupná data neodpovídají Gumbelovu rozdělení. Pro modelování těchto dat může být vhodnější tříparametrické Weibullovo rozdělení. 1 Úvod Široce rozšířená hypotéza o globálním oteplování vyvolala zájem o studium teplotních řad. Ke změně však nedochází pouze u průměrných teplot, ale mnoho klimatologů tvrdí, že změna klimatu se může projevovat především vznikem extremálních událostí. V příspěvku jsou sledovány dlouhé řady průměrných denních teplot naměřených v sedmi meteorologických stanicích- v Padově( ), Milánu ( ), Uppsale(1722-2), Stockholmu(1756-2), Cadizu(1786-2),St.Petersburgu( )aBelgii( ).Tatodatapocházejí z knihy D. Camuffa a P. Jonese Improved understanding of past climatic variability from early daily European instrumental sources. Podle známé extremální teorie bychom mohli usuzovat, že maximální/ minimální roční teploty budou rozděleny podle jednoho z extremálních rozdělení. Avšak naše data tento závěr nepotvrzují. 2 Základní vlastnosti dat Ukážeme si několik důvodů, proč Gumbelovo rozdělení v našem případě není vhodné pro modelování těchto dat. 1. Gumbelovo rozdělení vzniká jako asymptotické rozdělení maxima/ minima posloupnosti nezávislých veličin, případně maxima/minima stacionárních posloupností s krátkou pamětí(např. ARMA posloupností), viz článek Daniely Jaruškové. Konvergence je však velmi pomalá, pokud mezi po sobě jdoucími členy posloupnosti je silná závislost. Tak tomu je např. u našich dat. Korelační koeficient průměrných denních teplot mezi dvěma po sobě jdoucímidnysepohybujeuvšechstanickolemhodnoty,8.naobrázku1 jsou znázorněny korelační koeficienty průměrných denních teplot mezi jednotlivými po sobě jdoucími dny v roce. Horní křivka odpovídá dvěma po sobě jdoucím dnům, další křivky směrem shora dolů odpovídají korelačním koeficientům průměrných denních teplot mezi dny, jejichž rozdíl jsou 2 dny

2 348 Monika Rencová 1 Milan korelace Obrázek 1: Korelace mezi jednotlivými dny. 25 Milan Obrázek 2: Závislost průměrné denní teploty na dni v roce. a3dny,t.j.udruhékřivkybylyspočtenykorelačníkoeficientymezi1.lednem a3.lednem,2.lednema4.lednematd. 2. Dalším důvodem proč asymptotická teorie selhává, je nestejné rozdělení veličin, z nichž počítáme maximum/minimum. Nestejné rozdělení je způso-

3 Extrémy v teplotních řadách Milan Obrázek 3: Histogram všech dostupných dat Obrázek 4: Histogram z dat, kdy bylo dosaženo maximum. beno ročním chodem. Zjistili jsme např., že v našich datech nastal nejteplejší denvrozmezípřibližně1dnů.toznamená,žepronalezenímaximanení nutno sledovat období mimo tento časový úsek(přibližně den vroce),vizobrázek2.

4 35 Monika Rencová 3. Vzhledem k tomu, že uvažujeme maxima z relativně malého počtu dat, hraje výraznou roli původní rozdělení veličin. Na obrázku 3 je histogram všech denních teplot, na obrázku 4 je příklad histogramu z dat, ve kterých alespoň v některém roce byla dosažena maximální teplota. 4. Rozdělení maxim/minim mohou být také ovlivněna celkovým růstem teploty, což ilustruje graf vývoje průměrné teploty, viz obrázek Milan prùm. teplota Obrázek 5: Řada průměrných ročních teplot. Základní informace o průměrných, minimálních a maximálních hodnotách jsouuvedenyvtabulkách1až3. Průměr x σ n 1 šikmost Miláno Padova Belgie Cadiz Uppsala Stockholm St.Petersburg Tabulka 1: Průměr vlastnosti.

5 Extrémy v teplotních řadách 351 Maximum x σ n 1 šikmost Miláno Padova Belgie Cadiz Uppsala Stockholm St.Petersburg Tabulka 2: Maximum vlastnosti. Minimum x σ n 1 šikmost Miláno Padova Belgium Cadiz Uppsala Stockholm St.Petersburg Tabulka 3: Minimum vlastnosti. 34 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 7 qqplot Gumbel maximum Milan Quantiles of Input Sample Y Quantiles Standard Normal Quantiles X Quantiles Obrázek 6: QQ plot- maximum Miláno, vlevo-normální rozdělení, vpravo- Gumbelovo rozdělení.

6 352 Monika Rencová 3 Maxima and minima Když porovnáme tabulky 2 a 3, zjistíme, že pro minimální teploty vychází šikmost záporná a nabývá vyšších hodnot, zatímco pro maximální hodnoty vychází šikmost kladná s hodnotami nižšími, blízkými nule. Mohli bychom tedy usuzovat, že rozdělení maximální teploty je spíše normální než Gumbelovo. Zatímco minimální teploty se neřídí ani normálním ani Gumbelovým rozdělením. O tom se můžeme přesvědčit také srovnáním příslušných grafů naobrázcích6a7. 4 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Milan 1 qqplot Gumbel minimum Milan Quantiles of Input Sample Y Quantiles Standard Normal Quantiles X Quantiles Obrázek 7: QQ plot- minimum Miláno, vlevo-normální rozdělení, vpravo- Gumbelovo rozdělení Weibull minimum Milan Weibull minimum Obrázek 8: Srovnání odhadnutého tříparametrického Weibullova rozdělení s původními daty.

7 Extrémy v teplotních řadách Weibullovo rozdělení Pro modelování nesymetrických dat, k nimž patří také maximální/minimální teploty, se často používá tříparametrické Weibullovo rozdělení, pro jehož hustotu platí f(x; θ, α, β)=αβ(x θ) α 1 e β(x θ)α (θ < x <, α >, β >). Pro každou teplotní řadu byly nalezeny odhady tříparametrického Weibullova rozdělení. Např. pro Miláno jsme dostali odhady ˆα= ,ˆβ=.156,ˆθ= Z obrázku 8 vyplývá, že tento model popisuje naše data poměrně dobře. Reference [1] Camuffo D., Jones P.(22). Improved understanding of past climatic variability from early daily European instrumental sources. Climatic Change 53,1 3. Adresa: M. Rencová, Katedra matematiky, FSV ČVUT, Thákurova 7, Praha 6 rencova@mat.fsv.cvut.cz

8 354