1 Lineární zobrazení. 5. f(u) = u + v, kde v je pevně daný nenulový vektor z R f(u) = o.

Transkript

1 1 Lineární zobrazení Cvičení 1 Která z následujících zobrazení f : R 2 R 2 jsou lineární? 1 f(u) = v, kde v je pevně daný nenulový vektor z R 2 2 f(u) = o 3 f(u) = k f(u), kde k je pevně dané reálné číslo 4 f(u) = u u, kde u je (euklidovská) velikost vektoru u 5 f(u) = u + v, kde v je pevně daný nenulový vektor z R 2 u1 u1 6 f(u) =, kde u = 2 u 2 u 2 Cvičení 2 Ať f : L L je lineární zobrazení (L je lineární prostor nad R) Ukažte, že ker(f) im(id L f) a im(f) ker(id L f) Cvičení 3 Ať f : V W je lineární zobrazení mezi lineárními prostory V a W nad R, ať dim(v ) = n Pokud B = ( b 1,, b s, b s+1,, b n ) je báze prostoru V taková, že ( b 1,, b s ) je báze prostoru ker(f), ukažte, že 1 ( b s+1,, b n ) je báze prostoru im(f), 2 dim(ker(f)) + dim(im(f)) = n, 3 V = ker(f) span( b s+1,, b n ) Když platí V = W, je ker(f) + im(f) nutně direktní součet? Pokud je ( v 1,, v n ) bází V, musí nutně nějaké v i ležet v ker(f)? Cvičení 4 Ať V je konečně dimensionální lineární prostor nad R, mějme lineární zobrazení f : V V, a ať V 1 a V 2 jsou lineární podprostory V Rozhodněte, zda platí: 1 f(v 1 V 2 ) = f(v 1 ) f(v 2 ), 2 f(v 1 V 2 ) = f(v 1 ) f(v 2 ), 3 f(v 1 + V 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ), 4 f(v 1 V 2 ) = f(v 1 ) f(v 2 ) Poznámka: V tomto příkladu používáme nestandardní značení f(x), kde X je množina vektorů Tento zápis zde znamená: f(x) = {f(x) x X} Cvičení 5 Ať V je konečně dimensionální lineární prostor nad R zobrazení Ukažte, že následující tvrzení jsou ekvivalentní: Ať f : V V je lineární 1

2 1 f má inversi, 2 V a im(f) mají stejnou dimensi, 3 pro libovolnou bázi B prostoru V je i f(b) báze, 4 maticová zobrazení f vzhledem k nějaké bázi je invertibilní, 5 f je monomorfismus, 6 f je epimorfismus Co kdyby byl V nekonečně dimensionální? Co kdyby f bylo lineární zobrazení z V do jiného lineárního prostoru W? Poznámka: V tomto příkladu používáme nestandardní značení f(x), kde X je množina vektorů Tento zápis zde znamená: f(x) = {f(x) x X} Cvičení 6 Ať V je n-dimensionální lineární prostor nad R, ať f : V V je lineární zobrazení Pokud pro nějaký vektor v V platí, že ukažte, že seznam vektorů je lineárně nezávislý, a tudíž tvoří bázi V f n 1 ( v) o, ale f n ( v) = o, ( v, f( v),, f n 1 ( v)) Cvičení 7 Ať f : V V a g : V V jsou lineární zobrazení, V konečně dimensionální lineární prostor nad R Ukažte, že když g f = id V, pak f g = id V Platí toto tvrzení i pro nekonečně dimensionální prostory? Cvičení 8 Ať V a W jsou konečně dimensionální prostory nad R, ať f : V W je lineární Rozhodněte, zda platí následující tvzení: 1 ker(f) = { o} 2 Pokud f( v) = o pouze pro v = o, pak dim(v ) = dim(w ) 3 Pokud im(f) = { o}, pak je f nulovým vektorem v prostoru lineárních zobrazení z V do W (Stručněji, f = o) 4 Pokud V = W a im(f) ker(f), pak f = o 5 Pokud V = W a im(f) ker(f), pak f 2 = o 6 Pokud dim(v ) = dim(w ), pak je f isomorfismus 7 Pokud dim(v ) = dim(im(f)), pak ker(f) = { o} 8 ker(f) ker(f 2 ) 9 dim(ker(f)) dim(im(f)) 10 dim(ker(f)) dim(v ) 2

3 11 f je monomorfismus právě tehdy, když ker(f) = { o} 12 f je monomorfismus právě tehdy, když dim(v ) dim(w ) 13 f je epimorfismus právě tehdy, když im(f) = W 14 f je epimorfismus právě tehdy, když dim(v ) dim(w ) Cvičení 9 Ať V a W jsou konečně dimensionální prostory nad R, ať f : V W je lineární Rozhodněte, zda platí následující tvzení: 1 Když je seznam vektorů ( v 1,, v n ) z V lineárně nezávislý, pak je lineárně nezávislý i seznam (f( v 1 ),, f( v n )) z W 2 Když je seznam vektorů (f( v 1 ),, f( v n )) z W lineárně nezávislý, pak je lineárně nezávislý i seznam ( v 1,, v n ) z V Cvičení 10 Ať je (b 1, b 2, b 3 ) báze R 3 Ať f : R 3 R 3 je lineární zobrazení definované následovně: 1 Ukažte, že f je invertibilní 2 Nalezněte f 1 3 Nalezněte 2 f f 1 f(b 1 ) = b 1, f(b 2 ) = b 1 + b 2, f(b 3 ) = b 1 + b 2 + b 3 Cvičení 11 Ať f : R 3 R 3 je lineární zobrazení určené přiřazeními 1 2 f( 0 ) = 3, f( 1 ) = 0, f( 7 ) = Nalezněte im(f), matici zobrazení f vzhledem ke kanonické bázi R 3, popište vektor f( ) x 3 Cvičení 12 Ať B = ( b 1, b 2, b 3, b 4 ) je báze lineárního prostoru V nad R Ať f : V V je lineární zobrazení, které má vzhledem k B matici

4 1 Nalezněte ker(f) 2 Nalezněte im(f) 3 Nalezněte bázi ker(f), rozšiřte ji na bázi prostoru V, a poté nalezněte matici zobrazení f vzhledem k této bázi 1 2 Cvičení 13 Ať f, g : R 2 R 2 jsou lineární zobrazení Mějme dvě báze A = (, ) a B = (, ) Matice zobrazení f vzhledem k A je 1 2 ( ) 1 2, 2 3 matice zobrazení g vzhledem k B je ( ) ( ) 3 Ať u = 3 1 Nalezněte matici zobrazení f + g vzhledem k bázi B 2 Nalezněte matici zobrazení f g vzhledem k bázi A 3 Nalezněte coord A (f(u)) 4 Nalezněte coord B (g(u)) Cvičení 14 Ať W je lineární podprostor lineárního prostoru V nad R Mějme lineární zobrazení f : W V Lze vždy f rozšířit na lineární zobrazení V V? (Tj, lze vždy definovat lineární zobrazení f : V V takové, aby pro všechny vektory w W platilo f ( w) = f( w)?) Cvičení 15 Lineární podprostor W lineárního prostoru V nad R nazveme invariantním podprostorem vzhledem k lineárnímu zobrazení f : V V, pokud platí f(w ) W (čili: pro libovolný vektor w W platí, že f( w) W ) 1 Pokud je f isomorfismus, ukažte, že W je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení f 1 2 Pokud V = W W, je pak nutně W také invariantním podprostorem vzhledem k zobrazení f? Cvičení 16 Mějme lineární zobrazení A : R 2 R 2 zadáno maticí ( ) 2 1 A = 0 2 ( ) 1 vzhledem ke kanonické bází Ať W 1 = span( ) Ukažte, že W 0 1 je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení A, a že neexistuje lineární podprostor W 2 invariantní vzhledem k A takový, aby platilo W 1 W 2 = R 2 4

5 Cvičení 17 Lineární zobrazení f : V V nazvěme projektorem, pokud platí f 2 = f Ať f, g : V V jsou projektory Ukažte, že f i g komutují se zobrazením (f g) 2 Dále ukažte, že platí (f g) 2 + (id V f g) 2 = id V Cvičení 18 Ať B = (b 1, b 2, b 3, b 4 ) je báze lineárního prostoru V nad R zobrazení f : V V tak, že f(b 1 ) = f(b 2 ) = f(b 3 ) = b1, f(b 4 ) = b 2 Nalezněte ker(f), ker(f) + im(f) a ker(f) im(f) Cvičení 19 Definujte f, g : R 2 R 2 následujícími přiřazeními: x1 x2 x1 x1 x f( ) =, g( ) = 2 1 Ukažte, že f i g jsou lineární Definujme lineární 2 Nalezněte netriviální invariantní podprostory vzhledem k f 3 Nalezněte ker(g) a im(g) 4 Ukažte, že dim(ker(g)) + dim(im(g)) = 2, ale součet ker(g) + im(g) není direktní Cvičení 20 Definujte f, g : R n R n přiřazeními 0 f( ) =, g( ) = 1 Ukažte, že f i g jsou lineární 2 Nalezněte f g, g f, f n a g n 1 3 Nalezněte matice zobrazení f i g vzhledem ke kanonické bázi R n 4 Nalezněte dimense ker(f) a ker(g) Cvičení 21 Mějme lineární zobrazení f : R n R n Ať (a 1, a 2,, a m ) je báze im(f) a (b 1, b 2,, b m ) je seznam vektorů, pro který platí Ukažte, že pak platí f(b i ) = a i, i = 1,, m R n = im(f) ker(f) Cvičení 22 Ať f : V V je lineární zobrazení, V je konečně dimensionální lineární prostor Ukažte, že dim(im(f 2 )) = dim(im(f)) právě tehdy, když V = im(f) ker(f) Pokud speciálně platí f 2 = f, pak V = im(f) ker(f) Je pravdivá i obrácená věta? (Tj, je pravda, že pokud V = im(f) ker(f), pak f 2 = f?) 1 5