Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika."

Transkript

1 Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 1/12

2 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu. 2 Návrh lineárního kódu s předepsanými vlastnostmi. Další možné doplňující informace 1 J. Adámek, Foundations of coding, John Wiley & sons, D. J. C. MacKay, Information Theory, Inference and Learning Algorithms, Cambridge Univ. Press, 2003 Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 2/12

3 Připomenutí: Z 2 = {0, 1}, s operacemi sčítání a násobení danými tabulkami je těleso. Teorie lineárních prostorů nad obecným tělesem F byla vybudována. Pro F = Z 2 tedy umíme: 1 Určit bázi a dimensi podprostorů W lineárního prostoru (Z 2 ) n. 2 Pracovat s maticemi nad Z 2 a řešit soustavy lineárních rovnic nad Z 2. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 3/12

4 Definice Lineární 2-kód délky n a dimense k je lineární podprostor W prostoru (Z 2 ) n, dim(w ) = k, 0 k n. Terminologie: 1 Prvkům W říkáme kódová slova. 2 Generující matice: báze G = (g 1,..., g k ) prostoru W napsaná do řádků matice G. Platí: rank(g) = k. 3 Souřadnicím coord G (x) = (a 1,..., a k ) říkáme informační bity. Součin (a 1,..., a k ) G je příslušné kódové slovo w = k i=1 a i g i. 4 Kontrolní matice: báze H = (h 1,..., h n k ) ortogonálního doplňku prostoru W napsaná do řádků matice H. 5 Test při přijetí slova v: výpočet syndromu přijatého slova s = H v T. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 4/12

5 Příklad (Hammingův (7, 4)-kód) Jde o lineární 2-kód délky 7 a dimense 4 s generující maticí g G = g 2 g 3 = g rank(g) = 4, tudíž máme k disposici 4 info bity. 2 Dimense ortogonálního doplňku 7 4 = 3. Informace bude chráněna třemi bity (redundance). 3 Posílání zpráv: info (1, 1, 0, 1) vytváří kódové slovo (1, 1, 0, 1) G = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1). Pozorování: G je tvaru (E B). Jde o systematický kód (více později). Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 5/12

6 Příklad (Hammingův (7, 4)-kód, pokrač.) Kontrolní (Hammingova) matice h H = h 2 = h Jde o ideální kód, pokud došlo nejvýše k jedné chybě: 1 Odesláno w, přijmeme v a předpokládáme, že došlo k nejvýše jedné chybě. Tj. v = w + e (e je error pattern). Víme, že e obsahuje nejvýše jednu jedničku. 2 Spočteme syndrom s slova v: s T = Hv T = He T. Jestliže s = o, při přenosu nedošlo k chybě. Jestliže s je i-tý sloupec H, došlo k chybě na i-tém místě, opravíme. 3 Isolujeme info bity. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 6/12

7 Příklad (Hammingův (8, 4)-kód: úprava (7, 4)-kódu) Hammingův (7, 4)-kód není schopen detekovat dvě chyby. Například: chyba na 3. posici je nerozeznatelná od dvou chyb na 1. a 2. posici současně. Důvod: v matici H = je součet 1. a 2. sloupce roven 3. sloupci. Upravíme H na H = Tím se změní i generující matice. Nová matice G má ale opět hodnost 4. Zvětšili jsme délku kódu. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 7/12

8 Obecný vztah matic G a H Rozměry G: n sloupců, k řádků, rank(g) = k. Rozměry H: n sloupců, n k řádků, rank(h) = n k. G a H jsou ortogonální, tj. G H T = 0 k,n k (nulová matice: k řádků, n k sloupců). 1 Známe-li G, lze spočíst H: řádky H jsou prvky fundamentálního systému homogenní rovnice Gx = o. 2 Známe-li H, lze spočíst G: řádky G jsou prvky fundamentálního systému homogenní rovnice Hx = o. Důvod: 0 n k,k = 0 T k,n k = (G HT ) T = H G T. 3 Jestliže G = (E k B), kde E k je jednotková matice typu k k (tj. když jde o systematický kód), pak je možné zvolit H = ( B T E n k ). Nad Z 2 je samozřejmě B T = B T. Výhoda systematických kódů: je snadné oddělit informační a kontrolní bity. Hammingův (7, 4)-kód a 10-ISBN kód jsou příklady systematických kódů. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 8/12

9 Příklad (opakovací kód) Jde o systematický kód délky n = 2k, dimense k, s generující maticí G = (E k E k ) a kontrolní maticí H = (E n k E n k ) = (E k E k ). Platí totiž n k = k. Informace x vytváří kódové slovo w = (x, x). Nevýhoda: příliš mnoho kontrolních bitů. Problém návrhu lineárního kódu Jak vyvážit následující požadavky? Chceme co největší opravné schopnosti kódu a co nejmenší počet kontrolních bitů. Tyto požadavky jsou protichůdné. To plyne z analýzy hodností matic G a H. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 9/12

10 Definice (Hammingova váha a vzdálenost) Pro vektor w v (Z 2 ) n definujeme jeho Hammingovu váhu weight(w) jako počet nenulových položek vektoru w. dist(w 1, w 2 ) vektorů w 1 a w 2 v (Z 2 ) n je číslo weight(w 1 w 2 ). Lemma ( je metrika na (Z 2 ) n ) Platí: a 1 dist(w 1, w 2 ) 0, dist(w 1, w 2 ) = 0 právě tehdy, když w 1 = w 2. 2 dist(w 1, w 2 ) = dist(w 2, w 1 ). 3 dist(w 1, w 3 ) dist(w 1, w 2 ) + dist(w 2, w 3 ). a Vzpomeňte si na vlastnosti metriky indukované normou. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 10/12

11 Tvrzení (výpočet minimální distance kódu) At W je jineární kód délky n a dimense k nad Z 2, at w 0 je ve W. Potom platí rovnost: min{dist(w, w 0 ) w w 0 } = min{weight(w) w je nenulový vektor ve W } Důkaz. Plyne z dist(w, w 0 ) = dist(w w 0, o) = weight(w w 0 ). Definice (minimální distance kódu) Číslu min{weight(w) w je nenulový vektor ve W } říkáme minimální distance kódu W a značíme ji d W. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 11/12

12 Definice (detekce a oprava chyb) At W je jineární kód délky n a dimense k nad Z 2. Řekneme, že 1 W detekuje t chyb, pokud pro každé w ve W a každé e takové, že weight(e) t, platí: w + e není ve W. 2 W opravuje t chyb, pokud pro každé w ve W a každé e takové, že weight(e) t, platí: dist(w, w + e) = d W. Věta Lineární kód W detekuje d W 1 chyb a opravuje t < d W 2 Příklady 1 Hammingův (7, 4)-kód: d W = 3. 2 Hammingův (8, 4)-kód: d W = 4. Více například v knize chyb. D. J. C. MacKay, Information Theory, Inference and Learning Algorithms, Cambridge Univ. Press, 2003 Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 2 12/12

Numerické metody pro nalezení

Numerické metody pro nalezení Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová Poděkování V úvodu bych ráda

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Mirko Navara Centrum strojového vnímání katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/mvt http://cmp.felk.cvut.cz/

Více

FAKULTA STAVEBNÍ GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA

FAKULTA STAVEBNÍ GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE MATICOVÉ ROZKLADY PRO KALMANŮV FILTR Vedoucí práce: doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Katedra

Více

DYNAMICKÉ SYSTÉMY I. Marek Lampart Michaela Mlíchová Lenka Obadalová

DYNAMICKÉ SYSTÉMY I. Marek Lampart Michaela Mlíchová Lenka Obadalová DYNAMICKÉ SYSTÉMY I Jana Dvořáková Marek Lampart Michaela Mlíchová Lenka Obadalová Předmluva Tento učební text vznikl v rámci projektu FRVŠ č. 2644/2008. Jde o učební text určený pro první semestr předmětu

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Celá a necelá část reálného čísla

Celá a necelá část reálného čísla UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky a didaktiky matematiky Celá a necelá část reálného čísla Bakalářská práce Autor: Vedoucí práce: Vladimír Bílek Prof. RNDr. Jarmila Novotná,

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21 Obsah 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace................................... 1. Moment síly k bodu a ose.............................. 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav........................ 1 TĚŽIŠTĚ

Více

Základy programování v GNU Octave pro předmět PPAŘ

Základy programování v GNU Octave pro předmět PPAŘ Základy programování v GNU Octave pro předmět PPAŘ Introduction to programing in Octave for subject denoted as Computer Aires Automation Control Jaroslav Popelka Bakalářská práce 2008 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Měření zpoždění mezi signály EEG Ondřej Drbal Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Roman katedra Teorie obvodů rok obhajoby 24 Čmejla, CSc. Zadání diplomové

Více

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277,

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277, Příklad : Házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude roven 5? Jev A značí příznivé možnosti: {,, 3}; {,, }; {, 3, }; {,, }; {,, }; {3,, }; P (A) = A Ω = 6 6 3 = 36 = 0.077, kde. značí

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

D A T A B Á Z O V É S Y S T É M Y

D A T A B Á Z O V É S Y S T É M Y 1(22) Konceptuální úroveň - vytvářím první model reality - ER-model jednoduchý grafický aparát, dá se jednoduše identifikovat - entita skládá se z vlastností, které chci zpracovávat - Chenovo pojetí -

Více

Základní pojmy termodynamiky

Základní pojmy termodynamiky Kapitola 1 Základní pojmy termodynamiky 1.1 Úvod Moderní přírodní vědy a fyzika jsou postaveny na experimentu a pozorování. Poznávání zákonitostí neživé přírody je založeno na indukční vědecké metodě Francise

Více

Uvažování o počtech, množstvích a číslech

Uvažování o počtech, množstvích a číslech Uvažování o počtech, množstvích a číslech Adam Nohejl 27. ledna 2010 Ne náhodou sdílí počítání se čtením příznačný praslovanský základ čit- s původním významem rozeznávat (podle [6]). Číst (psát) a počítat

Více

Datové struktury a datové typy.

Datové struktury a datové typy. Datové struktury a datové typy. Základní datové typy. Odvozené datové typy. Základní datové struktury. Odvozené datové struktury. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a

Více

Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín

Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Praha & EU: Evropský Investujeme sociální do vaší fond budoucnosti Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Učební text pro Dívčí katolické

Více

Open Access Repository eprint

Open Access Repository eprint Open Access Repository eprint Terms and Conditions: Users may access, download, store, search and print a hard copy of the article. Copying must be limited to making a single printed copy or electronic

Více

Sdružení požárního a bezpečnostního inženýrství se sídlem VŠB - Technická univerzita Ostrava. Kartografie

Sdružení požárního a bezpečnostního inženýrství se sídlem VŠB - Technická univerzita Ostrava. Kartografie Sdružení požárního a bezpečnostního inženýrství se sídlem VŠB - Technická univerzita Ostrava Kartografie Doc. Ing. Miroslav Tyrner, CSc. Ing. Hana Štěpánková Učební texty pro posluchače 1 a 2 ročníku oboru

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Zdroj 5 kv / 4 ma řízený procesorem

Zdroj 5 kv / 4 ma řízený procesorem Bakalářská práce České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra mikroelektroniky Zdroj 5 kv / 4 ma řízený procesorem Ladislav Havlát 4 Vedoucí práce: Ing. Lubor Jirásek, CSc. České

Více

3 Současný pohled na jednotlivé směry SWI

3 Současný pohled na jednotlivé směry SWI 3 Současný pohled na jednotlivé směry SWI 3.1 Úvod Chaotický a překotný vývoj programů vedl ke stavu, označovaném jako KRIZE PROGRAMOVÁNÍ. Poučení z krize bylo v několika směrech. Jedním z nich byl směr,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více