Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Transkript

1 Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení Zobecněná derivace Obecná Dirichletova okrajová podmínka Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

2 Co jsme udělali: ( p(x)u ) + q(x)u = f, u(a) = 0 = u(b) Au = f, u D(A) min F(v), v H A kde Au = (p(x)u ) + q(x)u a F(v) = (Av, v) 2(f, v). A je symetrický a pozitivně definitní operátor (p(x) > 0 pro a x b; s q(x) je to složitější, ale q(x) 0 stačí). H A je zúplněníd(a) (doplněníd(a) o další funkce - limity). Zobecnění do 2D a 3D?

3 Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice. Laplaceův operátor v R 2 (E 2 ) v R 3 (E 3 ) = 2 x 2 1 = 2 x x 2 2 Laplaceova rovnice v R x2 2, u = 2 u x u x x3 2, u = 2 u x u x2 2 u = 0. Řešení např. u = 5x 1 + 9x 2, u = 8x 2 1 8x u x3 2.

4 Poissonova rovnice v R 2 u = f, kde f C(R 2 ) je zadaná funkce. Pro f = 2 sin x 1 cos x 2, řešení např. u = sin x 1 cos x 2. Obdobně Poissonova rovnice v R 3 : u = f. Laplaceův operátor se hojně vyskytuje ve fyzice (rovnice pro elektrický nebo gravitační potenciál, vedení tepla, šíření vln).

5 Okrajové úlohy pro Poissonovu (Laplaceovu) rovnici Oblast R n : otevřená, omezená a souvislá množina v R n. Předpoklady: je omezená oblast a její hranice Γ (často též značeno ) je lipschitzovská. Okrajová úloha: u = f v a na Γ okrajová podmínka Dirichletova: u = g na Γ, kde funkce g je na hranici Γ předepsána; Neumannova: u = h na Γ, kde funkce h je zadaná na ν hranici Γ (derivace řešení podle jednotkové vnější normály ν); Newtonova: u +αu = h na Γ, kde funkce α a h jsou ν zadané na hranici Γ. Dirichletův (Neumannův, Newtonův) problém pro Poissonovu rovnici.

6 Poznámka: Harmonické funkce Funkce u(x 1,..., x n ), která je v oblasti spojitá včetně derivací 2 u x 2 1,..., 2 u x 2 n a splňuje v rovnici u = 0, se nazývá harmonická v. Věta o maximu harmonické funkce. Necht u je funkce spojitá v a harmonická v. Pak pro každý bod y platí min u(x) u(y) max u(x). x Γ x Γ

7 Harmonická funkce e x (sin y + cos y), Konec poznámky. (x, y) [0, 1] [0, 5π].

8 Dirichletův problém pro Poissonovu rovnici podrobněji R 2, f C(), g C(Γ) Hledáme funkci u, která splňuje je spojitá v uzavřené oblasti = Γ; má v spojité parciální derivace 2 u a splňuje v rovnici u = f ; x 2 1 v každém bodě hranice Γ platí u = g. Stručně u C 2 () C(), u = f v, u = g na Γ. a 2 u x 2 2 Každou funkci s těmito vlastnostmi nazýváme (klasickým) řešením Dirichletova problému pro Poissonovu rovnici. Obdobně pro R 3, R n a pro f = 0 (Dirichletův problém pro Laplaceovu rovnici).

9 Existuje (klasické) řešení? Ano pro speciální, f a g. Obecně ale existence klasického řešení není zaručena. Je možné úlohu formulovat pomocí operátoru a přejít k variačním metodám? Pro jednoduchost předpokládejme g = 0. Pak operátor A : D(A) C() je dán předpisem Au = u a definičním oborem D(A) = {u C 2 () C() : u Γ = 0}. V 1D byla pro přechod k zobecněnému řešení klíčová symetrie operátoru a pozitivní definitnost operátoru (pak bylo možné zúplnit/rozšířit D(A) na H A a v H A existovalo minimum funkcionálu energie). Lze podobně postupovat i u Dirichletovy úlohy?

10 Co je obdobou integrace po částech, kterou známe z 1D úloh? Greenova věta Necht je oblast s lipschitzovskou hranicí a necht funkce f(x) = f(x 1,...,x n ) a g(x) = g(x 1,...,x n ) jsou spojité v Γ včetně parciálních derivací f/ x i, g/ x i pro některý index i. Pak platí f g dx = fgν i ds f g dx, x i Γ x i kde ν i je i-tá souřadnice jednotkového vektoru vnější normály. Poznámka: Greenova věta z MA3 pro vektorovou funkci f, tj. f νds = div f dx, plyne z nynější verze Gr. věty při volbě g = 1. Γ

11 Připomeňme, že i pro funkce u, v C() je skalární součin definován analogicky jako v případě 1D, tj. (u, v) = u(x)v(x)dx, jde tedy o dvojný (případně trojný, vícerozměrný) integrál. Operátor daný předpisem Au = u je na D(A) = {u C 2 () C() : u Γ = 0} symetrický. Díky Greenově větě totiž pro u, v D(A) platí (Au, v) = (u, Av) = u v dx, nebot integrály přes hranici Γ jsou nulové.

12 Operátor A je pozitivní: u D(A), u 0 (Au, u) = u u dx > 0. Je pozitivně definitní?

13 Friedrichsova nerovnost [K. Rektorys:Variační metody..., SNTL, Praha, 1974 (upraveno)] Necht je oblast s lipschitzovskou hranicí; uvažujme funkce z prostoru C 1 ( Γ). Pak existuje kladná konstanta c, závislá na, ale nezávislá na funkcích z C 1 ( Γ) a taková, že pro každou funkci u C 1 ( Γ) platí n k=1 ( ) u 2 dx + u 2 (S) ds c x k Γ u 2 (x) dx = c u 2 L 2 ().

14 Díky Friedrichsově nerovnosti pro u D(A) (je tedy u = 0 na Γ) platí (Au, u) = c u u dx = n k=1 u 2 (x) dx = c u 2 L 2 (). Operátor A je tudíž pozitivně definitní. ( ) u 2 dx x k

15 Můžeme tedy (vyšedše z operátorové rovnice Au = f ) definovat energetický skalární součin (u, v) A = (Au, v) a energetickou normu u A = (Au, u); definovat prostor H A jako zúplnění prostoru D(A); definovat na H A funkcionál energie F(u) = (u, u) A 2(f, u); definovat zobecněné řešení rovnice Au = f jako funkci u H A, v níž F nabývá svého minima na H A (minimum existuje); hledat přibližné řešení u k Ritzovou metodou, tj. hledat koeficienty a 1,...,a k v lineární kombinaci u k = a 1 v 1 + +a k v k, kde funkce v 1,..., v k jsou pevně dány a u k minimalizuje hodnotu funkcionálu energie na prostoru všech lineárních kombinací funkcí v 1,...,v k.

16 Několik obrázků bázových funkcí = (0, L 1 ) (0, L 2 ) (obdélník) Trigonometrická báze v 1 = sin πx 1 L 1 sin πx 2 L 2, v 2 = sin 2πx 1 L 1 sin πx 2 L 2, v 3 = sin πx 1 L 1 sin 2πx 2 L 2, v 4 = sin 3πx 1 L 1 sin πx 2 L 2, v 5 = sin 2πx 1 L 1 sin 2πx 2 L 2, v 6 = sin πx 1 L 1 sin 3πx 2 L 2,...

17 sin 2πx 1 L 1 sin 2πx 2 L 2 sin 3πx 1 L 1 sin πx 2 L 2 sin πx 1 L 1 sin 3πx 2 L 2

18 Polynomiální báze g = x 1 x 2 (L 1 x 1 )(L 2 x 2 ) v 1 = g, v 2 = x 1 g, v 3 = x 2 g, v 4 = x 2 1 g, v 5 = x 1 x 2 g, v 6 = x 2 2 g,... 1,0 0,5 1,0 0,5 0,0 0 0,0 0 1 x_2 0,0 0,5 2 x_1 1,0 1 0,0 x_2 2 1,0 0,5 x_1 1,5 1,0 0,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,5 0,0 0 1,0 x_2 1,5 2,0 1,0 0,5 x_1 0,0 1 0,0 x_2 2 1,0 0,5 x_1

19 Metoda konečných prvků (MKP) různé typy spojitých bázových funkcí s malým nosičem. Nejjednodušší po částech lineární. Na rozdíl od předchozí báze (Ritzova metoda), tato báze zajistí, že výsledná soustava lineárních algebraických rovnic bude mít řídkou matici

20 Obě metody (Ritzova, MKP) opět vedou k řešení soustavy lineárních algebraických rovnic přímou nebo iterační metodou. Sestavení soustavy (její matice a pravé strany) je pracné kvůli integraci, používá se integrace numerická. Vrat me se ještě k původní úloze a minimalizaci funkcionálu energie.

21 Necht u H A je bodem minima energetického funkcionálu a v H A. Definujme φ(t) = F(u + tv) a upravme φ(t) = F(u + tv) = (u + tv, u + tv) A 2(f, u + tv) = (u, u) A + 2t(u, v) A + t 2 (v, v) A 2(f, u) 2t(f, v). Z podmínky minima φ (0) = 0 (čárka značí derivaci dle t). Tedy (u, v) A = (f, v) musí platit pro v H A. Opět se tedy setkáváme s ekvivalentní úlohou: Najdi u H A takové, že platí (u, v) A = (f, v) v H A, která má totéž zobecněné řešení u jako minimalizace funkcionálu energie. Tuto formulaci můžeme odvodit i bez minimalizace funkcionálu energie.

22 Jiná cesta k zobecněnému řešení Jestliže u = f v R 2, pak uv dx = fv dx pro každou funkci v z vhodného velkého" prostoru?. S užitím Greenovy věty a u = 0 na Γ odvodíme slabě formulovanou úlohu: Najdi funkci u? takovou, aby platilo ( u v + u ) v dx = fv dx v?. x 1 x 1 x 2 x 2 Potřebujeme, aby takto formulovaná úloha měla řešení u, které sice nemusí ležet v C 2 (), avšak v případě, že náhodou u C 2 (), aby platilo u = f v a u = 0 na Γ. Ukáže se (netriviálně), že na místě? potřebujeme prostor H A, který známe z úvah o minimu funkcionálu energie (zúplnění D(A)).

23 Jak si představit funkce z prostoru H A? H A = {u L 2 () : u/ x 1, u/ x 2 L 2 (), u Γ = 0}, kde však derivace jsou zobecněné: Řekneme, že funkce v,i L 2 () je zobecněnou první parciální derivací podle proměnné x i funkce u L 2 (), platí-li pro každou funkci φ C0 () v,i φ dx = u φ dx, (1) x i kde C0 () je prostor všech funkcí nekonečně spojitě diferencovatelných v a nulových v nějakém okolí hranice oblasti. Jestliže u C 1 (), pak v,i u/ x i a v,i je parciální derivace funkce u v klasickém smyslu. V pozadí (1) stojí Greenova věta. Platnost u Γ = 0 též v jistém zobecněném smyslu (nulová stopa funkce).

24 Příklad v 1D: Necht u C([0, 2]), u [0,1] = x, u [1,2] = 2 x. Najděte zobecněnou derivaci funkce u. Označme φ dφ(x) dx 2 0 uφ dx = 1 0 a u du(x) dx. Pak uφ dx uφ dx 1 2 = [uφ] x=1 x=0 u φ dx +[uφ] x=2 x=1 u φ dx = u(1)φ(1) u(1)φ(1) = û φ dx, 1 0 1φ dx ( 1)φ dx kde û L 2 ([0, 2]), û [0,1) = 1, û (1,2] = 1, a φ C0 (0, 2).

25 Pozor 2 û φ dx = 2φ(1). Souvislost s Diracovou delta funkcí. 0

26 Prostor H A byl sice původně definován pomocí operátoru A, ale lze jej definovat přímo, bez operátoru A. Značí se W 1,2 (); pro R 2 W 1,2 () = {u L 2 () : u/ x 1, u/ x 2 L 2 (), u Γ = 0}. Ještě obecnější (bez podmínky nulovosti na hranici) je prostor W 1,2 () (Sobolevův prostor) W 1,2 () = {u L 2 () : u/ x 1, u/ x 2 L 2 ()}. Jest W 1,2 () W 1,2 (). Na obou prostorech je definován speciální skalární součin funkcí (užívá i derivace!) ( ) u v (u, v) W 1,2 () = (u, v) L 2 () +, x 1 x 1 L 2 () u v = uv dx + dx + x 1 x 1 Norma u W 1,2 () = (u, u) W (). 1,2 ( u +, x 2 ) v x 2 u v dx. x 2 x 2 Prostor W 1,2 () (i W 1,2 ()) je úplný (každá posloupnost cauchyovská v normě u W 1,2 () má limitu z W 1,2 ()). L 2 ()

27 Shrnutí Klasické řešení úlohy: najít u C 2 () C(), aby u = f v R 2, u = 0 na Γ. Slabé řešení úlohy: najít u W 1,2 (), aby u v dx = fv dx v W 1,2 (). (2) (Odpovídá nulové derivaci funkcionálu energie v každém směru v W 1,2 ().) Díky symetrii operátoru je (2) ekvivalentní minimalizaci funkcionálu energie na H A W 1,2 (), řešení u je v obou případech stejné.

28 Přibližné řešení rovnice ( u v + u ) v dx = x 1 x 1 x 2 x 2 fv dx v W 1,2 () na podprostoru V m W 1,2 () konečné dimenze opět ve tvaru lineární kombinace bázových funkcí v i, tj. u m = m i=1 c iv i, ( m i=1 c iv i v + m i=1 c ) iv i v dx = fv dx, x 1 x 1 x 2 x 2 m ( vi v c i + v ) i v dx = fv dx v V m. x 1 x 1 x 2 x 2 i=1 Místo testování funkcemi v V m stačí užít jen v 1,..., v m. Dostaneme soustavu m lin. alg. rovnic pro neznámý vektor c = (c 1,...,c m ) T, (v i, v 1 ) A c 1 +(v i, v 2 ) A c 2 + +(v i, v m ) A c m = (f, v i ), i = 1, 2,..., m. Tuto soustavu známe z Ritzovy metody a z MKP!!!

29 Obecná Dirichletova okrajová podmínka Klasické řešení úlohy: najít u C 2 () C(), aby u = f v R 2, u = g na Γ. Slabé řešení úlohy: Vezměme takovou funkci w W 1,2 (), aby splňovala w = g na Γ, pak hledáme u W 1,2 (), pro niž u w W 1,2 (), u v dx = fv dx v W 1,2 (). Lze řešit např. užitím u = w + u 0, kde u 0 W 1,2 (): u 0 v dx = fv dx w v dx v W 1,2 ().

30 Příklad v 1D: Okrajová úloha u + e x u = cos x v (0, 3), u(0) = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, tj. u = u 0 + w, navíc dokonce u = u 0. Pak OÚ pro neznámou funkci u 0: u 0 + ex (u 0 + w) = cos x v (0, 3), u 0 (0) = 0, u 0 (3) = 0. Slabá formulace: Najít u 0 W 1,2 ([0, 3]), aby v W 1,2 ([0, 3]) 3 0 ( u 0 (x)v (x)+e x u 0 (x)v(x) ) dx = 3 0 (cos x e x (1 2x))v(x) dx. Řešení původní úlohy je u = u x W 1,2 ([0, 3]).