Vzájemné vzdálenosti planetek

Transkript

1 Vzájemné vzdálenosti planetek OTA KÉHAR, MICHAELA NETRVALOVÁ Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni Správné představy o nepředstavitelných vzdálenostech objektů ve sluneční soustavě je nejenom pro žáky a studenty komplikovaná záležitost. Ukazují to nepovzbudivé výsledky dotazníkové šetření provedeného mezi 47 žáky gymnázia v Ostrově. Příspěvek by měl napomoci vylepšit naši představu o vzájemných vzdálenostech vybrané skupiny planetek ve sluneční soustavě. V příspěvku jsou popsány různé způsoby (kvalifikovaný odhad, statistické analýzy dat), jak dojít k hodnotám vzdáleností mezi analyzovanými objekty. Vzdálenosti ve sluneční soustavě Zpracování tohoto tématu předcházely dvě situace. Jedna spočívala v položení dotazu posluchače při semináři, který se věnoval využití dat z astronomických katalogů. Dotaz při ukázce obrázku znázorňující aktuální polohy planetek skupiny Jupiterových Trojanů ve sluneční soustavě [1] zněl: Jaká je vzájemná vzdálenost planetek v této skupině? Tehdy jsem musel jako přednášející přiznat, že správnou odpověď neznám. Druhá se týkala výsledků dotazníkového šetření věnovaného představám žáků o vzdálenostech těles ve sluneční soustavě. Jak zmiňuje Netrvalová [3], žáci mají tendenci odhadovat vzdálenosti planet rovnoměrně, aniž by si uvědomovali, že mohou být planety ve sluneční soustavě rozloženy jinak. Zarážející jsou i odpovědi, kdy byl Uran či Neptun umístěn do vzdálenosti menší než zadaná hodnota vzdálenosti Saturnu. Vždyť seřazení planet sluneční soustavy podle jejich vzdálenosti od Slunce je učivo nižšího stupně základní školy. Při vytváření skriptu pro tvorbu obrázků znázorňující aktuální polohy planetek ve sluneční soustavě bylo nutné zvolit velikost bodu, který by představoval jednu planetku. Obr. 1: Aktuální polohy planetek skupiny Jupiterových Trojanů ve sluneční soustavě pro , průmět do roviny ekliptiky; jeden bod znázorňující jednu planetku je o velikosti 2 2 pixely (vlevo) a 1 1 pixel (vpravo) 121

2 Vzhledem k tomu, že obrázek reprezentuje standardně situaci v ploše, přičemž v základním nastavení zobrazuje polohy planetek v rovině ekliptiky, nabízelo se, aby bod byl odlišen barvou podle toho, zda se planetka nachází nad ekliptikou (modrá tečka) či pod ekliptikou (červená tečka). Velikost bodu byla stanovena na 2 2 obrazové pixely. Polohu planetek skupiny Jupiterových Trojanů je pro datum znázorněn na obr. 1 vlevo. Nutno dodat, že vzdálenosti objektů jsou v měřítku; velikosti planet, Slunce a planetek nikoli. Jeden obrazový pixel představuje vzdálenost odpovídající deseti vzdálenostem Země Měsíc. Pokud by se pro jednu planetku zvolil bod o velikosti 1 1 obrazový pixel, výsledný obrázek by pro stejnou skupinu planetek a stejný den vypadal tak, jak je znázorněno na obr. 1 vpravo. Naši představivost o vzájemných vzdálenostech planetek ovlivní obrázek aktuálních poloh planetek, pokud se na vybranou skupinu planetek podíváme zboku (obr. 2). Obr. 2: Pohled na aktuální polohy planetek skupiny Jupiterových Trojanů zboku Obr. 3: Grafické zpracování výsledků dotazníkového šetření (zúčastnilo se ho v roce 2018 celkem 47 žáků dvou kvint gymnázia v Ostrově) týkající se představ vzdálenosti planet ve sluneční soustavě; velikost kolečka představuje četnost odpovědí; modrou šipkou je znázorněna správná vzdálenost planety od Slunce 122

3 Němečtí astronomové Titius a Bode vytvořili v druhé polovině 18. století model sluneční soustavy z tehdy známých planet tak, že rozdělili vzdálenost mezi Sluncem a Saturnem na 100 stejných dílků. Ve škole můžeme podobný model vyrobit pomoci nitě, na které bude navlečeno 100 korálků, vždy po 9 korálcích stejné barvy bude jeden korálek jiné barvy pro oddělení desítek. Vzdálenosti ostatních planet v tomto měřítku jsou Jupiter (52), Mars (16), Země (10), Venuše (7), Merkur (4), přičemž se může jednat o úkol pro žáky, kteří budou tyto vzdálenosti tipovat, odhadovat. Ve 21. století lze doplnit i vzdálenosti pro planety Uran (201) a Neptun (316), tyto planety byly postupně objeveny v roce 1781 a Polohy planetek ve sluneční soustavě Obrázek, který znázorňuje aktuální polohy vybraných skupin planetek ve sluneční soustavě, je k dispozici na stránkách Astronomia již od roku Nachází se na stránce astronomia.zcu.cz Planety Planetky Analýza parametrů planetek: část Export dat / Speciální. V roce 2018 byla tato část výrazně rozšířena. Přibyla možnost zvolit konkrétní datum, pro který se mají aktuální polohy planetek ve sluneční soustavě vypočítat; je ovšem nutné dát pozor na skutečnost, že aplikace při výpočtech nebere v potaz průběžné ovlivňování dráhových elementů jednotlivých planetek, takže polohy planetek se mohou pro vzdálenější časové okamžiky lišit. Mezi další změny patří možnost uložit aktuální polohy vybraných planetek do textového souboru pro jejich následné zpracování v tabulkovém procesoru (obr. 5). Obr. 4: Část Speciální pro Export dat u Analýzy parametrů planetek, vybrané jsou planetky patřící do skupiny Jupiterových Trojanů, aplikace se pokouší odhadnout velikost výsledného textového souboru (zde zhruba 0,2 MiB) astronomia.zcu.cz/planety/planetky/2381-analyza-parametru-planetek Aby bylo možné uložit či dále zpracovávat pouze část vybraných planetek, umožňuje aplikace omezit zobrazenou oblast. Děje se tak nastavením souřadnic od do u jednotlivých os ve třetím (spodním) řádku začínajícím slovy omezit oblast. Jaká část je nebo není uvažována, lze zobrazit přepnutím na formát výstupu PNG a kliknutím na Zobrazit, ukázka je na obr. 5 vlevo. Kromě zobrazení v rovině ekliptiky (pohled = shora), je možné použít i jiný pohled z boku osy x, z boku osy y. Do výsledného textového souboru lze zahrnout i vy- 123

4 kreslení oběžných drah jednotlivých planet, případně oběžnou dráhu osobního automobilu Tesla Roadster vypuštěného do vesmíru v únoru 2018 raketou Falcon Heavy. Obr. 5: Vlevo: Zobrazení poloh vybrané skupiny planetek ve sluneční soustavě včetně šedě zvýrazněné oblasti, která se nebude pro export uvažovat, tuto oblast je možné nastavit zvolením souřadnic (od do) u jednotlivých os nástrojem dostupným na obr. 4 v řádku začínajícím textem omezit oblast ; vpravo: Ukázka textového souboru otevřeného v tabulkovém procesoru se souřadnicemi poloh jednotlivých planetek; sloupec ID obsahuje číselné označení planetky, v následujících třech sloupcích jsou souřadnice x, y, z v astronomických jednotkách (au) První odhad vzdálenost (přes objem) Vzájemnou vzdálenost vybrané skupiny planetek lze v prvním přiblížení odhadnout přes objem, který daná skupina planetek zaujímá, a počtu planetek ve skupině. Textový soubor získaný ze stránek Astronomia obsahuje prostorové souřadnice (x, y, z) planetek. Pomocí funkcí tabulkového procesoru (dále bude uvažován MS Excel) lze získat maximální (MAX) a minimální (MIN) hodnotu na jednotlivých osách x, y a z. Absolutní hodnota rozdílu minimální a maximální hodnoty min osa max osa pro každou osu odpovídá rozměrům (stranám) prostoru, ve kterém se planetky nacházejí. Tento prostor má tvar kvádru a jeho objem vypočítáme jako součin jeho stran. Jestliže budeme předpokládat (byť realita tomu neodpovídá, jak ukazuje obr. 6), že jsou planetky v tomto prostoru rozloženy rovnoměrně, můžeme při znalosti objemu celého prostoru a počtu planetek v něm obsaženém vypočítat objem krychle, která odpovídá prostoru, který připadá na jednu planetku. Odhad vzájemné vzdálenosti planetek nakonec vypočítáme jako stranu této krychle. Pro skupinu planetek Jupiterových Trojanů, které následují planetu Jupiter, byla dne situace následující: Minimální hodnoty: na ose x = 6,1 au, na ose y = 1,8 au, na ose z = 2,8 au; Maximální hodnoty: na ose x = 3,1 au, na ose y = 4,5 au, na ose z = 3,4 au; Strany kvádru: a = 3,0 au, b = 6,3 au, c = 6,2 au; Objem kvádru: V = abc = 120 au 3 ; Počet planetek: n ~ 1700; Objem prostoru okolo jedné planetky: V k = V / n = 120 / 1700 au 3 = 0,07 au 3 (do tohoto objemu by se vešlo 166 tisíc Sluncí); Odhad vzdálenosti planetek (strana krychle): V k = d 3 d ~ 0,4 au (střední vzdálenost Merkuru od Slunce). Výsledek jistě překvapí, mezi planetkami je obrovské množství prázdného prostoru. Samotná planetka může 124

5 mít průměr až 100 km. V porovnání se vzdáleností 0,4 au, což je téměř 60 miliónů kilometrů, se jedná o zanedbatelný rozměr. Obr. 6: Rozložení vybrané skupiny planetek (Jupiterovy Trojané následující Jupiter) na jednotlivých osách x, y, z ukazuje, že planetky nejsou ve skupině rozloženy rovnoměrně Soubor se vzdálenostmi planetek Export dat umožňuje i výpočet a uložení vzájemných vzdáleností vybrané, případně vhodně omezené (viz obr. 5 vlevo) skupiny planetek. K tomuto je určen přepínač ano/ne na obr. 4 v části analyzovat vzdálenosti. V závorce lze zvolit, jaké vzdálenosti požadujeme vypsat vzájemné / nejmenší / 10 % nejbližších. Ukázka souboru obsahujícího vzájemné vzdálenosti planetek otevřeného v tabulkovém procesoru je na obr. 7. Soubor se vzájemnými vzdálenostmi může mít oproti souboru obsahujícím pouze souřadnice planetek mnohem větší velikost, několik desítek až stovek MiB, záleží na počtu planetek, protože množství hodnot (vzdáleností) roste s druhou mocninou počtu planetek. Aplikace se podle nastavení snaží velikost souboru odhadnout a uvést pod tlačítkem Uložit. Obr. 7: Část textového souboru se vzájemnými vzdálenostmi planetek; v prvních sloupcích (např. zde A až W) jsou jednotlivé vzdálenosti, v dalších sloupcích (např. zde Y a dále) jsou číselná označení planetek, kterým příslušná vzdálenost přísluší, např. planetky (617) Patroclus a (884) Priamus (údaj v buňce Y1704) jsou od sebe ve vybraný den vzdáleny 2,4867 au (údaj v buňce A1704) 125

6 Druhý odhad vzdálenosti (statistické analýzy) Vzájemné vzdálenosti vybrané skupiny planetek získané v textovém souboru je možné statisticky zpracovat. K tomu se hodí použití tabulkových procesorů, které obsahují vhodné funkce. Některé výstupy jsou ovšem k dispozici pouze v novějších verzích MS Excel, např. histogram se zde vyskytuje až od verze U histogramu ovšem pozor na data, která se nacházejí ve více sloupcích, toto MS Excel neumí zpracovat do jednoho histogramu. Pro starší verze či pro obejití technického omezení s histogramem je nutné použít kontingenční tabulku nebo použít funkci COUNTIFS s podmínkou od-do pro zjištění četnosti dat v závislosti na vzdálenosti. Obr. 8: Histogram vzájemných vzdáleností vybrané skupiny planetek (Jupiterovy Trojané následující Jupiter) pro ; vodorovná osa obsahuje vzdálenost v au, na svislé ose je vynesena četnost; celkem je pro planetek k dispozici vzdáleností U každého souboru dat lze zkoumat řadu statistické vlastnosti. Pro určení typu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny zjistíme koeficient šikmosti, který popisuje nesymetrii rozdělení náhodné veličiny. V MS Excel použijeme funkci SKEW. Pro vzdálenosti z obr. 8 vyjde SKEW = 0,55. Můžeme tak vyloučit normální rozdělení, pro které by musel být koeficient šikmosti nulový. U log-normálního rozdělení je první podmínkou, aby byl koeficient šikmosti větší než nula. Toto je splněno, viz výše. Druhá podmínka říká, že náhodná veličina X má takovou vlastnost, že náhodná veličina ln X odpovídá normálnímu rozdělení, tzn. SKEW (ln X) = 0. Pro data z obr. 8 vyjde SKEW (ln X) = 0,85. Tím lze vyloučit i log-normální rozdělení. S největší pravděpodobností jde o Weibullovo rozdělení s parametrem tvaru k = 2 a parametrem měřítka λ =

7 Kromě histogramu lze zjišťovat další základní statistické veličiny: Minimální hodnota: minimální hodnota z celého souboru dat, v MS Excel se použije funkce MIN(rozsah); MIN = 0,01 au (odpovídá vzdálenosti mezi planetkami s číselnými označeními a ); Maximální hodnota: maximální hodnota z celého souboru dat, v MS Excel se použije funkce MAX(rozsah); MAX = 6,55 au (mezi planetkami a ); Aritmetický průměr: součet všech hodnot dělený počtem hodnot, v MS Excel se použije funkce PRŮMĚR(rozsah); = 2,07 au; Směrodatná odchylka: odmocnina z rozptylu, což je proměnlivost rozdělení hodnot kolem střední hodnoty, vypočte se jako aritmetický průměr druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru, v MS Excel se použije funkce SMODCH.P(rozsah); σ = 1,01 au. Modus: hodnota, která je v souboru dat nejčastěji zastoupena, v MS Excel se použije funkce MODE.SNGL(rozsah). Tato funkce platí pro verze 2013 a vyšší, ve starších se používala funkce MODE. S ohledem na velké množství dat, zejména u vzájemných vzdáleností všech planetek v souboru, může trvat nalezení nejčastější hodnoty delší dobu několik minut, ale na méně výkonných počítačích i desítek minut. Dobu analýzy lze výrazně zkrátit, pokud by se hodnota vzdálenosti, která je standardně počítána na 4 desetinná místa, zaokrouhlila na 2 desetinná místa. Tím ovšem mohu získat nepatrně jinou hodnotu, ale přesnost na 2 desetinná místa je více než dostačující. Mod(x na 4 des. místa) = 1,7222 au (hodnota se v souboru objevuje 85krát), Mod(x na 2 des. místa) = 1,53 au (hodnota se v souboru objevuje 5920krát). Medián: hodnota, která se nachází v polovině vzestupně seřazeného souboru dat, v MS Excel se použije MEDIAN(rozsah). Pokud má soubor dat lichý počet hodnot, použije se hodnota uprostřed souboru dat. Pokud má soubor dat sudý počet hodnot, vypočítá se medián jako aritmetický průměr hodnot nacházejících se uprostřed souboru dat. Med(x) = 1,95 au. Variační koeficient: vyjadřuje míru kvality průměru, vypočítá se jako podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru v x = σ /. Na základě velmi hrubého pravidla prozrazuje variační koeficient s hodnotami vyššími než 50 % silnou nesourodost souboru dat, použití aritmetického průměru je pak na hranici oprávněnosti. v x = 49 %. 127

8 Obr. 9: Histogram minimálních vzdáleností vybrané skupiny planetek (Jupiterovy Trojané následující Jupiter) pro ; vodorovná osa obsahuje vzdálenost v au, na svislé ose je vynesena četnost; celkem je pro planetek k dispozici vzdáleností Podobnou statistickou analýzu je možné provést pro nejmenší vzdálenosti vybrané skupiny planetek, stačí v aplikaci na Astronomia zvolit v části analyzovat vzdálenosti variantu nejmenší (obr. 4). V tomto případě je výsledný soubor se vzdálenostmi podstatně menší, obsahuje pouze 1742 hodnot (o jednu méně, než je počet planetek ve skupině, protože se jedná o nejmenší vzájemné vzdálenosti). Minimální hodnota: 0,01 au mezi planetkami a Maximální hodnota: 0,77 au mezi planetkami (5144) Achates a Aritmetický průměr: 0,14 au Směrodatná odchylka: 0,08 au Modus: 0,10 au Medián: 0,12 au Variační koeficient: 55 % 128

9 Obr. 10: Histogram 10 % nejbližších vzdáleností ve vybrané skupině planetek (Jupiterovy Trojané následující Jupiter) pro ; vodorovná osa obsahuje vzdálenost v au, na svislé ose je vynesena četnost; celkem je pro planetek k dispozici vzdáleností Analyzovat je možné i určité procento nejbližších vzdáleností vybrané skupiny planetek. V aplikaci na Astronomia je nastavena možnost 10 % nejbližších vzdáleností. Výsledný soubor má zhruba 6 MiB a obsahuje vzdáleností. Histogram těchto vzdáleností je k dispozici na obr. 10. Základní statistické hodnoty jsou: Minimální hodnota: 0,01 au mezi planetkami a Maximální hodnota: 2,38 au mezi planetkami a Aritmetický průměr: 0,69 au Směrodatná odchylka: 0,32 au Modus: 0,574 au 549krát Medián: 0,63 au Variační koeficient: 46 % 129

10 Obr. 11: Vývoj statistických parametrů (minimální hodnota černím puntíkem, maximální hodnota černým puntíkem, aritmetický průměr červeným puntíkem, směrodatná odchylka znázorněna žlutým obdélníkem) pro různá procenta nejbližších vzdáleností ve vybrané skupině planetek (Jupiterovy Trojané následující Jupiter) Závěr Různými způsoby lze dospět ke konkrétním hodnotám vzdáleností, které jsou mezi planetkami nacházející se ve vybrané skupině, v tomto případě byla pro jeden okamžik analyzována skupina Jupiterových Trojanů následující planetu Jupiter. Následnými analýzami se ukazuje, že výsledky pro jiný den či skupinu Trojanů předcházející planetu Jupiter budou srovnatelné s těmi, co jsou uvedeny v tomto příspěvku. Samotné výsledky ovšem přinášejí další otázky, na které se ještě nepodařilo najít uspokojivé odpovědi. Např. která hodnota je ta správná minimální vzdálenost, maximální vzdálenost, průměrná hodnota spolu se směrodatnými odchylkami (zde je ovšem nutné podotknout, že variační koeficient dosahuje hodnoty, která vypovídá o jisté nesourodosti statistických dat, a proto je použití aritmetického průměru diskutabilní záležitost). Otázkou i je, zda vzít k analýze všechny vzájemné vzdálenosti nebo jen ty nejmenší. Případně jaké procento nejbližších vzdáleností bude ideální pro utvoření správných představ o vzájemných vzdálenostech planetek. Ukazuje se, že naše představy mohou být zkresleny pohledem na obrázky, které nejsou (a ani nemohou být) ve správném měřítku. Toto je nutné žákům a studentům neustále připomínat, aby se v nich nevytvořily různé miskoncepce. Vzdálenosti mezi planetkami jsou obrovské (obr. 12). Planetky jsou objekty o velikostech maximálně několik set kilometrů, nicméně mezi nimi jsou prostory prázdnoty, jejich vzdálenosti jsou srovnatelné se vzdáleností Venuše od Slunce (0,7 au ~ 100 miliónů kilometrů), případně Země na své oběžné dráze mezi místy, kdy je v přísluní a odsluní (2 au ~ 300 miliónů kilometrů). 130

11 Obr. 12: Vypovídající ilustrace o vzájemných vzdálenostech mezi planetkami Jak píše Netrvalová ve své diplomové práci [3], toto téma lze využít nejenom pro statistické analýzy většího množství dat, ale i pro tvorbu příkladů na výpočet gravitační síly mezi vybraným planetkami. Literatura [1] Astronomia [online]. Plzeň: Fakulta pedagogická Západočeské univerzity v Plzni [cit ]. Dostupné z: astronomia.zcu.cz [2] KÉHAR, O. Katalogy astronomických objektů na webových stránkách Astronomia a jejich použití ve školách. Plzeň, Disertační práce. Fakulta pedagogická Západočeské univerzity v Plzni. Školitel RNDr. Miroslav Randa, Ph.D. [3] NETRVALOVÁ, M. Statistický rozbor vzdálenosti planetek dané skupiny a možnost jeho využití ve výuce. Plzeň, Diplomová práce. Fakulta pedagogická Západočeské univerzity v Plzni. Vedoucí práce PhDr. Ing. Ota Kéhar, Ph.D. 131