Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Transkript

1 Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Milan Holický Kloknerův ústav ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady - pomůcky EXCEL

2 Obsah přílohy D D.1 Rozsah platnosti D.2 Značky D.3 Druhy zkoušek D.4 Plánování zkoušek D.5 Odvození návrhových hodnot D.6 Obecné zásady statistického hodnocení D.7 Stanovení jedné nezávislé vlastnosti (pevnosti) D.8 Stanovení modelů odolnosti (zkoušky prvků)

3 Obecné zásady statistického hodnocení Zkoušky jedné nezávislá vlastnost, např. pevnosti, modulu pružnosti: velmi malý počet zkoušek (méně než 6) - statistické postupy se obtížně aplikují je možné využít předchozí informace (např. o variabilitě) postupuje se podle D.7, nebo se využijí Bayesovské postupy podle ISO větší počet zkoušek (6 a více) běžné statistické postupy popřípadě doplněné předchozími informacemi (např. o variabilitě) postupuje se podle D.7. Zkoušky celého prvku (např. nosníku, sloupu, styčníku), pro který je k dispozici teoretický model postupuje se podle oddílu D.8.

4 Dolní a horní kvantil teoretického modelu Hustota pravděpodobnosti (u) 0,4 0,3 0,2 U =1 U =1 0,1 p = 0,05 1- p = 0,05 u 0,05 = -1,645 U = 0 u 0,95 = 1,645 0,0-3,5-2,5-1,5-0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 Normovaná náhodná veličina U=(X X )/ X s normálním rozdělením

5 Kvantil teoretického modelu x p = + u p = (1+ u p V) Kvantil u p normované náhodné veličiny s normálním rozdělením. p ,001 0,010 0,050 0,100 0,200 0,500 u p -5,199-4,753-4,265-3,719-3,091-2,327-1,645-1,282-0,841 0,000 Kvantil u p normované náhodné veličiny s lognormální rozdělení. Pravděpodobnosti p ,01 0,05 0,10 0,20 0,50 0,80 0,90 0,95 0, ,0-6,40-4,70-3,03-1,85-1,32-0,74 0,15 0,84 1,13 1,34 1,68 1,99 2,19 0,0-3,72-3,09-2,33-1,65-1,28-0,84 0,00 0,84 1,28 1,65 2,33 3,09 3,72 1,0-2,19-1,99-1,68-1,34-1,13-0,84-0, ,32 1,85 3,03 4,70 6,40

6 Kvantil lognormálního rozdělení x p 2 exp u p ln(1 V ) 2 1V x p exp u p V Kvantil gumbelova rozdělení x p x mod 1 c ln( ln( p)) (0,45 0,78ln( ln( p)))

7 Návrhové hodnoty ze souboru x i,i=1, n m X = ( x i ) /n, s X = ( x i m X ) /n, V X = s X /m X Stanoví se charakteristická hodnota X k(n) a ta se dělí dílčím součinitelem, popřípadě násobí převodním součinitelem (D.7 a D.8 ČSN EN 1990); X X d k( n) = h d = h X k(n) m d m hd = Návrhová hodnota se stanoví přímo, s implicitním nebo explicitním uvážením konverze výsledků a celkové požadované spolehlivosti (D.7 a D.8 ČSN EN 1990). X d = h d m X (1 k d,n V X ) X {1- k m m X n V {1- k X n } V X }

8 Mez kluzu pro S měření Relative frequency Density Plot (Shifted Lognormal) - [A1_792] f yd f yk m X = Mpa s X = 23.3 Mpa V X = 0.08 a X = 0.96 f yd,001 = 243 MPa f yk,05 = 259 MPa Odlehlá pozorování Yield strength [MPa]

9 Mez kluzu pro S měření Relative Frequency Density Plot (Normal (Gauss)) - [A2_780] m X = MPa s X = 20.0 MPa V X = 0.07 a X = f yd,001 = 221 MPa f yk,05 = 254 MPa f yd f yk Yield strength [MPa]

10 Odhad kvantilu ze souboru Základní metody Pokryvná metoda: x p,cover - confidence level : P{x p,cover < x p } = Předpovědní metoda: x p,pred - pravděpodobnost p výskytu příští hodnoty x n+1 : P{x n+1 < x p,pred } = p Bayesovský přístup: kombinace pozorovaných datdata (s průměrem m a směrodatnou odchylkou s) a předchozích dat (m, s ) pro kterou se stanoví výsledné charakteristiky (m, s ) - pak se aplikuje pokryvná nebo předpovědní metoda

11 Vliv konfidence 10 Součinitele k p a -t p (1/n+1) 1/2 pro normální rozdělení a různé konfidence součinitele k p a t p (1/n+1) 1/2 k p pro = 0,95 5 k p pro = 0,90 k p pro = 0,75 1,64 t p (1/n+1) 1/2 n

12 Předpovědní metoda Soubor: x i, n, m, s, ( P(x n+1 < x p, pred ) = p Známé x p,pred = m + u p (1/n +1) 1/2 Neznámé - uvažuje se odhad s x p,pred = m + t p (1/n +1) 1/2 s

13 Odhad kvantilů podle Eurokódů Odpovídá přibližně konfidenci = 0,75 Součinitele k n pro 5% charakteristickou hodnotu. Rozsah souboru n Součinitel u p (1/n+1) 1/2, známé 2,31 2,01 1,89 1,83 1,80 1,77 1,74 1,72 1,68 1,67 1,64 - t p (1/n+1) 1/2, neznámé - - 3,37 2,63 2,33 2,18 2,00 1,92 1,76 1,73 1,64. Součinitele k n pro návrhovou hodnotu x d dominantní veličiny, P(X < x d ) = 0,001. Rozsah souboru n Součinitel u p (1/n+1) 1/2, známé 4,36 3,77 3,56 3,44 3,37 3,33 3,27 3,23 3,16 3,13 3,09 - t p (1/n+1) 1/2, neznámé ,4 7,85 6,36 5,07 4,51 3,64 3,44 3,09

14 Příklad odhadu kvantilu BETON: n = 5, m = 29,2 MPa, s = 4,6 MPa Pokryvná metoda Pro = 0,75: x p, cover = 29,2-2,46 4,6 =17,9 MPa Pro = 0,95: x p, cover = 29,2-4,20 4,6 = 9,9 MPa Předpovědní metoda x p,pred = 29,2-2,33 4,6 =18,5 MPa

15 Navrhování pomocí zkoušek Stanovení charakteristické a návrhové hodonoty podle ČSN EN 1990, článků D7.2 a D7.3 Pole vstupních dat (re v řádcích 6 až 51) d = 1 m = 1,5 Gener. soub. X= 30 VX= 0,167 Pole výstupních dat (LN(re) v řádcích 6 až 51) Normální rozdělení Lognormální rozdělení Příklad re Ln(re) Statistické char. kn kd,n Xk Xd z Xk Xd přímo Xk Xd z Xk Xd přímo Gen.soub. 34,02 3,53 n= 24 Součinitele a hodnoty veličiny X pro neznámé VX 22,04 29,76 3,39 mx= 30,80 1,749 3, ,56 14,37 12,01 22,46 14,97 16,45 24,87 29,55 3,39 sx= 5,28 Součinitele a hodnoty veličiny X pro známé VX 28,85 26,50 3,28 VX= 0,17 1,679 3,154 21,93 14,62 14,14 22,74 15,16 17,63 24,59 35,25 3,56 my= 3,41 28,10 32,70 3,49 sy= 0,17 Kontrolní charakt. 27,50 29,49 3,38 Šikmost souboru gener. souboru 31,11 30,22 3,41 X= 0,47151 n= 24 25,17 29,39 3,38 mx= 27,88 25,40 21,71 3,08 sx= 4,00 34,00 32,61 3,48 Hodnoty součinitelů kn a kd,n VX= 0,14 25,43 32,73 3,49 Neznámé VX Známé VX X= 0, ,13 32,79 3,49 n kn kd,n kn kd,n 34,42 33,30 3,51 3 3,372 1,899 3,568 22,93 23,18 3,14 4 2,631 11,420 1,839 3,455 28,74 45,78 3,82 5 2,335 7,858 1,802 3,385 31,50 33,45 3,51 6 2,177 6,366 1,777 3,338 25,95 22,25 3,10 8 2,010 5,076 1,745 3,278 23,81 33,83 3, ,923 4,507 1,725 3,241 32,26 24,15 3, ,819 3,912 1,699 3,192 35,31 33,97 3, ,772 3,668 1,685 3,167 24,05 25,85 3, ,727 3,452 1,672 3,141 26,96 30,26 3, ,645 3,090 1,645 3,090 32,96 36,44 3,60 EN 1990 uvádí pro kd,n nepatrně nižší hodnoty 23,15

16 Model odolnosti - Stanovení modelu odolnosti pedle ČSN EN 1990, článků D8.2 a D8.3 Pole vstupních dat Odchylka Pole výstupních dat Re/(b*Rt) rt rt re X V(X) n j rt*rt rt*re d LN(d) V(X) 2 +1 Součet S rt*rt= ,62 103,90 114,34 X1 0, ,92-0,08 1,0036 Součet S rt*re= ,72 115,80 135,29 X2 0, ,98-0,02 1,0144 Směrnice b= 1,19 98,74 119,17 X ,01 0,01 104,66 118, ,95-0,05 Sm. odch. Lnd s(d)= 0,05 93,65 112, ,00 0,00 Var. koef. d Vd= 0,05 100,12 129, ,08 0,08 Var. koef. Rt Vrt= 0,13 85,95 102, ,00 0,00 Var. koef. r Vr= 0,14 82,86 98, ,99-0,01 Odmovnina rt Qrt= 0,13 112,29 126, ,94-0,06 Odmocnina d Qd= 0,05 95,12 120, ,06 0,06 Odmnocnina r Q= 0,14 101,13 115, ,96-0,04 Souč.citliv.Qrt art= 0,95 84,87 107, ,06 0,06 Souč.citliv. Qd ad= 0,32 99,79 118, ,00 0,00 Součinitel char.h. kn= 1,74 114,56 143, ,05 0,05 Součinitel návr.h. kdn= 3,54 100,46 117, ,98-0,02 Průměr teor. modelu rm= 30,00 118,46 143, ,01 0,01 Součinitel ch.h. fk= 0,78 91,59 116, ,07 0,06 Charakt.odolnost rk= 23,52 107,20 119, ,94-0,07 Součinitel náv.h. fd= 0,64 94,46 113, ,00 0,00 Návrh. Odolnost rd= 19,18 114,94 145, ,06 0,06 Dílčí součinitel m= 1,23 102,25 115, ,94-0,06 105,99 127, ,01 0,01 92,01 111, ,02 0,02 113,76 134, ,99-0,01

17 Závěrečné poznámky Při hodnocení zkoušek nejdříve ověřit výsledky na základě grafické znázornění, např. histogramu Vyloučit chyby a odlehlá pozorování Materiálové vlastnosti se zpravidla popisují normálním nebo lognormálním rozdělením (při variabilitě větší než ~ 0,15) Kombinovat kriticky postup nepřímého (prostřednictvím charakteristické hodnoty) a přímého stanovení návrhové hodnoty Prověřit předchozí informace (např. variabilitu, rozdělení) a využívat je obezřetně Bayesovský postup aplikovat po kritickém ověření apriorních informací

18 Na řešení projektu se podílí Inovace metod hodnocení existujících stavebních konstrukcí CZ /4.2.01/0005 podpora zaměstnanosti Děkuji za pozornost Milan Holický Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

19 Bayesovská metoda odhadu kvantilů Zjištěné informace: m, s, n, Apriorní informace: m, s, V(), V(), (n, ) Aktualizované informace: m, s, n, n = n + n' = + -1 je-li n 1, = + je-li n = 0 m = (mn + m n ) / n s 2 = ( s 2 + s 2 + n m 2 + n m 2 - n m 2 ) / n = [s' / (m' V())] 2, = 1 /(2 V() 2 ) x p,bayes = m + t p (1/n + 1) 1/2 s

20 Příklad bayesovské metody BETON: n = 5, m = 29,2 MPa, s = 4,6 MPa m = 30,1 MPa, V() = 0,50, s = 4,4 MPa, V() = 0,28 2 4,4 1 1 n = <1, = ,1 0,50 2 0,28 n = 5, = 10, m = 29,2 MPa, s = 4,5 MPa x p, Bayes = 29,2-1, ,5 = 20,3 MPa

21 Známé Pokryvná metoda Soubor: x i, n, m, s, ( Konfidence P(x p,cover < x p ) = x p,cover = m - p Neznámé - uvažuje se odhad s x p,cover = m - k p s

22 Obecný vztah pro odhad kvantilu x k = průměr - k směrodatná odchylka Teoretický model: x k = X - k 1 X Soubor: x k = m X - k 2 s X nebo x k = m X - k 3 X k součinitel směrodatné odchylky závisí na - - rozměru souboru - - předchozí informci - - asymetrii - - konfidenci Charakteristická pevnost f k = 5 % kvantil

23 Vliv šikmosti - kladná šikmost 0,5 0,4 0,3 = + 1,0 = 0,0 0,2 0,1 0 p = 5 % -1,65-1,34 (x- X )/ X

24 Vliv šikmosti - záporná šikmost 0,5 0,4 = 0,0 = - 1,0 0,3 0,2 0,1 p = 5 % -1,85-1,65 (x- X )/ X

25 Součinitel k 2 pro odhad: f k = m X - k 2 s X 10 k 2 = = = n p=0.05 = 0.95