4EK211 Základy ekonometrie

Transkript

1 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 1: Opakování ze statistiky LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE

2 Z čeho studovat 1) Z KNIHY Krkošková, Š., Ráčková, A., Zouhar, J.: Základy ekonometrie v příkladech, 2. vydání, VŠE, 2010 Hušek, R.: Ekonometrická analýza, Oeconomica, 2007 Hušek, R.: Aplikovaná ekonometrie: teorie a praxe, Oeconomica, ) Z WEBU: prezentace ze cvičení 3) PŘIJÍT NA KH: středa 14:30-16:00, čtvrtek 12:45-14:15 PRŮBĚŽNÝ TEST: 30 BODŮ, CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 2

3 1.1 Charakteristiky polohy 1. Střední hodnota 2. Medián 3. Modus A) Nejčastěji se vyskytující hodnota v populaci. B) Dlouhodobý průměr výsledků při opakovaném náhodném výběru z populace. c) Hodnota oddělující horní polovinu populace od spodní. CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 3

4 1.1 Charakteristiky polohy 1. Střední hodnota 2. Medián 3. Modus A) Nejčastěji se vyskytující hodnota v populaci. B) Dlouhodobý průměr výsledků při opakovaném náhodném výběru z populace. c) Hodnota oddělující horní polovinu populace od spodní. CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 4

5 1.1 Charakteristiky polohy 1. Ve 2. čtvrtletí 2014 činila mzda Kč. a) průměrná b) mediánová 2. mzda činila Kč. a) Průměrná b) Mediánová 3. Přibližně zaměstnanců má podprůměrnou mzdu. a) 33 % b) 66 % CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 5

6 1.1 Charakteristiky polohy 1. Ve 2. čtvrtletí 2014 činila mzda Kč. a) průměrná b) mediánová 2. mzda činila Kč. a) Průměrná b) Mediánová 3. Přibližně zaměstnanců má podprůměrnou mzdu. a) 33 % b) 66 % CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 6

7 1.1 Charakteristiky polohy Následující data představují hodinovou mzdu deseti studentů Určete: 1. průměr 2. medián 3. modus CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 7

8 1.1 Charakteristiky polohy Následující data představují hodinovou mzdu deseti studentů Určete: 1. průměr 150 Kč 2. medián 105 Kč 3. modus 90 Kč Jak na to: CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 8

9 1.2 Normální rozdělení Co je to hustota pravděpodobnosti? Co je to distribuční funkce? Co z toho je na obrázku? dnorm(x, 0, 1) μ = 0, xσ = 1 CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 9

10 1.2 Normální rozdělení Která veličina má vyšší střední hodnotu? Která veličina má větší rozptyl? μ = 0, σ = 1 μ = 0,5, σ = 1 μ = 0, σ = 1 μ = 0, σ = 2 CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 10

11 1.3 Normální rozdělení Co je to rozptyl? Co je to směrodatná odchylka? Jak byste tyto pojmy vysvětlili někomu, kdo o statistice nic neví? Uvažujme náhodnou veličinu se střední hodnotou 5 a rozptylem 0. Co můžeme říct o této náhodné veličině? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 11

12 1.3 Normální rozdělení Příklad: Jaká je střední hodnota IQ v populaci? Jaká je směrodatná odchylka? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 12

13 1.4 Další důležitá rozdělení a) Chí-kvadrát rozdělení b) Studentovo t-rozdělení C) Fisherovo rozdělení Jak tato rozdělení vypadají? Platí: Pokud mají nezávislé, stejně rozdělené veličiny X 1, X 2,, X n rozdělení N(0; 1), má součet jejich druhých mocnin chí-kvadrát rozdělení s n stupni volnosti. Jsou-li veličiny U ~ N(0; 1), Z ~ χ 2 (n) nezávislé, má veličina U Z n t-rozdělení s n stupni volnosti. Má-li veličina K 1 chí-kvadrát rozdělení s n 1 stupni volnosti a veličina K 2 chí-kvadrát rozdělení s n 2 stupni volnosti, pak má veličina K 1/n 1 K 2 /n 2 Fisherovo rozdělení s n 1, n 2 stupni volnosti. CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 13

14 1.4 Počítání se stř. hodnotami a rozptyly Jsou dány nezávislé náhodné veličiny X a Y, kde: Ex = 10, varx = 1 Ey = 5, vary = 2 Spočítejte: a) E[4x] e) var[4x] b) E[x + 5] f) var[x + 5] c) E[x + y] g) var[x + y] d) E[4x + 3y] h) var[4x + 3y] CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 14

15 1.4 Počítání se stř. hodnotami a rozptyly Jsou dány nezávislé náhodné veličiny X a Y, kde: Ex = 10, varx = 1 Ey = 5, vary = 2 Spočítejte: a) E[4x] = 40 e) var[4x] = 16 b) E[x + 5] = 15 f) var[x + 5] = 1 c) E[x + y] = 15 g) var[x + y] = 3 d) E[4x + 3y] = 55 h) var[4x + 3y] = 34 CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 15

16 1.5 Náhodný výběr Náhodné veličiny x 1, x 2,, x 10 jsou nezávislé a pochází z rozdělení N(μ, σ 2 ). Výběrový průměr: x = 1 10 i=1 10 x i Výběrový rozptyl: s 2 = 1 9 i=1 10 (x i x) 2 Jaké rozdělení má: a) x CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 16

17 1.5 Náhodný výběr Náhodné veličiny x 1, x 2,, x 10 jsou nezávislé a pochází z rozdělení N(μ, σ 2 ). Výběrový průměr: x = 1 10 i=1 10 x i Výběrový rozptyl: s 2 = 1 9 i=1 10 (x i x) 2 Jaké rozdělení má: a) x ~ N(μ ; σ2 10 ) protože E( x) = 1 10 i=1 10 E(x i ) = 1 10 i=1 10 μ = μ var( x) = ( 1 10 )2 10 i=1 var(x i ) = ( 1 10 )2 10 i=1 σ 2 = σ2 10 Co by se stalo se střední hodnotou x, kdybychom měli nikoli 10, ale náhodných veličin? A kdyby jich bylo nekonečno? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 17

18 1.5 Náhodný výběr Náhodné veličiny x 1, x 2,, x 10 jsou nezávislé a pochází z rozdělení N(μ, σ 2 ). Výběrový průměr: x = 1 10 i=1 10 x i Výběrový rozptyl: s 2 = 1 9 i=1 10 (x i x) 2 Jaké rozdělení má: b) U = x μ σ CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 18

19 1.5 Náhodný výběr Náhodné veličiny x 1, x 2,, x 10 jsou nezávislé a pochází z rozdělení N(μ, σ 2 ). Výběrový průměr: x = 1 10 i=1 10 x i Výběrový rozptyl: s 2 = 1 9 i=1 10 (x i x) 2 Jaké rozdělení má: b) U = x μ σ 2 10 ~ N(0; 1) Jak se nazývá toto rozdělení? Obecně, jak transformujeme libovolné normální rozdělení na toto rozdělení? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 19

20 1.5 Testování hypotéz Ve firmě je 100 zaměstnanců a my si myslíme, že jejich průměrná výška je 175 cm. Je to ale opravdu tak? Mohli bychom všechny změřit a spočítat průměr. Nebo bychom mohli změřit jen některé, abychom sobě i jim ulehčili čas, a pomoci si svými poznatky ze statistiky. Vybereme tedy náhodně 20 zaměstnanců (viz tabulka). Předpokládáme, že výška zaměstnanců má normální rozdělení CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 20

21 1.5 Testování hypotéz Co je v tomto případě populací? Co je v tomto případě výběrem? Spočítejte výběrový průměr. Spočítejte výběrový rozptyl a směrodatnou odchylku CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 21

22 1.5 Testování hypotéz Co je v tomto případě populací? Co je v tomto případě výběrem? Spočítejte výběrový průměr. Spočítejte výběrový rozptyl a směrodatnou odchylku. x = 173,75 s 2 = 52,51 s = 7, CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 22

23 1.5 Testování hypotéz 1. Zapište nulovou a alternativní hypotézu. 2. Spočítejte testovou statistiku. 3. Najděte kritickou hodnotu. 4. Učiňte nějaký závěr CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 23

24 1.5 Testování hypotéz 1. Zapište nulovou a alternativní hypotézu. 2. Spočítejte testovou statistiku. 3. Najděte kritickou hodnotu. 4. Učiňte nějaký závěr. H 0 : μ = 175 cm H 1 : μ 175 cm Je to jednostranný nebo oboustranný test? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 24

25 1.5 Testování hypotéz 1. Zapište nulovou a alternativní hypotézu. 2. Spočítejte testovou statistiku. 3. Najděte kritickou hodnotu. 3. Učiňte nějaký závěr t = 173, ,2 20 = 0, Jaké má tato statistika rozdělení? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 25

26 1.5 Testování hypotéz 1. Zapište nulovou a alternativní hypotézu. 2. Spočítejte testovou statistiku. 3. Najděte kritickou hodnotu. 4. Učiňte nějaký závěr ,093 2, CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 26

27 1.5 Testování hypotéz 1. Zapište nulovou a alternativní hypotézu. 2. Spočítejte testovou statistiku. 3. Najděte kritickou hodnotu. 4. Učiňte nějaký závěr ,093 0,78 2, CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 27

28 1.5 Testování hypotéz 1. Zapište nulovou a alternativní hypotézu. 2. Spočítejte testovou statistiku. 3. Najděte kritickou hodnotu. 4. Učiňte nějaký závěr. Nezamítli jsme tedy nulovou hypotézu, a to na pětiprocentní hladině významnosti. Co to znamená? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 28

29 1.5 Testování hypotéz Nyní se podívejme, jak vypadá skutečnost (většinou ji ale neznáme!) Průměrná výška je 175 cm. Směrodatná odchylka je 10,5 cm Učinili jsme při testu hypotézy správný závěr? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 29

30 1.5 Testování hypotéz Uvažujme následující situaci. Místo prvních dvou řádků jsme náhodně vybrali tyto zaměstnance Testová statistika je t = ,6 20 = 4, Může taková situace nastat? Zamítneme v tomto případě nulovou hypotézu? Pokud ano, jaké chyby se přitom dopustíme? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 30

31 1.5 Testování hypotéz Chyba I. druhu: Chyba II. druhu: zamítneme nulovou hypotézu, přestože platí nezamítneme nulovou hypotézu, přestože platí alternativní hypotéza p-hodnota: nejnižší hladina významnosti, při které můžeme zamítnout nulovou hypotézu. V předchozím případě je (při oboustranném testu) p-hodnota rovna 0, Co to znamená? Obecně: je-li p-hodnota 0,05, pak na 5% hladině významnosti zamítáme nulovou hypotézu. CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 31

32 1.6 Kovariance a korelace 1. Vymyslete nějaký příklad pozitivně korelovaných, negativně korelovaných a nekorelovaných veličin. 2. Jaký je vztah mezi kovariancí a korelací? 3. Jakých hodnot může nabývat kovariance a jakých korelační koeficient? 4. Pokud je korelační koeficient roven nule, jsou veličiny určitě nezávislé? 5. Pokud jsou veličiny korelované, znamená to, že jedna je příčinou druhé? CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 32

33 1.6 Kovariance a korelace korelační koeficient CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 33

34 1.6 Kovariance a korelace korelace a kauzalita: roční spotřeba čokolády versus počet nositelů Nobelovy ceny na 10 milion obyvatel CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 34

35 Otázky? Další opakování ze statistiky např. zde: CVIČENÍ 1 OPAKOVÁNÍ ZE STATISTIKY 35